第三章 X射线衍射强度
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第3章 X射线衍射强度
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
13
X射线衍射强度理论
包括运动学理论和动力学理论.
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
1. 一个电子对X射线的散射
由汤姆逊公式进行描述，是汤姆逊从经典电动力学的观点分析 推出的。
re 2 1 (cos2 ) 2 Ie Io ( ) R 2
消失的反射
无
H、K全为奇数或全为 偶数 （H+K为偶数）
H+K+L为偶数 H、K、L全为奇数或 全为偶数
H、K奇偶混杂 （H+K为奇数）
H+K+L为奇数 H、K、L奇偶混杂
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算
三种点阵晶体衍射线分布见图5-20 ， 图中N = H2 + K2 + L2，产生衍射的干 涉面指数平方和之比分别为， 简单点阵 体心点阵 面心点阵 12345 2 4 6 8 10 3 4 8 11 12
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
2. 一个原子对X射线的散射
Ia f Ie
2
这里引入了f――原子散射因子
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
推导过程：
一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差：
I a Z Ae Z I e
2 2
26
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
• 4. 底心点阵 – 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa。
3 衍射强度
• 有序化使无序固溶体因消光而失却的衍射线复出
现，这些被称为超点阵衍射线。 • 根据超点阵线条的出现及其强度可判断有序化的 出现与否并测定有序度。
§3-3 多晶体的衍射强度
• 本小节讨论最广泛应用的粉末法的衍射强度问题. • 在粉末法中影响衍射强度的因子有如下五项: • （1） 结构因子(上节已讨论)
• 本章我们将讨论X射线衍射强度
• 从一个电子、一个原子、一个晶胞、一 个晶体、粉末多晶循序渐进地介绍它们 对X射线的散射问题.
• 最后讨论粉末多晶体的衍射强度问题.
一、关于衍射强度
** 单位时间内通过与衍射方向相垂直的单位面积 上的X射线光量子数目。 **绝对强度的测量既困难又无实际意义。 **衍射强度常用同一衍射图中各衍射线强度 (积分 强度或峰高)的相对比值即相对强度表示.
度变为0）。
**对衍射强度作出系统而全面的研究 ,就要依靠结 构因子。当 X 射线照射到晶体中某个晶胞时，该晶 胞中各原子的散射波具有不同的位相和振幅，其合 成波的强度为：
2 FHKL
n n 2 = f k cos 2p ( mc H + PK K + q K L + f k sin 2p ( mk H + PK K + q k L k =1 k =1
• A(θ)-吸收因子
• r-试样直径
• 线吸收系数-μl
• 这样的吸收与θ有关。
• 平板试样的吸收因子，在入
射角与反射角相等时，吸收 与θ无关。
四、温度因子
＊＊前面所讲的各节，均将晶体中的原子看作是 处于理想平衡位置的结点上。 ＊＊实际上，晶体中原子是处在连续不断的热振 动状态下，必然给衍射带来影响． 1.晶胞膨胀； 2.衍射线强度减小；
第三章 X射线衍射强度
温度因子
e
2 M
IT I
式中：IT — 原子热振动影响时的强度 I — 理相状态的强度 热振动的方向无规则性，使得非衍射方 向散射强度↑，增加衍射花样背底。
5 吸收因子 A(θ )
试样对x-ray的吸收造成衍射强度的衰减。
无吸收A(θ
)＝1，吸收越多，其值越小。 圆柱状试样的A(θ )是试样 l 和半径r的 函数，可通过查表求得。 1 板状试样的A(θ )与θ 无关， A( ) 2
角顶 Cs (0,0,0) FHKL = f Cs + f Cl e H + k + L = 偶数 F = f Cs+ f Cl 强度高 （110）（200）（211）… H + k + L= 奇数 F = f Cs – f Cl 强度低 （100）（111）（210）…
1 1 1 体心 Cl（ 2 , 2 , 2 ） iπ(H+K+L)
2 多重性因子 P
表示多晶体中同族晶面｛HKL｝的等同晶面
数。
P值越大，晶面获得衍射的几率越大，对应
的衍射线越强。
d同
θ同 衍射线重叠在同一衍射线环上。
P数值随晶系及晶面指数而变化。
例：
立方晶系（a
= b = c α=β=γ=90°）
P100= 6 四方晶系（a = b≠c α=β=γ=90°） P100= 4 P001= 2
系统消光
衍射线I=0，衍射线消失，称为系统消光。
（原子在晶胞中的位置不同引起某些方向 衍射线的消失--点阵消光）。
尽管满足衍射条件，因F
= 0使衍射线消失
的现象。
对于体心点阵，可以产生衍射的晶面为
第三章 X射线衍射强度.
式中：Io—入射x-ray强度 m、e — 电子的质量与电荷 c— 光速 λ— 入射x-ray波长 R— 衍射仪半径 cm V— 试样被x-ray照射体积，cm3 Vo— 晶胞体积 cm3 F— 结构因子 P— 多重性因子 e－2M — 温度因子
( ) — 角因子 A(θ) — 吸收因子
同一衍射花样中，e、m、c为固定物理常数， Io、λ、R、V、Vo对同一物相的各衍射线均相 等，衍射线的相对积分强度可用 5个强度因子的乘积来表示：
而（100）,（111）,（210）,（221）等均无散射
4. 面心晶胞：四种位置的原子坐标分别是（0 0 0）和 （½ ½ 0）,（ ½ 0 ½ ）,（0 ½ ½）。
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2 fe fe 2 ik / 2l / 2 2 il / 2h/ 2 f 1 eihk eikl eilh
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和
(h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2
当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
衍射线强度的测量采用衍 射仪法，得到I～θ曲线。
每个衍射峰下面的 面积（积分面积）称 为积分强度或累积强度。
x射线衍射线束的强度
波长λ强度Io的x-ray，照射到 晶胞体积Vo的多晶试样上，被 照射晶体的体积V，与入射线 夹角为2θ方向上产生（HKL） 晶面的衍射，距试样R处记录 到的衍射线其单位长度上积分 强度为：
第3章 X射线的衍射强度
1 1 1 2 i h k l F f 1 e 4 4 4
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
第三章 X射线衍射强度
由此可见，图3-2（a）中的（001） 晶面会参于衍射，而（b）中（001）面却 不产生衍射，也就是说原子位置改变，衍 射强度改变。
二 . 结构因素的概念
1. 系统消光——因原子在晶体中的位置不同或 原子种类不同，衍射线相互干涉，造成在某些 方向上衍射线强度减弱甚至消失的现象称之系 统消光。
2. 结构因数——定量地表征原子排布以及原子种 类对衍射强度影响规律的参数。即晶体结构对 衍射强度影响规律的参数。
晶体的衍射强度与参加衍射晶粒数目成正比.
∵ 参加衍射的晶粒分数＝(cosθΔθ)/2 ∴ 这一数目与衍射角有关，即I ∝ cosθ。
也将这一项称为第二几何因子。
⑶单位弧长的衍射强度（第三几何因子，即 衍射线位置对强度测量的影响）
意义：描述了衍射线所处位置不同对衍射强度的影 响，即2θ↓衍射线圆弧半径↓，单位弧长上的强度↑。
2.三种衍射几何对衍射强度的影响规律
⑴.晶粒大小的影响（第一几何因子）
由于实际晶体的不完整性、入射线也不可能是绝对 单色的，且不会绝对平行而是具有一定的发散角。因此， 衍射线的强度尽管在满足布拉格方程的方向上最大，但 偏离一定的布拉格角时也不会为零，故衍射曲线呈山峰 状，具有一定的宽度，而不是严格的直线。
2
当2θ=90。时
1 cos2 2
2对x射线的散射
1. 原子核对X-ray的散射
由于散射波强度与引起散射的粒子 质量成反比，原子核质量是电子质量的1840 倍，因此原子核引起的散射强度极弱，可忽 略不计。
2 . 原子中Z个电子对X-ray的散射
⑴ . 首先假设原子中的电子集于一点，即所有 电子散射波之间无位相差，则原子序数为Z的原 子对X-ray散射波振幅Aa为电子散射波振幅Ae的 Z倍，即 :
X射线衍射强度
那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3Ae ...fn Ae ； 各原子与O原子之间旳散射波光程差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞旳构造因子推导
则该晶胞旳散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j eij
j 1
引入构造参数 ：
FHKL
Ab Ae
n j 1
f j eij
（100）晶面族旳P为6 （111）晶面族旳P为8 （110）晶面族旳P为12 考虑多重性因数旳影响，强度公式为
I
I0
32
R
可知晶胞中（H K L）晶面旳衍射强度：
Ib FHKL 2 I e
(四) 构造因子旳讨论
构造因子
构造因子计算式 构造因子计算例
产生衍射旳充分条件及系统消光
系统消光 消光规律
1. 构造因子：
因为： j 2 HX j KYj LZ j
其中：Xj、Yj、Zj是j原子旳阵点坐标； H K L是发生衍射旳晶面。
1. 散射X射线旳强度很弱。 假定R=1cm，2θ=0处 Ie/I0=7.94×10-23 2. 散射X射线旳强度与电子到观察点之间旳距 离旳平方成反比。这是时很轻易了解旳。 3.不同方向上，即2θ不同步，散射强度不同。 平行入射X射线方向(2θ=0 或180°)散射线强度最大。 垂直入射X射线方向(2θ=90或270°)时，散射旳强 度最弱。为平行方向旳1/2。其他方向则散射线旳强
(2) 体心立方晶胞旳构造因子
体心立方晶胞内有两个同种原子，即000和
1 2
1 2
1 2
F
2
f
cos 0
f
cos 2 ( H
2
K 2
晶胞旳构造因子推导
则该晶胞旳散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j eij
j 1
引入构造参数 ：
FHKL
Ab Ae
n j 1
f j eij
（100）晶面族旳P为6 （111）晶面族旳P为8 （110）晶面族旳P为12 考虑多重性因数旳影响，强度公式为
I
I0
32
R
可知晶胞中（H K L）晶面旳衍射强度：
Ib FHKL 2 I e
(四) 构造因子旳讨论
构造因子
构造因子计算式 构造因子计算例
产生衍射旳充分条件及系统消光
系统消光 消光规律
1. 构造因子：
因为： j 2 HX j KYj LZ j
其中：Xj、Yj、Zj是j原子旳阵点坐标； H K L是发生衍射旳晶面。
1. 散射X射线旳强度很弱。 假定R=1cm，2θ=0处 Ie/I0=7.94×10-23 2. 散射X射线旳强度与电子到观察点之间旳距 离旳平方成反比。这是时很轻易了解旳。 3.不同方向上，即2θ不同步，散射强度不同。 平行入射X射线方向(2θ=0 或180°)散射线强度最大。 垂直入射X射线方向(2θ=90或270°)时，散射旳强 度最弱。为平行方向旳1/2。其他方向则散射线旳强
(2) 体心立方晶胞旳构造因子
体心立方晶胞内有两个同种原子，即000和
1 2
1 2
1 2
F
2
f
cos 0
f
cos 2 ( H
2
K 2
X射线的衍射强度
有序固溶体分析
（1）完全无序 每个晶胞中含有四个平均原子（0.75 Cu+0.25Au）属面心立 方点阵。坐标000 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2
FHKL=f平均[1+eπi(H+K)+eπi(H+L)+eπi(K+L)] 当H、K、L全为奇数或全为偶数时 FHKL=4 f平均=fAu+3fCu 当H、K、L为奇偶混杂时，FHKL=0消光
一个原子对X射线的散射
原子散射因子曲线 对于不同类型的原子，其原子散射因子 f 是可变的，它与sinθ和λ有关。随 sinθ/λ的值的增大而变小。 Sinθ＝0时，f=Z. 原子序数越小，非相干散射越强。（核外电子所占比例增大）
一个晶胞对X射线的散射
预备知识： X射线的波前电场强度随时间的变化可以用周期函数表示：
实际上，原子中的电子是按照电子云状态分布在原子空 间的不同位置上，故各个电子散射波之间是存在位相差的， 这一位相差使得合成波的强度减弱。
一个原子对X射线的散射
X射线受到一个原子的散射
一个原子对X射线的散射
经过修正： 一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么一个 原子对X射线散射后该点的强度Ia：
fe 2 2 2
= f [1+ eπi(h+k+l) ]
F = 2 f （h+k+l）为偶数 F2 = 4f 2
F = 0 （h+k+l）为奇数
体心点阵中，只有当H+K + L为 偶数时才能产生衍射
体心立方
面心立方晶胞的结构因子
每个晶胞中有4个同类原子，分别位于000、1/2 1/2
第三章 X射线的强度
b、两偶一奇
2
结构消光 结构消光
F 0
2
例题4：具有底心阵胞的点阵，由同名原子组成，m＝2 ；
u、v、w＝（0、0、0）；（1/2、1/2、0）
2 m
F
2
f
m
exp[2πi(um H v m K wm L)]
2
1 1 f1 exp[2i (0H 0K 0L)]＋f 2 exp[2i ( H K 0L)] 2 2
2 f 2 1＋exp(i L) exp[ i (H 2K)] 3 讨论： ① 当H＋2K＝3n（n为任意整数）和L为奇数时：
2
F 0
② 当H、K、L为其它组合时：
2
F 0
2
例题6：由异名原子组成晶体结构，计算NaCl 的结构因数，NaCl晶体 结构中，每个晶胞中有4个钠原子和4个氯原子，原子散射因数分别为 fNa 和 fCl ： 钠原子的坐标为：
位相和振幅不同的正弦波的合成
两个波长相同而位相和 振幅不同，其波函数可用下
式表示：
E1 A1 sin( 2πν t 1 )
E2 A2 sin( 2 t 2 )
若求两个波的合成，可
用复数方法进行解析运算。
波的向量合成
波的解析表达式：
A cos Ai sin ix 又：e cos x i sin x
j 1 m i j
令：
Ab m i j F f je Ae j 1
结构因子
衍射波的位相与衍射面和原子的位置有关
2 ( Hu Kv Lw)
FHKL f j e
j 1 m 2 i ( Hu j Kv j Lw j )
2
结构消光 结构消光
F 0
2
例题4：具有底心阵胞的点阵，由同名原子组成，m＝2 ；
u、v、w＝（0、0、0）；（1/2、1/2、0）
2 m
F
2
f
m
exp[2πi(um H v m K wm L)]
2
1 1 f1 exp[2i (0H 0K 0L)]＋f 2 exp[2i ( H K 0L)] 2 2
2 f 2 1＋exp(i L) exp[ i (H 2K)] 3 讨论： ① 当H＋2K＝3n（n为任意整数）和L为奇数时：
2
F 0
② 当H、K、L为其它组合时：
2
F 0
2
例题6：由异名原子组成晶体结构，计算NaCl 的结构因数，NaCl晶体 结构中，每个晶胞中有4个钠原子和4个氯原子，原子散射因数分别为 fNa 和 fCl ： 钠原子的坐标为：
位相和振幅不同的正弦波的合成
两个波长相同而位相和 振幅不同，其波函数可用下
式表示：
E1 A1 sin( 2πν t 1 )
E2 A2 sin( 2 t 2 )
若求两个波的合成，可
用复数方法进行解析运算。
波的向量合成
波的解析表达式：
A cos Ai sin ix 又：e cos x i sin x
j 1 m i j
令：
Ab m i j F f je Ae j 1
结构因子
衍射波的位相与衍射面和原子的位置有关
2 ( Hu Kv Lw)
FHKL f j e
j 1 m 2 i ( Hu j Kv j Lw j )
哈工大材料成型加工方法第三章 x射线衍射强度
• 出现超点阵。
晶胞中不是同种原子时--结构振幅的计算
• 代入 FHKL 2 公式，其结果是： • 1）当 H、K、L全奇或全偶时，
FHKL 2 ( f Au 3 fCu )2
• 2）当H、K、L奇偶混杂时，
FHKL 2 ( f Au fCu )2 0
• 有序化使无序固溶体因消光而失去的衍射 线复出现，这些被称为超点阵衍射线。根 据超点阵线条的出现及其强度可判断有序 化的出现与否并测定有序度。
• 由此可计算各种晶胞的结构振幅
结构振幅的计算
1、简单点阵
• 单胞中只有一个原子，基坐标为（0，0，0），原
子散射因数为f，根据式（2-20）： FHKL 2 [ f cos2 (0)]2 [ f sin 2 (0)]2 f 2
• 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整 数时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
B为背射相， • 目前劳埃法用转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
（1） 多重性因子
• 对多晶体试样，因同一{HKL}晶面族的各晶面组面 间距相同，由布拉格方程知它们具有相同的θ，其 衍射线构成同一衍射圆锥的母线。通常将同一晶 面族中等同晶面组数P称为衍射强度的多重性因数。 显然，在其它条件相间的情况下，多重性因数越 大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶 粒参与衍射的几率越多。
FHKL f j [cos 2 (Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 (Hx j Ky j Lz j )] j 1
晶胞中不是同种原子时--结构振幅的计算
• 代入 FHKL 2 公式，其结果是： • 1）当 H、K、L全奇或全偶时，
FHKL 2 ( f Au 3 fCu )2
• 2）当H、K、L奇偶混杂时，
FHKL 2 ( f Au fCu )2 0
• 有序化使无序固溶体因消光而失去的衍射 线复出现，这些被称为超点阵衍射线。根 据超点阵线条的出现及其强度可判断有序 化的出现与否并测定有序度。
• 由此可计算各种晶胞的结构振幅
结构振幅的计算
1、简单点阵
• 单胞中只有一个原子，基坐标为（0，0，0），原
子散射因数为f，根据式（2-20）： FHKL 2 [ f cos2 (0)]2 [ f sin 2 (0)]2 f 2
• 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整 数时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
B为背射相， • 目前劳埃法用转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
（1） 多重性因子
• 对多晶体试样，因同一{HKL}晶面族的各晶面组面 间距相同，由布拉格方程知它们具有相同的θ，其 衍射线构成同一衍射圆锥的母线。通常将同一晶 面族中等同晶面组数P称为衍射强度的多重性因数。 显然，在其它条件相间的情况下，多重性因数越 大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶 粒参与衍射的几率越多。
FHKL f j [cos 2 (Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 (Hx j Ky j Lz j )] j 1
第三章 X射线衍射强度
K L H K FHKL [ f1 cos 2 (0) f 2 cos 2 ( ) f 3 cos 2 ( ) f 4 cos 2 2 2 2 2 H L K L H K ( )]2 [ f 1 sin 2 (0) f 2 sin 2 ( ) f 3 sin 2 ( ) f 4 sin 2 2 2 2 2 2 2 H L 2 ( )] f 2 [1 cos ( K L) cos ( H K ) cos ( H L)]2 2 2
• 对于简单立方： N1:N2:N3:„Nn= 1:2:3:4:5:6:8:9:10…
•对于体心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=2：4：6：8：10: 12 : 14: 16:18 …
•对于面心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=3：4：8：11；12：16…
（N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:8:9:10 （N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:7:8:9
f与sin/λ 有关， sin/λ 减 小时， f增大；sin =0时，f=Z； 一般情况下f〈Z
•一个晶胞对X射线的散射
1. 简单点阵只有一种原子组成，每个单胞中只有一个原子， 其位于单胞的顶角上，所以简单点阵单胞的散射强度相当 于一个原子的散射强度 2. 复杂点阵单胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能位于体心、面心或底心位置， 所以复杂点阵单胞的散射波振幅为单胞中所有原子散射波 的合成振幅
4.消光规律与晶体点阵
点阵 简单点阵
体心点阵 面心点阵
Fhkl
2
n f j cos 2 HX j KY j LZ j j 1
• 对于简单立方： N1:N2:N3:„Nn= 1:2:3:4:5:6:8:9:10…
•对于体心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=2：4：6：8：10: 12 : 14: 16:18 …
•对于面心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=3：4：8：11；12：16…
（N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:8:9:10 （N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:7:8:9
f与sin/λ 有关， sin/λ 减 小时， f增大；sin =0时，f=Z； 一般情况下f〈Z
•一个晶胞对X射线的散射
1. 简单点阵只有一种原子组成，每个单胞中只有一个原子， 其位于单胞的顶角上，所以简单点阵单胞的散射强度相当 于一个原子的散射强度 2. 复杂点阵单胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能位于体心、面心或底心位置， 所以复杂点阵单胞的散射波振幅为单胞中所有原子散射波 的合成振幅
4.消光规律与晶体点阵
点阵 简单点阵
体心点阵 面心点阵
Fhkl
2
n f j cos 2 HX j KY j LZ j j 1
X射线衍射强度
各原子的散射因子：f1 、f2 、f3 ...fn （若为同种原子，各f 相等）； 各原子的散射振幅：f1Ae 、f2Ae 、f3Ae ...fnAe
（Ae为原子中一个电子的相干衍射波振幅，为最小单位量）；
各原子与原点O原子之间的散射波的相位差：Φ1 、Φ2 、Φ3 ... Φn ； 则：晶胞内所有原子对相干散射波的合成振幅 Ab 为：
f [1 e i ( hk ) e i ( k l ) e i ( hl ) ]
F 4f
h,k,l为同性数：
F 2 16 f 2
h,k,l为异性数：
F 0 I 0
在面心立方中，只有当h、k、l 全为奇数或全为偶数时才能产生衍射。
3种基本点阵的消光规律
点阵类型
简单立方 体心立方 面心立方
两个电子散射强度的相位差：
j
2
j
4
rj sin cos
令： K
4
sin
j＝K rj cos
考虑了电子间相位差后，原子的散射振幅为：
Aa Ae [e
i1
e
i2
....e ] Ae e
i z j 1
z
i j
令：
Aa 一个原子的散射波振幅 f Ae 一个电子的散射波振幅
出现的反射
全部 H+K+L为偶数 H、K、L全为奇数或全为偶数
简单立方： (100),(110),(111),(200),(210),(211),(220) ,… h2+k2+l2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,……
体心立方： (110),(200),(211),(220),(310),(222),… h2+k2+l2 : 2, 4, 6， 8， 10 12, …… 面心立方： (111),(200),(220),(311),(222),… h2+k2+l2 : 3, 4, 8， 11， 12, ……
第3章 X射线衍射强度
15
一、一个电子对X射线的散射
16
一、一个电子对X射线的散射
• 晶体中的电子散射包括：相干散射与非相干散射。
1. 相干散射： • 指入射光子与原子内层电子发生弹性碰撞作用，仅使运动
方向改变而无能量损失。又称弹性散射或汤姆逊散射。
2. 非相干散射： • 指入射光子与原子外层电子或晶体中自由电子发生非弹性
25
原子散射强度（2）
• 原子对X射线的散射情况： • 入射X射线分别照射到原子中任意A和B两电子。
• 1、在XX′方向散射波：
• 因2差为 0 。
• 相当于Z个电子集中于一点 的“理想”情况，则
• 原子散射强度为：
Ia= Z2 Ie
X射线受一个原子的散射
相对衍射强度：用同一衍射图各衍射线强度（积分强度 或峰高）的相对比值。
4
X射线衍射的强度
I
背景 强度 2
5
衍射强度曲线
如：钢中马氏体（200）α和残奥（200）γ的局部衍射曲线。
图3-l衍射线强度曲线
• 各衍射峰曲线所包围面积即为其积分强度，这两积分强度大 小比较，可算出残奥γ的含量。
6
本章的目的
它考虑了原子中各电子散射波的位相差后，各散射波合成 的结果。则原子散射强度表达为：
Ia Z2Ie
Ia f 2Ie
显然： f ≤ Z 。
28
原子散射因子 f （2）
• 原子散射因数 f 定义为：在相同条件下，一个原子散射波 与一个电子散射波的波振幅或强度之比。
Ia f 2Ie
f
(Ia
1
)2
Aa
Ie
34
三、一个晶胞对X射线的散射（4）
2、晶胞内各原子相干散射波合成波振幅： 单胞对X射线的散射：晶胞内各原子散射波合成的结果。
第3章X射线衍射强度
结构因子只与原子的种类和原子在晶
胞中的位置有关，而不受晶胞的形状 和大小的影响。
结构消光
衍射强度： I Fhkl
2
满足布拉格方程条件2dsinθ=λ但结 构因子F=0导致衍射线强度I为零的 现象称之为结构消光。
小结
一个电子对X-ray的散射情况 偏振因子
一个原子对X-ray的散射情况 原子散射因子f 一个单胞对X-ray的散射情况 结构因子
e e
h l 2i ( ) 2 2
e
k l 2i ( ) 2 2
]
h k l 2i ( ) 2 2 2
e
k 2i ( ) 2
e
h 2i ( ) 2
]
讨论：
（1）h、k、l全为偶数时， F＝4fNa+4fCl |F|2＝（4fNa+4fCl）2
（2）h、k、l全为奇数时， F＝4fNa－4fCl |F|2＝（4fNa－4fCl）2 （3）h、k、l奇偶混杂时 F＝0 NaCl属于面心布拉菲点阵，可衍射的 指数是111、200、220· · · · · · 、
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)， (k+l) 和 (h+l) 必为偶数，故F = 4f， F 2 = 16f 2 当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和(h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0
所以（111）,（200）,（220）,（311）时F≠0，这些 晶面衍射线存在，而（100）,（110） ,（112）,（221） 等F=0，出现消光，衍射线不存在
3.3 结构因子
【材料课件】03X射线衍射强度
其中：Xj、Yj、Zj是j原子的阵点坐标； H K L是发生衍射的晶面。
所以有：
2
2
n
FHKL f j cos2 HX j KYj LZ j
j1
2
n
f j sin 2 HX j KYj LX j
6/1/2019
j1
各晶面族的多重因子列表.
6/1/2019
HNU-ZLP
32
各晶面族的多重因子列表
指数
晶系
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
立方
菱方、六方
正方 斜方 单斜 三斜
6/1/2019
P
6
8 12
24
24 48
62
6
12
24
42
48
8
16
2
4
8
2
42
4
2
2
2
HNU-ZLP
它分为：点阵消光 结构消光。
四种基本点阵的消光规律 （图表）
6/1/2019
HNU-ZLP
22
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射
消失的反射
简单点阵
全部
无
底心点阵 体心点阵
H、K全为奇数或全为偶数 H+K+L为偶数
H、K奇偶混 杂
H+K+L为奇 数
面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数
H、K、L奇 偶混杂
因原子在晶体中位置不同或原子种类不同 而引起的某些方向上衍射线消失的现象， 称为系统消光。
根据系统消光结果以及通过测定X射线强 度的变化可以推断出原子在晶体中的位置。
X射线衍射强度
6
衍射强度－原子种类，原子位置
电子
晶体
思路:
晶胞
原子
一个原子 核
In电子
I原子核
I原子
I晶胞
I晶体
I多晶
7
二、电子对X射线的衍射
晶体的X射线衍射作用是由电子的相干 散射引起的.
当一束X射线碰到一个电子时，该电子在X射 线电场的作用下产生强迫振动，向四周幅射振动频 率（波长）与原X射线频率相同的X射线。这就是相 干散射。电子就成为一个新的X射线源。
46
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射 全部
消失的反射 无
简单点阵
H、K奇偶混 底心点阵 H、K全为奇数或全为偶数 杂 H+K+L为奇 体心点阵 H+K+L为偶数 数 H、K、L奇 面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数 偶混杂
47
结构消光
由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方面 要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附加原 子的存在，还有附加的消光，称为结构消光
（3）体心点阵
每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为 000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
41
– 分析
• 当H+K+L为偶数时， • 当H+K+L为奇数时，
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时 才能产生衍射
42
（4）面心点阵
– 每个晶胞中有4个同类原子
43
分析
• 当H、K、L全为奇数或偶数时，则（H+K）、 （H+K）、（K+L）均为偶数，这时：
这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等 结构中
X射线衍射强度
bcc的（001）面
单胞对X射线的散射
单胞内原子的散射分析
假定O为晶胞的一个顶点，同时取其为坐标原点， A为晶胞中任意一个原子j，它的坐标矢量为
式中，a,b,c为基本 平移矢量
单胞对X射线的散射
波长差与相位差
A原子的散射波与坐标原点O处原子散射波之间 的光程差为：
相位差为：
（4-17）
单胞对X射线的散射
第二节 单胞对X射线的散射
结构因子的推导
一般情况下，可以把晶体看成是单位晶胞在空间 的一种重复。所以在讨论原子位置与衍射线强度 的关系时，只需考虑一个单胞内原子排列是以何 种方式影响衍射线强度 在简单晶胞中，每个晶胞只由一个原子组成，这 时单胞的散射强度与一个原子的散射强度相同。 而在复杂晶胞中，原子的位置影响衍射强度
单胞对X射线的散射
结构消光
由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方
面要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附 加原子的存在，还有附加的消光，称为结构消 光 这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等 结构中
单胞对X射线的散射
结构消光
金刚石结构
每个晶胞中有8个同类原子， 坐标为000、1/2 1/2 0，1/2 0 1/2，0 1/2 1/2， 1/4 1/4 1/4，3/4 3/4 ¼，3/4 ¼ 3/4 ，1/4 3/4 3/4
1. 右图为简单点阵
假如一束单色X射线以θ 角投射到简单晶胞的 （001）晶面上产生衍 射时，反射线1’和2’之 间的光程差ABC为一个 波长，所以两反射线同 相位，于是在的所示方 向上产生衍射线
（001）晶面的衍射
单胞对X射线的散射
结构消光的实例 2. 体心立方的两个（001） 面之间还有一个原子 面，它的反射线与 1‘的光程差恰好是波 长的一半，因此，1’ 和3’的相位相反，互 相抵消。同理，3’和2’ 也是这样。 所以， 在体心点阵点不会出 现（001）面的衍射线
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2
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
3
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
4
积分强度示意图
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
1 + cos 2 2θ e I e = I ⊥ + I∥＝I 0 4πε Rmc 2 2 0 E⊥ E ) 2θ E⊥ O 偏振因子或 E∥ 极化因子 E∥
2
2
X
入射线方向
E⊥’ P 散射线方向 E∥’
非偏振X射线对电子散射的作用 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
8
一个电子对X射 一个电子对 射 线的散射强度 偏振因子） （偏振因子）
原子内 各电子 散射波 合成
一个原子对X射线 一个原子对 射线 的散射强度 原子散射因子） （原子散射因子）
晶胞内 各原子 散射波 合成
12
3.3 一个原子对X射线的散射 一个原子对X
I质子=I电子/(1840)2 原子中的电子是按电子云状态分布在 核外空间的，不同位置电子散射波间 存有周相差（如图），它使合成电子 散射波的振幅减小。
周相差
入射束
原子
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
11
若将有关的物理常数按SI单位代入，则：
I e = 3.97 ×10
−30
1 + cos 2θ m I0 2 R
2 2
由此可见，一个电子的散射本领是很小的， 即使我们实验中探测到的是大量电子散射干涉 的结果，相对入射线强度而言，散射强度也是 很弱的。
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
21
即面心点阵只有晶面指数为全奇或全偶的晶面才能产生衍射， 如（111）、 （200）、（220）、（311）、（222）等。其指 数平方和之比是3:4:8:11:12:16…。而晶面指数为奇偶混杂的 晶面其衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如 （100）、（110）、（210）等等。 由上述结构因子的具体计算可知，体心点阵的（100）、 （111）、（210）…；面心点阵的（100）、（110）、 （210）…这样一些晶面的衍射线将因|FHKL|2 ＝0而消失。这 说明，满足布拉格方程的方向上，若要产生可以记录得到的 衍射线，还必须同时满足|FHKL|2 ≠0。
16
φ j = 2π ( X j a + Y j b + Z j c)( Ha ∗ + Kb ∗ + Lc∗) = 2π ( HX j + KY j + LZ j )
一个晶胞的散射振幅就是晶胞内各原子在所讨论方向上的散射 振幅的合成： n
Ab = Ae ∑ f j e
j =1
iφ j
引入以单个电子散射能力为单位的、反映一个晶胞散射能力的 参量——结构振幅FHKL：
一个晶胞对X射 一个晶胞对 射 线的散射强度 （结构因子） 结构因子）
引入吸收因 子、温度因 子、多重性 因子
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数 对强度的影 响
小晶体 内各晶 胞散射 波合成
（粉末）多 粉末） 晶体衍射 积分） （积分）强 度
单位弧长衍 射强度
参加衍射的晶 小晶体） 粒（小晶体） 数目
Chapter 3
X射线衍射强度
The Diffracted Intensity of X-Ray
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
本章主要内容
了解影响衍射强度的各种因素，多重 因子，角因子，吸收因子，温度因子 和结构因子。 掌握常见晶体的消光规律。
FHKL 一个晶胞所有原子的相干散射波振幅 Ab = ＝ 一个电子相干散射波振幅 Ae
FHKL = ∑ f j e
j =1
n
iφ j
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
Hale Waihona Puke 17将复数展开成三角函数形式：
FHKL = ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) + i sin 2π ( HX j + KY j + LZ j )
13
某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波振 幅的比值，用原子散射因子f 表示：
一个原子相干散射波的振幅 Aa f = ＝ 一个电子相干散射波的振幅 Ae
f 将随 θ/λ增大而减小（参考图），只有在 θ/λ=0处（沿入射 将随sinθ λ增大而减小（参考图），只有在sinθ λ 处 ），只有在 线方向） 线方向）f = Z，在其他散射方向，总是 f < Z。 ，在其他散射方向， 。
j =1
n
[
]
在X射线衍射工作中可测量到的衍射强度IHKL正比于|FHKL|2：
FHKL = FHKL ⋅ F
2 n ∗ HKL
= ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
n 2
2
+ ∑ f j sin 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
2
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
10
2
而事实上，入射到晶体上的X射线并非偏振光，在垂直传播 方向的平面上，电场矢量E可指向任意方向。但，都可分解 为垂直入射线和散射线所确定的平面的E⊥分量，和在平面 内的E∥分量。矢量分解后再叠加即可得到在距电子为R处的 散射强度公式：
FHKL = f [1 + cos π (H + K ) + cos π (H + L ) + cos π (K + L )]
2 2
2
（1）当H, K, L 奇偶混杂时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H, K, L 同为奇数或同为偶数时， |FHKL|2 ＝16 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
电子在入射X射线电场矢量作用下会产生受迫振动。获得变 加速运动的电子，作为新的波源向四周辐射与入射X射线频 率相同并具有确定周相关系的电磁波。 J.J.汤姆逊曾根据经典电动力学导出：一个电荷为e、质量 为m的自由电子，在强度为I0且偏振化了的X射线作用下，在 距其为R远处，散射波的强度是：
e 2 sin φ Ie = I0 4πε mRc 2 0
2
2
H K L + f sin 2π (0) + sin 2π + + 2 2 2
2
2
= f 2 [1 + cos π ( H + K + L)]
2
（1）当H + K + L = 奇数时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H + K + L = 偶数时， |FHKL|2 ＝4 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
5
进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： 进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： ◇ 衍射方向（θ角） 衍射方向反映了晶胞的大小以及形状因素，可 以利用布拉格方程描述。 ◇ 衍射强度（I） 造成结晶物质种类千差万别的原因不仅是由于 晶格常数不同，重要的是组成晶体的原子种类 以及原子在晶胞中的位置不同所造成的。反映 到衍射结果上，则表现为反射线的有无或强度 的大小，这就是强度信息。
20
即体心点阵只有晶面指数和为偶数的晶面可产生衍射，其指 数平方和之比是2:4:6:8:10…。而晶面指数和为奇数的晶面其 衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如（100）、 （111）、（210）、（300）、（311）等。 面心点阵 单胞中有四种位置的同类原子，它们的坐标是（0，0，0）， （1/2，1/2，0），（ 1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），原子 散射因子为f，则
A 原子与O原子间散射波的光程差是：
δj = rj · S - rj · S0 = rj · (S-S0)
其周相差为：
φj =
2π
λ
δ j = 2πrj ⋅
S − S0
λ
根据布拉格衍射矢量方程，(S-S0)/λ等于倒易矢量HHKL，故 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
各元素的原子散射因子可用理论计算得出。 P312 附录 附录C
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
14
3.4 一个晶胞对X射线的散射 一个晶胞对X
简单点阵，每个晶胞有一个原子，这时一个晶胞 的散射强度就相当于一个原子的散射强度。 复杂点阵可以被认为是几类等同点分别构成的几 个简单点阵的穿插。复杂点阵的衍射，便由各简单 点阵相同方向的衍射线相互干涉而决定，强度或加 强或减弱。 结构因子公式的推导 波的合成原理 回顾
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
3
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
4
积分强度示意图
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1 + cos 2 2θ e I e = I ⊥ + I∥＝I 0 4πε Rmc 2 2 0 E⊥ E ) 2θ E⊥ O 偏振因子或 E∥ 极化因子 E∥
2
2
X
入射线方向
E⊥’ P 散射线方向 E∥’
非偏振X射线对电子散射的作用 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
8
一个电子对X射 一个电子对 射 线的散射强度 偏振因子） （偏振因子）
原子内 各电子 散射波 合成
一个原子对X射线 一个原子对 射线 的散射强度 原子散射因子） （原子散射因子）
晶胞内 各原子 散射波 合成
12
3.3 一个原子对X射线的散射 一个原子对X
I质子=I电子/(1840)2 原子中的电子是按电子云状态分布在 核外空间的，不同位置电子散射波间 存有周相差（如图），它使合成电子 散射波的振幅减小。
周相差
入射束
原子
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11
若将有关的物理常数按SI单位代入，则：
I e = 3.97 ×10
−30
1 + cos 2θ m I0 2 R
2 2
由此可见，一个电子的散射本领是很小的， 即使我们实验中探测到的是大量电子散射干涉 的结果，相对入射线强度而言，散射强度也是 很弱的。
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
21
即面心点阵只有晶面指数为全奇或全偶的晶面才能产生衍射， 如（111）、 （200）、（220）、（311）、（222）等。其指 数平方和之比是3:4:8:11:12:16…。而晶面指数为奇偶混杂的 晶面其衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如 （100）、（110）、（210）等等。 由上述结构因子的具体计算可知，体心点阵的（100）、 （111）、（210）…；面心点阵的（100）、（110）、 （210）…这样一些晶面的衍射线将因|FHKL|2 ＝0而消失。这 说明，满足布拉格方程的方向上，若要产生可以记录得到的 衍射线，还必须同时满足|FHKL|2 ≠0。
16
φ j = 2π ( X j a + Y j b + Z j c)( Ha ∗ + Kb ∗ + Lc∗) = 2π ( HX j + KY j + LZ j )
一个晶胞的散射振幅就是晶胞内各原子在所讨论方向上的散射 振幅的合成： n
Ab = Ae ∑ f j e
j =1
iφ j
引入以单个电子散射能力为单位的、反映一个晶胞散射能力的 参量——结构振幅FHKL：
一个晶胞对X射 一个晶胞对 射 线的散射强度 （结构因子） 结构因子）
引入吸收因 子、温度因 子、多重性 因子
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数 对强度的影 响
小晶体 内各晶 胞散射 波合成
（粉末）多 粉末） 晶体衍射 积分） （积分）强 度
单位弧长衍 射强度
参加衍射的晶 小晶体） 粒（小晶体） 数目
Chapter 3
X射线衍射强度
The Diffracted Intensity of X-Ray
Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
本章主要内容
了解影响衍射强度的各种因素，多重 因子，角因子，吸收因子，温度因子 和结构因子。 掌握常见晶体的消光规律。
FHKL 一个晶胞所有原子的相干散射波振幅 Ab = ＝ 一个电子相干散射波振幅 Ae
FHKL = ∑ f j e
j =1
n
iφ j
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Hale Waihona Puke 17将复数展开成三角函数形式：
FHKL = ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) + i sin 2π ( HX j + KY j + LZ j )
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某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波振 幅的比值，用原子散射因子f 表示：
一个原子相干散射波的振幅 Aa f = ＝ 一个电子相干散射波的振幅 Ae
f 将随 θ/λ增大而减小（参考图），只有在 θ/λ=0处（沿入射 将随sinθ λ增大而减小（参考图），只有在sinθ λ 处 ），只有在 线方向） 线方向）f = Z，在其他散射方向，总是 f < Z。 ，在其他散射方向， 。
j =1
n
[
]
在X射线衍射工作中可测量到的衍射强度IHKL正比于|FHKL|2：
FHKL = FHKL ⋅ F
2 n ∗ HKL
= ∑ f j cos 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
n 2
2
+ ∑ f j sin 2π ( HX j + KY j + LZ j ) j =1
2
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而事实上，入射到晶体上的X射线并非偏振光，在垂直传播 方向的平面上，电场矢量E可指向任意方向。但，都可分解 为垂直入射线和散射线所确定的平面的E⊥分量，和在平面 内的E∥分量。矢量分解后再叠加即可得到在距电子为R处的 散射强度公式：
FHKL = f [1 + cos π (H + K ) + cos π (H + L ) + cos π (K + L )]
2 2
2
（1）当H, K, L 奇偶混杂时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H, K, L 同为奇数或同为偶数时， |FHKL|2 ＝16 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
电子在入射X射线电场矢量作用下会产生受迫振动。获得变 加速运动的电子，作为新的波源向四周辐射与入射X射线频 率相同并具有确定周相关系的电磁波。 J.J.汤姆逊曾根据经典电动力学导出：一个电荷为e、质量 为m的自由电子，在强度为I0且偏振化了的X射线作用下，在 距其为R远处，散射波的强度是：
e 2 sin φ Ie = I0 4πε mRc 2 0
2
2
H K L + f sin 2π (0) + sin 2π + + 2 2 2
2
2
= f 2 [1 + cos π ( H + K + L)]
2
（1）当H + K + L = 奇数时， |FHKL|2 ＝0 （2）当H + K + L = 偶数时， |FHKL|2 ＝4 f 2 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
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进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： 进行晶体结构分析时，重要的要把握两类信息： ◇ 衍射方向（θ角） 衍射方向反映了晶胞的大小以及形状因素，可 以利用布拉格方程描述。 ◇ 衍射强度（I） 造成结晶物质种类千差万别的原因不仅是由于 晶格常数不同，重要的是组成晶体的原子种类 以及原子在晶胞中的位置不同所造成的。反映 到衍射结果上，则表现为反射线的有无或强度 的大小，这就是强度信息。
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即体心点阵只有晶面指数和为偶数的晶面可产生衍射，其指 数平方和之比是2:4:6:8:10…。而晶面指数和为奇数的晶面其 衍射强度为零，该种晶面的衍射线不能出现，如（100）、 （111）、（210）、（300）、（311）等。 面心点阵 单胞中有四种位置的同类原子，它们的坐标是（0，0，0）， （1/2，1/2，0），（ 1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），原子 散射因子为f，则
A 原子与O原子间散射波的光程差是：
δj = rj · S - rj · S0 = rj · (S-S0)
其周相差为：
φj =
2π
λ
δ j = 2πrj ⋅
S − S0
λ
根据布拉格衍射矢量方程，(S-S0)/λ等于倒易矢量HHKL，故 Modern Analytical Instruments and Technology for Materials
各元素的原子散射因子可用理论计算得出。 P312 附录 附录C
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3.4 一个晶胞对X射线的散射 一个晶胞对X
简单点阵，每个晶胞有一个原子，这时一个晶胞 的散射强度就相当于一个原子的散射强度。 复杂点阵可以被认为是几类等同点分别构成的几 个简单点阵的穿插。复杂点阵的衍射，便由各简单 点阵相同方向的衍射线相互干涉而决定，强度或加 强或减弱。 结构因子公式的推导 波的合成原理 回顾