北京四中---高中数学高考综合复习专题二十六 立体几何——平行与垂直

高中数学高考综合复习专题二十六立体几何——平行与垂直

二、高考考点

1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.

2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.

3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.

三、知识要点

（一）空间直线

1、空间两条直线的位置关系

（1）相交直线——有且仅有一个公共点；

（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；

（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.

2、平行直线

（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示：设a,b,c为直线，

（2）空间等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.

3、异面直线

（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

（2）有关概念：

（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.

特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.

认知：设为异面直线a，b所成的角，则.

（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.

（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.

（二）空间直线与平面

直线与平面的位置关系：

（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；

（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；

（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.

其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.

1、直线与平面平行

（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.

（2）判定

判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

认知：应用此定理证题的三个环节：指出.

（3）性质

性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

2、直线与平面垂直

（1）定义：如果直线l和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l⊥.

（2）判定：

判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

符号表示：.

（3）性质

性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

符号表示：

（4）概念

（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.

（三）空间两个平面

1、两个平面的位置关系

（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.

（2）两个平面的位置关系

（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；

（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.

2、两个平面平行

（1）判定

判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.

（2）性质

性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.

3、有关概念

（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.

（2）两个平行平面的公垂线段都相等.

（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.

4、认知：

两平面平行的判定定理的特征：线面平行面面平行，或线线平行面面平行；

两平面平行的性质定理的特征：面面平行线面平行，或面面平行线线平行.

它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.

四、经典例题

例1、在正方体中，E、F、G、H分别为棱BC、、、的中点，求证：

（1）；

（2）

分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：

（ⅰ）构造平行四边形；

（ⅱ）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；

（ⅲ）构造梯形

注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.

对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；

对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.

证明：

（1）连接，并设，则分别为两底面的中心. 取OB中点为M，

则由EM为△BOC的中位线得①

②

注意到为正方形

∴

∴四边形为矩形

∴③

∴由①②③得

∴四边形为平行四边形

∴

又

∴

（2）证明（构造平行四边形）：取中点为N，连接，

则由为平行四边形，

∴④

又连结知

四边形为平行四边形