4函数的单调性与曲线的凹凸性.pdf
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
高等数学3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
ln(1 x ).
三、曲线的凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y
C
B
A
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
三、曲线的凹凸性
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
解方程f ( x ) 0 得，x1 1, x2 2.
x 1 时 f ( x ) 0, 在( ,1]上 单调增加 1 x 2 时 f ( x ) 0, 在[1, 2]上 单调减少
2 x 时 f ( x ) 0, 在[2, )上 单调增加
设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. （1） 如果在(a, b)内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调减少.
四、曲线凹凸的判定
y
y f (x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
y 0 f ( x ) 递增 y 0 f ( x ) 递减 定理1 在( a , b ) 内 有一阶和二阶导数， 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上 连续；
若在 ( a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凹的 (2) f ( x ) 0,则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凸的
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
3-4第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性
y 高 x=1,x=3是曲线的拐点. 等 数 x 学 2 5 1 3 2 3 电 (2) y 3 x , y x , y x 3 9 子 教 没有使y“(x)=0的点,但当x=0时y“不存在,点(0,0)可能是拐点. 案 当x<0时, y“>0,当x>0, y“<0,
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
y 2( x 1)e x ( x 1) 2 e x ( x 2 4 x 3)e x
则1，3可能是拐点
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
x 1, y 0 1 x 3, y 0 x 3, y 0
曲线是凹的
曲线是凸的 曲线是凹的
高 等 数 学 电 子 教 案
第四节
函数的单调性和曲线的凹凸性
一、函数的单调性之判定
y Y=f(x)
y Y=f(x)
x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
x
a a b b 在图象中我们发现上升函数的导数大于0,而下降函数的 导数小于0,可见,函数的单调性与函数导数的符号有关.
高 等 数 学 电 子 教 案
高 等 数 学 电 子 教 案
区
间
y’
函数的单调性
(-∞,-1] [-1,1) (1,3] [3,+ ∞)
f ’(x)≥0 f ’(x) ≤ 0 f ’(x) ≤ 0 f ’(x)≥0
3
单调上升 单调下降 单调下降 单调上升
-1
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
1
x
高 等 数 学 电 子 教 案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
记(x1+x2)/2=x0,并记 x2-x0=x0-x1=h, 则x1=x0-h, x2=x0+h 由拉格朗日中值公式,得到
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
4-3函数单调性和凹凸性-23页精选文档
21.11.2019
《经济数学》第四章
20
下课啦
21.11.2019
《经济数学》第四章
21
案例 [国防预算]
1985年美国的一家报刊报道了 国防部长抱怨国会和参议院削减了 国防预算．但是他的对手却反驳 道，国会只是削减了国防预算增长 的变化率．换句话说，若用f(x)表 示预算关于时间的函数，那么预算 的导数f '(x)>0,预算仍然在增加，
f ( x ) 凹的
0 -1 0 拐点 ( 0 , 1 )
(0, 2 ) 3
2 31
0
凸的 拐点 ( 2 , 1 1 )
3 27
(2 , ) x3
凹的
∴凹区间为
，凸区间为
21.11.2019
《经济数学》第四章
19
例5、求曲线 y 3 x 的拐点。
y
解： 当 x 0 时
2
y
1
2
(3)用 (2)中的点划 f(x)的 分定 函义 数 ,然区 后间
区间内导数的符号 . ( 4 ) 根据定理写出结论。
21.11.2019
《经济数学》第四章
8
例1、确定函数
的单调区间.
解: x( , ). f(x)6x21x812 6 (x 1 )x ( 2 )
令 f(x)0,得 x1,x2.
则点 x0, f (x0) 是拐点的必要条件是 f "(x0) 0
方法:设函数 f ( x ) 在 x 0 的邻域内二阶可导，且 f (x0) 0
（1）x 0 两近旁 f ( x ) 变号，点 (x0, f (x0)) 即为拐点； （2）x 0 两近旁 f ( x ) 不变号，点 (x0, f (x0)) 不是拐点；
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性共36页
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
第四节函数的单调性与曲线
−∞ ， 单调区间为 (−∞,0] [0,+∞).
注意:区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 注意 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性.
在 单 增 . y = x3 , y′ x=0 = 0, 但 (−∞,+∞)上 调 加 例如, 例如 x , 证 立 例4 当 > 0时 试 x > ln(1 + x)成 .
3π 7π [ ∴在 0,2π] 曲 有 点 内 线 拐 为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x0 ) 不 在点( x0 , f ( x0 )) 也 能 存 , 可
连 曲 是 续 线 y = f ( x)的 点 拐 .
例4
曲 求 线y = 3 x的 点 拐 .
2 − 3 5 − 3
( ∴点 0,0)是 线 y = 3 x 拐 . 曲 的 点
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性
凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1, 拐点的求法 2.
x , 可 函 取 极 的 件 ∴ f ′( x)在 0取得极值由 导 数 得 值 条 ,
∴ f ′′( x) = 0.
x 邻 内 阶 导 方法1: 函 f 方法1: 设 数 ( x)在 0的 域 二 可 , 且 ′′( x0 ) = 0, f
(1) x0两 旁 ′′( x)变 ,点 x0, f ( x0 ))即 拐 ; 近 f 号 ( 为 点 (2) x0两 旁 ′′( x)不 号 点 x0 , f ( x0 ))不 拐 . 近 f 变 , ( 是 点
§3( 4 函数单调性与曲线的凹凸性
§3. 4 函数单调性与曲线的凹凸性一．教学目的（一）知识目的（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。
（三）德育目标（1）激发学生的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。
二．教学的重、难点及教学设计（一）教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性（二）教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导（三）教学设计要点：1．用导数判断函数的单调性；2．用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；3．单调性及凹凸性的应用；三．教学过程1、函数单调性的判定法如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即y'=f '(x)≥0(y'=f'(x)≤0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,得到f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1) (x1<ξ<x2).由于在上式中,x2-x1>0,因此,如果在(a,b)内导数f'(x)保持正号,即f'(x)>0,那么也有f'(ξ)>0.于是f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0,即f(x1)<f(x2),这函数y=f(x) 在[a,b]上单调增加.注:判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1 判定函数y=x-sin x在[0, 2π]上的单调性.解因为在(0, 2π)内，,y'=1-cos x>0,所以由判定法可知函数y=x-cos x在[0, 2π]上的单调增加.例2 讨论函数y=e x-x-1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？)解y'=e x-1.函数y=e x-x-1的定义域为(-,+).因为在(-, 0)内y'<0,所以函数y=e x-x-1在(-, 0] 上单调减少;因为在(0,+)内y'>0,所以函数y=e x-x-1在[0,+)上单调增加.y=的单调性.例3.讨论函数32x解: 函数的定义域为(-, +). 函数的导数为 332x y ='(x 0), 函数在x =0处不可导. 当x =0时, 函数的导数不存在.因为x <0时, y '<0, 所以函数在(-, 0] 上单调减少;因为x >0时, y '>0, 所以函数在[0, +)上单调增加.如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程f '(x )=0的根及导数不存在的点来划分函数f (x )的定义区间, 就能保证f '(x )在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数f (x )在每个部分区间上单调.例4. 确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间.解 这个函数的定义域为:(-, +).函数的导数为:f '(x )=6x 2 -18x +12 = 6(x -1)(x -2). 导数为零的点有两个: x 1 =1、x 2 =2. (-, 1] [2, +)例5. 讨论函数y =x 3的单调性.解 函数的定义域为: (-, +).函数的导数为: y '=3x 2 . 除当x =0时, y '=0外, 在其余各点处均有y '>0. 因此函数y =x 3在区间(-, 0]及[0, +)内都是单调增加的. 从而在整个定义域: (-, +)内是单调增加的. 在x =0处曲线有一水平切线.一般地, 如果f '(x )在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6. 证明: 当x >1时, xx 132->. 证明: 令)13(2)(x x x f --=, 则 )1(111)(22-=-='x x x xx x f . 因为当x >1时, f '(x )>0, 因此f (x )在[1, +)上f (x )单调增加, 从而当x >1时, f (x )>f (1).由于f (1)=0, 故f (x )>f (1)=0, 即 0)13(2>--xx , 也就是x x 132->(x >1).二、曲线的凹凸与拐点定义 （凹凸性）设f (x )在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点x 1, x 2, 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有 2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 那么称f (x )在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).定义' 设函数y =f (x )在区间I 上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的.凹凸性的判定:定理 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么(1)若在(a , b )内f ''(x )>0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凹的;(2)若在(a , b )内f ''(x )<0, 则f (x )在[a , b ]上的图形是凸的.简要证明 只证(1) 设21 ,x x x 1x 2∈[a b ] 且x 1<x 2 记2210x x x += 由拉格朗日中值公式 得2)())(()()(21101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 011x x <<ξ2)())(()()(12202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 220x x <<ξ 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 2)]()([)(2)()(1212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ02))((1212>--''=x x f ξξξ 21ξξξ<< 即)2(2)()(2121x x f x f x f +>+ 所以f (x )在[a , b ]上的图形是凹的拐点: 连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y =f (x )的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数y =f (x )的定义域; (2)求出在二阶导数f`'' (x );(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点;注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略.例1. 判断曲线y =ln x 的凹凸性.解: x y 1=', 21xy -=''. 因为在函数y =ln x 的定义域(0, +)内, y ''<0, 所以曲线y =ln x 是凸的. 例2. 判断曲线y =x 3的凹凸性.解: y '=3x 2, y ''=6x . 由y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''<0, 所以曲线在(-, 0]内为凸的;因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在[0, +)内为凹的.例3. 求曲线y =2x 3+3x 2-2x +14的拐点.解: y =6x 2+6x -12, )21(12612+=+=''x x y . 令y ''=0, 得21-=x . 因为当21-<x 时, y ''<0; 当21->x 时, y ''>0, 所以点(21-, 2120)是曲线的拐点. 例4. 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间.解: (1)函数y =3x 4-4x 3+1的定义域为(-, +);(2)231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ; (3)解方程y ''=0, 得01=x , 322=x ; (4)列表判断:在区间(-, 0]和[2/3, +)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0,1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点.例5 问曲线y =x 4是否有拐点？解 y '=4x 3, y ''=12x 2.当x 0时, y ''>0, 在区间(-, +)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点. 例6. 求曲线3x y =的拐点.解 (1)函数的定义域为(-, +);(2) 32 31x y =', 3292x x y -=''; (3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x =0;(4)判断: 当x <0当, y ''>0; 当x >0时, y ''<0. 因此, 点(0, 0)曲线的拐点.四． 布置作业做练习册第19大页有能力的同学可以附加做课后习题(-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f ''(x ) + 0 - 0 + f (x ) 1 11/27。
3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性(高等数学)
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性教学内容：一．函数的单调性1.定理：设函数()f x 在区间I 上可导，对一切x I ∈有（1）()0f x '>，则函数()f x 在I 上单调增加；（2）()0f x '<，则函数()f x 在I 上单调减少．2．讨论函数单调性的步骤如下：(1) 确定()f x 的定义域；(2) 求f x '()，并求出()f x 单调区间所有可能的分界点(包括()0'=f x 的驻点、()'f x 不存在的点、()f x 的间断点)，并根据分界点把定义域分成相应的区间；(3) 判断一阶导数()'f x 在各区间内的符号，从而判断函数在各区间中的单调性.二．曲线的凹凸性与拐点1.定义：设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 和2x ，总有1212()()22++⎛⎫< ⎪⎝⎭x x f x f x f ，则称在区间I 上的图形是凹的（或下凸的）；如果总有1212()()22++⎛⎫> ⎪⎝⎭x x f x f x f ，则称在区间I 上的图形是凸的（或下凸的）.2.定义：设函数()f x 在开区间(,)a b 内可导, 如果在该区间内()f x 的曲线位于其上任何一点切线的上方，则称该曲线在(,)a b 内是凹的，区间(,)a b 称为凹区间；反之，如果()f x 的曲线位于其上任一点切线的下方，则称该曲线在(,)a b 内是凸的，区间(,)a b 称为凸区间．曲线上凹凸区间的分界点称为曲线的拐点．注：拐点是位于曲线上而不是坐标轴上的点，因此应表示为00(,())x f x ，而0x x =仅是拐点的横坐标，若要表示拐点，必须算出相应的纵坐标0()f x ．3.定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，那么（1）若对(,)x a b ∀∈，()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若对(,)x a b ∀∈，()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．4．求函数的凹凸区间和拐点的步骤：（1）确定函数的连续区间（初等函数即为定义域）；（2）求出函数二阶导数，并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，划分连续区间；（3）依次判断每个区间上二阶导数的符号，确定每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标．。
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
高等数学课件——函数的单调性与曲线的凹凸性
1.讨论曲线y ln x的凹凸性.
2.讨论曲线y x3的凹凸性.
3.讨论曲线y 3 x的凹凸性.
注：y f ( x)凹凸区间的分界点可能是 使f ''( x) 0的点； 或者f ''( x)不存在的点.
def :曲线上有一点( x0 , f ( x0 )),曲线在该点一边是上凸的， 在另一边是上凹的.称该点为曲线的拐点.
证： 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 )
4.讨论函数f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调性.
解：D f R. f '( x) 6 x 2 18 x 12. 令f '( x) 0得：x1 1, x2 2. x1 1, x2 2将D f 划分为(-,1],[1, 2],[2, ). 在(-,1)内，f '( x) 0. f ( x)在(-,1]上单调递增； 在(1，内， 2) f '( x) 0. f ( x)在[1, 2]上单调递减； 在(2, )内，f '( x) 0. f ( x)在[2, )上单调递增.
§3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性 曲线的凹凸性
一、函数的单调性
已观察：f ( x)单调增加，则f '( x) 0; f ( x)单调减少，则f '( x) 0.
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§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点一、函数单调性的判定法•观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？•观察结果函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数小于零.f'(x)>0 f'(x)<0设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a, b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.设函数f (x )在[a ,b ]上连续,在(a , b )内可导.(1)如果在(a ,b )内f '(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上单调增加;(2)如果在(a ,b )内f '(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上单调减少.由拉格朗日中值公式,有f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2-x 1) (x 1<ξ<x 2).因为f '(ξ)>0,x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2-x 1)>0,即f (x 1)<f (x 2),这就证明了函数f (x )在[a ,b ]上单调增加.证明只证(1).在[a ,b ]上任取两点x 1,x 2(x 1<x 2),设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a, b)内可导.(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.例1讨论函数y=e x-x-1的单调性.解函数y=e x-x-1的定义域为(-∞,∞).y'=e x-1.因为在(-∞,0)内y'<0,所以函数y=e x-x-1在(-∞,0]上单调减少;因为在(0,+∞)内y'>0,所以函数y=e x-x-1在[0,+∞)上单调增加.解函数的定义域为(-∞,+∞).所以函数在[0,+∞)上单调增加.因为x >0时,y '>0,所以函数在(-∞,0] 上单调减少;因为x <0时,y '<0,例2 讨论函数32x y =的单调性.)0(323≠='x x y 设函数f (x )在[a ,b ]上连续,在(a , b )内可导.(1)如果在(a ,b )内f '(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上单调增加;(2)如果在(a ,b )内f '(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上单调减少.x f '(x )f (x )例3确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间.解这个函数的定义域为(-∞,+∞).f '(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2),导数为零的点为x 1=1、x 2=2.列表分析:函数f (x )在区间(-∞,1]和[2,+∞)上单调增加,在区间[1,2]上单调减少.(-∞,1) (1,2) (2,+∞)↗↘↗＋－＋y =2x 3-9x 2+12x -3xy 'y 解这个函数的定义域为(-∞,+∞).函数f (x )在区间(-∞,0]和[1,+∞)上单调减少,在区间[0,1]上单调增加.(-∞,0) (0,1) (1,+∞) ↗↘例4确定函数的单调区间.x x y -=3223,113-='xy 驻点x =1,不可导点x =0,↘－－＋说明：一般地,如果f '(x )在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负)时,那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的.例5讨论函数y =x 3的单调性.解函数的定义域为(-∞,+∞).y '=3x 2 .显然当x =0时,y '=0;当x ≠0时,y '>0.因此函数y =x 3在区间(-∞,0]及[0, +∞)上都是单调增加的.从而函数在整个定义域(-∞,+∞)内是单调增加的.单调增加.证明例6证明: 当时,20π<<x 3tan .3x x x >+,3tan )(3x x x x f --=令221sec )(x x x f --='22tan xx -=时，当20π<<x ,tan x x >.0)(>'x f 连续，在)2,0[)(πx f )2,0[)(π在所以x f 于是时，当20π<<x ,0)0()(=>f x f 即.3tan 3x x x +>因此分析例7证明: 当时,ea b >>.a b b a >证明a b b a >ba ab ln ln >问题化为:,时当e a x >>.ln ln x a a x >,ln ln )(x a a x x f -=令上连续，在),[)(∞+a x f xa a x f -='ln )(,0ln =->a a e 上在所以),[)(∞+a x f 单调增加.于是,时当e a b >>,时当e a x >>,0)()(=>a f b f 即,ln ln b a a b >也即.a b b a >问题:如何研究曲线的弯曲方向?x y o )(x f y =图形上任意弧段位于所张弦的上方x yo )(x f y =图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性定义设f (x )在区间I 上连续,对I 上任意两点x 1,x 2,如果恒有那么称f (x )在I 上的图形是凹的;那么称f (x )在I 上的图形是凸的.如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 2)()()2(2121x f x f x x f +>+,观察与思考:f (x )的图形的凹凸性与f '(x )的单调性的关系.1) f (x )的图形是凹的2) f (x )的图形是凸的f '(x )单调增加;f '(x )单调减少.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内具有二阶导数.若在(a ,b )内f ''(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凹的;若在(a ,b )内f ''(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凸的.例8判断曲线y =x 3的凹凸性.解y '=3x 2,y ''=6x .由y ''=0,得x =0.因为当x <0时,y ''<0,所以曲线在(-∞,0]上是凸的;因为当x >0时,y ''>0,所以曲线在[0,+∞)上是凹的.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内具有二阶导数.若在(a ,b )内f ''(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凹的;若在(a ,b )内f ''(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是凸的.拐点连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的连接点称为该曲线的拐点.拐点•讨论如何确定曲线y =f (x )的拐点？如果(x 0,f (x 0))是拐点, 且f ''(x 0)存在, 问f ''(x 0)=？如何找可能的拐点？32 31x y =',•讨论曲线y =x 4是否有拐点？求曲线3x y =的拐点.例9解二阶导数无零点;当x =0时,二阶导数不存在.因为当x <0时,y ''>0;当x >0时,y ''<0,所以点(0,0)是曲线的拐点.32 92x x y -=''; •如果在x 0的左右两侧f ''(x )异号, 则(x 0,f (x 0))是拐点.虽然y ''(0)=0, 但(0,0)不是拐点.y O xy=x 4例10求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间.解(1)函数y =3x 4-4x 3+1的定义域为(-∞,+∞);(4)列表判断:在区间(-∞,0]和[2/3,+∞)上曲线是凹的;在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.(-∞,0)0(0,2/3)2/3(2/3,+∞)＋－＋00111/27(3)解方程y ''=0, (2)231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ; 得01=x , 322=x ; y ''(x ) y (x ) x •如果在x 0的左右两侧f ''(x )异号, 则(x 0,f (x 0))是拐点.例10求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间.•如果在x 0的左右两侧f ''(x )异号, 则(x 0,f (x 0))是拐点.在区间(-∞,0]和[2/3,+∞)上曲线是凹的;在区间[0,2/3]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3,11/27)是曲线的拐点.作业习题 P151):3.单号4.(2) (3) (5)8.双号11.x y ''y)1,(--∞)0,1(-1-)1,0(),1(∞+01例求曲线的凹凸区间和拐点.解3229x x y +=,623x x y +=',2234xy -=''二阶导数的零点为x 1=-1,x 2=1,二阶导数不存在的点为x =0.＋＋－－1010000不存在凹区间为(-∞,-1]和[1,+∞),凸区间为[-1,0]和[0,1],拐点为(-1,10)和(1,10).思考:凸区间[-1,0]和[0,1]可否合并为[-1,1]?单调增加.证明例证明: 当时,20π<<x .2tan sin x x x >+,2sec cos )(2-+='x x x f 时，当20π<<x ,1cos 0<<x 连续，在)2,0[)(πx f )2,0[)(π在所以x f 于是时，当20π<<x ,0)0()(=>f x f 即,2tan sin )(x x x x f -+=令,cos cos 2x x >2sec cos )(22-+>'x x x f 0)sec (cos 2≥-=x x .2tan sin x x x >+。