第三章 X射线衍射强度
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简单点阵 每个晶胞只含一个原子，其坐标为（0，0，0），原子散 射因子为f，则
|FHKL|2 = f 2[cos22π(0) + i sin22π(0)] = f 2
即|FHKL|2 不受HKL的影响，各（HKL）晶面都能产生衍射。 能够出现的衍射面指数平方和(H2+K2+L2)之比是：
n1: n2: n3: n4: n5…＝1:2:3:4:5…
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
15
设复杂点阵晶胞有n个原子，如图， 某一原子位于晶胞顶点O，同时取 其为坐标原点，A为晶胞中任一原 子j，它的坐标位置矢量为：
Leabharlann Baidu
S0
A
S S
rj
S0
O
OA = rj =Xj a + Yj b + Zj c
13
某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波振 幅的比值，用原子散射因子f 表示：
一个原子相干散射波的振幅 Aa f = ＝ 一个电子相干散射波的振幅 Ae
f 将随 θ/λ增大而减小（参考图），只有在 θ/λ=0处（沿入射 将随sinθ λ增大而减小（参考图），只有在sinθ λ 处 ），只有在 线方向） 线方向）f = Z，在其他散射方向，总是 f < Z。 ，在其他散射方向， 。
16
φ j = 2π ( X j a + Y j b + Z j c)( Ha ∗ + Kb ∗ + Lc∗) = 2π ( HX j + KY j + LZ j )
一个晶胞的散射振幅就是晶胞内各原子在所讨论方向上的散射 振幅的合成： n
Ab = Ae ∑ f j e
j =1
iφ j
引入以单个电子散射能力为单位的、反映一个晶胞散射能力的 参量——结构振幅FHKL：
2
2
H K L + f sin 2π (0) + sin 2π + + 2 2 2
2
2
= f 2 [1 + cos π ( H + K + L)]
2
（1）当H + K + L = 奇数时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H + K + L = 偶数时， |FHKL|2 ＝4 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
20
即体心点阵只有晶面指数和为偶数的晶面可产生衍射，其指 数平方和之比是2:4:6:8:10…。而晶面指数和为奇数的晶面其 衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如（100）、 （111）、（210）、（300）、（311）等。 面心点阵 单胞中有四种位置的同类原子，它们的坐标是（0，0，0）， （1/2，1/2，0），（ 1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），原子 散射因子为f，则
1 + cos 2 2θ e I e = I ⊥ + I∥＝I 0 4πε Rmc 2 2 0 E⊥ E ) 2θ E⊥ O 偏振因子或 E∥ 极化因子 E∥
2
2
X
入射线方向
E⊥’ P 散射线方向 E∥’
非偏振X射线对电子散射的作用 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
FHKL = f [1 + cos π (H + K ) + cos π (H + L ) + cos π (K + L )]
2 2
2
（1）当H, K, L 奇偶混杂时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H, K, L 同为奇数或同为偶数时， |FHKL|2 ＝16 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
一个晶胞对X射 一个晶胞对 射 线的散射强度 （结构因子） 结构因子）
引入吸收因 子、温度因 子、多重性 因子
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数 对强度的影 响
小晶体 内各晶 胞散射 波合成
（粉末）多 粉末） 晶体衍射 积分） （积分）强 度
单位弧长衍 射强度
参加衍射的晶 小晶体） 粒（小晶体） 数目
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8
一个电子对X射 一个电子对 射 线的散射强度 偏振因子） （偏振因子）
原子内 各电子 散射波 合成
一个原子对X射线 一个原子对 射线 的散射强度 原子散射因子） （原子散射因子）
晶胞内 各原子 散射波 合成
5
进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： 进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： ◇ 衍射方向（θ角） 衍射方向反映了晶胞的大小以及形状因素，可 以利用布拉格方程描述。 ◇ 衍射强度（I） 造成结晶物质种类千差万别的原因不仅是由于 晶格常数不同，重要的是组成晶体的原子种类 以及原子在晶胞中的位置不同所造成的。反映 到衍射结果上，则表现为反射线的有无或强度 的大小，这就是强度信息。
Chapter 3
X射线衍射强度
The Diffracted Intensity of X-Ray
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
本章主要内容
了解影响衍射强度的各种因素，多重 因子，角因子，吸收因子，温度因子 和结构因子。 掌握常见晶体的消光规律。
各元素的原子散射因子可用理论计算得出。 P312 附录 附录C
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14
3.4 一个晶胞对X射线的散射 一个晶胞对X
简单点阵，每个晶胞有一个原子，这时一个晶胞 的散射强度就相当于一个原子的散射强度。 复杂点阵可以被认为是几类等同点分别构成的几 个简单点阵的穿插。复杂点阵的衍射，便由各简单 点阵相同方向的衍射线相互干涉而决定，强度或加 强或减弱。 结构因子公式的推导 波的合成原理 回顾
2
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
3
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
4
积分强度示意图
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
6
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
7
X射线衍射强度理论包括运动学理论和动力学理论，前者 只考虑入射X射线的一次散射，后者考虑入射X射线的多 次散射。 X射线衍射强度涉及因素较多，问题比较复杂。一般从基 元散射，即一个电子对X射线的（相干）散射强度开始， 逐步进行处理。 一个电子的散射强度 原子散射强度 晶胞衍射强度 小晶体散射与衍射积分强度 多晶体衍射积分强度
11
若将有关的物理常数按SI单位代入，则：
I e = 3.97 ×10
−30
1 + cos 2θ m I0 2 R
2 2
由此可见，一个电子的散射本领是很小的， 即使我们实验中探测到的是大量电子散射干涉 的结果，相对入射线强度而言，散射强度也是 很弱的。
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A 原子与O原子间散射波的光程差是：
δj = rj · S - rj · S0 = rj · (S-S0)
其周相差为：
φj =
2π
λ
δ j = 2πrj ⋅
S − S0
λ
根据布拉格衍射矢量方程，(S-S0)/λ等于倒易矢量HHKL，故 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
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1
3.1 多晶体衍射图相的形成
多晶体的德拜－谢乐衍射花样的形成
反射线
θ
d晶面
)
入射线
θ
θ
d晶面
反射线 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
12
3.3 一个原子对X射线的散射 一个原子对X
I质子=I电子/(1840)2 原子中的电子是按电子云状态分布在 核外空间的，不同位置电子散射波间 存有周相差（如图），它使合成电子 散射波的振幅减小。
周相差
入射束
原子
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
FHKL 一个晶胞所有原子的相干散射波振幅 Ab = ＝ 一个电子相干散射波振幅 Ae
FHKL = ∑ f j e
j =1
n
iφ j
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17
将复数展开成三角函数形式：
FHKL = ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) + i sin 2π ( HX j + KY j + LZ j )
2
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
10
2
而事实上，入射到晶体上的X射线并非偏振光，在垂直传播 方向的平面上，电场矢量E可指向任意方向。但，都可分解 为垂直入射线和散射线所确定的平面的E⊥分量，和在平面 内的E∥分量。矢量分解后再叠加即可得到在距电子为R处的 散射强度公式：
21
即面心点阵只有晶面指数为全奇或全偶的晶面才能产生衍射， 如（111）、 （200）、（220）、（311）、（222）等。其指 数平方和之比是3:4:8:11:12:16…。而晶面指数为奇偶混杂的 晶面其衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如 （100）、（110）、（210）等等。 由上述结构因子的具体计算可知，体心点阵的（100）、 （111）、（210）…；面心点阵的（100）、（110）、 （210）…这样一些晶面的衍射线将因|FHKL|2 ＝0而消失。这 说明，满足布拉格方程的方向上，若要产生可以记录得到的 衍射线，还必须同时满足|FHKL|2 ≠0。
一个小晶体对X射线 一个小晶体对 射线 的散射强度与衍射 积分） （积分）强度 干涉函数） （干涉函数）
X射线衍射强度问题的处理过程
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
9
3.2 一个电子对X射线的散射 一个电子对X
P15
电子在入射X射线电场矢量作用下会产生受迫振动。获得变 加速运动的电子，作为新的波源向四周辐射与入射X射线频 率相同并具有确定周相关系的电磁波。 J.J.汤姆逊曾根据经典电动力学导出：一个电荷为e、质量 为m的自由电子，在强度为I0且偏振化了的X射线作用下，在 距其为R远处，散射波的强度是：
e 2 sin φ Ie = I0 4πε mRc 2 0
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
19
体心点阵 单胞中有两种位置的原子，即顶角原子其坐标为（0，0，0） 及体心原子其坐标为（1/2，1/2，1/2），原子散射因子为f， 则
FHKL
2
H K L = f cos 2π (0) + cos 2π + + 2 2 2
|FHKL|2 称为结构因子，它表征了晶胞内原子种类，原子个数， 原子位置对(HKL)晶面衍射方向上的衍射强度的影响。 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
18
结构因子公式的应用 1. 确定各种布拉菲点阵晶体的系统消光规律（重点） 确定各种布拉菲点阵晶体的系统消光规律（重点）
j =1
n
[
]
在X射线衍射工作中可测量到的衍射强度IHKL正比于|FHKL|2：
FHKL = FHKL ⋅ F
2 n ∗ HKL
= ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
n 2
2
+ ∑ f j sin 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
|FHKL|2 = f 2[cos22π(0) + i sin22π(0)] = f 2
即|FHKL|2 不受HKL的影响，各（HKL）晶面都能产生衍射。 能够出现的衍射面指数平方和(H2+K2+L2)之比是：
n1: n2: n3: n4: n5…＝1:2:3:4:5…
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设复杂点阵晶胞有n个原子，如图， 某一原子位于晶胞顶点O，同时取 其为坐标原点，A为晶胞中任一原 子j，它的坐标位置矢量为：
Leabharlann Baidu
S0
A
S S
rj
S0
O
OA = rj =Xj a + Yj b + Zj c
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某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波振 幅的比值，用原子散射因子f 表示：
一个原子相干散射波的振幅 Aa f = ＝ 一个电子相干散射波的振幅 Ae
f 将随 θ/λ增大而减小（参考图），只有在 θ/λ=0处（沿入射 将随sinθ λ增大而减小（参考图），只有在sinθ λ 处 ），只有在 线方向） 线方向）f = Z，在其他散射方向，总是 f < Z。 ，在其他散射方向， 。
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φ j = 2π ( X j a + Y j b + Z j c)( Ha ∗ + Kb ∗ + Lc∗) = 2π ( HX j + KY j + LZ j )
一个晶胞的散射振幅就是晶胞内各原子在所讨论方向上的散射 振幅的合成： n
Ab = Ae ∑ f j e
j =1
iφ j
引入以单个电子散射能力为单位的、反映一个晶胞散射能力的 参量——结构振幅FHKL：
2
2
H K L + f sin 2π (0) + sin 2π + + 2 2 2
2
2
= f 2 [1 + cos π ( H + K + L)]
2
（1）当H + K + L = 奇数时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H + K + L = 偶数时， |FHKL|2 ＝4 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
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即体心点阵只有晶面指数和为偶数的晶面可产生衍射，其指 数平方和之比是2:4:6:8:10…。而晶面指数和为奇数的晶面其 衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如（100）、 （111）、（210）、（300）、（311）等。 面心点阵 单胞中有四种位置的同类原子，它们的坐标是（0，0，0）， （1/2，1/2，0），（ 1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），原子 散射因子为f，则
1 + cos 2 2θ e I e = I ⊥ + I∥＝I 0 4πε Rmc 2 2 0 E⊥ E ) 2θ E⊥ O 偏振因子或 E∥ 极化因子 E∥
2
2
X
入射线方向
E⊥’ P 散射线方向 E∥’
非偏振X射线对电子散射的作用 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
FHKL = f [1 + cos π (H + K ) + cos π (H + L ) + cos π (K + L )]
2 2
2
（1）当H, K, L 奇偶混杂时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H, K, L 同为奇数或同为偶数时， |FHKL|2 ＝16 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
一个晶胞对X射 一个晶胞对 射 线的散射强度 （结构因子） 结构因子）
引入吸收因 子、温度因 子、多重性 因子
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数 对强度的影 响
小晶体 内各晶 胞散射 波合成
（粉末）多 粉末） 晶体衍射 积分） （积分）强 度
单位弧长衍 射强度
参加衍射的晶 小晶体） 粒（小晶体） 数目
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8
一个电子对X射 一个电子对 射 线的散射强度 偏振因子） （偏振因子）
原子内 各电子 散射波 合成
一个原子对X射线 一个原子对 射线 的散射强度 原子散射因子） （原子散射因子）
晶胞内 各原子 散射波 合成
5
进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： 进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： ◇ 衍射方向（θ角） 衍射方向反映了晶胞的大小以及形状因素，可 以利用布拉格方程描述。 ◇ 衍射强度（I） 造成结晶物质种类千差万别的原因不仅是由于 晶格常数不同，重要的是组成晶体的原子种类 以及原子在晶胞中的位置不同所造成的。反映 到衍射结果上，则表现为反射线的有无或强度 的大小，这就是强度信息。
Chapter 3
X射线衍射强度
The Diffracted Intensity of X-Ray
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本章主要内容
了解影响衍射强度的各种因素，多重 因子，角因子，吸收因子，温度因子 和结构因子。 掌握常见晶体的消光规律。
各元素的原子散射因子可用理论计算得出。 P312 附录 附录C
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14
3.4 一个晶胞对X射线的散射 一个晶胞对X
简单点阵，每个晶胞有一个原子，这时一个晶胞 的散射强度就相当于一个原子的散射强度。 复杂点阵可以被认为是几类等同点分别构成的几 个简单点阵的穿插。复杂点阵的衍射，便由各简单 点阵相同方向的衍射线相互干涉而决定，强度或加 强或减弱。 结构因子公式的推导 波的合成原理 回顾
2
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3
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4
积分强度示意图
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6
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7
X射线衍射强度理论包括运动学理论和动力学理论，前者 只考虑入射X射线的一次散射，后者考虑入射X射线的多 次散射。 X射线衍射强度涉及因素较多，问题比较复杂。一般从基 元散射，即一个电子对X射线的（相干）散射强度开始， 逐步进行处理。 一个电子的散射强度 原子散射强度 晶胞衍射强度 小晶体散射与衍射积分强度 多晶体衍射积分强度
11
若将有关的物理常数按SI单位代入，则：
I e = 3.97 ×10
−30
1 + cos 2θ m I0 2 R
2 2
由此可见，一个电子的散射本领是很小的， 即使我们实验中探测到的是大量电子散射干涉 的结果，相对入射线强度而言，散射强度也是 很弱的。
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
A 原子与O原子间散射波的光程差是：
δj = rj · S - rj · S0 = rj · (S-S0)
其周相差为：
φj =
2π
λ
δ j = 2πrj ⋅
S − S0
λ
根据布拉格衍射矢量方程，(S-S0)/λ等于倒易矢量HHKL，故 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
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1
3.1 多晶体衍射图相的形成
多晶体的德拜－谢乐衍射花样的形成
反射线
θ
d晶面
)
入射线
θ
θ
d晶面
反射线 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
12
3.3 一个原子对X射线的散射 一个原子对X
I质子=I电子/(1840)2 原子中的电子是按电子云状态分布在 核外空间的，不同位置电子散射波间 存有周相差（如图），它使合成电子 散射波的振幅减小。
周相差
入射束
原子
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FHKL 一个晶胞所有原子的相干散射波振幅 Ab = ＝ 一个电子相干散射波振幅 Ae
FHKL = ∑ f j e
j =1
n
iφ j
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17
将复数展开成三角函数形式：
FHKL = ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) + i sin 2π ( HX j + KY j + LZ j )
2
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10
2
而事实上，入射到晶体上的X射线并非偏振光，在垂直传播 方向的平面上，电场矢量E可指向任意方向。但，都可分解 为垂直入射线和散射线所确定的平面的E⊥分量，和在平面 内的E∥分量。矢量分解后再叠加即可得到在距电子为R处的 散射强度公式：
21
即面心点阵只有晶面指数为全奇或全偶的晶面才能产生衍射， 如（111）、 （200）、（220）、（311）、（222）等。其指 数平方和之比是3:4:8:11:12:16…。而晶面指数为奇偶混杂的 晶面其衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如 （100）、（110）、（210）等等。 由上述结构因子的具体计算可知，体心点阵的（100）、 （111）、（210）…；面心点阵的（100）、（110）、 （210）…这样一些晶面的衍射线将因|FHKL|2 ＝0而消失。这 说明，满足布拉格方程的方向上，若要产生可以记录得到的 衍射线，还必须同时满足|FHKL|2 ≠0。
一个小晶体对X射线 一个小晶体对 射线 的散射强度与衍射 积分） （积分）强度 干涉函数） （干涉函数）
X射线衍射强度问题的处理过程
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9
3.2 一个电子对X射线的散射 一个电子对X
P15
电子在入射X射线电场矢量作用下会产生受迫振动。获得变 加速运动的电子，作为新的波源向四周辐射与入射X射线频 率相同并具有确定周相关系的电磁波。 J.J.汤姆逊曾根据经典电动力学导出：一个电荷为e、质量 为m的自由电子，在强度为I0且偏振化了的X射线作用下，在 距其为R远处，散射波的强度是：
e 2 sin φ Ie = I0 4πε mRc 2 0
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体心点阵 单胞中有两种位置的原子，即顶角原子其坐标为（0，0，0） 及体心原子其坐标为（1/2，1/2，1/2），原子散射因子为f， 则
FHKL
2
H K L = f cos 2π (0) + cos 2π + + 2 2 2
|FHKL|2 称为结构因子，它表征了晶胞内原子种类，原子个数， 原子位置对(HKL)晶面衍射方向上的衍射强度的影响。 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
18
结构因子公式的应用 1. 确定各种布拉菲点阵晶体的系统消光规律（重点） 确定各种布拉菲点阵晶体的系统消光规律（重点）
j =1
n
[
]
在X射线衍射工作中可测量到的衍射强度IHKL正比于|FHKL|2：
FHKL = FHKL ⋅ F
2 n ∗ HKL
= ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
n 2
2
+ ∑ f j sin 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1