华东理工复变函数与积分变化1-2次作业答案

华东理工大学

复变函数与积分变换作业（第1册）

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第一次作业

教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念

1．填空题：

（1）

3

5arctan 2,234,25

23,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i

（3）)31(2

1

i +-

(4) 13,1=-=y x 。

2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

(1)31i +;

解：32)3

sin 3(cos 2)2321(231π

π

πi e i i

i =+=+=+ (2))0(sin cos 1πϕϕϕ≤≤+-i 解：)

22(2

sin

2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1ϕ

πϕ

ϕπϕπϕϕ

ϕ-=-+-=+-i e i i

(3)3

2)

3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φ

φ

φφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e

e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +

3．求复数

1

1

+-z z 的实部与虚部 解：2

|

1|)

1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=

z z z z z z z z z w 2

22|

1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=

z z

i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-=

z z z w ，2

|1|Im 2Im +=z z

w

4. 求方程083

=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(3

3

1

==-=+k e

z k i π

即原方程有如下三个解：

31,2,31i i --+

5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则2

3223222

3

22

1

)(2z z z z z z z --+=+=

得2232

3||a z z =-221|)||(|z z -=，同样，

22

212123||a z z z z =-=-

所以.||||212321

z z z z z z -=-=-

6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.

2

12z z ++2

21z z -22

122()z z =+.

并说明此等式的几何意义.

证明： 左式=(21

z z +)(21z z +)+(21z z +)(2

1z z -)

=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(2

1z z -)

=2121221121212211

z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=2(2

221z z z z ⋅+⋅)=2(

2

2

21z z +)

7．求下列各式的值:

(1)5

)3(i -;

解：5

)3(i -=6556

5

32)2()223(

2ππ

i i e e i --==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡- =i i 16316)65sin()65cos(32--=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡-+-

ππ (2)3

1)1(i -； 解: 3

1

)1(i -.2,1,0,2)2()22

1(

23

)24

(

63

14

3

1===⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡-

=+--k e

e i k i i ππ

π

可知3

1)1(i -的3个值分别是

)12

sin

12

(cos

2262

6

π

π

πi e

i -=-；

)127sin 127(cos

2262

76

πππi e

i += )4

5sin 45(cos

2264

56

πππ

i e

i += （3）求61- 解：6

1-=.5,4,3,2,1,0,)(6

/)21(6

12-=++k e e

k i k i ππ

π可知61-的6个值分别是

2

23,1,2

236

526

i ei e i e

i i i +-

==+=πππ