图论块
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矛盾。
块
定义：若图G的一个不可分子图不是其他任 意不可分子图的真子图，则称该子图是G的 一个块。
性质：
1.G的任意一个块都是G的诱导子图。
2.G是不可分的当且仅当G仅有一个 块，即G本身。
3.不在任意圈上的边构成一个块。
u1
图G：
u
u2
G的块：
u3
v1
v3 v
x1
ຫໍສະໝຸດ Baiduv2 w1
W2
定理5.8：设R是定义在非平凡连通图G的边集上的如 下关系：对于c，f ∈E(G)，若e=f或e ，f位于G的 同一个圈上，则e ，f 有关系R，记为e R f ，则R 的等价关系。
推论5.9 非平凡连通图G的任意两个不同图的块B1和B2具有下 面的性质：
（1）B1，B2是边不相交的。 （2）B1,B2至多有一个公共顶点。 （3）若B1,B2有一个公共顶点v，则v是G的割点。 证明： 由定理5.8.得，任意两个不同的块是边不相交的。下面证明（2）。假设B1,B2 有两个不同的公共顶点u，v，因为B1,B2均是G的连通子图，所以在B1,中存在一 条u-v路P′，在B2中存在一条u-v路P″。此外，由于B1和B2是边不相交的， 则P′和P″也是边不相交的，设w是P′和P″的在u之后的第一公共顶点 （w=v）P′的u-w子路Q′和P′ 的u-w子路Q″构成了G的一个圈，该圈包含了 B1的边e1和B2的边e2，因此，e1 e2 在G的同一个块中，这显然不成立。（3） 设G的两个块B1和B2有一个公共顶点v，则v关联B1中的边e1=vv1和B2中的边 e2=vv2。假设v不是G的割点，则存在一条不包含v的v1-v2路，因此，P与v,e1， e2构成一个包含e1 e2的圈，由于e1 e2属于不同块，故不成立。
证： 直接证法。知R是自反的和对称的，因此现在只证明传递性。设e ，f，g
∈E(G)，满足e R f和f R g 。若e=f 或f=g，则e R g必然成立。因此， 假设e f是位于圈C上，f g 位于圈C′。若e位于C′上或g位于C上，则得
e R g。因此，假设上述的两种情况均不发生。设e=uv，P是C上不含e 的 一条路 ，x 是P上第一个属于C′的顶点，y是P上最后一个属于C′的顶 点，设P′是C′上包含g的一条x-y路，P″是C上包含e 的一条 x-y路， 则P′ 和P″ 构成一个包含e和g的圈C″故有e R g由定理5.8知，其描述 的等价关系把任意非平凡连通图G的边集划分成等价类，实际上，由每个等 价类中边所诱导的G的子图都是G的一个块。
必要性证明：设G是一个阶至少为3的不可分图，假设G存在一些顶点对， 使得它们不在同一个圈上，在所有这样的顶点对中找到两个顶点u，v 使得它们的距离最小，即d（u，v）最小。假设d（u，v）=1，则 uv∈E（G）.通过观察不难发现uv位于一个圈上。因而d（u，v） =k>=2.设P：u=v0,v1,…,vk-1,vk=v是G中一个长度为k的u—v路。由 于d（u，vk-1）=k-1<k,则存在一个包含u和vk-1的圈C。由假设，v不 在C上。由于vk-1不是G的割点，且u和v是与vk-1不同的两个顶点，由 定理5.4，则存在一条不包含vk-1的u—v路Q。由于u位于C上，因此考 虑Q中第一个位于C上的顶点是有意义的，记该顶点为x。设Q′为Q的 v—x子路，P′为C上包含u的vk-1-x路。（若x≠u, 则 P′是唯一的 ）然而， 由v到邻点uk-1，再沿P′到x，最后Q′到v所构成的圈C′包含u和v，从而导致
不可分图
定义：不含割点的非平凡连通图。
定理5.7：阶至少为3的图是不可分的当且 仅当任意两个顶点都位于某个圈上。
证明：[反证法]充分性，设图G阶数至少为3，且任意 两个顶点位于某一个圈上，则这两个顶点是连通的， G当然是连通的，若G不可分，G必包含一个割点v， 设u，w分别为G-v中两个不同连通分支上的点，知u， w位于某个圈C上，则C上有两条u—w路，其中至少 一条不包含v由定理5.3知与假设矛盾，因此G不含割 点，是不可分的。
块
定义：若图G的一个不可分子图不是其他任 意不可分子图的真子图，则称该子图是G的 一个块。
性质：
1.G的任意一个块都是G的诱导子图。
2.G是不可分的当且仅当G仅有一个 块，即G本身。
3.不在任意圈上的边构成一个块。
u1
图G：
u
u2
G的块：
u3
v1
v3 v
x1
ຫໍສະໝຸດ Baiduv2 w1
W2
定理5.8：设R是定义在非平凡连通图G的边集上的如 下关系：对于c，f ∈E(G)，若e=f或e ，f位于G的 同一个圈上，则e ，f 有关系R，记为e R f ，则R 的等价关系。
推论5.9 非平凡连通图G的任意两个不同图的块B1和B2具有下 面的性质：
（1）B1，B2是边不相交的。 （2）B1,B2至多有一个公共顶点。 （3）若B1,B2有一个公共顶点v，则v是G的割点。 证明： 由定理5.8.得，任意两个不同的块是边不相交的。下面证明（2）。假设B1,B2 有两个不同的公共顶点u，v，因为B1,B2均是G的连通子图，所以在B1,中存在一 条u-v路P′，在B2中存在一条u-v路P″。此外，由于B1和B2是边不相交的， 则P′和P″也是边不相交的，设w是P′和P″的在u之后的第一公共顶点 （w=v）P′的u-w子路Q′和P′ 的u-w子路Q″构成了G的一个圈，该圈包含了 B1的边e1和B2的边e2，因此，e1 e2 在G的同一个块中，这显然不成立。（3） 设G的两个块B1和B2有一个公共顶点v，则v关联B1中的边e1=vv1和B2中的边 e2=vv2。假设v不是G的割点，则存在一条不包含v的v1-v2路，因此，P与v,e1， e2构成一个包含e1 e2的圈，由于e1 e2属于不同块，故不成立。
证： 直接证法。知R是自反的和对称的，因此现在只证明传递性。设e ，f，g
∈E(G)，满足e R f和f R g 。若e=f 或f=g，则e R g必然成立。因此， 假设e f是位于圈C上，f g 位于圈C′。若e位于C′上或g位于C上，则得
e R g。因此，假设上述的两种情况均不发生。设e=uv，P是C上不含e 的 一条路 ，x 是P上第一个属于C′的顶点，y是P上最后一个属于C′的顶 点，设P′是C′上包含g的一条x-y路，P″是C上包含e 的一条 x-y路， 则P′ 和P″ 构成一个包含e和g的圈C″故有e R g由定理5.8知，其描述 的等价关系把任意非平凡连通图G的边集划分成等价类，实际上，由每个等 价类中边所诱导的G的子图都是G的一个块。
必要性证明：设G是一个阶至少为3的不可分图，假设G存在一些顶点对， 使得它们不在同一个圈上，在所有这样的顶点对中找到两个顶点u，v 使得它们的距离最小，即d（u，v）最小。假设d（u，v）=1，则 uv∈E（G）.通过观察不难发现uv位于一个圈上。因而d（u，v） =k>=2.设P：u=v0,v1,…,vk-1,vk=v是G中一个长度为k的u—v路。由 于d（u，vk-1）=k-1<k,则存在一个包含u和vk-1的圈C。由假设，v不 在C上。由于vk-1不是G的割点，且u和v是与vk-1不同的两个顶点，由 定理5.4，则存在一条不包含vk-1的u—v路Q。由于u位于C上，因此考 虑Q中第一个位于C上的顶点是有意义的，记该顶点为x。设Q′为Q的 v—x子路，P′为C上包含u的vk-1-x路。（若x≠u, 则 P′是唯一的 ）然而， 由v到邻点uk-1，再沿P′到x，最后Q′到v所构成的圈C′包含u和v，从而导致
不可分图
定义：不含割点的非平凡连通图。
定理5.7：阶至少为3的图是不可分的当且 仅当任意两个顶点都位于某个圈上。
证明：[反证法]充分性，设图G阶数至少为3，且任意 两个顶点位于某一个圈上，则这两个顶点是连通的， G当然是连通的，若G不可分，G必包含一个割点v， 设u，w分别为G-v中两个不同连通分支上的点，知u， w位于某个圈C上，则C上有两条u—w路，其中至少 一条不包含v由定理5.3知与假设矛盾，因此G不含割 点，是不可分的。