3.3导数的综合应用

§3.3 导数的综合应用

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m 的值为( )

A ．16

B ．12

C ．32

D ．6

2．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥4

3，则p 是q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．对于R 上可导的任意函数f (x )，满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)

5．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(－∞，1)

C ．(0，＋∞)

D.⎝⎛⎭

⎫0，12 二、填空题(每小题6分，共24分)

6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________．

7．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．

8．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．

9．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．

三、解答题(共41分)

10．(13分)设函数f (x)＝ax3－3x2 (a∈R)，且x＝2是y＝f (x)的极值点．

(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；

(2)求函数g(x)＝e x·f (x)的单调区间．

11．(14分)已知实数a≠0，函数f (x)＝ax(x－2)2 (x∈R)有极大值32.

(1)求实数a的值；

(2)求函数f (x)的单调区间．

12．(14分)已知x＝1是函数f (x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m、n∈R，m<0.

(1)求m与n的关系表达式；

(2)求f (x)的单调区间；

(3)当x∈[－1,1]时，函数y＝f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取

值范围．

答案 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D

6. a <－3或a >6

7. m <－1

2

8. ⎣⎡⎦⎤34，3 9. (－2,2) 10.解 (1)f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点，

所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0， 因此a ＝1.

经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点． 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．

所以y ＝f (x )的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调减区间是(0,2)．

(2)g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6) (x －6)e x ，

因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)，(6，＋∞)；单调减区间是 (－∞，－6)，(0，6)． 11. 解 (1)∵f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，

∴f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a ＝a (3x －2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2

3或x ＝2.

∵f (x )＝ax (x －2)2 (x ∈R)有极大值32， ∴当x ＝2

3时，f (x )取得极大值32，

即23a ⎝⎛⎭

⎫23－22

＝32，∴a ＝27. (2)由(1)知，f (x )＝27x (x －2)2， ∴f ′(x )＝27(3x －2)(x －2)． 令f ′(x )>0，则x >2或x <23；

令f ′(x )<0，则2

3

所以函数f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2

3，(2，＋∞)； 单调减区间是⎝⎛⎭⎫

23，2.

12. 解 (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n .

因为x ＝1是f (x )的一个极值点，所以f ′(1)＝0， 即3m －6(m ＋1)＋n ＝0，所以n ＝3m ＋6. (2)由(1)知，f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6

＝3m (x －1)⎣⎡⎦

⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m . 当m <0时，有1>1＋2

m ，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：

由上表知，当m <0时，f (x )在⎝⎭⎫－∞，1＋2m ，(1，＋∞)上单调递减，在⎝⎭1＋2

m ，1上单调递增．

(3)由已知，得f ′(x )>3m ，即mx 2－2(m ＋1)x ＋2>0. ∵m <0，∴x 2－2m (m ＋1)x ＋2

m <0， 即x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1m x ＋2

m

<0，x ∈[－1,1]．① 设g (x )＝x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1m x ＋2

m ，其函数图象开口向上． 由题意①式恒成立． ∴

(1)0(1)0g g -<⎧⎨

<⎩⇒⎩⎪⎨⎪⎧

1＋2＋2m ＋2

m <0，－1<0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧

4m <－3，－1<0⇒m >－4

3

.

又m <0，∴－4

3

∴m 的取值范围是⎝⎛⎭

⎫－4

3，0.