证明角相等的方法 (黄冈中学)

O

A

E

C

D

B

证明两角相等的方法

黄冈中学 初三数学备课组

【重点解读】

证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。

【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等；

（2）等角的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等；

（5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形

（1）平行四边形的对角相等；

（2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆

（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.

（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.

（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等

【典题精析】

（一） 利用全等相关知识证明角相等

例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠．

分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即

可，因为可证

∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E

∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中

∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE

∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE

∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ．

说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，

BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE 与BC 交于

点于点F ， 这样就很容易证△BEF ≌△DCF ，从而问题得到解决。

证明：延长DE 与BC 交于点于点F AD ∥BC ，ED ⊥AD ∴DF ⊥BC

∴∠BFE=∠DFC=90° ∵∠ECB=45 o

∴∠ECB=∠CEB=45 o ∴CF=EF

在Rt △BEF 和Rt △DCF 中 EF=CF ，BE=DC ∴Rt △BEF ≌Rt △DCF ∴∠EBC ＝∠EDC

说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等

例3 如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，CD ∥BA ，四边形AEBC 是平行四边形． 求证：∠ABD ＝∠ABE ．

分析：要证∠ABD ＝∠ABE ，若能证△ABD ≌△ABE 即可．因为可证BE ＝AC ＝BD ，AE ＝BC ＝AD ，而AB 为公共边，故问题得到解决． 证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AD ＝BC ，AC ＝B D ． ∵四边形AEBC 是平行四边形，∴BC ＝AE ，AC ＝BE ． ∴AD ＝AE ，BD ＝BE ．

又∵AB ＝AB ，∴△ABD ≌△ABE ． ∴∠ABD ＝∠ABE ．

说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等．

总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。

E C

B D A F

（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系

例4．已知：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线， 求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.

分析：⑴已知中多垂直和中线条件，

可联想直角三角形斜边上的中线性质；

要证明G 是CE 的中点，结合已知条件DG ⊥CE ， 符合等腰三角形三线合一中的两个条件，

故连结DE ，证明△DCE 是等腰三角形，由DG ⊥CE 可得G 是CE 的中点.

⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE ，∠B 转化为∠EDB.

证明：⑴连结DE ，

∵∠ADB=90°，E 是AB 的中点，

∴DE=AE=BE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵DC=BE ，∴DC=DE ， 又∵DG ⊥CE ，

∴G 是CE 中点（等腰三角形底边上的高平分底边）. ⑵∵DE=DC ，∴∠DCE=∠DEC （等边对等角），

∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和）， 又∵DE=BE ，∴∠B=∠EDB ，∴∠B=2∠BCE

直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.

例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）

（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；

（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质

（1）解法一：如图1

A B

C D

①

② ③

A B

C D P

① ②

③ ④ A B C D ① ② ③ ④

④

E

G A C

D B