概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题

概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题

（经典例题）

（例1）（2021湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A ．1-

2 1121 B ． - C ． D ．π2πππ

（答案）A

（解析）令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=形OAC 面积和

2

π 1 2 1 1 1 π-2 S 1

-××=．在扇形OAD 中为扇形面积减去三角2222282

S S 1 1 2 1 S 2 π-2 π-2 π

，=π×1--=，S 1+S2=，扇形OAB 面积S=，选A ． 228821644

（例2）（2021湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，

从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX＝

A.

12661687 B. C. D. 12551255

（答案）B

275436827

（解析）X 的取值为0，1，2，3且PX＝0 ＝，PX＝1 ＝PX＝2 ＝，PX＝3 ＝，故EX[***********]686

＋1×，选B.

1251251255

（例3）（2021四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的

第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒

为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率

是

1137A. B. C. D. 4248

（答案）C

0≤x≤4，

（解析）设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由

题意?满足条件的关系式

?0≤y≤4，?

为－2≤x－y≤2.

根据几何概型可知，事件全体的测度面积为16平方单位，而满足条件的事件测度阴

影部分面积为12平方单位，123故概率为164

（例4）（2021江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，

2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为. （答案）0.2

（解析）从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 （例5）

（2021江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，nm≤7，n≤9可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 20

63

（解析）基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9. 所以m ，n 都取到奇数共有2021

种，故所求概率为63

（例6）（2021山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1

成立的概率为________． 13

（解析）当x2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－

2|≥1的解集为[1，＋∞ . 在[－3，3]3－11上使不等式有解的区间为[1，3]，由几何概

型的概率公式得P ＝.

3－（－3）3

（例7）（2021北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质

量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机

选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）

由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明 212；3月5日

1313

（解析）设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”i＝1，2，…，13 ．

1

根据题意，PAi＝，且Ai∩Aj＝i≠j．

13

（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 2

所以PB＝PA5∪A8＝PA5＋PA813（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且

PX＝1 ＝PA3∪A6∪A7∪A11 4

＝PA3＋PA6＋PA7＋PA11＝，

13PX＝2 ＝PA1∪A2∪A12∪A13 4

＝PA1＋PA2＋PA12＋PA13＝，

135

PX＝0 ＝1－PX＝1 －PX＝2 ＝13所以X 的分布列为

54412

故X 的期望EX＋2×＝13131313

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

2

（例8）（2021福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以

32

获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中

5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求

X≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

11

（答案）

15

22

（解析）方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2

35人的累计得分X≤3”的事件为A ，

则事件A 的对立事件为“X＝5”，

22411

因为PX＝5 ＝×，所以PA＝1－PX＝5 ＝，

35151511

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

15

（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E2X1，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E3X2．

?2?2?由已知可得，X1～B 2，，X2～B 2，?， ?35?

2424

所以EX1＝2×＝EX2