n阶行列式的定义
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表达式中可能不为0的项的n个因子的下标 ipi 应有pi ≤ i
即 p1 ≤ 1, p2 ≤ 2,", pn ≤ n而在所有排列 p1 p2 " pn 中，
能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以 行列式中可能不为0的项只有一项，即 (-1)t a11a22 "ann, 这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以
D = a11a22 "ann
例3 设
a11 " a1k 0 " 0 ### ###
D = a1k c11 #
" akk " c1k ##
0"0
b11 " b1n ###
a11 D1 = #
ak1
ck1 " ckk
" a1k ##
" akk
bn1 " bnn
b11 " b1n
D2 = # # #
bn1 " bnn
0 " 0 a1n
0 #
" a2,n−1 ##
0 #
= (−1)n(n−1)/ 2 a1na2n−1 "an1
an1 " 0
0
证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结
果。
根据行列式的定义
0 " 0 a1n
0 " a2,n−1 ## #
an1 " 0
∑ 0
#
= (-1)t
p1 p2"pn
a1p1 a2 p2 "anpn
数 ，则显然有t ＝s＋m。因此
∑ ∑ D =
( − 1) s + m a1 r1 " a kr k b1 p1 " b np n
r1 " rk p1 " p n
∑源自文库∑ =
( − 1) s a1r1
r1 " rk
"
a kr k
⎡ ⎢ ⎣
p1"
(
pn
−
1)
m
b1
p1
"
b np n
⎤ ⎥ ⎦
∑ =
( − 1) s a1r1 " a krk D 2
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " an3
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以 符号 (−1)t, 得到形如
的项，其中
p1
(-1) t
p2 "
a1 p1
pn
a2 p2 "anpn
(1)
为自然数1，2，……，n的
一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排
r1 " rk
∑ = D 2
( − 1) s a1r1 " a krk
r1 " rk
= D1D2 。
d krk k +1 rk+1
0，因此
" r1,
dr2k,+"n rk+,nrk,，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1, r2 ,", rk 在1, 2，…，k中选取时， rk+1, rk+2 ,", rk+n只能在k+1, k+2，…，k+n中选取。
于是D中可能不为0的项可以记为
（4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有
这n!项的代数和
∑ (-1)t a a 1p1 2 p2 "anpn
p1 p2"pn
称为n阶行列式（determinant），记为
a11 a12 " a1n
D
=
a21 #
a22 #
" a2n ##
an1 an2 " ann
或数者aij简(i记=作1,2Δ,"（a, ni）j ; 或j =者1d,2e,t"( ai,j)n。) 称为行列式Δ (aij )的元素。
角线。
例1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为 aii (i = 1,2,", n)其余的元素为0）的值为
a11 0 " 0 a22 " # ##
0
0 #
= a11a22 "ann
0 0 " ann
次对角行列式（其中对角线上的元素为 aij,i + j = n +1,
i = 1,2,", n ，其余的元素为0）的值为
显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见，我们称行列式中 a11, a22 ,", ann
为行列式的主对角线，
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " ann
而称 a1n , a2n−1, an1的线段为行列式的次对角线或副对
0 = (-1)t a1na2,n−1 "an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 "
D
=
a21 #
a22 #
" #
0
0 #
= a11a22 "ann
an1 an2 " ann
证： 由于当j > i时，aij = 0，因此行列式的求和
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义
c11 c12 c13 c 21 c 22 c 23 = c11c 22c33 + c12c 23c31 + c13c 21c32 c31 c32 c33
− c13c 22c31 − c12c 21c33 − c11c 23c32 ,
证明 D = D1D2
记 D = det(dij )，其中 dij = aij , (i = 1,2,", k; j = 1,2,", k)
dk+i,k+ j = bij , (i = 1,2,", n; j = 1,2,", n)
考察D的一般项(−1)t d1r1 "d
由于当i ≤ k，j > k时，dij =
c11 c12 c13
∑ c21 c22 c23 =
(−1)t c1p1c2 p2 c3 p3 .
c31 c32 c33
p1 p2 p3
其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义n阶行列式。 定义1 设有 n2 个数，排成n行n列的数表
对行列式中元素 ，cij第一个下标i表示元素所在
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
(−1)t d1r1 " dkrk d k +1 rk+1 " dk +n rk+n = (−1)t a1r1 " akrk b1 p1 "bnpn
这的里逆，序p数i =。rk+以i −sk、，m而分t为别排表列示rr11,,rr22""rkr(kk和+
p1)"(k + pn ) p1 " pn的逆序
即 p1 ≤ 1, p2 ≤ 2,", pn ≤ n而在所有排列 p1 p2 " pn 中，
能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以 行列式中可能不为0的项只有一项，即 (-1)t a11a22 "ann, 这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以
D = a11a22 "ann
例3 设
a11 " a1k 0 " 0 ### ###
D = a1k c11 #
" akk " c1k ##
0"0
b11 " b1n ###
a11 D1 = #
ak1
ck1 " ckk
" a1k ##
" akk
bn1 " bnn
b11 " b1n
D2 = # # #
bn1 " bnn
0 " 0 a1n
0 #
" a2,n−1 ##
0 #
= (−1)n(n−1)/ 2 a1na2n−1 "an1
an1 " 0
0
证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结
果。
根据行列式的定义
0 " 0 a1n
0 " a2,n−1 ## #
an1 " 0
∑ 0
#
= (-1)t
p1 p2"pn
a1p1 a2 p2 "anpn
数 ，则显然有t ＝s＋m。因此
∑ ∑ D =
( − 1) s + m a1 r1 " a kr k b1 p1 " b np n
r1 " rk p1 " p n
∑源自文库∑ =
( − 1) s a1r1
r1 " rk
"
a kr k
⎡ ⎢ ⎣
p1"
(
pn
−
1)
m
b1
p1
"
b np n
⎤ ⎥ ⎦
∑ =
( − 1) s a1r1 " a krk D 2
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " an3
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以 符号 (−1)t, 得到形如
的项，其中
p1
(-1) t
p2 "
a1 p1
pn
a2 p2 "anpn
(1)
为自然数1，2，……，n的
一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排
r1 " rk
∑ = D 2
( − 1) s a1r1 " a krk
r1 " rk
= D1D2 。
d krk k +1 rk+1
0，因此
" r1,
dr2k,+"n rk+,nrk,，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1, r2 ,", rk 在1, 2，…，k中选取时， rk+1, rk+2 ,", rk+n只能在k+1, k+2，…，k+n中选取。
于是D中可能不为0的项可以记为
（4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有
这n!项的代数和
∑ (-1)t a a 1p1 2 p2 "anpn
p1 p2"pn
称为n阶行列式（determinant），记为
a11 a12 " a1n
D
=
a21 #
a22 #
" a2n ##
an1 an2 " ann
或数者aij简(i记=作1,2Δ,"（a, ni）j ; 或j =者1d,2e,t"( ai,j)n。) 称为行列式Δ (aij )的元素。
角线。
例1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为 aii (i = 1,2,", n)其余的元素为0）的值为
a11 0 " 0 a22 " # ##
0
0 #
= a11a22 "ann
0 0 " ann
次对角行列式（其中对角线上的元素为 aij,i + j = n +1,
i = 1,2,", n ，其余的元素为0）的值为
显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见，我们称行列式中 a11, a22 ,", ann
为行列式的主对角线，
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " ann
而称 a1n , a2n−1, an1的线段为行列式的次对角线或副对
0 = (-1)t a1na2,n−1 "an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 "
D
=
a21 #
a22 #
" #
0
0 #
= a11a22 "ann
an1 an2 " ann
证： 由于当j > i时，aij = 0，因此行列式的求和
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义
c11 c12 c13 c 21 c 22 c 23 = c11c 22c33 + c12c 23c31 + c13c 21c32 c31 c32 c33
− c13c 22c31 − c12c 21c33 − c11c 23c32 ,
证明 D = D1D2
记 D = det(dij )，其中 dij = aij , (i = 1,2,", k; j = 1,2,", k)
dk+i,k+ j = bij , (i = 1,2,", n; j = 1,2,", n)
考察D的一般项(−1)t d1r1 "d
由于当i ≤ k，j > k时，dij =
c11 c12 c13
∑ c21 c22 c23 =
(−1)t c1p1c2 p2 c3 p3 .
c31 c32 c33
p1 p2 p3
其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义n阶行列式。 定义1 设有 n2 个数，排成n行n列的数表
对行列式中元素 ，cij第一个下标i表示元素所在
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
(−1)t d1r1 " dkrk d k +1 rk+1 " dk +n rk+n = (−1)t a1r1 " akrk b1 p1 "bnpn
这的里逆，序p数i =。rk+以i −sk、，m而分t为别排表列示rr11,,rr22""rkr(kk和+
p1)"(k + pn ) p1 " pn的逆序