巴特沃兹滤波器 (butterworth)

巴特沃兹滤波器(Butterworth)

特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗单调↘

其幅度平方函数具有如下形式：

式中，N为整数，称为滤波器的阶数，N越大，通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡。如下图所示：

图巴特沃兹filter 振幅平方函数

过渡带：通带→阻带间过渡的频率范围，

：截止频率。

Ω

c

理想滤波器的过渡带为O，阻带|H(jΩ)|=0，通带内幅度|H(jΩ)|=常数，H (jΩ)线性相

位。通带内，分母Ω/Ωc<1,相应( Ω/Ωc)2N随N的增加而趋于0，A(Ω2)→1，在过渡带

和阻带，Ω/Ωc>1，随N的增加，Ωe/Ωc>>1，所以A(Ω2)快速下降。

Ω=Ωc时，，幅度衰减，相当于3bd衰减点。

振幅平方函数的极点可写成：

Ha(-s).Ha(s)=

可分解为2N个一次因式令分母为零，→

可见，Butterworth 滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地

的圆周上。

分布在|s|=Ω

c

例：如图为N=3阶Butterworth 滤波器振幅平方函数的极点分布。

图三阶A(-s2)的极点分布

考虑到系统的稳定性， Butterworth 滤波器的系统函数是由s平面左半部分

的极点（S

P3，S

P4

，S

P5

）组成的，它们分别为：

所以系统函数为：

式中是为使S=0时Ha(s)=1而引入的。如用归一化s，即s’=s/Ω

c

，得归一化的三阶BF：

如果要还原的话，则有

关于数字滤波器

滤波器有很多种，讨论下对信号频率具有选择性的滤波器。这又分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器是在传统模拟电路中发展起来的，其实就是RC电路网络。随着数字技术的发展，数字滤波器则越来越受到青睐。

数字滤波器分为递归型和非递归型，所谓递归即滤波器内部存在反馈回路，这种滤波器对单位冲击响应可以延续到无限长的时间，所以也叫IIR (infinite impulse response filter) ；相应的，非递归型即内部不存在反馈，也叫FIR(finite impulse response filter)，其传递函数不存在除零点意外的极点。数字滤波器的一般形式为：

a(0)*y(n) = b(0)*x(n) + b(1)*x(n-1) + ... + b(nb)*x(n-nb)

- a(1)*y(n-1) - ... - a(na)*y(n-na)

相应于上面的讨论，则a都为零则为IIR，a 有非零的则为FIR。显然，a(0)=1 方便讨论和设计滤波器，所以在matlab中滤波器设计都是a(0)=1。容易看出，无内部反馈的FIR总是稳定的，具有IIR所没有的特点，但也可以证实，客观模拟电路中，FIR是无法实现的，只有通过数字处理技术设计，而且，要获得性能符合要求的FIR，滤波器的阶数必须设计得非常高，比如，一个常用的矩形窗，一般性能下就要求有100阶左右来拟合，计算代价太大。一般情况下，n

阶IIR与2n阶FIR性能相同。实际情况下，20阶的Butterworth IIR 滤波器可以实现近似理想相位线性。

频率滤波器大概分为带通、带阻、高通、低通。特性不同的模拟滤波器中经典滤波器有Butter worth和Chebyshev。其中，Butterworth滤波器特点是通带处幅值特性平坦，而Cheby shev滤波器则比前者的截至特性要好，但通带处的幅值有振荡。前面提到，对于数字滤波器而言，可以采用不同阶数逼近相应滤波器，滤波器性能还与滤波器的阶数有关，一般而言，阶数越高，则逼近越精确，但计算代价也随之上升，所以性能与代价总需要寻求一个平衡点。对性能要求一定的情况下，如果对频率截至特性没有特殊要求，考虑采用Butterworth IIR滤波器。因为Chebeshev 滤波器的波纹可能大多数情况下不能忍受。

接着我们看看怎么借助Matlab 设计符合我们需求的Butterworth数字滤波器。当然，我们尽可能了解Butterworth Filter 的原理以及可能的话，再了解数字滤波器设计的方法理论，但是，我们不必自己动脑筋根据需求去设计每个系数，Matlab 内建有设计Filter 的函数。这里仅仅讨论Butter，其语法格式为：

[B,A] = butter(N,Wn,S)

其中，N 为要求设计的滤波器阶数，该参数的设定参照前面的讨论，如果没有实时性要求的话，可以定为20 ，实话，慢～相当的慢～；

S 为字符串，表明设计的滤波器类型，low低通/high高通/stop带阻

Wn 为要求的标准化截至频率，单位为rad/sample，如果是带阻滤波器，则Wn为长度为2的向量[w1 w2]。关于标准化的频率计算为：设要求的频率为f(Hz)，采样率为Fs(Hz)，则Wn = (2*pi*f/Fs)/pi = 2*f/Fs，所以，标准化截至频率在区间[0,1]内。

滤波器设计出来了啦，其实就是两组系数b(i)、a(j)，其中，i、j为从0到N的自然数（各位不要挑剔，我印象中新的教材里已经把0归到自然数里了）。对应上面滤波器一般形式里的参数，前面已经提到，一般a(0)=1。

滤波器既然设计出来了，理应对其性能进行分析，以检验其是否能达到预期的效果。可以使用Matlab 提供的内建函数freqz，可以求得滤波器系统的频率

相应特性。其使用语法格式为：

[H,F] = freqz(B,A,N,Fs)

其中

B/A 提供滤波器系数

N 表示选取单位圆的上半圆等间距的N个点作为频响输出；

Fs 为采样频率，该参数可以省略

H 为N个点处的频率响应复值输出向量，其模即为频响幅值曲线幅值20log10(abs(H))DB，其幅角angle(H)即为频响相位曲线相位值。

F 为与第N点处对应的频率值f（Hz），如果Fs 参数省略时，则频率值w为rad/sample，w = 2*pi*f/Fs

有了这组系数，就可以按照前面的滤波器一般形式的表达式对数据进行依次求值了，也就是滤波计算了。不过，别忙，其实Matlab里已经内建了滤波器函数filter，其语法格式为：

Y = filter(B,A,X)

其中

B/A 提供滤波器系数，X为滤波前序列，Y为滤波结果序列。

设计合适的滤波器对待分析处理的信号进行滤波预处理，可以有效的去除信号中的噪音以及非目标频段信号，从而使得信号背景干净，突出信号本身，提高目标处理的算法有效性，降低算法难度。例如，对语音信号，可以去除大多数的辅音以及高频共振峰。