离散点拟合曲线,Bezier,B样条

小。 即：曲线方程是对所有已
知点的“逼近”。 典型例子：地层孔隙度－
深度变化曲线。 “点点通过”式也称为插
1000-
总孔隙度 （%）
2000-
深 度 /m
3000-
密度
（g/cm3 )
（g/cm3 )
值曲线，“平均通过”式也称
为逼近曲线。
4000§1 概述
三、曲线的方程分类
一般可分为直角坐标方程和参数方程两类。 例如：对于圆心坐标为(x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为：
P(t) A1 2A2t
P(0) A0 P0
P(0) A1 P0P1的斜率
P(1) A0 A1 A2 P2
P(1)
A1
2A2
P1
P
的斜率
2
经过推导（详见教材P58），可求出A0、A1、A2：
§2 贝塞尔曲线
A0 P0
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 参数方程为：
在计算xy机== 绘yx00 图++时rr sc，ions使((tt))用（参0≤数t≤2方π）程要比直角坐标方程方 便。
参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
设
x(t) a0 a1t a2t 2
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
特征多边形是用直线段依次
P1
连接平面上离散点所形成的折线
多边形。它反映了所要设计曲线 的大致轮廓。
P0
P2
P3
P4 P5
可以设计一个光滑的曲线段去逼近这个特征多边形。 贝塞尔曲线就属于这类曲线。 该曲线由法国汽车工程师Bezier首先提出，最初用于 汽车零件外形的设计。目前广泛应用于与计算机绘图相关 的各个领域。
P
(t
)
x(t y(t
) )
a0 b0
a1 b1
t
Leabharlann Baidu
a2 b2
t
2
§1 概述
四、曲线段的光滑连接
当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方程 有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。
可分别针对部分点进行分段拟合，分段拟合得到的曲线 段会涉及到曲线段的连接问题。
例如：若已知3个平面离散点，用1条抛物线段对其拟 合；若有5个点，可用2条抛物线段进行分段拟合。
第三章 离散点绘制平面曲线
§1 概述 §2 贝塞尔(Bezier)曲线 §3 B样条曲线 §4 抛物线调配曲线 §5 三次参数样条曲线
本章小结
一、规则曲线与不规则曲线
§1 概述
平面曲线一般分规则和不规则曲线两类。 ➢ 规则曲线是指可以用一个方程
y f (x) 或 f (x, y) 0
p(t) [x(t), y(t)] t
P2
P3
P2
P3
P4
P1
P1
P5
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行
光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？
给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同的 切线），或者说一阶导数连续，即
pj() pj()
pj
称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。 2. C 2连续
y(t)
b0
b1t
b2t
2
(0 t 1)
①
上述参数方P(t程) 可 xy写((tt))为 ：,
A0
a0 b0
,
A1
a1 b1
,
A2
a2 b2
方程②P(t称) 为A0曲线A1t的 参A2t数2 矢0量 t方程1 。
②
在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在
绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。
当步长极小时，所绘出的直线连线在视觉上便是一条 光滑的曲线。
求相邻离散点之间若干数据点的问题称为插值问题。
§1 概述
2. “平均通过”式 当已知数据点有一定误差时，所
拟合的曲线不通过所有已知点，曲线 代表的是这些数据点的变化趋势。
要求：设计的曲线方程与
所有已知点的“距离”总和最
10 20 30 40 2.0 2.2 2.4
对于这类曲线的绘制，首先要找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。
拟合方法包括：贝塞尔曲线法、B样条曲线法、抛物线 调配曲线法、三次参数样条曲线法，最小二乘法等。
拟合方法不同 → 曲线拟合方程不同 → 绘制的曲线形 状也不同。
但是，一旦拟合方法确定并得到相应的曲线拟合方程， 不规则曲线也就变成了规则曲线。
在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即
称两曲线p段j(在) 连接pj点() p及j 处的pj光()滑连p接j(达) 到C 2连续。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
。 另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的
连接满足C 1或C 2连续，其光滑已足够。
2. Bezier 曲线的参数方程 已知三个平面离散点P0、P1、P2，那么由这三点可以 定义二次抛物线段，其参数矢量方程可表示为：
P(t) A0 A1t A2t 2 (0 t 1)
其中
P(t)
x(t y(t
) )
,
A0
a0 b0
,
A1
a1 b1
,
A2
a2 b2
p(t)
x(t) y(t )
本章的内容就是介绍：如何根据离散点的坐标，利用 拟合方法建立曲线拟合方程，绘制不规则曲线。
§1 概述
二、不规则曲线（拟合曲线）的分类
在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲 线分为两类：
1. “点点通过”式
当已知离散点的位置较精确时， 拟合的曲线通过所有的已知点。
曲线方程确定后 → 规则曲线 → 以足够小的步长获取 相邻离散点之间若干个数据点（插值点）的坐标，并用直 线连接它们。
( )
描述的曲线，即曲线的方程已知。 这类曲线的绘制方法：以足够小的步长取曲线上足够多
的点，然后利用曲线方程求出这些点的坐标，最后用直线 连接相邻的点即可绘出曲线。
曲线的绘制精度取决于曲线上取点的密度，密度越大， 精度就越高，曲线就越光滑。
➢ 不规则曲线（拟合曲线）：指已 知平面一些离散点的坐标，但曲线方 程未知，需要人为设计曲线方程对这 些点进行拟合形成的曲线。
a0 b0
a1t b1t
a2t 2 b2t 2
(0 t 1)
§2 贝塞尔曲线
P(t) A0 A1t A2t 2 (0 t 1)
设上述抛物曲线满足下列条件： P1
⑴ t = 0时，抛物线经过P0，
并与P0 P1相切。
⑵ t = 1时，抛物线经过P2
，并与P1 P2相切。
P0
P2