华东理工大学2008学年第二学期复变函数A卷

华东理工大学2008–2009学年第二学期

《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷 A 2009.6 开课学院：理学院，专业：大面积考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课教师

一、填空题(每小题4分，共36分)

1.复数

n

⎝⎭

的模.

2.若

1

z=,

2

z i

=，则

12

z z⋅的指数形式为.

3.Lni的值为.

4.=

⎰=dz z

z1

.

5.幂级数n

n

n

z

n

n

∑∞

=1

2

)!

(

的收敛半径是.

6.已知函数

2

32

()

(2)

z

f z

z z

+

=

+

，则=

]0

),

(

Re[z

f.

7.把上半平面0

Im(z)>映射为单位圆1

<

w且满足0

)(

arg

,0

)(=

'

=i

f

i

f的分式线性映射为.

8.函数)]

(

)

(

[

)

(

ω

ω

δ

ω

ω

δ

π

ω-

+

+

=

F的Fourier逆变换为

9. ()1t

f t te

=-的Laplace变换为.

二、单项选择题(每小题4分，共20分)

1.复数2i

e-的辐角主值是（）

A.1

B.8

C.－1

D.8

2. 函数()

w f z u iv

==+在点

z处解析，则命题（）不成立。

A. ,u v 仅在点0z 处可微且满足C R -条件；

B. 存在点0z 的某一邻域0()U z ，,u v 在0()U z 内满足C R -条件；

C. ,u v 在邻域0()U z 内可微；

D. B, C 同时成立。

3. 设()f z 在闭曲线C 上及其内部解析，0z 在C 的内部，则有（ ） A.

02200()1

()()()C C f z dz f z dz z z z z '=--⎰⎰ B. 200()()

()()C C f z f z dz dz z z z z '=--⎰⎰ C.

0200()()1()2!()C C f z f z dz dz z z z z =--⎰⎰ D. 0200()()()()C C f z f z dz dz z z z z =--⎰⎰

4. 函数

cot 23

z

z π-在2z i -=内的奇点个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将点0,1,z =∞分别映射为1,,1i w --=的分式线性映射为（ ）

A.11z w z +=-

B. 211i z w e z π+=-

C. z i

w z i -=+ D. 2i z i w e z i π

-=+

三、（8分）已知23

(,)3u x y xy x =-+为调和函数，求满足(0)f C =的解析函数？

四、(共8分)沿指定曲线C 计算积分

⎰++C z z dz

)4)(1(22的值，其中2

3:=z C 为正向.

五、（8分）求函数3

sin )(z

z

z z f -=在∞<

六、（8分）利用傅里叶变换求解方程τττd t g y t f t y )()()()(--=⎰

+∞

∞

-其中)(),(t g t f 为已

知函数？

七、（12分）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩

⎨⎧='==+''.)0(,)0(02B y A y y k y (已知

ℒ22]sin [k s k kt +=

，ℒ2

2]cos [k

s s kt +=， ℒ)1][k s e kt

-=