跃峰奥数PPT4图论方法3-9(圈分析之同色的单色圈)
数学奥林匹克竞赛解题方法(第9讲 图论方法)
1 第9讲 数学解题方法（图论方法）
课时：3课时
教学课型：理论课
教学目的： 让学生对数学解题方法之一图论方法的知识有个全面的认识，并由此产生兴趣。
教学重点与教学难点：
● 运用图论方法进行有效地解决数学问题。
教学内容：
● 心理学家纽亏尔和西蒙提出：熟悉的知识和技能是问题解决者“可能信步漫游的网络”
● 把现实世界中的某些事情用点和联结点的边(线段或曲线)所组成的图形来描述,并应用这样的图形特征来解答问题.
例1 设R b b b R a a a n n ∈∈+,,,,,,,2121 ，且),,3,2,1(0n i b a i i =>+则有不等式
∑∑∑∑∑=====+≤+n i n i i i
n i n i i i n i i i i i b a b a b a b a 11111，其中等号当1=n 或1>n 有n
n b a b a b a === 2211时成立．（《数学通报》问题974题）
例2 (算术-几何平均值不等式)设+∈R a a a a n ,,,321，对于+∈N n ，则n n n a a a n
a a a 2121≥+++，其中等号当且仅当n a a a === 21时成立.。
图论课件第七章图的着色
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
离散数学——图论PPT课件
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
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定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
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• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
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• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
跃峰奥数PPT1代数组合4-3(整体思考之通性叠合)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
代数组合4-3（整体思考之等式叠合）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第4专题（研究特例整体思考）的第3小节（等式叠合），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【整体思考】有些问题是从一些个体或局部提出的【1】，但解决它却要从整体入手【1】——将个体放入整体中，通过研究整体性质【1】来发现个体性质。
【1】它有3种主要方式：研究整体发现个体三种整体思考方式平均值估计（构造若干个同类个体）【1】题中给定、或自我构造。
整体函数（通过多元函数刻划整体性质）通式叠合（性质通式叠合一起得出结论）两个趣题：（1）量纸问题：如何量出一张纸的厚度？——取100张（同类个体）纸叠起来量。
（2）追针问题：时针与分针经历多少时间重合一次（口答）■？⇒单个时间段不易计算⇒两个时间段也不易计算⇒…多少时间后容易计算总体时间？⇒12小时后，两针又回到原来位置。
12小时候，时针追上分针多少次？——先看时针追上分针一次两者路程有何关系：追上一次，等价于多跑一圈。
从而分针共追上时针11次，每次经历的时间是12/11小时■。
【追针问题解答（整体思考）】例【代数4-3】平面给定n个不全共线的点，每个点处写上一个实数，如果一条直线通过两个或两个以上的点，则此线通过点处的数的和为零，证明：所有的点处的数都为0。
跃峰奥数PPT2组合几何4-11(染色问题之撒网策略)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合几何4-11（染色问题之撒网策略）●冯跃峰本讲内容本节为第2板块（组合几何）第4专题（染色问题）的第11小节（撒网策略），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创染色问题的就是按一定的规则对相关对象染色，使之具有某种性质。
染色问题常有如下3种思考方法：3种思维方法局部扩展先对局部染色，然后扩展到整体（注意整体目标的分解）研究特例归纳通式、迁移特征、建立递归、操作化归。
拟对象逼近先构造满足部分条件的拟染色，然后改进本节介绍“拟对象逼近”的相关例子■。
【题感】从目标看，所找的m 个凸n 边形要满足2个条件：（1）同色；（2）全等。
其中同色是很容易的，只需“基点”足够多即可。
因此，可采用拟对象逼近策略，先满足全等【1】。
由此想到全等的定义：完全重合【1】。
进一步，全等图形一组“对应点”【2】构成的两个子图形是全等的【2】。
由此想到一个充分条件：作m 条全等的曲线，内接一条曲线的凸n 边形一定与另一条曲线上的对应凸n 边形全等。
为了保证n 边形是凸的，只需此曲线为凸曲线，且任何3点不共线。
这样的曲线很多，比如抛物线，圆等，其中以圆最简单。
【几何4-11】将平面上一个正方形内的所有点2-染色，试证：对任何正整数m 、n ，存在m 个全等的凸n 边形，它们的mn 个顶点互不相同且同色。
跃峰奥数PPT2组合几何4-3(染色问题之区域格点染色)
奥数系列讲座——组合几何4-3（染色问题之区域格点染色）●冯跃峰本讲内容本节为第2板块（组合几何）第4专题（染色问题）的第3小节（区域格点染色），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
编号与染色的一个共同特征就是分类。
当编号只用到数字的互异性时，编号与染色是等价的。
当编号涉及其他数字特征时，则要发掘图形特征与数字特征的相互关系，由此寻找规律。
编号与染色常有如下3种思考方法：3种思维方法局部扩展先构造局部，然后扩展到整体（注意整体目标的分解）研究特例归纳通式、迁移特征、建立递归、变动化归。
拟对象逼近先构造满足部分条件的拟对象，然后改进本次讲座介绍变若（x ，y ）是红色，则T 中所有满足x'≤x 且y'≤y 的点（x'，y'）均为红色。
如果n 个蓝点的横坐标各不相同，则称这n 个蓝点所成的集合为一个X-集；如果n 个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n 个蓝点所成的集合为一个Y-集。
证明：X-集的个数f （X ）与Y-集的个数f （Y ）相等。
（第43届IMO ）【题感】目标很简单，证明两个集合容量相等【1】。
但条件非常复杂【1】，自然想到先将其简化。
它包括两个方面：（1）点集的存在域【1】；（2）染色具有的性质【1】。
其中（1）有明显的几何意义（三角形区域），但为便于计算f （X ）等，可将有关格线编号。
别扭的是“染色性质”，这自然想到用相应几何图形来刻画。
【符号化】集合T 是由直线x=0，y=0【1】，及x+y=n-1【1】围成的三角形区域。
为方便，从下至上将直线y=0，y=1，…，y=n-1称为第1行，第2行，…第n 行【1】；从左至右将直线x=0，x=1，…x=n -1称为第1列，第2列，……第n 列【1】；从上至下将直线x+y=n-1，x+y=n-2，…x+y=0称为第1斜行，第2斜行，…第n 斜行【1】。
跃峰奥数PPT2组合几何4-7(染色问题之拟对象逼近)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合几何4-7（染色问题之拟对象逼近）●冯跃峰本讲内容本节为第2板块（组合几何）第4专题（染色问题）的第7小节（拟对象逼近），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 染色问题的就是按一定的规则对相关对象染色，使之具有某种性质。
染色问题常有如下3种思考方法：3种思维方法局部扩展先对局部染色，然后扩展到整体（注意整体目标的分解）研究特例归纳通式、迁移特征、建立递归、操作化归。
拟对象逼近先构造满足部分条件的拟染色，然后改进本节介绍“拟对象逼近”的相关例子■。
【题感】从目标看，要找一个特殊的同色直角三角形：（30°，60°，90°）。
它可分解为两个部分：（1）3个同色点；（2）构成（30°，60°，90°）三角形（不好优化）。
先寻找“拟对象”（满足1.5个条件）：3个点中有2个同色【1】，且构成（30°，60°，90°）三角形【1】。
先让哪两点同色呢？注意到最重要的是90°【1】，想到让同色点为斜边端点【1】，即找距离为2【1】的同色点，然后作圆【1】。
90°2找距离为2的同色点是很容易的，取3点利用抽屉原理即可■。
图论课件--与色数有关的几类图和完美图
( G )c l( G )
定义5 设G是一个图。若对G的每个点导出子图H，均 有 ( H ) c l ( H ) ,则称G为完美图。
例如Kn, 偶图是完美图，而不含三角形但含奇圈的图不 是完美图。 因为不含三角形的但含奇圈的图的团数为2，但色数为3， 所以，它不能是完美图。 注：完美图问题是点着色的进一步讨论题材，属于比较 高深和困难的问题。
25
补充定理：设G是一个偶图，记h为G的最大匹配包含 的边数，i为G的最大独立集包含的顶点数，j为构成覆盖G 的顶点的G的最小点边集合，则：i = j = m+n-h。
2、关于色数的完美图的主要结论
定理7 偶图的补图是完美图。 分析：欲证 G 是完美图，要证明对任意 H G 有
(H ) c l(G )
证明：设G是k临界图。如果G有割点v, 设G1,G2,…,Gr是 G-v的分支。又设第i个分支顶点集为Vi (1≦i≦r)。
设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色 的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色， 那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方 案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。
8
以，k(G)≦Δ (G); 情形2， H是完全图Hk
在这种情况下，由于G是连通的非完全图，那么在H 之外，必然有边和H相连，即Δ ≥K(H)=k(G);
情形3， H既不是奇圈又不是完全图，由例3知道， k≥4。H满足例4中条件。 所以，由例4中的结论有：
( H ) n ( H ) 2 m ( H )( n H ) ( k ( H ) 1 ) 1
设g的k临在这种情况下由于g不是奇圈所以h之外必然有边和h相连即g3另一方面kgkh3所在这种情况下由于g是连通的非完全图那么在h之外必然有边和h相连即情形3h既不是奇圈又不是完全图由例3知道k4h满足例4中条件
图论-总结PPT课件
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16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
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8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
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9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
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3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
图论中的圈与块(共79张PPT)精选
程序代码
PROCEDURE DFS(v);
begin
inc(sign); dfn[v] := sign; //给v按照访问顺序的先后标号为sign
lowlink[v] := sign; //给lowlink[v]赋初始值
for 寻找一个v的相邻(xiānɡ lín)节点u
if 边uv没有被标记过 then
1：询问某两个点之间的min(u,v)
2：删除一条边
你的任务是对于每个询问，输出min(u,v)的值。 (WC2006)
2024/2/27
5
第五页，共79页。
水管局长(2)
数据范围约定 结点个数N≤1000 图中的边数M≤100000 询问(xúnwèn)次数Q≤100000 删边次数D≤5000
32
第三十二页，共79页。
关键(guānjiàn)网线(2)
朴素算法： 枚举每条边，删除它，然后判断是否有独立
出来的连通区域内没有A属性或者(huòzhě)没 有B属性。复杂度O(M2) 当然，这个复杂度太大了！
2024/2/27
33
第三十三页，共79页。
关键(guānjiàn)网线(3)
a
b
2024/2/27
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第二十七页，共79页。
嗅探器(2)
数据范围(fànwéi)约定 结点个数N≤100 边数M≤N*(N-1)/2
2024/2/27
28
第二十八页，共79页。
嗅探器(3)
朴素算法： 枚举每个点，删除它，然后(ránhòu)判断a和
b是否连通，时间复杂度O(NM) 如果数据范围扩大，该算法就失败了！
8
第八页，共79页。
水管局长(5)
跃峰奥数PPT4图论方法3-4(圈分析之同色圈问题)
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但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创图论方法3-4（圈分析之同色圈问题）●冯跃峰本讲内容本节为第4板块（图论方法）第3专题（圈分析）的第4小节（同色圈问题），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
通过分析图中的一些点的度的性质，找到解题的突破口，我们称之为“度分析”。
包括如下4个方面：四种分析方法去掉悬挂点（度为1的点）将问题化归到已知情形（通常与归纳法相结合）图论方法1（度分析）考察极端从最大度、最小度突破度与边关联建立度与边的联系引入容量参数设d（A）=k，对k的取值进行讨论。
【图论方法（圈分析）】所谓“圈分析”，就是从图中的圈入手，探索解题途径。
它包括三种常见的思路：三种思路（1）论证有圈：在给定的图中寻找圈，发现图的相关性质；（2）判断是圈：先考察图的最简单情形：是一个圈。
再考虑其它情形：或者化归，或者迁移特征。
（3）主动作圈：先构造一个圈，然后逐步完善其它边，得到合乎要求的图。
本节介绍“论证有圈”的相关例子。
【找“固定长度r”的圈的策略】图论中的定理通常只指存在圈，但并不知道圈的长度。
若要找固定长度r 的圈，可采用以下局部扩充策略：定义：两条有公共顶点的边组成的图称为“2-链”，公共顶点称为2-链的中心，另两个顶点称为2-链的端点。
中心端点端点···（1）由一条“2-链”扩充取2-链ABC ，然后由端点A 、C 向两边扩展（找邻点），最后叠合成圈【3】。
跃峰奥数PPT1代数组合11-3(发掘性质之局部性质)
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但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
代数组合11-3（发掘性质之局部性质）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第11专题（发掘性质）的第3小节（局部性质），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【发掘性质】四种发掘性质方式发掘正面性质：从正面构造“合乎要求”的对象，发现其必定含有某种结构。
发掘反面性质：从反面构造“不合乎要求”的对象，发现其必定不含有某种结构。
发掘局部性质：研究条件中的局部对象，发现相关性质，然后迁移或扩展。
所谓发掘性质，就是从题给的条件出发，发掘若干有用的结论，反复运用这些结论，求出参数、指导构造，或用于导出矛盾。
发掘性质有如下三种常见的途径：发掘功能性质：发现条件具有某种功能，它恰好与目标要求相吻合。
本节介绍发掘局部性质的相关例子■。
（i=1，2）中每两个相邻的方格的中心都用一条线段连接，得到的图记为G i 。
试证：如果G 1、G 2都是连续的折线（无环路，不分岔），则棋盘的中心必定是G 1或G 2的端点。
（2017年中国国家集训队测试题第3轮）【述评】本题应该算是一道“难题”，因为当年参加集训的学生中除9人得分外，其余考生都得0分。
“官方”解答也很繁，占用了近2个版面的篇幅。
我们这里给出一个简单的证明，10行就够了。
从这个角度看，本题似乎又不算“难题”。
有趣的是，我们的解答中几乎只用到小学知识，这是本题的一大特色，也是组合问题的魅力所在。
跃峰奥数PPT8组合构造5-9(递归构造之撒网策略)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
组合构造5-9（递归构造之撒网策略）●冯跃峰本讲内容本节为第8板块（组合构造）第5专题（递归构造）的第9小节（撒网策略），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
涉及到n个对象的构造问题，最直截了当的方法是“通式构造”（对每个1≤i≤n，给出第i个对象的具体表现形式）。
此时，研究特例是一种有效手段。
但有的情况下，通式构造难以发现，这时，递归构造则有奇特效果。
因为构造建立在一种“假设”之下，使构造有“坚实”的基础：只需在“k”的情形中，考虑增加一个元素后如何构造。
最简单的递归构造是：“k”情形中的构造可以考察原封不动，只需考虑新增元素与原来元素之间的关系。
较为复杂的情形是，“k”情形中的构造需要进行适当的改造。
递归构造技巧包括以下“三种情形”与“两个选择”：涉及到n 个对象的构造问题，最直截了当的方法是“通式构造”（对每个1≤i≤n ，给出第i 个对象的具体表现形式）。
此时，研究特例是一种有效手段。
但有的情况下，通式构造难以发现，这时，递归构造则有奇特效果。
因为构造建立在一种“假设”之下，使构造有“坚实”的基础：只需在“k ”的情形中，考虑增加一个元素后如何构造。
三种情形（1）初值递归（穷举初值的所有构造）（2）“定元”递归（适当选取增、减元素）（3）多假设递归（利用假设中多个结论）两个（1）选择归纳对象（多元选一、分批归纳）例【构造5-9】如果最少要用n种赛给图中的顶点染色，才能使相邻的点不同赛，则称之为n-赛构图。
跃峰奥数PPT9竞赛真题0-1(2021年之原创新题限距染)
跃峰奥数系列讲座——温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
奥数系列讲座——竞赛真题0-1（2021年之原创新题限距染型号）●冯跃峰本讲内容本节为第9板块（竞赛真题）第0专题（2021年原创新题）的第1小节（限距染型号），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【真题0-1】设X={（x ，y ）|x ，y ∈Z}是平面内所有格点的集合，对X 中任意两个格点a=（x 1，y 1）、b=（x 2，y 2），定义它们的距离为：|a-b|=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|。
将X 中的点染型号，使对任何两个同型号的格点a 、b ，都有|a-b|≥k ，其中k 是给定的大于1的整数，我们称这种方式的染型号为格点的“k-限距染型号”。
记平面格点的“k-限距染型号”中型号种数为μ（k ），求μ（k ）的最小值。
（原创题）例但由于参数k 比较抽象，可先研究k 的一些简单取值情形，从中发现规律。
【题感】从目标看【1】，为求μ（k ）的最小值，可先估计μ（k ）的下界。
再注意到染型号是由“距离”不等式|a-b|≥k 限定的【1】，其反面容量远远小于正面容量（[k ，+∞）与[1，k-1]之间的显著差别），可采用补集思考：如果|a-b|≤k-1，则a 、b 异型号。
由此想到构造两两距离不大于k-1的点集M ，则M 中的点两两异型号，得到μ（k ）的下界估计。
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温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创图论方法3-9（圈分析之同色的单颜色圈）●冯跃峰本讲内容本节为第4板块（图论方法）第3专题（圈分析）的第9小节（同色的单颜色圈），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创通过分析图中的一些点的度的性质，找到解题的突破口，我们称之为“度分析”。
包括如下4个方面：四种分析方法去掉悬挂点（度为1的点）将问题化归到已知情形（通常与归纳法相结合）图论方法1（度分析）考察极端从最大度、最小度突破【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创度与边关联建立度与边的联系引入容量参数设d（A）=k，对k的取值进行讨论。
【图论方法（圈分析）】所谓“圈分析”，就是从图中的圈入手，探索解题途径。
它包括三种常见的思路：三种思路（1）论证有圈：在给定的图中寻找圈，发现图的相关性质；（2）判断是圈：先考察图的最简单情形：是一个圈。
再考虑其它情形：或者化归，或者迁移特征。
（3）主动作圈：先构造一个圈，然后逐步完善其它边，得到合乎要求的图。
跃峰奥数本节介绍“论证有圈”的相关例子■。
【找“固定长度r”的圈的策略】图论中的定理通常只指存在圈，但并不知道圈的长度。
若要找固定长度r 的圈，可采用以下局部扩充策略：定义：两条有公共顶点的边组成的图称为“2-链”，公共顶点称为2-链的中心，另两个顶点称为2-链的端点。
中心端点端点···（1）由一条“2-链”扩充取2-链ABC ，然后由端点A 、C 向两边扩展（找邻点），最后叠合成圈【3】。
A B C （2）由一条边扩充取边AB ，然后由A 、B 向两边扩展（找邻点），最后叠合成圈【3】。
AB（3）由中间点扩充取两个中间点A 、B （不一定相邻），在AB 两侧分别扩充、叠合【5】。
A B（4）由“s 、t-链”拼合证明2条s 、t-链对应同一个“2点组”（叠合）【3】。
A B ····■跃峰奥数【以C3、C4为例，技巧略有不同】找三角形有两种方式由一条“2-链”扩充取点A为“2-链”中心【1】，证明A的邻域中【1】，有2点相邻【1】（通常用到“邻域分块”、“充分条件分类”技巧）；PAQ由一条边扩充适当取边AB【1】，证明A、B的邻域有公共点【1】：（|D（A）∩D（B）|≥1）【1】。
AB■跃峰奥数找四边形有四种方式由一条“2-链”扩充取“2-链”中心A【1】，证明有异于A的点P【1】，向A的邻域引两条边【1】；AP由一条边扩充取边AB【1】，证明A的邻域中一点【1】，与B邻域中一点【1】相邻【1】；A B 由对顶点扩充取两点A、B【1】，证明A、B邻域有2个公共点【1】：|D（A）∩D（B）|≥2【1】；A B 两条“2-链”拼合证明有两条2-链【2】对应同一个“2点组”【1】。
AB····■跃峰奥数【图论3-9】对n阶完全图Kn 的边任意2-染色，都有2个单颜色三角形，而且这两个单颜色三角形同色，求n的最小值。
（原创题）【题感】从目标看【1】，本题属于“任意型【1】”最值。
其“论证”用于等式，“构造”用于不等式（下界）。
就等式而言，设n=n0合乎要求，则要找到两个同色【1】的单颜色三角形。
由抽屉原理可知，一个充分条件是：找到3个单颜色的三角形。
这可采用逼近策略，先由局部（单颜色角）扩展得到一个单颜色三角形，在此基础上再“扩展”，直至得到3个单颜色三角形。
就不等式而言，要证明：n≥n0。
一个显然的下界是n≥6，因为熟知2-染色的K5可能没有单颜色三角形：比如红色C5与蓝色C5的并。
再注意到“最小值【1】”也许不会太大，可从n=6开始逐一试验■。
跃峰奥数【构造反例】当n ≤5时，取图G 为红色C 5与蓝色C 5的并【1】，再取G 的n 阶子图【1】，则n 阶子图中没有单颜色三角形，矛盾。
所以n≥6。
A 1A 4A 2A 3A 5跃峰奥数【穷举试验】当n=6时，由拉姆塞定理，2-染色的K 6中必有（2个）单颜色三角形（证明见后）。
现在的问题是，二色K 6中的2个单颜色三角形未必同色。
我们期望能构造一个2-染色的K 6，使其中只有2个单颜色三角形，且这两个单颜色三角形不同色（构造“反例”）。
这可按2个单颜色三角形的位置分布的不同方式分类讨论，通过局部扩展，找到合乎要求的反例构造。
【位置分布】（1）两个单颜色三角形没有公共顶点，设有一个红色△ABC 【1】，和一个蓝色△DEF 【1】。
A 【局部扩展】考察A 向△DEF 引出的3条边，由抽屉原理，必有2条同色，设AD 、AE 同色【1】。
B C D EF若AD 、AE 同为蓝【1】，则有2个蓝三角形DEF 、DEA ，构图不合要求，于是AD 、AE 同为红色【1】。
同理，B 向△DEF 也引出2条红边【1】，必与D 、E 之一连红边，设BD 为红色【1】。
这样，又得到2个红色三角形：△ABC 、△ABD 。
此时，构图也不合要求（不合“反例”要求）■。
（2）两个单颜色三角形有公共顶点，设有一个红色△ABC 和一个蓝色△ADE 【1】。
EF D BCA类似地进行局部扩展，可先考虑F 连的边【1】。
注意同色线段尽可能不共点（同色角），以避免出现新的单颜色三角形。
由对称性，可设FA 为蓝色【1】，则FD 、FE 为红（△FAD 、△FAE ）【1】。
因为B 、C 都引出2条红边【1】，为避免红三角形，可取FB 、FC 为蓝色【1】。
继而由对称性，可设EB 为红色【1】，则EC 为蓝色（△EBC ）【1】。
最后，DC 为红色（△DEC ）【1】，DB 为蓝色（△DCB ）【1】，得到构图没有2个同色的单颜色三角形，从而n≠6。
如果n<6，则在上图中去掉6-n 个点及其关联的边，得到的图中也没有2个同色的单颜色三角形，从而n≥7■。
跃峰奥数一个充分条件是找到3个单颜色三角形。
这可采用逼近策略，逐步找到单颜色三角形。
可用的相关知识是：2-染色K 6中一定有单颜色三角形。
但需要避免与后续单颜色三角形重复。
为了避免重复，需要在一个单颜色三角形中去掉“一个点”，则剩下的图为2-染色的K 6，还需在K 6中找到2个单颜色三角形。
所以需要加强命题（用变式），期望证明如下的引理。
6其证明也可以采用逼近策略。
【逼近策略】首先，由拉姆塞定理，2-染色K 6中一定有单颜色三角形，设为红色的△ABC 【1】。
EF D BC A 下面只需在图中再找一个单颜色三角形。
若逐一分析各边的颜色，从正面确定谁为单颜色三角形，则过程较繁；若从反面思考，反设没有单颜色三角形，则可利用相关知识，确定大多数边的颜色，使图的颜色逐步确定，最终产生矛盾。
6【逼近策略】首先，由拉姆塞定理，2-染色K6中一定有单颜色三角形，设为红色的△ABC【1】。
EF DBCA【反面思考】反设没有其它单颜色三角形，去掉点B及其关联的边【1】，得到2-染色的K5【1】，由图论知识可知，它是一个红色C5与一个蓝色C5的并。
注意到AC为红【1】，设红色C5为ACDEF【1】，则蓝色C5为ADFCE【1】。
【局部扩展】由于BC、CD为红色，所以BD为蓝色【1】。
由对称性，BF为蓝色【1】，得到蓝色△BDF【1】，矛盾，引理获证。
利用上述引理，在2-染色K7中找到3个单颜色三角形是轻而易举的■。
下面证明n=7合乎要求，即2色K7中有2个同色的单颜色三角形。
【逼近策略】首先，由引理，2色K7中一定有2个单颜色三角形，取其中一个单颜色△ABC【1】。
EG DBC去掉点A及其关联的边【1】，由引理，在剩下的2色K6又有2个单颜色三角形【1】，连同前面的单颜色△ABC【1】，一共有3个单颜色三角形。
FA由抽屉原理，这3个单颜色三角形中必有2个同色，所以n=7合乎要求。
综上所述，n的最小值为7■。
【新写】先证明引理：2-染色K 6中有2个单颜色三角形（略）。
再证明n=7合乎要求。
首先，由引理知，2色K 7中一定有2个单颜色三角形，取其中一个单颜色△ABC 。
去掉点A 及其关联的边，由引理，在剩下的2色K 6中又一定有2个单颜色三角形，连同前面的单颜色△ABC ，一共有3个单颜色三角形。
由抽屉原理，这3个单颜色三角形中必有2个单颜色三角形同色，所以n=7合乎要求。
最后，在完全6边形ABCDEF 中将AB 、BC 、CA 、CD 、DF 、FE 、EB 染红色，其余边染蓝色，则图中只有2个单颜色三角形，其中一个红△ABC ，一个蓝△ADE 。
当n ≤6时，取上述图的n 阶子图，则子图中没有2个同色的单颜色三角形，矛盾，所以n ≥7。
综上所述，n 的最小值为7。
【发掘引理】【逼近策略】【剔除元素，避免重复】【局部扩展】■■。