湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(理)试题Word版
湖北省部分重点中学2015届高三上学期十月联考数学(理)试卷
湖北省部分重点中学2015届高三上学期十月联考数学（理）试卷考试时间：2014年10月16日上午8：00-10：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,A x x x R =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则AB =( )A. {}|11x x -≤≤B. {}|01x x ≤≤C. {}|0x x ≥D. ∅A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知二项式2(2nx +（*n N ∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( ) A ．180 B ．360 C ．1152 D ．23044.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5.两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是且a b >，则抛物线2b x y a=-的焦点坐标是( )A ．2(0,)5- B ．2(,0)5-C ．1(0,)5-D ．1(,0)5-6．函数25()2sin log 8f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D.4 7.十一黄金周期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“千古帝乡，智慧襄阳”、“养生山水，长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是( )A.5081B. 2081C. 81125D. 271258．已知直线0x y k --=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有正视图||3||OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是( )A. )+∞B.C. )+∞ D.9.对于函数3()3f x x x a =++，在曲线221xy x =+上存在点(,)s t ，使得(())f f t t =，则a 的取值范围是( )A.(3,0)-B.[]3,0-C.(3,3)-D.[]3,3-10.记{}max ,a b 为两数,a b 的最大值，当正数,x y 变化时，2212max ,,4t x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.执行如右图所示的程序框图，若输出的b 的值为127，则图中判断框内①处应填的整数为 ．12.ABC ∆中sin :sin :sin 6A B C =,则ABC ∆最大角与最小角的和是____．13．已知曲线1()()n f x xn N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201512015220152014log log log x x x +++的值为_______．14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为__________．15.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A 曲线，则该曲线的长度为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）设函数2()cos cos f x x x x a =++. (I) 求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(II) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求()f x 的解析式；(III) 将满足（Ⅱ）的函数()f x 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()g x ，求()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积.17．（本题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列. (I)求等比数列{}n a 的通项公式；(II)对*n N ∈,在n a 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n +个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符（I 的概率；（II ）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周．．后随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E ξ和D ξ．19．（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆ 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . （I ）求证：BM AD ⊥ ；（II ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为20．（本题满分13分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(I) 求该椭圆的离心率；(II) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.若对任意正整数p ，.试判断)(x S n 是否是湖北省部分重点中学2014-2015学年度第一学期十月联考A高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.B;2.D;3.A;4.C;5.C;6.C;7.A;8.B;9.D;10.B二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.8; 12.23π; 13. 1-; 14.8; 15. 6三、解答题：本大题共6小题，共75分.16． 解：（Ⅰ）cos 211()2sin(2)2262x f x x a x a π+=++=+++，…………2分 ∴()f x 的最小正周期为π……………………………………………………………………3分由3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ 故函数()f x 的单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦……………………………4分注：上面函数()f x 的单调递减区间写成开区间或半开半闭区间也正确.. (II) ,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,512,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴+∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为322a +……………………6分由题意，33222a +=，0a ∴=………………………………………………………………7分故1()sin(2)62f x x π=++……………………………………………………………………8分(III) 函数1()sin(2)62f x x π=++的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()sin g x x =……………………………10分∴()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积为22002sin 2cos 2xdx x ππ=-=⎰…………………………………………………………………………………………………12分 17．解：（I ）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，…………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22210q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，………………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =…………………………………………………6分 （II ）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，……………………………………………… 9分133()39322[()1]44212n n n T +-==--…………………………………………………… 12分18．解（I ）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A ， ………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．6分 的比例如下：………8分由题意，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数ξ服从二项分布，即17~(5,)B ξ………………………………………………………………………10分 11分12分 平面ABCM ，1,2==AD AB ，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ON AM⊥，以O 为原点，,,OA ON OD的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系…………………………………………………………2分((((0,0,)2222A B M D --,则22(,0,),(0,2,0)22AD BM =-=,所以0,AD BM AD BM =∴⊥……………6分 （Ⅱ）设DE DB λ=,的一个法向量=010n （，，）2(ME MD DB λ=+=,(AM =-的一个法向量为(,,m x y =⎩1,1y z ==-所以(0,1,m =5,5m n m n m n⋅==⋅20.解：(I) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==…………………………4分.(II) 由(I)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck xk c c +++-=…………………………………………5分从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，………………6分所以22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+.由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以2222222212222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. …………………10分 令12S t S =，则9t >，从而1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41.………………………………………………………………………………………13分21．解：（I ）函数ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，21ln '()xf x x -=…………………1分 设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为021ln x x -，所以切线方程为00021ln ()x y y x x x --=-……………………………………………………………………2分，又因为原点在切线上，所以000201ln x y x x -=，即000200ln 1ln x x x x x -=，解得0x 3分故所求的直线方程为2xy e=………………………………………………………………4分 （II ）令()0g x =，得()l n m f xx =，令()()l n x f x x ϕ=，则222l n l n '()x xx x ϕ-=，由'()0x ϕ=，得1x =或2x e =………………………………………………………………5分又因为在区间1(,1)e上'()0x ϕ<，在区间2(1,)e 上'()0x ϕ>，在区间2(,)e +∞上'()0x ϕ<……………………………………………………………………………………6分所以函数()x ϕ在区间1(,1)e上递减，在区间2(1,)e 上递增，在区间2(,)e +∞上递减且2214(1)0,()()e e ee ϕϕϕ==>=…………………………………………………………7分 故当0m <或m e >时，函数()g x 没有零点；当0m =或24m e e<≤时，函数()g x 有一个零点；当240m e<≤时，函数()g x 有两个零点.………………………………………9分（III ）由（II ）知当1x >时，22ln 4x x e≤恒成立，即224ln x x e ≤对任意1x >恒成立，又*,n p N ∈，所以当1x >时，[]224ln ()()n p x n p x e+≤+成立…………………………10分又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，24()4()n p x n p e+≤+故当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，[]2ln ()4()n p x n p +≤+…11分 而对[]23ln (1)()()(1)n p n n x S x S x n ++-=++[]23ln (2)(2)n x n ++++[]23ln ()()n p x n p ++ 34(1)(1)n n +≤+34(2)(2)n n ++++34()()n p n p +++3331114(1)(2)()n n n p ⎡⎤=++⎢⎥+++⎣⎦11111444()(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p n n p n ⎡⎤<+++=-<⎢⎥++++-++⎣⎦…………13分综上，()n S x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是“高效”的.……………………………………………14分。
湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学理试
湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i2i =+，故z 的共轭复数为2i -，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2．若二项式82a x x骣琪+琪桫的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ） DA ．2B ．12C ．【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B 解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：()888218822rrr r r r r r a T C x C x a x ---+骣琪==琪桫，令820,4r r -==，所以常数项为4448270C a =，解得1a =. (第3题图)【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由()2121202n n p n +-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4.直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABO S =创= ,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k =?，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C . 76π D. 2π 【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域. 【答案解析】D 解析 ：解：函数2sin y x =在R 上有22y-＃函数的周期T =2p ,值域[]2,1-含最小值不含最大值，故定义域[],a b 小于一个周期 b a 2p -＜,故选D【思路点拨】结合三角函数R 上的值域，当定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，可知[],a b 小于一个周期，从而可得结果．6.若,x y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k的值为（）A. 1B.－1C. 2D. --2 【知识点】简单线性规划．【答案解析】B解析：解：由约束条件2020x ykxyy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由20kx y-+=，得2xk=-，∴B2,0k骣琪-琪桫．由z y x=-得y x z=+．由图可知，当直线y x z=+过B2,0k骣琪-琪桫时直线在y轴上的截距最小，即z最小．7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥D A B C-在xO y，yO z，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123S S S== B12S S=且31S S≠C13S S=且32S S≠ D23SS=且13S S≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D解析：解：设()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x ?B.0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±===0?选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.9.已知向量 ,a b 满足1,a = a 与b 的夹角为3p，若对一切实数x , 2xa b a b +?恒成立，则b的取值范围是( )。
湖北省教学合作高三数学上学期10月联考试题 理(扫描版)
湖北省教学合作2015届高三数学上学期10月联考试题理（扫描版）教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称。
且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||b c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B 。
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试数学(理)试题Word版
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题考生注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上．3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数（60%）；三角函数与平面向量（40%）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则M N 等于A ．()0,2B ．()0,1C ．()1,2D ．()1,1- 2、2014cos()3π的值为A ．12 B ．12- D ． 3、已知a 为常数，则使得11aa dx x>⎰成立的一个充分而不必要条件是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．a e > D ．a e <4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．．13- D ．3-5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -且sin C B =， 则A 等于 A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2 7、给出下列命题，其中错误的是A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B > C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象D ．函数sin (0)y x x ωωω=≠最小正周期为π的充要条件是2ω= 8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的切线与两坐标轴围成的面积为 A ．43 B ．74 C ．94D ．4 9、已知,a b R ∈，函数()tan f x x =在4x π=-处于直线2y ax b π=++相切，设()x g x e =2bx c ++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数mA ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +10、对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上 11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=12、化简2log2lg5lg2lg2+-的结果为13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2c o s 2B a b =+，若ABC ∆的面积为2S =，则ab 的最小值为15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论： ①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f x g x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95． 其中所有正确的结论的序号是三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若1()23a f π=，求2cos()3πα-的值．17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润； （2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值． 18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．19、（本小题满分12分） 已知函数()2(0)2mx nf x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数． （1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 2f x θθθ≤+对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围．20、（本小题满分14分） 已知()(ln 1)xf x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．21、（本小题满分14分） 已知()ln (,1mf x n x m n x =++为常数)，在1x =处的切线方程为20x y +-=． （1）求()y f x =的单调区间；（2）若任意实数1[,1]x e ∈，使得对任意的1[,2]2t ∈上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意正整数n ，有124()(ln1ln 2ln )2231nn n n +++++++≥+．。
湖北省稳派名校联考2015高三(上)10月调研数学(理)试卷
湖北省稳派名校联考2015高三（上）10月调研数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合中元素的个数为（）“3．（5分）（2012•深圳二模）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）B D4．（5分）若，则tan2α=（）B D5．（5分）函数的值域为（）6．（5分）已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小B D7．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）B D8．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）9．（5分）（2014•黄山一模）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）D10．（5分）已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，B D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5分）计算：4cos70°+tan20°=_________．12．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为_________．13．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a ﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是_________（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）14．（5分）设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为_________（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=_________．15．（5分）设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx 在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM 与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f （x1）+f（x2）]成立．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（14分）（2011•镇江一模）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A2．C3．D4．C5．B6．B7．C8．C9．D10．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．．12．4．13．③④14．（1）2（2）0．15．．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．解：∵命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，∵命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，∴f（x）=3x﹣（3x）2，t=3x，y=﹣t2+t，t＞0，当t=时，y的最大值，即必须得a＞，∵p且q为真时，可得：＜a＜1，∴命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞），17．解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M 是AB 的中点，∴M （4，1）． ∵=（2，5），∴D （3，6）， ∵=（6，0），∴=（6，0），∴C （9，6）（2）设点P 的坐标是（x ，y ），D （a ，b ），则C （a+b ，b ），∵||=||，∴（a ﹣1）2+（b ﹣1）2=36（*）由B ，D ，P 共线，得①， 由C ，P ，M 共线，得②由①②化简得a=3x ﹣14，b=3y ﹣2，代入（*）化简得（x ﹣5）2+（y ﹣1）2=4． 18． 解：（1）∵x ∈（0，5）时，都有x ≤f （x ）≤2|x ﹣1|+1恒成立， ∴1≤f （1）≤2|1﹣1|+1=1， ∴f （1）=1； ∵f （﹣1+x ）=f （﹣1﹣x ）， ∴f （x ）=ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的对称轴为x=﹣1， ∴﹣=﹣1，b=2a ．∵当x ∈R 时，函数的最小值为0，∴a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的对称轴为x=﹣1， ∴f （x ）min =f （﹣1）=0， ∴a=c ．∴f （x ）=ax 2+2ax+a ．又f （1）=1， ∴a=c=，b=．∴f （x ）=x 2+x+=（x+1）2；（2）令g （x ）=f （x ）﹣[f （x 1）+f （x 2）]，则g （x 1）=f （x 1）﹣[f （x 1）+f （x 2）] =[f （x 1）﹣f （x 2）]，g （x 2）=f （x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]=[f （x 2）﹣f （x 1）]， ∵f （x 1）≠f （x 2）∴g （x 1）g （x 2）＜0，所以g （x ）=0在（x 1，x 2）内必有一个实根，即存在x 0∈（x 1，x 2）使f （x 0）=[f （x 1）+f （x 2）]成立． 19．解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T ，由三角函数的图象特点可得T==π，解得ω=1，又图象在y 轴上的截距为，∴2sin φ=，∴sin φ=，又|φ|＜，∴φ=，∴f （x ）=2sin （x+）；（2）∵锐角A 满足，∴2sin （A+﹣）=，解得sinA=，∴A=； 由正弦定理可得==，变形可得sinB=，sinC=，∴sinB+sinC=（b+c ）=，∴b+c=13，再由余弦定理可得72=b 2+c 2﹣2bc ×，=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc=169﹣3bc ，∴bc=40，∴△ABC 的面积S=bcsinA=×40×=10．20．解：（1）因为：AE=CE= AE+4＞CE+3 所以F 不在BC 上，AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=cosA==所以EF 2=AE 2+AF 2﹣2AE ×AF ×cosA=所以EF=E 为AC 中点时，此时小路的长度为（2）若E 、F 分别在AC 和AB 上，sinA=设AE=x ，AF=y ，所以S 2=xysinA=S 1=S 三角形ABC ﹣S 2=2﹣S 2因为x+y=3﹣x+4﹣y+3所以x+y=5=﹣1xy ≤当且仅当x=y=时取等号 所以=当且仅当x=y=时取等号 最小值是若E 、F 分别在AC 和BC 上，sinC=设CE=x ，CF=y 同上可得≥当且仅当x=y=取等号若E 、F 分别在AC 和BC 上，最小值是21．解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）==，∵F′（x）=，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；（2）∵g（x）=2x++alnx，∴g′（x）=2﹣+=，∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（1）≥0，∴a≥0，又G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣+≤0在[1，+∞）恒成立，即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax﹣axlnx﹣4，则p′（x）=﹣alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），∴p（x）=ax﹣axlnx﹣4在[1，+∞）上单调递减，∴p（x）max=p（1）=a﹣4≤0，解得：a≤4；综上所述0≤a≤4．。
湖北省广水市文华高中2015届高三10月月考数学理试卷Word版含答案
文华高中2014-2015学年第一学期10月份月考高三年级数学试题（理科）★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1,2,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个2．下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题3．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若函数f(x)＝1－x的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B等于()．A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[0,1] D．[0,1)5．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()．A．f(x)f(－x)是奇函数 B.f(x)f(－x)是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数6．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()．A．－1 B．1 C．－2 D．27．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为()．A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)8．曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为()．A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝09．曲线y ＝x 与x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )． A.143B.53C.103D.16310．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是 ( )． A ．eB ．－eC.1eD ．－1e二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．函数()f x =的定义域为_____________________12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝________.14．某类产品按质量可分10个档次，生产最低档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大．15．已知f （x+1）的定义域为[]2,3-，则f (x )的定义域是 。
湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(文)试题
教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（文科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{}|1x x ≥ B ．{}|1x x ≤ C ．{}|01x x <≤ D ．{}|11x x ≤< 2、已知()3sin f x x x π=-，命题():(0,),02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈> B ．p 是真命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥C ．p 是假命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥3、定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，()125x f x =+，则()2log 20f =A ．1B ．45C ．1-D ．45-4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价 为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个5、已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- A． B． C． D6、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是7、已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象是A ．关于直线8x π=对称 B ．关于点(,0)4π对称 C ．关于直线4x π=对称 D ．关于点(,0)8π对称8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中2,1AD DC BC ==，它可能随机在草原上任何一 处（点），若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还， 则该丹顶鹤生还的概率是（ ） A ．1215π- B ．110π- C ．16π- D ．3110π- 9、已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A()()34f ππ< B ．(0)2()3f f π<C．(0)()4f π<D()()34f ππ-<-10、已知函数()32(,f x x bx cx d bc d =+++均为常数)，当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是A． B．)C ．37(,25)4D ．()5,25第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上11、已知集合22{|201520140},{|log }A x x x B x x m =-+<=<，若A B ⊆，则整数m 的最小值是12、若不等式131x x m ++-≥-恒成立，则实数m 的取值范围是13、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为：[)[)[)0,20,20,40,40,60[)[]60,820,80,100，则（1）图中的x =（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计 名学生可以申请住宿．14、定义行列式的运算:12122112a a a b a b b b =-，若将函数()sin cos x f x x=的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为15、设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =16、已知命题:p 函数()22lg(4)f x x x a =-+的定义域为R ；命题:q [1,1]m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨“为真命题，且“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围是17、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 18、（本小题满分12分）已知函数())cos()2,()66f x x x x R ππ=++++∈． （1）求5()6f π的值； （2）求()f x 子啊区间[,]22ππ-上的最大值和最小值及其相应的x 的值．19、（本小题满分12分）2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,85,85,90,90,95,95,100,100,105,105,110后，得到如下图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在[)80,90的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在[)85,90概率． 参考数据：82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20、（本小题满分13分）已知函数()()322,3m x x h x ax ==-（1）若函数()()()f x m x h x =-在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若函数()()()f x m x h x =-在(,)-∞+∞不单调，求实数a 的取值范围；（3）判断过点5(1,)2A -可作曲线()()23f x m x x =+-多少条切线，并说明理由．21、（本小题满分14分）如图，在一座底部不可到达的孤山两侧，有两段平行的公路AB 和CD ，现测得5,9AB AC ==30,45BCA ADB ∠=∠=（1）求sin ABC ∠ （2）求BD 的长度．22、（本小题满分14分） 已知()(),ln g x mx G x x ==．（1）若()()1f x G x x =-+，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2G x x g x ++≤恒成立，求m 的取值范围； （3）令()2b G a a =++，求证：21b a -≤．十月联考数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. D【解析】因为图中阴影部分表示的集合为()U AC B ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U AC B {}{}021x x x x =<<≥{}12x x =≤<，故选.D2. B【解析】依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin 000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <恒成立，因此命题p 是真命题，p ┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选.B 3. C 【解析】由()()()()224fx f x f x f x -=+⇒=+，因为24l o g 205<<，所以20l o g 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选.C4. C【解析】由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得109,a =109154-⨯49=，故选.C 5. A 【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，1tan 3α∴=-，02πα-<<，sin α∴=，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4ααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭α=⎛== ⎝⎭.A6. B【解析】因为()22f x ax ax c '=++，则函数()f x '即()g x 图象的对称轴为1x =-，故可排除,A D ；由选项C 的图象可知，当0x >时，()0f x '>，故函数()323a f x x ax cx =++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x 在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 本题应选.B7.A【解析】依题意得2,2T ππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin4π==0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选.A8. B【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，在Rt AFD ∆中，易知1,45AF A =∠=，梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选.B9. D【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos0cos 3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B 不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos0cos 4f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C 不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.故选.D10. D【解析】因为()232f x x bx c '=++，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点(),b c 所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方，因为点P 到直线AD 的距离d ==，观察图形可知，22d T PA<<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，故选.D二、填空题：（7题，每题5分） 11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<.由2log x m <，解得02mx <<，故{}02mB x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.12. []3,5-【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.13.（1）0.0125；（2）72 【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿.14.56π 【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，平移后得到函数 2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 15. 1【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y xx''----'==，在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a=-， 由121k k =-，解得 1.a =16. []()2,12,6--【解析】若命题p 为真，则216402a a ∆=-<⇒>或2a <-.若命题q 为真，因为[]1,1m ∈-⎡⎤⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式253a a --≥立，只需满足2533a a --≥，解得6a ≥或1a ≤-.命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或； ②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--.17. (],22ln 2-∞-+【解析】由()20xf x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+ 故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1） 2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分=1 ……………………………………………………… 6分 （2）22ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f …………………………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 19.4597=⨯=…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=（人），分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分 故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 20.【解析】（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调，则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分 ∴ 251+>a 或251-<a ………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ， ∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分 设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数，∴ 函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………12分 ∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC BCA ABC =∠∠，sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，∴ 95sin sin 2AB BAD BD ADB ⨯∠==∠分 22.【解析】（Ⅰ）1)()(+-=x x G x f =1﹣x+lnx ，求导得：'11()1x f x x x -=-=，由'()0f x =，得1x =. 当()0,1x Î时，'()0f x >；当()1,x ??时，'()0f x <.所以，函数()y f x =在()0,1上是增函数，在()1,+?上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则()()'11h x m x=-+ 因为0m >，所以10m +>，由()'0h x =得11x m =+ 当10,1x m 骣÷çÎ÷ç÷桫+时，'()0h x >，()h x 在10,1m 骣÷ç÷ç÷桫+上是增函数； 当1,1x m 骣÷ç??÷ç÷桫+时，'()0h x <，()h x 在1,1m骣÷ç+?÷ç÷+上是减函数. 所以，()h x 在()0,+?上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得1m e ≥- 所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， ln 2,b a a =++ .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 ln 21221,b a a a a a =++?++=+即 21b a -? ………14分。
湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(文)试题Word版
湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学（文）试题Word 版本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-， 则图中阴影部分表示的集合为 A ．{}|1x x ≥ B ．{}|1x x ≤ C ．{}|01x x <≤ D ．{}|11x x ≤<2、已知()3sin f x x x π=-，命题():(0,),02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈> B ．p 是真命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥C ．p 是假命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥3、定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，()125x f x =+，则()2log 20f =A ．1B ．45C ．1-D ．45-4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的 销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价 为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个5、已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- A． B． C． D6、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是7、已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象是A ．关于直线8x π=对称 B ．关于点(,0)4π对称 C ．关于直线4x π=对称 D ．关于点(,0)8π对称8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中2,1AD DC BC ===，它可能随机在草原上任何一 处（点），若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还， 则该丹顶鹤生还的概率是（ ） A ．1215π- B ．110π- C ．16π- D ．3110π- 9、已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ()()34f ππ<B ．(0)2()3f f π<C ．(0)()4f π<D ()()34f ππ-<- 10、已知函数()32(,f x x bx cx d bc d =+++均为常数)，当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是A ．B ．)C ．37(,25)4D ．()5,25第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上11、已知集合22{|201520140},{|log }A x x x B x x m =-+<=<，若A B ⊆，则整数m 的最小值是 12、若不等式131x x m ++-≥-恒成立，则实数m 的取值范围是13、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为：[)[)[)0,20,20,40,40,60[)[]60,820,80,100，则（1）图中的x =（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计 名学生可以申请住宿． 14、定义行列式的运算:12122112a a ab a b b b =-，若将函数()sin cos xf x x=的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 15、设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =16、已知命题:p 函数()22lg(4)f x x x a =-+的定义域为R ；命题:q [1,1]m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨“为真命题，且“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围是17、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 18、（本小题满分12分） 已知函数())cos()2,()66f x x x x R ππ=++++∈．（1）求5()6f π的值； （2）求()f x 子啊区间[,]22ππ-上的最大值和最小值及其相应的x 的值．19、（本小题满分12分）2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,85,85,90,90,95,95,100,100,105,105,110后，得到如下图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在[)80,90的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在[)85,90概率． 参考数据：82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20、（本小题满分13分）已知函数()()322,3m x x h x ax ==-（1）若函数()()()f x m x h x =-在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若函数()()()f x m x h x =-在(,)-∞+∞不单调，求实数a 的取值范围；（3）判断过点5(1,)2A -可作曲线()()23f x m x x =-多少条切线，并说明理由．21、（本小题满分14分）如图，在一座底部不可到达的孤山两侧，有两段平行的公路AB 和CD ，现测得5,9AB AC ==30,45BCA ADB ∠=∠=（1）求sin ABC ∠ （2）求BD 的长度．22、（本小题满分14分） 已知()(),ln g x mx G x x ==．（1）若()()1f x G x x =-+，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2G x x g x ++≤恒成立，求m 的取值范围； （3）令()2b G a a =++，求证：21b a -≤．十月联考数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. D【解析】因为图中阴影部分表示的集合为()U AC B ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U AC B {}{}021x x x x =<<≥{}12x x =≤<，故选.D2. B【解析】依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <恒成立，因此命题p 是真命题，p ┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选.B 3. C【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为24log 205<<，所以20log 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选.C 4. C【解析】由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得109,a =109154-⨯49=，故选.C 5. A 【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，1tan 3α∴=-，02πα-<<，sin α∴=，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4ααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭α=⎛== ⎝⎭，故选.A 6. B【解析】因为()22f x ax ax c '=++，则函数()f x '即()g x 图象的对称轴为1x =-，故可排除,A D ；由选项C 的图象可知，当0x >时，()0f x '>，故函数()323a f x x ax cx =++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x 在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 本题应选.B7.A【解析】依题意得2,2T ππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin4π==0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选.A 8. B【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，在Rt AFD ∆中，易知1,45AF A =∠=， 梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE 的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率1215241102S S P S ππ--===-，故选.B9. D【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，得34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos0cos 3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B 不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos0cos4f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C 不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.故选.D10. D【解析】因为()232f x x bx c '=++，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点(),b c 所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方，因为点P 到直线AD的距离d ==22d T PA <<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，故选.D二、填空题：（7题，每题5分） 11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<.由2log x m <，解得02mx <<，故{}02mB x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.12. []3,5-【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.13.（1）0.0125；（2）72 【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿.14.56π【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，平移后得到函数 2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 15. 1【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y xx''----'==，在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a=-， 由121k k =-，解得 1.a =16. []()2,12,6--【解析】若命题p 为真，则216402a a ∆=-<⇒>或2a <-.若命题q 为真，因为[]1,1m ∈-，所以⎡⎤⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式253a a --恒成立，只需满足2533a a --≥，解得6a ≥或1a ≤-.命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或；②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--.17. (],22ln 2-∞-+【解析】由()20xf x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 故该函数的最小值为()ln2ln22ln222ln2.f ea a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+ 故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1） 2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分=1 ……………………………………………………… 6分 （2）22ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f …………………………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 19.4597=⨯=…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=（人），分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 20.【解析】 （1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =， ∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分 ∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分 ∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =， 若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调， 则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分 ∴ 251+>a 或251-<a ………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ， ∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分 设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数，∴ 函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………12分∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC BCA ABC =∠∠， sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，∴ 95sin sin AB BAD BD ADB ⨯∠===∠.……………………………………14分 22.【解析】（Ⅰ）1)()(+-=x x G x f =1﹣x+lnx ，求导得：'11()1x f x x x -=-=，由'()0f x =，得1x =. 当()0,1x Î时，'()0f x >；当()1,x ? 时，'()0f x <.所以，函数()y f x =在()0,1上是增函数，在()1,+ 上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则()()'11h x m x=-+ 因为0m >，所以10m +>，由()'0h x =得11x m =+当10,1x m 骣÷çÎ÷÷ç桫+时，'()0h x >，()h x 在10,1m 骣÷ç÷÷ç桫+上是增函数； 当1,1x m 骣÷ç? ÷ç÷桫+时，'()0h x <，()h x 在1,1m骣÷ç+ ÷ç÷桫+上是减函数. 所以，()h x 在()0,+ 上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+ +，解得1m e ≥- 所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， ln 2,b a a =++ .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+ ，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 ln 21221,b a a a a a =++?++=+即 21b a - ………14分。
湖北省稳派名校2015届高三10月联合调研考试数学理试卷(WORD版含答案)
2014-2015学年湖北省稳派名校联考高三（上）10月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合中元素的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．下列有关命题的说法中，错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．若命题p：”∃实数x0，使x02≥0”则命题¬p：“对于∀x∈R，都有x2＜0”3．如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）4．若，则tan2α=（）A．B．C．D．5．函数的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1]D．[0，1]6．已知函数在区间[0，1]内至少出现2次极值，则ω的最小值为（）A．B．C．D．7．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．210．已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．计算：4cos70°+tan20°=_________．12．已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于x=2对称，则a的值为_________．13．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数，下列函数中是准奇函数的是_________（把所有满足条件的序号都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）14．设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中θ的顶点与坐标原点重合，始终与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y）且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为，则f（θ）的值为_________（2）若点P（x，y）为平面区域Ω：内的一个动点，记f（θ）的最大值为M，最小值m，则log M m=_________．15．设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=x3﹣2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b﹣a的最大值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．（11分）设命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减；命题q：3x ﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．18．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f （x1）+f（x2）]成立．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，2）和（x0+π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足，又已知a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（14分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值．21．（14分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且F（x）=在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“非完美增函数”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x++alnx（a∈R）（1）判断f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函数”；（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A2．C3．D4．C5．B6．B7．C8．C9．D10．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．．12．4．13．③④14．（1）2（2）0．15．．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．解：∵命题p：函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，∵命题q：3x﹣9x＜a对一切的x∈R恒成立，∴f（x）=3x﹣（3x）2，t=3x，y=﹣t2+t，t＞0，当t=时，y的最大值，即必须得a＞，∵p且q为真时，可得：＜a＜1，∴命题“p且q”为假命题时，实数a的取值范围为（0，）∪（1，+∞），17．解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M是AB的中点，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）设点P的坐标是（x，y），D（a，b），则C（a+b，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共线，得①，由C，P，M共线，得②由①②化简得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化简得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．18．解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．19．解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T，由三角函数的图象特点可得T==π，解得ω=1，又图象在y轴上的截距为，∴2sinφ=，∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+）；（2）∵锐角A满足，∴2sin（A+﹣）=，解得sinA=，∴A=；由正弦定理可得==，变形可得sinB=，sinC=，∴sinB+sinC=（b+c）=，∴b+c=13，再由余弦定理可得72=b2+c2﹣2bc×，=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=169﹣3bc，∴bc=40，∴△ABC的面积S=bcsinA=×40×=10．20．解：（1）因为：AE=CE=AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=cosA==所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=所以EF=E为AC中点时，此时小路的长度为（2）若E、F分别在AC和AB上，sinA=设AE=x，AF=y，所以S2=xysinA=S1=S三角形ABC﹣S2=2﹣S2因为x+y=3﹣x+4﹣y+3所以x+y=5=﹣1xy≤当且仅当x=y=时取等号所以=当且仅当x=y=时取等号最小值是若E、F分别在AC和BC上，sinC=设CE=x，CF=y同上可得≥当且仅当x=y=取等号若E、F分别在AC和BC上，最小值是21．解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）==，∵F′（x）=，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函数”；（2）∵g（x）=2x++alnx，∴g′（x）=2﹣+=，∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函数”，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（1）≥0，∴a≥0，又G（x）==2++在[1，+∞）上是减函数，∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣+≤0在[1，+∞）恒成立，即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，令p（x）=ax﹣axlnx﹣4，则p′（x）=﹣alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），∴p（x）=ax﹣axlnx﹣4在[1，+∞）上单调递减，∴p（x）max=p（1）=a﹣4≤0，解得：a≤4；综上所述0≤a≤4．。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） （A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ） （A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数． 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<； 由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ． 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为 ；（2）过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ． （写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==． 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象． 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ． 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=， 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面． 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ． 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥． 又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥． 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥． 而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =． 解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥． 又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面． 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑， 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，． （2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量． 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+， 解得2λ=． 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =． 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减． 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<． 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+． 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ． 即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
（）
A． sgn[g(x)] sgn x
B． sgn[g(x)] sgn x
C． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 f (x) 是 R 上的增函数，令 f (x) x ，所以 g(x) (1 a)x ，因为 a 1 ，
x,
y
，记
p1 为事件“
x
y
1 2
”的概率，p2
为事件“ |
x
y
|
1 2
”
的概率，
p3
为事件“
xy
1 2
”的概率，则
（
A． p1 p2 p3
B． p2 p3 p1
【答案】B
） C． p3 p1 p2
D． p3 p2 p1
（1）
（2）
考点：几何概型.
（3）
8．将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m 0) 个单位长
度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则（ ）
A．对任意的 a, b ， e1 e2
B．当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
C．对任意的 a, b ， e1 e2
D．当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2
【答案】D
3
考点：1.双曲线的性质，2.离心率.
9．已知集合 A {(x, y) x2 y2 1, x, y Z}， B {(x, y) | x | 2 , | y | 2, x, y Z}，定义集合
A B {(x1 x2 , y1 y2 ) (x1, y1) A, (x2 , y2 ) B} ，则 A B 中元素的个数为（ ）
湖北省百所重点中学2015届高三数学十月联合考试试题 理(含解析)新人教A版
湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则MN 等于A ．()0,2 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()1,1-【知识点】交集及其运算．L4【答案解析】B 解析：由M 中不等式变形得：x （x ﹣2）＜0，解得：0＜x ＜2，即M=（0，2）；由N 中不等式变形得：﹣1＜0，即＜0，解得：x ＜1，即N=（﹣∞，1），则M∩N=（0，1）．故选B【思路点拨】求出M 与N 中不等式的解集确定出M 与N ，找出两集合的交集即可．【题文】2、2014cos()3π的值为A ．12B ．32C ．12-D ． 32-【知识点】运用诱导公式化简求值．L4 【答案解析】C 解析：cos （）=cos （670+）=cos=cos （π+）=﹣cos=﹣，故选：C ．【思路点拨】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【题文】3、已知a 为常数，则使得11aa dxx >⎰成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．0a >B ．0a <C ．a e >D ．a e <【知识点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】C 解析：由积分运算法则，得=lnx =lne ﹣ln1=1因此，不等式即11aa dxx >⎰即a ＞1，对应的集合是（1，+∞），将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e ，故选： C【思路点拨】由定积分计算公式，求出函数f （x ）=的一个原函数F （x ）=lnx ，从而利用微积分基本定理得到=lne ，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．【题文】4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．33B ．33-C ．13-D ．23-【知识点】两角和与差的正弦函数．L4【答案解析】B 解析：把sinα+cosα=2m 两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=，故选：B【思路点拨】把sinα+cosα=2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案．【题文】5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若223a b bc -=且sin 23sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【知识点】余弦定理．L4 【答案解析】A 解析：由sinC=2sinB ，由正弦定理可知：c=2b ，代入a2﹣b2=bc ，可得a2=7b2，所以cosA==，∵0＜A ＜π，∴A=．故选：A ．【思路点拨】利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．【题文】6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2【知识点】函数奇偶性的性质．L4【答案解析】B 解析：由f （x ）为奇函数可得f （﹣x ）=﹣f （x ），再由条件可得f （﹣x ）=f （+x ），所以，f （3+x ）=f （x ）．所以，f （2015）=f （671×3+2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．故选：B ．【思路点拨】由已知得f （3+x ）=f （x ），所以f （2015）=f （671×3+2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．【题文】7、给出下列命题，其中错误的是 A ．在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D ．函数sin 3cos (0)y x x ωωω=+≠最小正周期为π的充要条件是2ω=【知识点】命题的真假判断与应用．L4 【答案解析】 D 解析：对于A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，即由正弦定理有sinA ＞sinB ，故A 正确；对于B ．在锐角△ABC 中，A+B ＞，则A ＞﹣B ，由y=sinx 在（0，）上递增，则sinA ＞sin （﹣B ）=cosB ，故B 正确；对于C ．把函数y=sin2x 的图象沿x 轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin （2x）=cos2x 的图象，故C 正确；对于D ．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin （ωx ），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D 错． 故选D ．【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A ；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B ；运用图象的左右平移，只对自变量x 而言，再由诱导公式，即可判断C ；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D ． 【题文】8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的切线与两坐标轴围成的面积为A ．43B ．74C ．94 D ．4【知识点】幂函数的性质．L4【答案解析】C 解析：根据幂函数的图象可知，n﹣2＜0，且为偶数，又n∈N，故n=0，所以f（x）=x﹣2，则f′（x）=﹣2x﹣3，所以切线的斜率为f′（1）=﹣2，切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3=0，与两坐标轴围成的面积为=，故选：C．【思路点拨】先根据幂函数的图象和性质，得到n=﹣2，再根据导数求出切线的斜率，求出切线方程，问题得以解决．【题文】9、已知,a b R∈，函数()tanf x x=在4xπ=-处于直线2y ax bπ=++相切，设()xg x e=2bx c++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m≤≤-恒成立，则实数mA．有最小值e- B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值1e+【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．L4【答案解析】D 解析：f（x）=tanx的导数f′（x）=（）′==，则a=f′（﹣）==2，将切点（﹣，﹣1）代入切线方程，即﹣1=﹣2+b+，即有b=﹣1．则g（x）=ex﹣x2+2，令h（x）=g′（x）=ex﹣2x，h′（x）=ex﹣2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上递增，即g′（x）在[1，2]上递增，则有g′（x）≥g′（1）=e﹣2＞0，则g（x）在[1，2]上递增，g（1）最小，g（2）最大，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解得m≤﹣e或e≤m≤e+1．即m的最大值为e+1．故选D．【思路点拨】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，得a=2，将切点（﹣，﹣1）代入切线方程，求得b=﹣1，再求g（x）的导数，判断g（x）在[1，2]上的单调性，求出最值，再由不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解出m的取值范围，即可判断．【题文】10、对于函数()f x，若,,a b c R∀∈，()()(),,f a f b f c为某一三角形的三边长，则称()f x为“可构造三角形函数”，已知函数()1xxe tf xe+=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2【知识点】指数函数综合题．L4【答案解析】D 解析：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立，由于f （x ）==1+，①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ，同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t，解得1＜t≤2．③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1，同理t ＜f （b ）＜1，2＜f （c ）＜1， 由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故选：A ．【思路点拨】因对任意实数a 、b 、c ，都存在以f （a ）、f （b ）、f （c ）为三边长的三角形，则f （a ）+f （b ）＞f （c ）恒成立，将f （x ）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t ﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为f （a ）+f （b ）的最小值与f （c ）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上【题文】11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=【知识点】二倍角的正弦；诱导公式的作用．L4【答案解析】223 解析：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得 sinα=，∴cosα=﹣223．故cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣cosα=223，故答案为223．【思路点拨】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα 的值，再利用诱导公式求出cos （α﹣π）的值． 【题文】12、化简2log2lg 5lg 2lg 2+-的结果为【知识点】对数的运算性质．L4【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25．【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【题文】13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 （2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为 【知识点】复合命题的真假．L4【答案解析】(],2-∞;131,,2128⎛⎤⎡⎤-∞-⋃- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 解析：（1）若p 为真，则，解得：m ＞2，若￢p 是真命题，则p 是假命题，故实数m 的取值范围是：（﹣∞，2]；（2）对于q ：设f （x ）=4x2+4（m ﹣2）x+1，由q 为真可得，解得：﹣＜m ＜﹣，若q 为假，则m≤﹣或m≥﹣，∴若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，则有m≤﹣或﹣m≤2，即m 的范围是：（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]；故答案为：（﹣∞，2]，（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]．【思路点拨】（1））若p 为真，求出m 的范围，若￢p 是真命题，则p 是假命题，从而得出m 的范围；（2）由q 为真可得m 的范围，若q 为假，求出m 的范围，若（￢p ）∧（￢q ）是真命题，从而求出m 的范围．【题文】14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2B a b =+，若ABC ∆的面积为32S c=，则ab 的最小值为【知识点】正弦定理．L4 【答案解析】12 解析：在△ABC 中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C ）+sinB ，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB ，∴2sinBcosC+sinB=0， ∴cosC=﹣，C=．由于△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c ，∴c=ab ．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b 时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．【思路点拨】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c ，求得c=ab ．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab 的最小值．【题文】15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95． 其中所有正确的结论的序号是【知识点】分段函数的应用．菁优L4【答案解析】①②④解析：当x ∈[0，]时，f （x ）=﹣x 是递减函数，则f （x ）∈[0，]，当x ∈（，1]时，f （x ）==2（x+2）+﹣8，f′（x ）=2﹣＞0，则f （x ）在（，1]上递增，则f （x ）∈（，]．则x ∈[0，1]时，f （x ）∈[0，]，故①正确； 当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x+）﹣2a+2（a ＞0）=﹣acosx ﹣2a+2，由a ＞0，0≤x≤，则g （x ）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a ＞0，x ∈[0，1]时g （x ）∈[2﹣3a ，2﹣]，若2﹣3a ＞或2﹣＜0，即0＜a ＜或a ＞，方程f （x ）=g （x ）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【思路点拨】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R Aπωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x的解析式；（2）若1()23afπ=，求2cos()3πα-的值．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）f（x）=2sin （πx+）；（2）﹣解析：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又ω＞0，∴T==2，∴ω=π；由图可知，f（x）=Asin （ωx+φ）经过（，2），∴ω+φ=，即+φ=，∴φ=，∴f （x）=2sin（πx+）；（2）∵f（）=，∴2sin（+）=，∴sin（+）=cos[﹣（+）]=cos（﹣）=，∴cos（﹣α）=2﹣1=2×﹣1=﹣．【思路点拨】（1）由图可知，A=2，=，可求得ω，再利用ω+φ=可求得φ，从而可求得f（x）的解析式；（2）由（1）知f（x）的解析式，结合已知f（）=，可求得α的三角函数知，最后利用两角差的余弦计算即可求cos（﹣α）的值．【题文】17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值．【知识点】函数模型的选择与应用．L4【答案解析】（1）330（万元）（2）f （x ）= ﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），350（万元）． 解析：（1）售价为50元时，销量为15﹣0.1×50=10万套，此时每套供货价格为30+（元）， 则获得的总利润为10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，∴售价为100元时，销售总利润为；（15﹣0.1×1000（100﹣30﹣）=330（万元）．（2）由题意可知每套商品的定价x 满足不等式组，即0＜x ＜150，∴f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x ＜150），∴f′（x ）=﹣0.2x+18，令f′（x ）=0可得x=90，且当0＜x ＜90时，f′（x ）＞0，当90＜x ＜150时，f′（x ）＜0， ∴当x=90时，f （x ）取得最大值为350（万元）． 【思路点拨】（1）由题意可得10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f （x ）=[x ﹣（30+）]×（15﹣0.1x ）=﹣0.1x2+18x ﹣460，（0＜x＜150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值． 【题文】18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x yB x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．【知识点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【答案解析】（1）1266-（2）解析：（1）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以 ．（2）解：依题意得 y1=sinα，． 所以，．依题意S1=2S2 得 ，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin ]=sin2α﹣cos2α，整理得 cos2α=0．因为，所以，所以，即．【思路点拨】（1）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（2）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值． 【题文】19、（本小题满分12分）已知函数()2(0)2mx n f x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 22f x θθθ≤++-对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．L4【答案解析】（1）0＜m≤．（2）（﹣∞，0）∪（0，2]． 解析：（1）∵函数f （x ）=（m≠0）是定义在R 上的奇函数．∴f （0）=0，即=0，∴n=0，∴f （x ）=，显然f （﹣x ）=﹣f （x ）成立，故n=0时f （x ）为R 上的奇函数， ∴f′（x ）==，∵m ＞0，∴﹣m ＜0， 由f′（x ）＞0可得x2﹣2＜0，解得﹣＜x ＜，即f （x ）的递增区间是（﹣，），由题意只需（﹣m ，m ）⊆（﹣，），∴0＜m≤， ∴f （x ）在（﹣m ，m ）上递增的充要条件是0＜m≤． （2）设g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，∵f （x ）≤sinθcosθ+cos2θ+﹣对任意的实数θ和正实数x 恒成立，∴f （x ）≤g（x ）min 恒成立，∵g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣=sin2θ+﹣=sin2θ+cos2θ+=sin （2θ+）+，∴g （x ）min=﹣+=，∴只需f （x ）≤，即≤，∵x ＞0，∴只需≤，即m≤（x+）恒成立，而（x+）≥×2=2，当且仅当x=时取得最小值2，∴m≤2，又m≠0，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，2]．【思路点拨】（1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x ）＞0解得即可；（2）设g （x ）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，由题意得只需f （x ）≤g（x ）min 恒成立，利用三角变换求得g （x ）的最小值，列出不等式解得即可．【题文】20、（本小题满分14分）已知()(ln 1)x f x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值； （2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁L4【答案解析】（1）y=f （x ）﹣f′（x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y 取极大值﹣e ，函数无极小值．（2）方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上无实根．解析：（1）函数f （x ）=ex （lnx+1）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=+ex ，则 y=f （x ）﹣f′（x ）=，∴y′=，由y′=0可得x=1．当x ＞1时，y′＜0；当x ＜1时，y′＞0；∴y=f （x ）﹣f′（x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y 取极大值﹣e ，函数无极小值．（2）方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 可变为f′（x ）﹣f （x ）﹣kx+k2﹣e=0 进一步化为﹣kx+k2﹣e=0，令g （x ）=﹣kx+k2﹣e ，g′（x ）=． ∵x≥1，∴x ﹣1≥0，而ex ＞0，∴，又k ＜0，∴g′（x ）=＞0，∴g （x ）在[1，+∞]上单调递增，且g （x ）的最小值为g （1）=k2﹣k ，则方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上最多只有一个实根，∴要使方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上有一个实根，只需k2﹣k ≤0，解得0≤k≤1，这与k ＜0矛盾，故方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 在[1，+∞]上无实根．【思路点拨】（1）先求出f （x ）的导数，代入y=f （x ）﹣f′（x ）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）把方程f′（x ）=f （x ）+kx ﹣k2+e 化简，构造函数，用导数研究方程有无实根．【题文】21、（本小题满分14分）已知()ln(,1mf x n x m nx=++为常数)，在1x=处的切线方程为20x y+-=．（1）求()y f x=的单调区间；（2）若任意实数1[,1]xe∈，使得对任意的1[,2]2t∈上恒有()3222f x t t at≥--+成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意正整数n，有124()(ln1ln2ln)2 231nn nn+++++++≥+．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。
湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学(理)
湖北省教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=21c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m =(2015)f =15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =-若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一 点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间； （2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a+-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c ++的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右2y kx =+恒图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去） 故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+ 15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y+=，又曲线C即圆心为()2,0C，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y-+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y<，联立方程组得22(2)4x yx yy+=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22xy=⎧⎨=-⎩，故交点P的坐标为(2,2)-.过交点P且与曲线C相切的直线的普通方程是2y=-，对应的极坐标方程为sin2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）解析：（1）因为集合{|23}A x x=<<，因为12a=函数29(2)4lg=lg12xx aya x x--+=--，由9412xx-->0，可得集合19={|}24B x x<<…………2分19{|}24UB x x x=≤≥或ð，…………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x=≤<ð. ……………………………6分（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A B⊆由{|23}A x x=<<，而集合B应满足2(2)x aa x-+>-，因为22172()024a a a+-=-+>故2{|2}B x a x a=<<+，……………………8分依题意就有：2223aa≤⎧⎨+≥⎩，………………………………………10分即1a≤-或12a≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分 当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分 因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=， 所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分 由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分（Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分 令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分 综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x<-. ……………………………3分 （Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a +>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学试卷（理）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数11z i=+的共轭复数是（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2、已知实数,x y 满足1212y y x x ≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值为（ ）A．2 C ．1 D ．53、模几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的侧视图可以 是（ ）4、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．6 B ．-6 C ．0 D ．185、已知()2(,)f x x bx c b c R =++∈，命题甲：函数()()2log g x f x =的值域为R ；命题乙：0x R∃∈使0()0f x <成立，则甲是乙的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要6、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上任意一点P 作与实轴平行的直线，交两渐近线于,M N 两点，若23PM PN b ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．3 D ．37、从编号为001，002，，500的500个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，，则样本中最大的编号应该为（ ）A ．483B ．482C ．481D ．4808、已知函数()23420151(0)2342015x x x x f x x x =+-+-++>，则()f x 在定义域上的单调性是（ ） A ．在()0,+∞单调递增 B ．在()0,+∞单调递减C ．在(0,1)单调递增，()1,+∞单调递减D ．在(0,1)单调递减，()1,+∞单调递增 9、设函数()4sin(31)f x x x =+-，则下列区间中()f x 不存在零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]2,1-- C ．[]3,4 D ．[]3,2-- 10、非空数集123{,,,,}n A a a a a =(,0)n n N a *∈>中，所有元素的算术平均数即为()E A ，即()123na a a a E A n++++=，若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆;②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“包均值子集”，据此，集合{}1,2,3,4,5,6,7的子集中是“包均值子集”的概率是（ ） A ．15128 B ．19128 C ．1164D ．63128二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应的题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
湖北省教学合作2015届高三数学10月联考试题 理(含解析)新人教A版
教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、已知集合22{|23},{|0}2x A x y x x B x x +==--=≤-，则A B =A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1--【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】D 解析：依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.【思路点拨】求出集合A ，B 的等价条件，即可得到结论．【题文】2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件．（3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】C 解析：命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C【思路点拨】根据p ∧q ，￢p 的真假和p ，q 真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可判断这几个命题的真假．【题文】3、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 【知识点】函数的图象与图象变化．B10【答案解析】A 解析：①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2xy x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y 轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y 轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y 轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．【题文】4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >> 【知识点】对数值大小的比较．菁B7【答案解析】B 解析：由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B. 【思路点拨】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【题文】5、将函数2cos 2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g xA1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈C ．是周期函数，周期2T π=D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增【知识点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C5 C4【答案解析】D 解析：化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D.【思路点拨】由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到2()2sin(2)3g x x π=-，易得最大值是2，周期是π，故A ，C 均错；由22()32x k k Z πππ-=+∈，求出x ，即可判断B ；再由正弦函数的增区间，即可得到g （x ）的增区间，即可判断D ．【题文】6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f aD f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 【知识点】导数的运算．B11 【答案解析】D 解析：由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .【思路点拨】设利用导数及直线斜率的求法得到A 、B 、C ，D 分别为对数函数的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案． 【题文】7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx=⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x==；③()()234f x g x x π==；④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在．其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】微积分基本定理．B13 【答案解析】C 解析：对于①，111111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dxg x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C【思路点拨】利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间[﹣1，1]上的“等积分”函数的组数【题文】8、已知2221a b c ++=，21c x x m+≤-++对任意实数,,,a b c x恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．[)8,+∞ B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞【知识点】一般形式的柯西不等式．N4 【答案解析】 B 解析：由柯西不等式得,9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.【思路点拨】由柯西不等式求得3232≤++c b a ，可得1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立．再根据|x ﹣1|+|x+m|≥|m+1|，可得13m +≥，由此求得m 的范围．【题文】9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：依题意：画出不等式组040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ．【思路点拨】首先作出不等式组40x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，然后根据直线2y kx =+恒过点B （0，2），且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k ＜0．联立方程组求出D 的坐标，根据三角形的面积公式求得k 的值，最后把OM ON ⋅转化为线性目标函数解决．【题文】10、已知函数()()2212,3ln 2f x x ax g x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】D 解析：依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x '=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x ax ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a >所以0x a=，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13ln )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e==即为实数b 的最大值.【思路点拨】分别求出函数f （x ）的导数，函数g （x ）的导数．由于两曲线y=f （x ），y=g（x ）有公共点，设为00(,)P x y ，则有00()()f xg x =，且00()()f xg x ''=，解出x0=a ，得到b 关于a 的函数，构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b 的最大值．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上 【题文】11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a上的投影为【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3【答案解析】18-解析：因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--=,故331||4b +=所以b在a 上的投影为.1{|}2x R x ∈>53503sin 2ρθ=- 【思路点拨】因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b 。
湖北省教学合作高三数学上学期10月联考试题 文(扫描版
湖北省教学合作2015届高三数学上学期10月联考试题文（扫描版）十月联考数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. D【解析】因为图中阴影部分表示的集合为()U A C B I ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U A C B I {}{}021x x x x =<<≥I {}12x x =≤<，故选.D2. B【解析】依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <恒成立，因此命题p 是真命题，p ┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选.B 3. C【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为24log 205<<，所以20log 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选.C4. C【解析】由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得$109,a=109154-⨯49=，故选.C5. A【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭Q ，1tan 3α∴=-，02πα-<<Q，sin α∴=，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4αααααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭α=105⎛=-=- ⎝⎭，故选.A 6. B【解析】因为()22f x ax ax c '=++，则函数()f x '即()g x 图象的对称轴为1x =-，故可排除,A D ；由选项C 的图象可知，当0x >时，()0f x '>，故函数()323a f x x ax cx =++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x 在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 本题应选.B7.A 【解析】依题意得2,2T ππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 4π==0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选.A8. B【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，在Rt AFD ∆中，易知1,45AF A =∠=o，梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选.B9. D【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos 0cos3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B 不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos 0cos4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C 不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.故选.D10. D【解析】因为()232f x x bx c '=++，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点(),b c 所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方，因为点P 到直线AD 的距离2212332521d ⎛⎫⨯-++ ⎪⎝⎭==+，观察图形可知，22d T PA <<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，故选.D二、填空题：（7题，每题5分） 11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<.由2log x m <，解得02m x <<，故{}02m B x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.12. []3,5-【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.13.（1）0.0125；（2）72【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿. 14. 56π 【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，平移后得到函数 2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 15. 1【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y x x ''----'==，在点,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos 2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a =-， 由121k k =-，解得 1.a =16. []()2,12,6--U【解析】若命题p 为真，则216402a a ∆=-<⇒>或2a <-.若命题q 为真，因为[]1,1m ∈-，所以⎡⎤⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式253a a --≥恒成立，只需满足2533a a --≥，解得6a ≥或1a ≤-.命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或； ②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--U .17. (],22ln 2-∞-+【解析】由()20x f x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+ 故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1）Θ2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分 =1 ……………………………………………………… 6分（2）22ππ≤≤-x Θ 6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f …………………………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 19.4597=⨯=…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=（人），分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分 故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 20.【解析】（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分 ∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分 ∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调， 则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分 ∴ 251+>a 或251-<a ………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ，∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分 设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数，∴ 函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………12分 ∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC BCA ABC =∠∠，sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，∴ 95sin sin 2AB BAD BD ADB ⨯∠===∠.……………………………………14分 22.【解析】 （Ⅰ）1)()(+-=x x G x f =1﹣x+lnx ，求导得：'11()1x f x x x -=-=，由'()0f x =，得1x =.当()0,1x Î时，'()0f x >；当()1,x ??时，'()0f x <.所以，函数()y f x =在()0,1上是增函数，在()1,+?上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则()()'11h x m x=-+ 因为0m >，所以10m +>，由()'0h x =得11x m =+ 当10,1x m 骣÷çÎ÷ç÷桫+时，'()0h x >，()h x 在10,1m 骣÷ç÷ç÷桫+上是增函数； 当1,1x m 骣÷ç??÷ç÷桫+时，'()0h x <，()h x 在1,1m骣÷ç+?÷ç÷桫+上是减函数. 所以，()h x 在()0,+?上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得1m e ≥- 所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， ln 2,b a a =++ .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 ln 21221,b a a a a a =++?++=+即 21b a -? ………14分。
湖北省教学合作高三10月联考——数学(理)数学(理)
湖北省教学合作 2015届高三10月联考数学(理)试题本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则 A ． B ． C ． D ． 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题中有一个是假命题，则是真命题．（2）在中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“”的必要不充分条件． （3）表示复数集，则有．A ．0B ．1C ．2D ．33、已知四个函数：①；②；③；④的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则的大小关系是A ．B ．C ．D ． 5、将函数2cos 2y x x =-的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A ．由最大值，最大值为B ．对称轴方程是C ．是周期函数，周期D ．在区间上单调递增6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则中最大的数是A ．B ．C ．D ． 7、已知，若函数满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==；③()()234f xg x x π==； ④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在． 其中为区间上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4821c x x m +≤-++对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域的面积为7，定点M 的坐标为，若，O 为坐标原点，则的最小值是A ．B ．C ．D ． 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上 11、已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为12、已知偶函数在上满足：当且时，总有， 则不等式的解集为 13、点O 是锐角的外心，812,3AB AC A π===，若，则14、定义在正整数集上的函数满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2），则有 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分） 已知集合，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数的定义域为集合B ． （1） 若，求集合；（2） 命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． 17、（本小题满分12分）在中，所对的边分别为，向量，向量(2sin ,cos )n A A =- 若．（1）求角A 的大小；（2）若外接圆的半径为2，，求边的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图象如图所示，过线段OC 上一点作横轴的垂线，梯形OABC 在直线左侧部分的面积即为内台风所经过的路程．（1）当时，求的值，并将随变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由． 19、（本小题满分12分） 某地一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为，． （1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？ 20、（本小题满分13分） 已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中为常数）（1）如果函数和有相同的极值点，求的值，并写出函数的单调区间； （2）求方程在区间上实数解的个数． 21、（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围； （Ⅲ）求证：参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①是偶函数，其图象关于轴对称；②是奇函数，其图象关于原点对称；③是奇函数，其图象关于原点对称．且当时，；④为非奇非偶函数，且当时，；当时，；故选A. 4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而，155511log log 3log 32c ==>=，所以有，故选B. 5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D.6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，分别表示函数在点处切线的斜率，因为，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有，四个数中最大的是，故选. 7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,22221c a b c ==++=⎩时等号成即,即的最大值为3，当且仅当立；21||c x x m +≤-++对任意实数恒成立等价于对任意实数恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意恒成立，因此有即，解得，故选B. 9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足， 当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得. 由可得，依题意应有，因此（，舍去）故有，设，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值，故选B ． 10．解析：D依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为 ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为， 所以，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由，当时，即单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．解析： 因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--=故所以在上的投影为.12．解析： 依题意：偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，直接构造函数，问题转化为解不等式，解之得：， 所以不等式的解集为.另解：依题意：偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，由于，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式的解集为.13．解析：如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即 综上，将两式相加可得：，即14．解析： (2分)（3分） 注意到和，易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=； 因为，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析：曲线即直线的普通方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，注意到，所以，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的普通方程是，对应的极坐标方程为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）解析：（1）因为集合，因为函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0， 可得集合…………2分19{|}24UB x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分 故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分 （2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即 由，而集合应满足，因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：， ………………………………………10分 即或所以实数的取值范围是. …………………12分 17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有. …………………6分 （Ⅱ）依题意，在中，由正弦定理，所以， 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅， 化简得：，解得：（负值舍去）.…………12分 18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由图象可知： 直线的方程是：，直线的方程是： 当时，，所以. …………………………………2分 当时，； ………………………3分当时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知随变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩ ………………………………………7分 （Ⅱ），2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当时，令，解得，（舍去）…………………………11分即在台风发生后30小时后将侵袭到城. ……………………12分 19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分因为早上时的温度为，即，11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分，故取，，所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分由，，可知3141232t t πππ+=⇒=，即这一天在时也就是下午时出现最高温度，最高温度是.…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得……………………………9分，或，即或，………………11分故中央空调应在上午时开启，下午时（即下午时）关闭…………12分 20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分令，得或，而二次函数在处有极大值，∴或；综上：或． ………………………4分 当时，的单调增区间是，减区间是……5分当时，的单调增区间是，减区间是； ………………6分（Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分 2()(1)1h x x a x =+-+，当时，，无解，故原方程的解为，满足题意，即原方程有一解，； ……………9分 当时，，的解为，故原方程有两解，； 当时，，的解为，故原方程有一解，； 当时，，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若时，在上有一解，故原方程有一解；若13133033a a ->⇒<<时，在上无解，故原方程有无解； 当时，，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->在上有一解，故原方程有一解； …………………11分综上可得：当时，原方程在上无解；当或时，原方程在上有一解；当时，原方程在上有两解.……………13分 21．（本小题满分14分）解析：（Ⅰ）令函数，定义域是由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数在上单调递减 故当时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，即.………………………3分 （Ⅱ）因为，故不等式可化为……问题转化为式对任意的正实数恒成立， 构造函数()ln(1)(0)atg t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当时，，即在上单调递增，所以，即不等式对任意的正实数恒成立. （2）当时，因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数单调递增，所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=---，令，由(Ⅰ)可知2min(2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x --=--=-=--<-，不合题意.综上可得，正实数的取值范围是. ………………10分 （Ⅲ）要证，即证910119ln2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令，有对恒成立，取可得不等式成立，综上，不等式成立. ………………………………14分。
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湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学（理）试题Word 版本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件． （3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②c os y x x =；③c o s y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x =-的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π= D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=21c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m 的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是 A ．8- B ．7- C ．6- D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程） 曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1） 若12a =，求集合()U A C B ； （2） 命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内 台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间； （2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-； （Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<， 利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，11011110()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；所以21||c x x m +≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去） 故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=->构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h t t t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析： 因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >， 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得||||32AB AO AB AD ⋅=⋅=，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO xAB yAC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO xAB AC yAC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分） 注意到(())43f f n n =+和(125)f m =， 易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0， 可得集合19={|}24B x x <<…………2分19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4U A B x x =≤<ð. ……………………………6分（2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-， 因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分 依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分 即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n +=所以 22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分 当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分 当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分 （Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分(10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分） 解析： （Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =，11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分(0,)8πω∈，故取1k =，12πω=，所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=， 即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分 （Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=， 即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=； 综上：3a =或1a =-． ………………………4分 当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分 （Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+-1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =；3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-；4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==-若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； 若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解；5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析： （Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x --'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减 故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x<-. ……………………………3分 （Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a +>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立， 构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+， 则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分 （1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增， 所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->， 由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意.综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分 （Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>， 由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立， 取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立， 综上，不等式19291()10e<成立. ………………………………14分。