n阶行列式按行展开的定义

n阶行列式的定义及性质

综上, 我们有
注在计算行列式中, 经常需要用初等变换来“打洞”, 可以看出“打洞”中起主要作用的是性质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即

行列式按行列展开定理

行列式按行列展开定理一、余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

行列式按行展开

4
二：定理1.4（拉普拉斯定理）
若在n阶行列式D中，任意选取k行k 列，这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式乘积之和等于行列式D的值。（证略）
5
5 60 0 0 1 5 6 0 0 例 D 0 1 5 6 0 0 01 5 6 0 0 0 1 5
6
5 6 0
1 6 0
56
50
D
1 5 6
一、 n阶行列式展开定理
定理3 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n j 1
按行展开
1
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
19
例5（伪范德蒙）
1111 abcd D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
111 1 1
abcd x a2 b2 c2 d 2 x2 a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
构造范德蒙行列式对比x^3的系数。
20
例6（递推降阶法）
21 121
121 D
27
思考题6
a b ab 1 a b ab 1 a b ab
D ... ... ... 1 a b ab 1 ab
28
思考题7
x z z ... z z y x z ... z z y y x ... z z D ... ... ... ... ... ... y y y ... x z y y y ... y x
... ... ... 1 21 12
按第一行展开，可得 Dn 2Dn1 Dn2

行列式按行列展开定理讲解学习

行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

3、n阶行列式

18
线性代数
n阶行列式
证明 1）是显然的。 2）若记i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2

a n1 a 2 , n 1
t n n1 21
n n1 2
a1n
n
1
1
a1na2,n1 an1
证毕
19
12 n .
n阶行列式
2、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
线性代数
n阶行列式
例
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0
1 0 0 0
20
0 2 0 0
1 0 0 0
解
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
线性代数
n阶行列式
例
用行列式的定义计算
0 0 Dn 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 n
15
线性代数
n阶行列式
a11
1）
a12 a1n a22 a2 n aii ann
a1n
上三角行列式
2）
a2,n1 an1 an1,n1
a2n ann
( 1)
n ( n1) 2
a
i ,n i 1
16
线性代数
n阶行列式
1 2 3 4
例
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8

行列式按一行(列)展开

证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指将该行列式拆分成若干个二阶子行列式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作为分子，分母保持不变，得到按选定行（或列）展开后的行列式。
02
行列式按一行(列)展开的公式
展开公式

n阶行列式展开式

n阶行列式展开式n阶行列式的展开式是指将n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其展开为一系列元素相乘的和的形式。

设A是一个n阶方阵，行列式展开式可以表示为：D = a1j1A1j1 + a2j2A2j2 + a3j3A3j3 + ... + anjnAnjn其中，a1j1，a2j2，a3j3，...，anjn是行列式中的元素，分别对应于第1行，第2行，第3行，...，第n行的元素。

A1j1，A2j2，A3j3，...，Anjn是去掉第i行第j列的矩阵的行列式。

展开式的计算方法是通过对于某一行或某一列进行展开，逐步递归地计算较低阶行列式的展开式，最终得到行列式的值。

为了更好地理解和计算行列式的展开式，可以参考以下内容：1. 行列式的性质：了解行列式的基本性质，如行列式转置不变性、行列式互换性等，可以帮助理解行列式的展开式。

2. 代数余子式与代数余子式矩阵：代数余子式是行列式中任意元素的余子式加上相应的符号因子。

代数余子式矩阵是由行列式的元素的代数余子式按照对应位置组成的矩阵。

3. 余子式展开法与行列式按行展开法：余子式展开法是通过计算各元素的代数余子式来展开行列式，而行列式按行展开法是通过递归地计算较低阶行列式的展开式来计算行列式。

4. 基于拉普拉斯定理的行列式展开：拉普拉斯定理是一种常用的展开行列式的方法，根据该定理，可以将n阶行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的代数余子式相乘的和。

以上内容是行列式展开式的基本概念和计算方法的相关参考内容，理解和掌握这些内容可以帮助更好地进行行列式展开式的计算。

在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的展开方法，如拉普拉斯展开、按行展开等，进一步简化计算过程。

行列式性质按行(列)展开法则

|a31 a32 a33|，可以选择第一行进行展开，得到其值等于a11*(a22*a33-a23*a32) - a12*(a21*a33a23*a31) + a13*(a21*a32-a22*a31)。
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的方法进行求解。即选择一行（列），将这一行（列）的每个元素分别与其代数余子式相乘并求和，从而将原行列式降阶为一个低一阶的行列式。通过不断重复这一过程，最终可以将高阶行列式降阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择某一行(列)，将其各元素与对应的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意代数余子式的符号取决于被删除的行和列的序号之和的奇偶性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较简单的行或列。

行列式按行(列)展开

例
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的定理３代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成立，要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6

行列式按行(列)展开定理

ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i. a1k A1i a2k A2i ank Ani 0, k i.
证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.
10
a11
a12
a1n
ai1
ai2
a in
在行列式 D
ak1
ak 2
a kn
an1
3 1 1 2
5 1
例2 计算行列式 D
20
3 4 .
1 1
1 5 3 3 14
3 1 1 2
解
5 D
1
20
3 4 1 1
1 5 3 3
c1 2 c3 c4 c3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
15
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
0
5 5 0
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 a23 的余子式.
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23
a23 的代数余子式.
an
0
b 0
0
0
0 b
0
0
00
b
[(a1 a2 an ) b](b)n1
32
例9 x1 a a a
a x2 a a
D a
a
x3

1.3 行列式按行(列)展开

在余子式前面加上相应的符号，即构成代数余子式。
16:32 4
例如
D=
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 元素 a23 余子式与代 a44
a11
数余子式为：
a12 a 32 a 42 a14 a 34 a 44
【余子式】
M 23 = a 31 a 41
0
i −1
L
aij M
L
0 M
D = (− 1) ai −1,1 L ai −1, j L ai −1,n M M M an1 L anj L ann
M
16:32
11
第二步：把第 j 列依次与第 j-1列，j-2列, …, 1列对调, 这样数 aij 就调成 (1,1)元，对调次数为 j-1。总之，经 i+j-2次调换后，把数 aij调成(1,1) 元。所得的行列式为：
a11 M = ai1 M
a12 L a1n M 0 M L
a11
a12 L a1n M ai 2 M L
a11
a12 L a1n M 0 M M L ain M
M M 0 + 0 M M
M M 0 + ... + 0 M M
an1 an 2 L ann
an1 an 2 L ann
an1 an 2 L ann
(i ≠ j)
19
同样, 把第 j 列换成第 i 列, 按 j 列展开, 有 (i ≠ j) a1i 1 16:32 A j + a2 i A2 j + L + ani Anj = 0
定理3 n 阶行列式的任一行的各元与另一行对应元的代数余子式乘积之和为零，即：

行列式按行展开

行列式按行展开本文使用创作并发布答案是——有的。

下面我们来介绍这样一种策略，即行列式按一行展开。

由于行列式的行和列是等价的，因此其可以按行展开，也可以按列展开。

根据行列式的定义，有n阶行列式由于r(i,1,\cdots,n) = i - 1, r(k,j_1,\cdots, j_n) = k - 1因此其中M_{ik}是除去第i行第k列的元素后，行列式剩下的元素组成的n - 1阶子行列式，称为余子式；A_{ik} = (-1)^{i+1}M_{ik}称为代数余子式。

借助三阶行列式的例子，我们阐释行列式按行展开。

下面将一个一般的三阶行列式按第一行展开：\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\\ = (-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} &a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}通过行列式按行展开，我们可以把一个n阶行列式转化成任意一行n 个元素与其代数余子式乘积的和；反过来，我们也可以把n个元素与n-1阶行列式的乘积的和转化成一个n阶行列式。

例如：(-1)^{1+1}a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}\\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}如果将代数余子式前的元素换成矩阵中其他行的元素，则有：(-1)^{1+1}a_{21}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}a_{22}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(-1)^{1+3}a_{23}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} &a_{32}\\ \end{vmatrix}\\ = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} &a_{23}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} = 0于是，一般地，我们有：\sum\limits_{k=1}^n{a_{jk}A_{ik}} = \begin{cases} |A|, i = j\\ 0, i ≠ j \end{cases}根据这个定理，我们可以推导出克莱姆法则：如果含n个方程的n元线性方程组的系数矩阵的行列式|A| ≠ 0，则该线性方程组有且仅有一个解，该解为：\frac{|B_j|}{|A|}, i = 1, 2, \cdots, n，其中B_j是用常数项替换系数矩阵A中的第j列得到的矩阵。

2.3-行列式的展开定理

1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式，使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).

行列式按行(列)展开定理

a1l A1 j a2l A2 j L
anl Anj
D, 0，
（当l j）（当l j）
注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式
并不一定简化计算, 因为把一个n阶行列式换成n个( n
－1)阶行列式的计算并不减少计算量, 只是在行列式中
某一行或某一列含有较多的零时, 应用展开定理才有
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
3
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.
9
a11
a12
L
a1n
M MMM
ai1
ai2 L
a in
在行列式 D M M M M
ak1 M
ak 2 M
L
a kn
MM
an1
an2
L
ann
中, 如果令第 i 行的元素等则
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 L akn Ain
1
定义1.5 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和
第 j 列划去后, 余下的 n -1 阶行列式叫做元素 aij的
余子式. 记为 Mij . 称 Aij 1i j Mij 为元素 aij
的代数余子式.
a11 a12 a13 a14
例如
a21 a22 a23 a24 D
意义，但展开定理在理论上是重要的．

行列式按行(列)展开大学数学教案2

第四节行列式按行(列)展开分布图示★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行（列）展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 用将阶法计算行列式★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4内容要点一、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ 或 ⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ其中，⎩⎨⎧≠==ji j i ij ,0,1δ二、用降阶法计算行列式直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.三、拉普拉斯定理定义 2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例题选讲例1 设有5阶行列式: 1513131200011231452013101-----=D . (1),111=a 其余子式,151331200112145211----=M 其代数余子式.)1()1(11112111111M M M A =-=-=+(2),134=a 其余子式113132001520110134---=M , 其代数余子式.)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+。

关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

行列式展开定理

行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个n阶行列式可通过对其中一行（或一列）进行展开，用余子式乘以对应元素的代数余子式构成的和来表示。

这个定理的证明主要基于数学归纳法和代数性质的运用。

首先，我们来介绍一些必要的定义和概念。

行列式是一个有序数表，是一个正方形矩阵中对角线上元素相乘并按照一定规则相加得到的一个数。

例如，对于一个2阶行列式（2x2矩阵）：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\\\end{vmatrix}$ = ad - bc行列式的计算可以通过对行或列的操作转化为三角形矩阵，从而简化计算。

对于n阶行列式，可以递归地进行以下展开运算：选择第i行（或第j列）进行展开，将此行的元素乘以对应的代数余子式，并进行符号调整后相加。

具体地，使用数学归纳法，我们可以证明行列式展开定理。

当n=2时，定理显然成立。

假设当n=k时，定理成立，即k阶行列式可以通过任选一行（或一列）展开为余子式乘以对应元素的代数余子式之和，即$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2k}\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kk}\\\end{vmatrix}$=$a_{i1}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+(-1)^(i+1)$a_{i2}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$+$\ldots$+(-1)^(i+k)$a_{ik}\begin{vmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \ldots &a_{1k} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{k1} & \ldots & a_{k,i-1} & a_{k,i+1} & \ldots &a_{kk}\\\end{vmatrix}$。

行列式按行展开证明

行列式按行展开证明行列式按行展开是一种计算行列式的方法，它可以将一个n阶行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算。

行列式按行展开的原理并不复杂，但是证明时需要借助一些线性代数的基本概念和定理。

下面将详细介绍行列式按行展开的证明。

设A是一个n阶方阵，则A的行列式记作det(A)。

为了陈述方便，假设A是一个3阶方阵，即A的行列式为det(A) = a11a22a33 -a11a32a23 - a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a13a31a22。

在行列式展开时，我们需要选取一个固定的行（或列）进行展开。

对于一个3阶方阵来说，我们可以选择第一行进行展开。

那么根据行列式展开的定义，det(A)可以写成以下形式：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13其中C11，C12，C13分别代表按第一行展开所得的代数余子式。

我们来具体计算这三个代数余子式。

C11 = a22a33 - a23a32C12 = -(a21a33 - a23a31)C13 = a21a32 - a22a31将这三个代数余子式代入det(A)的展开式中可以得到：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)我们可以观察到，在det(A)中，a11，a12，a13特定行的元素与对应的代数余子式相乘，并且有正负相间的规律。

这是因为代数余子式的正负号是根据矩阵元素的位置来确定的。

接下来，我们将a11、a12、a13所在的列分别移到代数余子式对应位置上：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) + a21(a13a32 - a12a33) + a31(a12a23 - a13a22)再次观察det(A)的表达式，我们可以发现，它的展开形式中的每一项的系数与n阶方阵中元素所在的行和列的排列顺序有关。

按行按列展开

求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
思考题解答
解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 1 1 2 0 A11 A12 A1n 1 0 3 1 0 0
1
0
0

n!1
n j2
1 j
.
n
Def3:k阶子式的代数余子式为 (1)i1i2 L ik j1 j2L jk M 其中i1i2 L ik为k阶子式所在的行号, j1 j2 L jk为k阶子式所在的列号
定理 (拉普拉斯定理)设n阶方阵A (aij),在det A中任选定k行(1 k n),由这k行的所有k阶子式与之对应的代数余子式乘积之和等与det A
4(12) 48 2
2 2 1
引理一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
例如
a11 a12 a13 a14
0 0 a33 0
D a21 0
a22 0
a23 a33
a24 (1)31 a11
a43 a41 a42 a44 a33A33
2、行列式按行（列）展开法则
定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12

a1n

D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．

n阶行列式：§2.5 行列式依行(列)展开

aij 0
0
D1 a1 j
M ij
aij M ij
anj
注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故
D 1 i1 j1 D1 1 i j aij M ij aij Aij
3、行列式依行（列）展开
定理2.5.1 行列式 Dn等于它的任意一行（列）中所有元素与
其代数余子式乘积的和，即有
a j1 a j2
ain
中，某一行（列）中元素
a jn
an1 an2
ann
与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有
ai1Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
a1s A1t a2s A2t ans Ant 0, s t.
a11 a12
a1n
ai1 ai2
abcd
例2.5.1. 在行列式 D g s
h t
p u
q v 中，求元素p和s的余子式
wx y z 和代数余子式。
二、行列式依行（列）展开
先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。
a11
a1 j
a1n
引理：如果行列式 D ai1
例2.5.4 计算范德蒙行列式
11
11
a1
a2
Dn a12 a22
an1
an
a2 n1
an 2
a a n1 1
n1 2
a a n1 n1
n1 n
解：
依次从第n-1行起到第一行，每行乘以
= Dn (-an )加到下一行
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain , 1 i n,