n阶行列式的定义

合集下载

第1节 n阶行列式的定义(全)

表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该数表所确定的二阶行列式二阶行列式，数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中，称为元素元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第行；行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ；个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换，同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。个偶排列均变成奇排列，
从而，从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解按对角线法则，有按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)

n阶行列式的定义

§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。

12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。

n 阶行列式的定义与性质

是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基本思路是根据性质把行列式化成为上三角形行列式，它等于变换后的行列式的主对角元素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10

n阶行列式的定义及性质

推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行列式等于零.
证设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数对换，叫做相邻对换.
例五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16

3-1 n阶行列式的概念

第三章 n阶行列式阶行列式
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换作m+1次相邻对换作m次相邻对换次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列全排列,简称排列全排列排列记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321

1.3n阶行列式的定义及性质

一、n阶行列式的定义
为了给出n阶行列式的定义我们要先研究三阶行列式的结构
观察与想考三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
❖三阶行列式的结构一： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a a a 1p1 2 p2 3p3
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零即
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)
或
a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij)
在n阶行列式D中数aij为行列式D的(i j)元
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a
❖三阶行列式的结构二：
为了给出n阶行列式的第二种定义方式我们再进一步研究三阶行列式的结构
观察与想考三阶行列式存在什么规律?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则
6
AT 2
3
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式

1.1 n阶行列式的定义

2 0 01 0 0 110 1
τ (31254) = 2 + 0 + 0 + 1 + 0 = 3
4、排列的奇偶性
奇排列偶排列反序数为奇数的排列称为奇排列; 反序数为偶数的排列称为偶排列；
例如
2431 45321 12…n
τ (2431) = 4
τ (45321) = 9 τ (12…n) = 0
由于 D = 3
D1 =
5 = 3 × 2 − 5 × (−1) ≠ 0 −1 2
1 5
2 2 3 1 D2 = = 3 × 2 − 1× (−1) = 7, −1 2
二元一次方程组的解为：
= 1× 2 − 5 × 2 = −8,
D1 −8 ⎧ ⎪ x1 = D = 11 ; ⎨ D2 7 ⎪ x2 = = . 11 D ⎩
a11 a12 a22 a32 a13 a23 ≠ 0, a33
系数行列式
D = a21 a31
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
推广: n个不同元素的排列共有 n! 种, 其中n 阶排列中都有一个从小到大的排列（例如1,2,3,...n）称为标准排列(或自然顺序排列).
2、反序
在一个排列中,如果某两个元素比较,前面的数大于后面的数, 就称这两个数构成一个反序; 如在一个排列中,某个数字的右边有r个比它小的数字,则说明该数字在此排列中有r个反序。
第一节 n 阶行列式的定义

§12n阶行列式

n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列证：有q个。将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部变为偶排列，于是有排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换（ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二、n阶行列式的定义阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.

《线性代数》1-3n阶行列式的定义

05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列，通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵的乘法和行列式的性质来证明拉普拉斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可能不太适用，但其具有理论意义和实用价值。

1-3 n阶行列式的定义

解
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2

线性代数1-2

所以
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
N 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
N 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N 32541 0 1 0 3 1 5.
第二节 n 阶行列式
一、排列与逆序
二、n 阶行列式的定义三、对换
一、排列与逆序
定义1 由自然数 1,2,, n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列, 称为一个 n 级排列（或排列）. 例: 1234和 4213 都是4级排列, 54123和 35142 都是5级排列. 注: n 级排列的总的个数:
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，

k

21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
解
Dn 1 a1,n1a2 ,n2 an1,1ann

n阶行列式定义

01
```
02
123
03
456
解答
• 3=0=0
解答
``` 2. 将第一行乘以-2加到第二行，得到
解答
``` 123
234
解答
• 3=0=0
解答
```
VS
3. 将第一行乘以-1加到第一行，得到
解答
01 ``` 02 0 0 0 03 2 3 4
解答
• 3=0=0
解答
```
4. 根据二阶行列式的计算公式，得到结果为：|1 2; 3 4| = -2。所以原行列式的值为：-2 * -4 * -2 = -16。
03 计算方法
三角化法
定义
三角化法是将一个n阶行列式转化为若干个3阶行列式，通过计算这些3阶行列式来得到原n阶行列式的值。
计算步骤
首先将n阶行列式拆分成若干个3阶行列式，然后利用行列式的性质进行化简，最后将这些3阶行列式的值相乘得到原n阶行列
式的值。
适用范围
适用于n≤3的行列式计算。
递推法
判断解的个数
行列式可以用来判断线性方程组解的个数，当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一解；等于0 时，方程组有无穷多解或无解。
在矩阵中的应用
矩阵的逆运算
行列式是矩阵逆运算的基础，通过计算矩阵的行列式值和伴随矩阵，可以求得逆矩阵。
判断矩阵是否可逆
行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆，当行列式不等于0时，矩阵可逆；等于0时，矩阵不可逆。
定义
递推法是根据行列式的定义和性质，通过递推关系式计算行列式的值。
计算步骤
首先根据行列式的定义写出递推关系式，然后利用行列式的性质进行化简，最后将递推关系式中的项相加得到原n阶行列式的值。

线性代数第一章第一节 n阶行列式的定义

2 当 k为偶数时，排列为偶排列，

k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k

0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2

1.2 n阶行列式的定义

( 4321 )
(1)
a14a23a32a41
4 3 2 1 24
【例2】计算行列式p5
a11 a12 a13 0 a22 a23
a1n1 a2 n1 a3 n1 0
a1n a2 n a3 n ann
上三角行列式
D= 0
0 0
0 a33 0 0 0 0
第一行第二行
第n 行
称为n 阶行列式。
aij
位于行列式中第i行第j列的元素
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
= n!项的代数和，每一项是行列式不同行不同列的n个元素的乘积，每一项都有一定符号。

j1 j2 jn
1
20032004 2
a1, 2004a2, 2003 a2004,1a2005, 2005
1 2 32004 2005
200 5 !
定理1· 3 ：n阶行列式的展开式又可表示为
a11 a21 an 1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
第一章
§1.2
行列式
n阶行列式的定义
本节要点： n阶行列式的定义几种特殊行列式的结论
一、
二、三阶行列式
a11 a12 a11a22 D a21 a22 ＋－
－＋－
a12 a21
a11 a21
－
a12 a22 a32
＋
a13 a23 = a a a a a a a a a 11 22 33 13 21 32 12 23 31 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32

行列式定义

0 0 ann
解分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n

0
a22

a2n

1
t431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
a11a23a35a43a56a64
1.1.2 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
定义由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1) p1 p2 pn a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n

an1 an2 ann
an1

1
a a τnn121 1n 2,n1
an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例7 设
a11 a12 a1n
D1

a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
123a11a22a33 1 132 11 23 32
a31 a32 a33 1 213 a12a21a33 1 231 a12a23a31

1-1-4 n阶行列式的定义

第一章行列式行列式是由研究线性方程组而产生的，在科学技术的许多领域里都要用到它，特别是在线性代数中更是不可缺少的工具。

为了研究n 元线性方程组，需要讨论n 阶行列式的问题。

本章我们将在二、三阶行列式的基础上给出n 阶行列式的定义、行列式的性质、行列式的展开与计算以及Cramer 法则等内容。

§1—§4 n 阶行列式的定义本节首先给大家介绍全排列、逆序数以及二、三阶行列式等知识，然后引出n 阶行列式的概念。

一、全排列及其逆序数在初等数学中讨论过全排列，即由n 个不同元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（简称排列）。

特别地，从1到n 这n 个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序。

于是，在这n 个自然数的任一排列np p p21中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不同时，就说有一个逆序。

一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法。

不妨设从1到n 这n 个自然数的一个排列为np p p21，考虑元素i p （ni,,2,1 =），如果比i p 大且排在i p 前面的元素有i t 个，就说元素i p 的逆序数为i t ，那么所有元素的逆序数的总和∑==+++=ni in t t t t t 121即为这个排列np p p21的逆序数。

例1 求排列54312的逆序数。

解在排列54312中，由于 5排在首位，逆序数为0；4的前面比4大的数有1个，其逆序数为1； 3的前面比3大的数有2个，其逆序数为2； 1的前面比1大的数有3个，其逆序数为3； 2的前面比2大的数有3个，其逆序数为3。

故排列54312的逆序数为933210=++++=t例2 求排列)2(42)12(31n n-的逆序数。

解该排列的逆序数为2)1(01)2()1(-=+++-+-=n n n n t二、对换下面，我们讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。

行列式

行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。

一共有n!项，一半带负号，一半带正号。

其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。

我们知道n级排列一共有n!种。

行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。

这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。

通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。

如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。

由性质1知，。

性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。

也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。

性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。

即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。

性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。

例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。

【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。

1.2 n阶行列式的定义

§1.2n 阶行列式从三阶行列式的定义，我们看到:(1) 三阶行列式共有3!＝6项；(2) 行列式中的每一项都是取自不同行不同列的三个元素的乘积；(3) 行列式中的每一项的符号均与该项元素下标的排列顺序有关. 受此启示，我们可以引入n 阶行列式的定义. 此外，在本节中，我们还要了解几个今后常用的特殊的n 阶行列式(对角行列与三角形行列式等)的计算方法.一、排列与逆序定义1由自然数1，2，…，n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。

例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.定义 2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i ⋯⋯⋯中，若数,s t i i >则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为).(21n i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 逆序数的计算方法：先计算出排列中每个元素逆序的个数，即计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数，该排列中所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1 (E01)计算排列32514的逆序数.解在排列 32514 中，3排在首位，故其逆序数为0；2的前面比2大的数只有1个3，故其逆序数为1；5的前面没有比5大的数，故其逆序数为0；1的前面比1大的数有3个，故其逆序数为3；4的前面比4大的数有1个，故其逆序数为1. 即排列3 2 5 1 4逆序0 1 0 3 1于是排列 32514 的逆序数为.513010=++++=N例（补）计算排列217986354的逆序数，并讨论其奇偶性. 解排列2 1 7 9 8 6 3 5 4逆序0 1 0 0 1 3 4 4 5 于是题设排列的逆序数为54431001018.N =++++++++=该排列是偶排列.例2 (E02)求排列321)1)(1( --n n n 的逆序数，并讨论其奇偶性. 解排列n 1-n 2-n … 3 21逆序012…3-n 2-n 1-n于是题设排列的逆序数为012)3()2()1(++++-+-+-= n n n N .2)1(-=n n 易见当,4k n =14+k 时，题设排列是偶排列;当,24+=k n 34+k 时，题设排列是奇排列.二、n 阶行列式的定义定义4由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n = 组成的记号111212122212nn n n nna a a a a a a a a 称为n 阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列，它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a 2121的代数和，各项的符号是：当该项各元素的行标按自然顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号；是奇排列则取负号. 即∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ij a 称为行列式的元素，称n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(-为行列式的一般项.注:(1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的；(2) n 阶行列式是!n 项的代数和，且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半；(3) n nj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j j N -(不算元素本身所带的符号)；(4) 一阶行列式,||a a =不要与绝对值记号相混淆. 例3 (E03) 计算行列式0004003002001000=D 解四阶行列式D 的一般项为,)1(431432143221)(j j j j j j j j N a a a a -D 中第1行的非零元素只有,14a 因而1j 只能取4，同理由D 中第 2，3，4 行知，,32=j ,23=j ,14=j 即行列式D 中的非零项只有一项，即41322314)4321()1(a a a a D N -=4321)1()4321(⋅⋅⋅-=N .24=例4(E04) 计算上三角形行列式).0(0221122211211≠nn nnnna a a a a a a a a解行列式的一般项为,)1(212121)(n n nj j j j j j N a a a -,n j n =,11-=-n j n …，,22=j ,11=j所以不为零的项只有,1211nn a a a∴nn nn a a a a a a 0022211211.)1(1211)12(nn n N a a a -=同理，下三角形行列式nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线.三、对换为进一步研究n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。

n阶行列式的定义

第1节 n阶行列式的定义(全)

n阶行列式的定义

n 阶行列式的定义与性质

n阶行列式的定义及性质

3-1 n阶行列式的概念

1.3n阶行列式的定义及性质

1.1 n阶行列式的定义

§12n阶行列式

《线性代数》1-3n阶行列式的定义

1-3 n阶行列式的定义

线性代数1-2

n阶行列式定义

线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义

1.2 n阶行列式的定义

行列式定义

1-1-4 n阶行列式的定义

行列式

1.2 n阶行列式的定义

线性代数第一章第一节 n阶行列式的定义