第二讲：全等三角形与轴对称

第二讲：全等三角形与轴对称模型一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，求证：（1）DBC ABE ∆≅∆（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）DFB AGB ∆≅∆（5）CFB EGB ∆≅∆（6）BH 平分AHC ∠（7）ACGF //变式精练1：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？模型二：对角互补模型（1）全等型——90°条件：①90AOB DCE ∠=∠=︒②OC 平分∠AOB结论：①CD CE =；②2OD OE OC +=；③212OCD OCE ODCE S S S OC ∆∆=+=四边形辅助线之一：作垂直，证明CDM CEN∆∆≌辅助线之二：过点C 作CF ⊥OC ，证明ODC FEC∆∆≌结论：①CD CE =；②2OE OD OC -=；③212OCE OCD S S OC ∆∆-=条件：①90AOB DCE ∠=∠=︒②CD CE=结论：①OC 平分∠AOB ；②2OD OE OC +=；③212OCD OCE ODCE S S S ∆∆=+=四边形（2）全等型——120°条件：①2120AOB DCE∠=∠=︒②OC平分∠AOB结论：①CD CE=；②OD OE OC+=；③234OCD OCEODCES S S OC∆∆=+=四边形模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明辅助线之二：在OB上取一点F，使OF=OC,证明△OCF为等边三角形（3）全等型——任意角α条件：①2,1802AOB DCEαα∠=∠=︒-②CD CE=结论：OC平分∠AOB例：四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A∠和C∠都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．DCBA变式精练1：已知MAN∠．∠，AC平分MAN（1）在图1中，若MAN∠=∠=︒，求证：AB AD AC+=；=︒，90ABC ADC∠120（2）在图2中，若MAN∠+∠=︒，则⑴中的结论是否仍然成立？ABC ADC∠120=︒，180若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，90∠=°，O为BC的中点，BAC⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．模型三：角含半角模型（1）角含半角模型90°-1条件：①正方形ABCD ②45EAF ∠=︒结论：①EF DF BE =+；②CEF ∆的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：条件：①正方形ABCD ②EF DF BE =+结论：①45EAF ∠=︒；口诀：角含半角要旋转（2）角含半角模型90°-2条件：①正方形ABCD ②45EAF ∠=︒结论：①EF DF BE =-；辅助线：（2）角含半角模型90°-3条件：①等腰直角三角形ABC ②45DAE ∠=︒结论：①222BD CE DE +=；（勾股定理知识）辅助线：将△ACE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，并连接DF .若DAE ∠旋转到△ABC 外部时，结论222BD CE DE +=仍然成立。

例：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF =45°，求证：DF +EF =BE.变式精练1：如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求证：MN BM CN =+．变式精练2：（1)如图，在四边形ABCD 中，90AB AD B D =∠=∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF =BAD ∠∠．求证：EF BE FD =+;(2)如图在四边形ABCD 中，180AB AD B +D =∠∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3)如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F ，分别是边BC CD ，延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．模型四：倍长中线类模型通过构造“8”字型全等线段数量及位置关系，角的大小转化例：如图，已知在ABC=，延长BE交∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=AC于F，求证：AF EF变式精练1：如图，在ABC∥交CA的延长线∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF AD 于点F，交AB于点G，若BG CF∆的角平分线．=，求证：AD为ABC变式精练2：如图：AB =AE ，AB ⊥AE ，AD =AC ．AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE =2AM .模型五：截长补短模型例：已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CDDCB A 12变式精练1：已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．变式精练2：如图，ABC 中，90BAC ︒∠=，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连结BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG +EG =BE .模型六：一线三等角模型【条件】EDF B C DE DF∠=∠=∠=，且【结论】BDE CFD≅ 常见三垂直模型：例：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D =，其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.变式精练1：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP=3，求△ABP的周长．（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=_________．（请直接写出答案）变式精练2：⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=；⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程．变式精练3：已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B。

①求证：CA＝CB；②问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值。

模型七：最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】例：如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12变式精练1：如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为（）A．12B．8C．7D．6变式精练2：如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°变式精练3：如图，点P是∠AOB内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．10变式精练4：如图，锐角△ABC中，∠ACB=30°，AB=5，△ABC的面积为23．（1）若点P在AB边上且CP=103，D，E分别为边AC，BC上的动点．求△PDE周长的最小值；（2）假设一只小羊在△ABC区域内，从路边AB某点出发跑到水沟边AC喝水，然后跑向路边BC吃草，再跑回出发点处休息，直接写出小羊所跑的最短路程．巩固提升：1.如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，求证：（1）DBC ABE ∆≅∆（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC∠2.如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC = ∠，把一块含30 角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．⑴在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ．①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．A D C N F E B M图1AD CN F E BM 图2A D CNF EB M 图33.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.4.已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED=EC．（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．5.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．⑴如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？⑵若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？AQ C DB P6.【操作发现】：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以D为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是.（2）【类比猜想】：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．（3）【深入探究】图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论.7.已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．8.如图点P 为△ABC 的外角∠BCD 的平分线上一点，PA =PB 。