华东理工大学2008学年第二学期复变函数A卷
华东理工大学复变函数复习
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
36
注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
Im z 0 Im w 0
az b w (a, b, c, d R，ad bc 0) cz d
Im z 0 | w | 1 | z | 1 | w | 1
za we Im(a) 0) ,( R， za
i
za we a 1) ,( R， 1 az
2 2
复
习
19
第一章：
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
注意：他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意：这是与实变函数完全不同的)
39
40
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
2008年
2008年复变试题共五页一．选择题（每题3分，共27分）1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ ）（A ）i y xy y x )2(222-+- （B ）i y x 22+（C ）)2(222x x y i xy +-+ （D ）i y yi x xy x 322333-+-2４.５.６.７.设0=z 为函数zz e zsin 1--的m 级极点，那么m ＝（ ） （Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２８.设函数)(t f 的拉普拉斯变换)(}]{[s F t f L =，则=⎰t dt t f L 30])([（ ） （Ａ）)3(31s F s （Ｂ）)3(1s F s （Ｃ）)(31s F s （Ｄ）)(1s F s９.设函数)(t f 的傅立叶变换为)()]([ωF t f F =，则函数)2()2(t f t --的傅立叶变换为（ ） （Ａ）)2()2(4ω--ω-'-F F i （Ｂ）)2()2(4ω--ω-'F F i （Ｃ）)2()2(2ω--ω-'-F F i （Ｄ）)2()2(2ω--ω-'F F i 二．填空题（每题４分，共４０分）１.已知5)11)(12(i i i i z +-+-=，则=6z ______________________________ ２.复数i i+1的主值为______________________________３则f ４. 20⎰ ５. 'f ６.７. 8.9. 10设1)(2+ω=ωF ，则)(ωF 的傅立叶逆变换为_____________________________ 三．（10分）将函数2)(1)(zi z z f -=在适当的圆环域内展开成含i z -的幂的洛朗级数。
四．（9分）计算函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<<<<<---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11,0)(的傅立叶变换，并计算广义积分 ⎰+∞ωωωω-0sin )cos 1(2d t 的值。
东华理工大学复变函数
一、判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否⨯1、3125i i +>+ ( )2、设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(limz f z z ,则0z 是)(z f 的极点. ( )3、函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的充分必要条件. ( )4、幂级数1n n i n+∞=∑为条件收敛的级数. ( )5、如果0z =，则辐角arg z π=. ( )6、.设11i z i+=-，则807550z z z i ++=-. ( )7、在复数范围内364有唯一值4. 在复数范围内327有唯一值3. ( ) 8、设z a =为)(z f 的m 级极点，那么()Re [,]()f z s a m f z '=- ( ) 9、设x ，y 为实数，则sin()1x iy +≤. ( )10、34z i =+ 是方程 ｚ＋z ＝２＋ｉ的解. （ ） 11、z ＝0为3sin zz 的二级极点. ( )12、使得22z z =成立的复数z 是唯一的. ( )13、函数2()3f z z=在点z ＝0处是解析的. ( )14、设x ，y 为实数，则cos()1x iy +≤. ( ) 15、如果1z =，则辐角arg 0z =.( )16、32i i >. ( ) 17、222()(),()(1)(1)z zf z z i z z ''==≠±++、 ( )18、若0()()f t t t δ=-，则()f t 的傅氏变换为 0i t e ω-( )19、在复数范围内364有唯一值4.( )20、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. ( )21、22()1s F s s =+的拉普拉斯逆变换为()sin t t δ-. ( )22、21i i +>+. ( ) 23、如果0z =，则辐角arg 0z =. ( )24、若0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. ( )25、当n →∞时，数列12nn i z +⎛⎫= ⎪⎝⎭收敛. ( )26、幂级数0()!nn nz n +∞=∑的收敛半径为1e . ( )27、设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f . ( )28、设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点, 则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( ) 29、设,2321i z -=则.32arg π=z ( )30、在复数范围内38有唯一值2. ( )31、cos w z =是有界函数. ( ) 32、设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( )33.如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。
华东理工大学2007至2008学年第二学期高等数学下8学分课程期末考试试卷A
华东理工大学2007至2008学年第二学期高等数学下8学分课程期末考试试卷 A
2008年6月
一. (本题8分)
求旋转抛物面上与直线垂直的切平面方程。
二. (本题8分)
试用拉格朗日乘数法在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短.
三. (本题8分)
设函数在上连续, 且满足,
其中, 求的表达式 .
四. (本题8分)
求曲线在[2,6]上的一条切线,使该切线与直线及曲线
所围成的图形面积为最小,并求最小面积.
五. (本题8分)
如图，半径为的半球形水池中盛满了水,设抽水机每分钟作功为常量千焦耳,
则水深为时,水面下降的速率是多少?
六.填空题(每小题4分,共40分):
1.微分方程满足初始条件的特解
是___________ .
2. 微分方程的通解是 .。
2008-2009(2)A
(C)2
；
2.二元函数 z = f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（ ( A） f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续；
（D） lim （C） ∆z − f x′ ( x 0 , y 0 )∆x − f y′ ( x0 , y 0 )∆y 当 (∆x) 2 + (∆y ) 2 → 0 时是无穷小； 3. I 1 = ∫∫ ( x + y ) 3 dxdy与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 2 dxdy ，其中 D： − 2) 2 + ( y − 1) 2 ≤ 2 的大小关系为:（ (x
2 1.设某工厂生产甲产品数量 S(吨)与所用两种原料 A、B 的数量 x,y(吨)间的关系式 S ( x, y ) = 0.005x y ，现准备向银行贷
款 150 万元购原料，已知 A,B 原料每吨单价分别为 1 万元和 2 万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?
4
1 2 ( x + y 2 ) ，则 gradf (x) = 2
Γ
。 。 。
5. 设 Γ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 被平面 x + y + z = 0 所截的圆周.计算 ∫ d s = 6.幂级数 ∑ (−1)
n =1 ∞ n −1
xn 的收敛半径 n
。
得分 评卷人 二、选择题（共 18 分，每小题 3 分） 1.函数 f ( x, y ) = xy 在点 (0, 0) 的极限为 （ x + y2
2 0 2 0 3 0 2 0 2 0 0
π
π
1
2π 0
（D）∫ dθ ∫ 2 dϕ ∫ r 3 sin ϕ cos ϕdr ；
复变函数考试试卷(A)及答案
第 1 页 共 5 页考试试卷(A)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式: 闭卷一、专业年级: 教改信息班 总分100分, 占总评成绩70 %1． 注: 此页不作答题纸, 请将答案写在答题纸上 单项选择题（15分, 每小题3分） 下列方程中, 表示直线的是（ ）。
()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1A i z i z zzB i z i zC z i z iD z z z -++=-++=-++==-2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。
()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导下列命题中, 不正确的是（ ）。
()()()()()()()()()0Res ,0Im 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e iD z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆3． 下列级数绝对收敛的是（ ）。
()()()()()221111112n nnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑ 设 在 内解析且 , 那么 （ ）。
()()()()2211A iB iCD ππ--第 2 页 共 5 页1. 的主值为 。
2. 函数 仅在点z= 处可导。
3. 。
4. 函数 在 处的泰勒展开式 。
5. 幂级数 的收敛半径为 。
三．(10分)求解析函数 , 已知 。
四. (20分)求下列积分的值 1．()2241z z e dz zz =-⎰2．()20sin 0x xdx a x a+∞>+⎰五. (15分)若函数 在点 解析, 试分析在下列情形: 1. 为函数 的m 阶零点； 2. 为函数 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦。
2009-7-A(答案)概率论与数理统计试卷和答案
华东理工大学2008–2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 卷 2009.7.2 一、（共12分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=--其他,00,0,),(2y x ke y x f y x ，（1） 求常数k （3分）； （2） 求}{Y X P >（3分）；（3） 证明：X 与Y 相互独立（6分）。
解：（1）1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ，……………………………………….2’102=⎰⎰∞∞--dxdy ke y x ，2=k ；………………………………………1’（2）}{Y X P >⎰⎰∞--=22xy x dxdy e dx ……………………………….2’32311=-=………………………………………………1’ （3）⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-∞--⎰0,00,0,00,2)(02x x e x x dy e x f x y x X ，……………………………..2’ ⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-∞--⎰0,00,0,00,2)(202y y e y y dx e y f y y x Y …………………………………2’因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立。
………………………………….2’ 二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从 （300，500）上的均匀分布。
每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。
问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？ 解：设公司组织货源a 吨，此时的收益额为Y （单位：千元），则)(X g Y =，且⎩⎨⎧<--≥=a X X a X aX a Y ),(5.05.1,5.1⎩⎨⎧<-≥=aX a X a X a ,5.02,5.1………………2’X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0)500,300(,2001)(x x f ……………………..1’ =EY ⎰∞∞-dx x f x g )()(⎰⎰⋅+⋅-=50030020015.12001)5.02(a a dx a dx a x )300900(200122-+-=a a ……………………………………………………3’ 令0)9002(2001=+-=a da dEY ，…………………………………………………2’450=a （唯一驻点）， 又0100122<-=daEY d所以，当450=a 吨时，可以使平均收益EY 最大，即公司应该组织货源450吨。
华理复变第二章答案.doc
3 + i 2-i 3-i 2 + i (因为一对共轨复数的模所以I 兀卩+21兀llyl + ly 卩 2 所<kl o第一章复数与复变函数一、 基本要求1、 熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方和共轨运算；2、 掌握和运用复数模的三角不等式；3、 熟练复数的各种表示形式之间的关系；4、 理解无穷远点的概念；5、 弄清开集、区域、闭区域、单连域、多连通域、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐 段光滑曲线等概念，会用复数方程和不等式表示一些常见的平面曲线和简单区域；6、 掌握复变函数的概念及映射的概念，弄清复变函数与实二元函数之间的关系。
7、 掌握复变函数的极限、连续和导数的概念及其性质。
二、 典型例题例1求复数z = (3 + 0(2~°的模。
(3-0(2 + 0解：注意到本题的特殊性例2、求复数汙的实部与虚部。
卸 s-1 (z-lXz + 1) a-l)(z+Dz+i (z+i )(z+i ) iz+ir_ (zZ + z _Z_ 1) _ zZ_l | . 2Imz- Iz + ll 2 _k + ll 2 l \z + l\2所以，Rew= — , Imw=。
k + ll 2lz + 1 卩=1x1 + 1 y I,因为Lrllyl<ljr|2+Iy '2 (算术-几何平均不等式),卩+'";'汀+'汀冷心 例4、如果|勺1=1勺1=1 Z3 1= 1，且勺+勺+勺二。
，证明勺、5、 Z3是内接于单位圆的一个正(3 + i)(2_i)(3-0(2 + /)证明：I Z 1= J 兀2 + y2 < J 兀2 + + 2 | 兀 || y | Ixl+l yl三角形。
证明：由于I Zi 1=1 Z21=1 Z3 |= 1 '所以它们在单位圆上；又因为Z! + Z2 + Z3 = 0 ,故Z1+Z2=-Z3 如图,则勺与-Z3的夹角和5与％的夹角相等；同理，勺与-Z1的夹角和乙3与-勺的夹角相等；勺与-s的夹角和z3与-勺的夹角相等；因此，容易证明，勺、◎、色的夹角为120度，所以结论成立。
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华东理工大学2008–2009学年第二学期
《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷 A 2009.6 开课学院：理学院，专业：大面积考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课教师
一、填空题(每小题4分，共36分)
1.复数
n
⎝⎭
的模.
2.若
1
z=,
2
z i
=，则
12
z z⋅的指数形式为.
3.Lni的值为.
4.=
⎰=dz z
z1
.
5.幂级数n
n
n
z
n
n
∑∞
=1
2
)!
(
的收敛半径是.
6.已知函数
2
32
()
(2)
z
f z
z z
+
=
+
，则=
]0
),
(
Re[z
f.
7.把上半平面0
Im(z)>映射为单位圆1
<
w且满足0
)(
arg
,0
)(=
'
=i
f
i
f的分式线性映射为.
8.函数)]
(
)
(
[
)
(
ω
ω
δ
ω
ω
δ
π
ω-
+
+
=
F的Fourier逆变换为
9. ()1t
f t te
=-的Laplace变换为.
二、单项选择题(每小题4分，共20分)
1.复数2i
e-的辐角主值是（）
A.1
B.8
C.－1
D.8
2. 函数()
w f z u iv
==+在点
z处解析，则命题（）不成立。
A. ,u v 仅在点0z 处可微且满足C R -条件；
B. 存在点0z 的某一邻域0()U z ，,u v 在0()U z 内满足C R -条件；
C. ,u v 在邻域0()U z 内可微；
D. B, C 同时成立。
3. 设()f z 在闭曲线C 上及其内部解析，0z 在C 的内部，则有（ ） A.
02200()1
()()()C C f z dz f z dz z z z z '=--⎰⎰ B. 200()()
()()C C f z f z dz dz z z z z '=--⎰⎰ C.
0200()()1()2!()C C f z f z dz dz z z z z =--⎰⎰ D. 0200()()()()C C f z f z dz dz z z z z =--⎰⎰
4. 函数
cot 23
z
z π-在2z i -=内的奇点个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将点0,1,z =∞分别映射为1,,1i w --=的分式线性映射为（ ）
A.11z w z +=-
B. 211i z w e z π+=-
C. z i
w z i -=+ D. 2i z i w e z i π
-=+
三、（8分）已知23
(,)3u x y xy x =-+为调和函数，求满足(0)f C =的解析函数？
四、(共8分)沿指定曲线C 计算积分
⎰++C z z dz
)4)(1(22的值，其中2
3:=z C 为正向.
五、（8分）求函数3
sin )(z
z
z z f -=在∞<<z 0内的洛朗展开式，并判断函数的孤立奇点的类型?
六、（8分）利用傅里叶变换求解方程τττd t g y t f t y )()()()(--=⎰
+∞
∞
-其中)(),(t g t f 为已
知函数？
七、（12分）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩
⎨⎧='==+''.)0(,)0(02B y A y y k y (已知
ℒ22]sin [k s k kt +=
，ℒ2
2]cos [k
s s kt +=， ℒ)1][k s e kt
-=。