n阶行列式的定义
第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
n阶行列式的定义
§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。
12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
n阶行列式
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1N . 5、
例1
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
a11 a21 an1
( 1 ) N a1 j1 a2 j2 anjn . a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
记作
D
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， ，n 的一个排列， 2， N 为这个排列的逆序数．
4 ( 41 ) 2
1 2 3 4 24.
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
思考题
x
已知
例如a14a23a31a42
行标排列为1234，元素取自不同的行， 列标排列为4312，元素取自不同的列， 因为N(4312)=5，所以该项取负号，
即a14a23a31a42
是上述行列式中的一项．
a11a24a33a44 有两个元素取自第4列，
所以它不是行列式中的一项．
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
0
0
1
3 2 5 1 4
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
02 第二节 n阶行列式的定义
第二节 n 阶行列式内容要点一、排列与逆序定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n t i t =大的且排在t i 前面的数由共有i t 个, 则i t 的逆序的个数为i t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即.)(12121∑==+++=ni i n n t t t t i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n 阶行列式的定义定义4 由2n个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积nnj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n n n a a a a a a a a a a a a21212121)(212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ija 称为元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- 为行列式的一般项.注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2) nnj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j jN-(不算元素本身所带的符号);(3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.定理3 n 阶行列式也定义为∑-=n n j i j i j i sa a a D 2211)1(其中S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=)()(2121n n j j j N i i i N ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅。
n阶行列式的定义
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数1-2
所以
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
N 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
N 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N 32541 0 1 0 3 1 5.
第二节 n 阶行列式
一、排列与逆序
二、n 阶行列式的定义 三、对换
一、排列与逆序
定义1 由自然数 1,2,, n 组成的不重复的每一种有 确定次序的排列, 称为一个 n 级排列（或排列）. 例: 1234和 4213 都是4级排列, 54123和 35142 都是5级排列. 注: n 级排列的总的个数:
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
解
Dn 1 a1,n1a2 ,n2 an1,1ann
n阶行列式的概念
n阶行列式的概念
n阶行列式是一个方阵，其大小为n行n列。
行列式在线性代数中非常重要，它具有许多特殊的性质和应用。
一个n阶行列式可以记作|A|或det(A)，其中A是一个n阶方阵。
行列式的值可以通过对方阵中的元素进行特定计算得到，具体计算方法称为行列式的展开定理。
展开定理可以通过将行列式按一行或一列展开为若干个小行列式的和来计算。
行列式的值可以表示矩阵的线性相关性和可逆性。
当行列式的值为零时，表示矩阵的行（或列）线性相关，即存在某些行（或列）可以被其他组合而成。
而当行列式的值不为零时，表示矩阵的行（或列）线性无关，即矩阵为可逆矩阵。
行列式也有许多应用，例如用于解线性方程组、计算向量的叉乘、求解特征值和特征向量等。
总之，n阶行列式是一个重要的数学概念，它在线性代数中具有广泛的应用和重要的意义。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法之答禄夫天创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n jj j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于分歧行、分歧列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式分歧行分歧列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. §行列式的性质322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如以i 行，j 列。
交换 i ,j 两行记为交换i,j两列记作性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D 等于两个行列式D 1和D 2的和。
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
行列式定义
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0
a22
a2n
1
t431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
a11a23a35a43a56a64
1.1.2 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1) p1 p2 pn a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
an1
1
a a τnn121 1n 2,n1
an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例7 设
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
123a11a22a33 1 132 11 23 32
a31 a32 a33 1 213 a12a21a33 1 231 a12a23a31
1-1-4 n阶行列式的定义
第一章 行列式行列式是由研究线性方程组而产生的，在科学技术的许多领域里都要用到它，特别是在线性代数中更是不可缺少的工具。
为了研究n 元线性方程组，需要讨论n 阶行列式的问题。
本章我们将在二、三阶行列式的基础上给出n 阶行列式的定义、行列式的性质、行列式的展开与计算以及Cramer 法则等内容。
§1—§4 n 阶行列式的定义本节首先给大家介绍全排列、逆序数以及二、三阶行列式等知识，然后引出n 阶行列式的概念。
一、全排列及其逆序数在初等数学中讨论过全排列，即由n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（简称排列）。
特别地，从1到n 这n 个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序。
于是，在这n 个自然数的任一排列np p p21中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不同时，就说有一个逆序。
一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法。
不妨设从1到n 这n 个自然数的一个排列为np p p21，考虑元素i p （ni,,2,1 =），如果比i p 大且排在i p 前面的元素有i t 个，就说元素i p 的逆序数为i t ，那么所有元素的逆序数的总和∑==+++=ni in t t t t t 121即为这个排列np p p21的逆序数。
例1 求排列54312的逆序数。
解 在排列54312中，由于 5排在首位，逆序数为0；4的前面比4大的数有1个，其逆序数为1； 3的前面比3大的数有2个，其逆序数为2； 1的前面比1大的数有3个，其逆序数为3； 2的前面比2大的数有3个，其逆序数为3。
故排列54312的逆序数为933210=++++=t例2 求排列)2(42)12(31n n-的逆序数。
解 该排列的逆序数为2)1(01)2()1(-=+++-+-=n n n n t二、对换下面，我们讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。
行列式
行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。
一共有n!项，一半带负号，一半带正号。
其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。
我们知道n级排列一共有n!种。
行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。
这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。
通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。
如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。
由性质1知，。
性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。
也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。
性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。
即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。
性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。
例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。
【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。
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0 = (-1)t a1na2,n−1 "an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 "
D
=
a21 #
a22 #
" #
0
0 #
= a11a22 "ann
an1 an2 " ann
证： 由于当j > i时，aij = 0，因此行列式的求和
对行列式中元素 ，cij第一个下标i表示元素所在
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
d krk k +1 rk+1
0，因此
" r1,
dr2k,+"n rk+,nrk,，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1, r2 ,", rk 在1, 2，…，k中选取时， rk+1, rk+2 ,", rk+n只能在k+1, k+2项可以记为
(−1)t d1r1 " dkrk d k +1 rk+1 " dk +n rk+n = (−1)t a1r1 " akrk b1 p1 "bnpn
这的里逆，序p数i =。rk+以i −sk、，m而分t为别排表列示rr11,,rr22""rkr(kk和+
p1)"(k + pn ) p1 " pn的逆序
角线。
例1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为 aii (i = 1,2,", n)其余的元素为0）的值为
a11 0 " 0 a22 " # ##
0
0 #
= a11a22 "ann
0 0 " ann
次对角行列式（其中对角线上的元素为 aij,i + j = n +1,
i = 1,2,", n ，其余的元素为0）的值为
列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有
这n!项的代数和
∑ (-1)t a a 1p1 2 p2 "anpn
p1 p2"pn
称为n阶行列式（determinant），记为
a11 a12 " a1n
D
=
a21 #
a22 #
" a2n ##
an1 an2 " ann
或数者aij简(i记=作1,2Δ,"（a, ni）j ; 或j =者1d,2e,t"( ai,j)n。) 称为行列式Δ (aij )的元素。
c11 c12 c13
∑ c21 c22 c23 =
(−1)t c1p1c2 p2 c3 p3 .
c31 c32 c33
p1 p2 p3
其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义n阶行列式。 定义1 设有 n2 个数，排成n行n列的数表
r1 " rk
∑ = D 2
( − 1) s a1r1 " a krk
r1 " rk
= D1D2 。
0 " 0 a1n
0 #
" a2,n−1 ##
0 #
= (−1)n(n−1)/ 2 a1na2n−1 "an1
an1 " 0
0
证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结
果。
根据行列式的定义
0 " 0 a1n
0 " a2,n−1 ## #
an1 " 0
∑ 0
#
= (-1)t
p1 p2"pn
a1p1 a2 p2 "anpn
数 ，则显然有t ＝s＋m。因此
∑ ∑ D =
( − 1) s + m a1 r1 " a kr k b1 p1 " b np n
r1 " rk p1 " p n
∑ ∑ =
( − 1) s a1r1
r1 " rk
"
a kr k
⎡ ⎢ ⎣
p1"
(
pn
−
1)
m
b1
p1
"
b np n
⎤ ⎥ ⎦
∑ =
( − 1) s a1r1 " a krk D 2
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " an3
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以 符号 (−1)t, 得到形如
的项，其中
p1
(-1) t
p2 "
a1 p1
pn
a2 p2 "anpn
(1)
为自然数1，2，……，n的
一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排
（4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
表达式中可能不为0的项的n个因子的下标 ipi 应有pi ≤ i
即 p1 ≤ 1, p2 ≤ 2,", pn ≤ n而在所有排列 p1 p2 " pn 中，
能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以 行列式中可能不为0的项只有一项，即 (-1)t a11a22 "ann, 这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义
c11 c12 c13 c 21 c 22 c 23 = c11c 22c33 + c12c 23c31 + c13c 21c32 c31 c32 c33
− c13c 22c31 − c12c 21c33 − c11c 23c32 ,
D = a11a22 "ann
例3 设
a11 " a1k 0 " 0 ### ###
D = a1k c11 #
" akk " c1k ##
0"0
b11 " b1n ###
a11 D1 = #
ak1
ck1 " ckk
" a1k ##
" akk
bn1 " bnn
b11 " b1n
D2 = # # #
bn1 " bnn
显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见，我们称行列式中 a11, a22 ,", ann
为行列式的主对角线，
a11 a12 " a1n a21 a22 " a2n # ###
an1 an2 " ann
而称 a1n , a2n−1, an1的线段为行列式的次对角线或副对
证明 D = D1D2
记 D = det(dij )，其中 dij = aij , (i = 1,2,", k; j = 1,2,", k)
dk+i,k+ j = bij , (i = 1,2,", n; j = 1,2,", n)
考察D的一般项(−1)t d1r1 "d
由于当i ≤ k，j > k时，dij =