三垂直模型与全等综合之令狐文艳创作

D P F

E B

C

A K 模型图与全等

令狐文艳

知识点

基本图形

本题8分）如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为

BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线

于点F ，连接CF ．

（1）求证：AD ⊥CF ；

（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．

22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.

【例8】

【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上

的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ； 连FD.求证：AD ＝2BD ；

【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.

【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点

C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。AF是△ABC的中线，

FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF

【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN

9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点

B（0，b），且a、b满足4 a + |4－b|=0

（1）求A、B两点的坐标；

（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；

（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点

Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生

变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取

值范围.

10

24．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。 ⑴若点C 的坐标是（—2，—4），求D 点的坐标。（4分）

⑵连结CD ，点E 为CD 的中点，求证：AE ⊥BE ；（4分） ⑶如图，点P 是y 轴正半轴是一点，OP =AB ，当点A 、B 在x 轴上运动时，∠APB +∠CPD 的值是否发生变化？若变说明理由.（4分）

“K 助线为过两顶点作该直线垂线。 例：已知等腰RT △ABC 中，过点A △CAF

衍生：平面直角坐标系中A （1,3），以OA 为边作正方形OABC ，求B 、C 坐标。

变式：平面直角坐标系中，点A （4,1），过点O 作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。

衍伸：平面直角坐标系中直线3:2OA l y x =与双曲线k y x =交于点A ，以OA 为边作等腰RT △OAB ，点B 刚好落在双曲线上。求k 。 本题8分）如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为

BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线

于点F ，连接CF ．

（1）求证：AD ⊥CF ；

（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．

5.已知等腰Rt

ABC 的直角顶点C 在x 轴上，点B 在y 轴

上。

（1）如图1，若点C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），求点B 的坐标。

（2）如图2，直角边BC 在坐标轴上运动，使点A 在第四象限内，过点A 作AD ⊥y 轴于D ，求

CO AD

BO -的值。 八年级数学每日

一题（041-045）

P —041如图，如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 满足330a b -++=.

（1）求点A 、点B 的坐标；

（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角

D y x A O C B O C B A

△BCD，∠BCD=90º，过点A 和点D 分别作直线CO 的垂线，垂足分别是点E 、F.试问线段AE 、DF 、CO 之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？

P —042 如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，∠ABC=90º.点E 在BC 延长线上，过点E 作ED ∥AB ，交y 轴于点D ，交x 轴于点F ，DO –AO=2CO.

（1）求证：AB=DE ；

（2）若AB=2BC ，求证：EF=EC ；

（3）在（2）的条件下，若点B 的坐标是（2，0），求点E 的坐标.

9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点

B （0， b ），且a 、b 满足

4 a + |4－b |=0

（1）求A 、B 两点的坐标； （2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，

交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；

（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP

为边作

等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点

Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生

变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取

值范围.

10

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P （p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足

＋(p＋1)2＝0．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；（3）如图2，点B（-2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP 上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②AO−EF

的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结