第4章 典型相关分析

三、样本典型相关系数
在实际应用中，总体的协方差矩阵常常是未知的， 类似于其他的统计分析方法，需要从总体中抽出一个样 然后利用估计得到的协方差阵或相关系数阵进行分析。 由于估计中有抽样误差的存在，所以估计以后还需要进 行有关的假设检验。
本，根据样本对总体的协方差阵或相关系数阵进行估计，
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1、假设有X组和Y组变量，样本容量为n。假设( X1, Y1), ( X2, Y2),…, ( Xn, Yn)，观测值矩阵为：
y1q yq y2 q yq y3q yq y4 q yq ynq yq
例
家庭特征与家庭消费之间的关系
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。
调查了70个家庭的下面两组变量：
y1：户主的年龄 y2：家庭的年收入 y ：户主受教育程度 3
x1：每年去餐馆就餐的频率 x2：每年外出看电影频率
分析两组变量之间的关系。
变量间的相关系数矩阵
X1 X1 X2 y1 y2 y3 1.00 0.80 0.26 0.67 0.34 X2 0.80 1.00 0.33 0.59 0.34 y1 0.26 0.33 1.00 0.37 0.21 y2 0.67 0.59 0.37 1.00 0.35 y3 0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
可以得到r组变量。
U (u1 ,, ur ) V (v1 ,, vr )
从而达到降维的目的。
二、典型相关的数学描述
（一）想法 考虑两组变量的向量
Z ( x1 , x2 ,, x p , y1 , y2 ,, yq )
其协方差阵为
Σ11 Σ Σ 21 p Σ12 p Σ 22 q q
Var (Y ) 1 1 22 1 1 Var (v1 ) 1
Cov( X , Y ) 1 1 12 1 u1 ,v1 Cov(u1, v1 ) 1
所以，典型相关分析就是求1和1，使二者的相关系 数 u1 ,v1达到最大。
（二）典型相关系数和典型变量的求法
1.6443
V2 1.0003 -0.5837
Y组典型变量的系数 Y1 Y2 0.0491 0.8975
Y3
0.1900
0.2956
v1 0.0491 y1 0.8975 y2 0.1900 y3 v2 1.0003 y1 0.5837 y2 0.2956 y3
u1 0.7689 x1 0.2721 x2 u2 1.4787 x1 1.6443 x2
v1 b11 y1 b21 y2 bq1 yq
u 2 a 21x1 a 22 x 2 a 2p x p
v2 b21y1 b 22 y 2 b 2q yq
u2和v2与u1和v1相互独立，但u2和v2相关。
如此继续下去，直至进行到 r 步， rmin(p,q) ，
有相同的非零特征根。
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1 和 1 结论： 是相应于M1 2 既是M1又是M2的特征根， 和M2的特征向量。
至此，典型相关分析转化为求M1和M2特征根和特征 向量的问题。
第一对典型变量提取了原始变量 X与 Y之间相关的 主要部分，如果这部分还不足以解释原始变量，可以再
求第二对典型变量和他们的典型相关系数。
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x11 x1 x x 21 1 x31 x1 Z x x 41 1 xn1 x1
x1 p x p x2 p x p x2 p x p x4 p x p xnp x p
y11 y1 y21 y1 y31 y1 y41 y1 yn1 y1
其中11是第一组变量的协方差矩阵；22是第二组变量的协方差
矩阵；12 和21是X和Y的其协方差矩阵。
X 我们记两组变量的第一对线性组合为：u1 1
Y v1 1
1 (a11 , a21 ,, a p1 )
1 ( 11, 21,, q1 )
Var ( X )1 1 111 1 Var (u1 ) 1
u1 a11 x1 a21 x2 V1 b11 y1 b21 y2 b31 y3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(u1 , v1 ) ?
x1
y1
u2 a12 x1 a22 x2 v2 b12 y1 b22 y2 b32 y3
y2
y3
x2
(u2 , v2 ) ?
典型相关分析的思想：
首先分别在每组变量中找出第一对线性组合，使其具 有最大相关性，然后再在每组变量中找出第二对线性组合， 使其分别与本组内的第一线性组合无关，第二对本身具有 次大的相关性。如此下去，直至两组变量的相关性被提取 完为止。
u1 a11 x1 a21 x2 a p1 x p
1 1 的特征根 11 12 22 21
是 2 ，相应的特征向 量为 1
1 将 12 11 左乘（3）的第一式，并将第二式代入，得
1 2111 211 121 0 1 2111 12 1 222 1
1 1 的特征根 22 12 11 21
x11 x 21 x31 Z x41 xn1 x1 p x2 p x2 p x4 p xnp y11 y21 y31 y41 yn1 y1q y2 q y3q y4 q ynq
y ) 112 2 0 cov(u1 , v2 ) cov(1x, 2
x , 1y ) 2 121 0 cov(u2 , v1 ) cov( 2
求使 cov(u2 , v2 ) 212 2 达到最大的 2 和 2 。
引理：AB和BA有相同的非零特征根.A’和A有相同的非零
特征根.
1 1 12 M 1 11 22 21 则 1 1 M 2 22 21 11 12
1 / 2 1 1 / 2 N 1 11 12 22 21 11 和 1 / 2 1 1 / 2 N 2 22 21 11 12 22
在解决实际问题中，这种方法有广泛的应用。如，
在工厂里常常要研究产品的p个质量指标
( x1 , x2 ,, x p )
q个原材料的指标 ( y1 , y2 ,, yq ) 之间的相关关系；也可
以是采用典型相关分析来解决的问题。如果能够采用 类似于主成分的思想，分别找出两组变量的线性组合 既可以使变量个数简化，又可以达到分析相关性的目 的。
例
家庭特征与家庭消费之间的关系
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。
调查了70个家庭的下面两组变量：
y1：户主的年龄 y2：家庭的年收入 y ：户主受教育程度 3
x1：每年去餐馆就餐的频率 x2：每年外出看电影频率
分析两组变量之间的关系。
变量间的相关系数矩阵
X1 X1 X2 y1 y2 y3 1.00 0.80 0.26 0.67 0.34 X2 0.80 1.00 0.33 0.59 0.34 y1 0.26 0.33 1.00 0.37 0.21 y2 0.67 0.59 0.37 1.00 0.35 y3 0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
0
是 2 ，相应的特征向 量为 1
1 1 2 1 0 22 21 11 12 1
令
1 1 A1 11 12 22 21 1 1 B 22 21 11 12 2
则
2 M 1 2 M 2
(2)
(3)
和 1 将上面的3式分别左乘1
12 1 1 111 0 1 22 1 0 1 211 1
12 1 1 111 1 211 1 22 1 1
12 1，且是u1和v1之间的相关系数 则： 1
典型相关分析
一、什么是典型相关分析及基本思想 通常情况下，为了研究两组变量
( x1 , x2 ,, x p ) ( y1 , y2 ,, yq )
的相关关系，可以用最原始的方法，分别计 算两组变量之间的全部相关系数，一共有 pq 个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问 题的本质。如果能够采用类似于主成分的思 想，分别找出两组变量的各自的某个线性组 合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简 捷。
1 左乘（3）的第二式，得 将 12 22
1 1 12 22 21 1 12 2222 1 0 1 12 22211 12 1 0
并将第一式代入，得
1 2 12 111 0 22 21 1 1 1 2 11 12 1 0 22 21 1


(1)
的极大值，其中和是 Lagrange乘数。
0 12 1 11 1 1 211 22 1 0 1
12 1 111 0 211 22 1 0
再求第二对典型变量和他们的典型相关系数。
设第二对典型变量为：
x u2 2 y v2 2 11 2 1 Var ( u ) 2 2 在约束条件：
22 2 1 Var (v2 ) 2
x, 2 x) 1 11 2 0 cov(u1, u2 ) cov(1 y, 2 y ) 1 11 2 0 cov(v1, v2 ) cov(1
两个反映消费的指标与第一对典型变量中u1的相关 系数分别为0.9866和0.8872，可以看出u1可以作为消 费特性的指标，第一对典型变量中v1与Y2之间的相关 系数为0.9822，可见典型变量v1主要代表了了家庭收入， u1和 v1的相关系数为0.6879，这就说明家庭的消费与 一个家庭的收入之间其关系是很密切的；第二对典型变 量中u2与x2的相关系数为0.4614，可以看出u2可以作 为文化消费特性的指标，第二对典型变量中v2与Y1和 Y3之间的分别相关系数为0.8464和0.3013，可见典型 变量v2主要代表了家庭成员的年龄特征和教育程度， u2和 v2的相关系数为0.1869，说明文化消费与年龄和 受教育程度之间的有关。
22 1 1 111 1 Var (v1 ) 1 在约束条件 Var (u1 ) 1
下，求1和1，使u1v1达到最大。
根据数学分析中条件极值的求法，引入Lagrange乘数， 求极值问题，则可以转化为求
12 1 (1 111 1) ( 1 22 1 1) (1, 1 ) 1 2 2
典型相关分析 典型相 关系数 调整典型 相关系数 近似方差 典型相关系 数的平方
1
0.687948
0.687848
0.005268
0.473272
2
0.186865
0.186638
0.009651
0.034919
X组典型变量的系数
U1 X1 0.7689 U2 -1.4787
X2
0.2721
V1