在“变化”中探求“不变”
在变中寻找不变作文800
在变中寻找不变作文800英文回答：In the ever-changing tapestry of life, finding constants can serve as an anchor amidst the chaos. Like a beacon in a tempestuous sea, they provide a sense of stability and orientation.Throughout history, great minds have grappled with the notion of permanence amidst change. Heraclitus, the enigmatic Greek philosopher, famously declared, "Everything flows." Yet, even in this relentless flux, he recognized the enduring nature of change itself. Centuries later, the Roman poet Ovid echoed this sentiment, writing, "Everything changes, yet everything remains the same."In the realm of science, the laws of nature and the fundamental forces of the universe stand as steadfast principles that govern the seemingly chaotic dance of particles and energy. From the motion of celestial bodiesto the interactions of subatomic particles, these laws provide an unwavering framework that transcends the ephemeral nature of individual events.In the human experience, too, there are constants that endure despite the passage of time. Love, compassion, and the indomitable spirit of resilience have anchored countless hearts across generations. These qualities, deeply rooted in our humanity, serve as a reminder of our shared experiences and the profound connections that bind us.Our own bodies, subject to the ravages of time, undergo constant renewal and regeneration. Cells divide and replenish, tissues repair themselves, and the intricate machinery of our being continues to function with remarkable resilience. While the superficial aspects of our bodies may change, the underlying processes that sustain life remain remarkably similar.Likewise, in the realm of culture and society, certain traditions, values, and beliefs have proven remarkablydurable. They shape our identities, guide our interactions, and provide a sense of continuity in a rapidly evolving world. From the rituals of religious observance to the shared narratives of our collective past, these cultural touchstones offer a sense of belonging and stability.In the face of adversity, whether personal or global,it is often the search for constancy that gives us hope. We seek refuge in familiar routines, draw strength from cherished relationships, and find solace in the unwavering rhythms of nature. By embracing the immutable, we find the fortitude to navigate the unpredictable currents of life.中文回答：在变幻莫测的人生织锦中，寻找不变的事物可以成为一片混乱中的锚点。
专题九(动点型问题)
中考专题诠释 解题策略与解法精讲 中考典例剖析 中考真题演练
③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴 于点H ，在△AOE和△BEF中， ∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。 ∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。 ∴∠AOB=∠EHB。 ∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。
4
全效学习中考学练测
中考专题诠释 解题策略与解法精讲 中考典例剖析 中考真题演练
中考典例剖析 （二）以双动点为载体，探求结论开放性问题 4 例轴8，.O如A为图y，轴在建矩立形平A面B直CD角中坐，标AO系=3，，设taDn、∠EA分CB别= 是3．线以段OA为C、坐O标C上原的点动，点OC，为它x 们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单 位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒） （1）求直线AC的解析式； （2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？ （4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的 抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．
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初中数学-平面几何的定值问题
平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A .到CD 的距离保持不变 B .位置不变C .等分DB⌒ D .随C 点的移动而移动 解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.AP【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值.从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.（图1） （图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则=+21S S _______.AABCDEF（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A .30°B .40°C .50°D .60° 5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B .在垂直AB 的某直线上移动C .在弧AMB 上移动D .保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6.如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A .3 B .6 C .9 D .127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.。
浅谈小学数学“探索规律”教学的重要性及教材特点
浅谈小学数学“探索规律”教学的重要性及教材特点内容摘要：建立模式，寻求规律是数学学习的重要内容。
国际数学课程发展的趋势表明，对变化规律和模式的探索，描述应从低年级非正式的开始，早期对变化规律的丰富经历是十分重要的。
北师大版小学数学“探索规律”选取的内容主要是数列变化规律，图形变化规律、和操作活动变化规律等。
以数学专题，思考题，探索与发现，实践活动等方式来设计“探索规律”的内容。
关键词：数学教学探索规律重要性思维推理北师大版小学数学教材中设计了大量的探索规律的活动，如找规律填数，商不变规律，植树问题，数图形中的学问等等。
而一些研究表明，部分学生对探索规律的学习存在一定的困难。
比如，一些学生在用字母表示数中存在困难，一些学生在列方程解方程中存在困难，还有些学生在找规律中存在困难。
一．小学阶段“探索规律”教学的重要性。
建立模式，寻求规律是数学学习的重要内容。
国际数学课程发展的趋势表明，对变化规律和模式的探索，描述应从低年级非正式的开始，早期对变化规律的丰富经历是十分重要的。
这一方面是由于现实世界和数学内容中蕴含着丰富的规律，这为学生从小学阶段加强这方面的探索提供了大量的素材。
另一方面，运用符号刻画数量关系和变化规律是代数学习的主要内容。
1. 探索规律是人们认识客观世界的重要手段。
客观世界非常复杂，又相当稳定而有序，这是因为客观世界里的事物、现象之间都是按某种规律存在和相互影响的。
人类逐渐认识了客观世界里的自然现象和社会现象，发现并掌握了其中的规律。
随着对客观世界规律的认识越来越丰富，越来越深刻，人类适应和利用、开发和改造客观世界的程度就越来越好，越来越高。
2．探索规律能够发展学生的数学思维，有利于改变传统教学“重演绎、轻归纳”的倾向。
数学教育的根本目的是培养人，促进学生全面、持续、和谐发展，其中最重要、最关键的是数学思维能力的发展，人们的日常生活无时无刻不在进行思维。
数学课程标准修订时将“双基”调整为“四基”，增加的基本数学思想和基本数学活动经验更与数学思维密切相关。
在不变中寻变变中把握不变教案
在不变中寻变，变中把握不变教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解变化的普遍性和不变的相对性。
引导学生思考变化与不变在日常生活中的体现。
激发学生对变化的探索兴趣。
1.2 教学内容讨论变化的普遍性：自然界、社会、科技、个人成长等方面的变化。
思考不变的相对性：道德原则、基本人性、自然法则等方面的不变。
1.3 教学方法小组讨论：分组讨论变化与不变的例子，分享各自的观察和理解。
案例分析：分析具体案例，探讨其中的变化与不变。
1.4 作业让学生收集生活中的变化与不变的例子，准备在下节课分享。
第二章：变化的探索2.1 教学目标培养学生观察和分析变化的能力。
引导学生理解变化的原因和影响。
2.2 教学内容分析社会变迁：科技的进步、文化的变化、政治经济制度的演变等。
探讨个人成长：身体、情感、智力、道德等方面的变化。
2.3 教学方法小组讨论：分组讨论变化的原因和影响，分享各自的观点。
小组研究：让学生选择一个变化领域，进行深入研究和分析。
2.4 作业让学生完成小组研究，准备在下节课进行分享。
第三章：不变的把握3.1 教学目标帮助学生认识到不变的价值和意义。
培养学生坚守基本原则和价值观的能力。
3.2 教学内容探讨道德原则的不变性：道德规范、伦理原则的稳定性。
分析基本人性的不变：人类的共性、情感、需求等方面。
3.3 教学方法小组讨论：分组讨论道德原则和基本人性的不变性，分享各自的观点。
案例分析：分析具体案例，探讨其中的不变原则和价值观。
3.4 作业让学生思考个人坚守不变原则和价值观的经历，准备在下节课分享。
第四章：变化与不变的平衡4.1 教学目标培养学生认识到变化与不变的平衡重要性。
引导学生如何在变化中把握不变，实现个人成长和社会进步。
4.2 教学内容讨论变化与不变的平衡：在变化中保持不变的原则和价值观。
分析成功案例：探讨如何在变化中把握不变，实现个人和社会的成功。
4.3 教学方法小组讨论：分组讨论变化与不变的平衡，分享各自的观点。
变化中寻不变探究中求推广
变化中寻不变探究中求推广
变与不变是永恒的话题。
由不变“到”变，是生活中的常态，也是进步的源泉。
变与不变的矛盾性实际是一种矛盾的博弈，变的多少有着明确的范围和度量，在探究中求推广的可能性也便展露无余。
变与不变实质上有着印象深刻的对立性，变迁引发深刻变化，而不变则拒绝突变，稳定起来像一副张力背后存在的另一侧，让我们有机会去探询这种对比变化之间的动态。
有了变与不变，发展才能有更多可能性，不变可以稳定某一状态，守护它、保护它不受外界影响，变则可以向更高境界靠拢，创造出新的可能性。
在发展的种种过程中，克服不变的状态，通过不断的变与不变的平衡，推动发展的有机分子在变与不变之间动态结合，推动发展变得更加健康。
万物来去，唯有变与不变的对立定律存在相对的稳定，这才是我们永恒的发展动力，才能在一波波变化中寻求更加深入的理解，更加全面而深刻的认识。
在变与不变之间，探究发展源头，从其中求得推广，是努力追求着平衡发展的理想目标。
在变化中找不变
在变化中找不变高中物理“力的平衡”一章里“力的分析”是大部分学生学习的障碍，许多学生对“力的变化问题”更是感觉力不从心。
笔者从事高中物理教学多年来，逐渐摸索出了一些关于“力的变化”问题的解决方法、思路，总结为一句话是“在变化中找不变”。
在多年的教学实践应用中，发现使用这种方法使学生接受该部分知识的速度大大加快，解题能力也相应提高，课堂反应良好。
“力的变化”问题的分析方法比较多，有平行四边形法、三角形法、相似形法等。
若涉及求极值、可能值问题，三角形法和平行四边形法比较易于确定极值状态。
本文拟对”力的变化”问题进行类型、方法的分类，为解决“力的变化”这类问题提供一种思维方法。
问题出现的语言特征：1.力如何变化、力的变化情况。
（显性表达）2.力的最大值或最小值、力的大小可能值。
（隐形表达）也就是说，一旦我们在读题时遇到上述的语言表述时，就可以把该题归结为“力的变化”题型，就可以采用以下的方法进行解题。
一、力的变化问题解决此类问题的方法首先是在变化中找到“不变”的因素，如不变力的大小、方向，并画出不变力的大小、方向的示意图。
1.若能找到一个不变的力和一个不变方向的力，则运用“平行四边形法则”。
平行四边形法：（1）首先作出物体所受不变力的示意图（大小或方向不变的力）。
（2）作出两个变力的合力（与不变力等大反向，相当于平行四边形的对角线）。
（3）过作用点作出方向不变力的作用线（相当于平行四边形的一条边的方向）。
（4）再过合力（相当于平行四边形的对角线）的顶点作出已知方向的力的平行线（这是关键一步），这样就构成了平行四边形的一条对角线和一对对边。
（5）运用平行四边形法则，过合力的始端作出方向变化的力的可能作用线，构成平行四边形，这样两条对边的长度变化即为两个变力的大小或方向的变化趋势。
例题如下：例1.如图1所示，将足球用网兜挂在光滑的墙壁上，设绳对球的拉力为f，墙壁对球的支持力为fn，当细绳长度变短时，试分析力f、fn的变化情况。
在变局中寻找不变作文
在变局中寻找不变作文Change is constant in life. Whether we like it or not, things are always evolving and shifting around us. While it can be challenging to navigate through these changes, it is essential to find the constants, the things that remain unchanged, to provide stability and comfort in a world that is always in flux. One of the most important constants in life is our relationships with other people. No matter how much the world changes, our connections with others can provide a sense of continuity and support.生活中的变化是不断的。
无论我们喜不喜欢，事物总是在不断地演变和变化。
虽然在这些变化中找到方向可能很具有挑战性，但在一个始终变动的世界中，找到那些不变的东西、提供稳定和安慰的事物是至关重要的。
生活中最重要的不变之物之一就是我们与他人的关系。
无论世界如何变化，我们与他人的联系都能提供持续和支持感。
In times of uncertainty and change, our relationships with others can serve as anchors, grounding us and helping us navigate through turbulent waters. Whether it is family, friends, or even colleagues, the people we surround ourselves with can offer us stability and a senseof belonging. These relationships can provide a sense of continuity and familiarity in a world that is constantly in flux.在充满不确定性和变化的时刻，我们与他人的关系可以成为锚，让我们找到立足点，并帮助我们在汹涌的水域中航行。
在不变中寻变变中把握不变教案
在不变中寻变，变中把握不变教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握“在不变中寻变，变中把握不变”的思维方法。
2. 培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。
3. 引导学生运用所学的思维方法，灵活应对生活中的变化。
二、教学内容1. 导入：介绍“在不变中寻变，变中把握不变”的含义和意义。
2. 理论讲解：讲解如何在不变中寻找变化，如何在变化中把握不变的原则。
3. 实例分析：分析生活中的实例，让学生更好地理解所学思维方法。
4. 实践练习：让学生通过练习题，运用所学思维方法解决问题。
三、教学过程1. 导入新课：引导学生思考生活中的变化和不变，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解理论：详细讲解“在不变中寻变，变中把握不变”的思维方法。
3. 实例分析：分析生活中的实例，让学生理解所学思维方法的应用。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生运用所学思维方法解决问题。
5. 总结反馈：对学生的练习进行点评，总结课堂所学内容。
四、教学评价1. 课后作业：布置相关作业，检验学生对课堂所学内容的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
3. 实践应用：关注学生在生活中的实际运用，评价其灵活运用所学思维方法的能力。
五、教学资源1. 教材：相关教材或教辅资料，用于引导学生学习。
2. 实例素材：收集生活中的实例，用于分析和讲解。
3. 练习题库：准备一定量的练习题，用于巩固所学知识。
4. 辅助工具：如黑板、投影仪等，用于展示和讲解。
六、教学策略1. 案例教学：通过分析具体案例，让学生深入理解“在不变中寻变，变中把握不变”的思维方法。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的观点和经验，提高课堂氛围。
3. 实践锻炼：设置实践环节，让学生在实际操作中运用所学思维方法，提高解决问题的能力。
4. 反馈评价：及时给予学生反馈，指导其改进学习方法，提高学习效果。
七、教学实施步骤1. 第一步：导入新课，让学生思考生活中的变化和不变。
第5课时中考数学压轴题动点问题汇编
几何综合汇编所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
在变化中寻找不变11.10.13
在变化中寻找不变——“分数除以整数”教学新思考新课程标准告诉我们：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式，加强实践操作是培养学生创新学习能力的重要措施。
教师们在新课程标准理念的指引下，逐渐一改以往的“满堂灌”或“一言堂”式教学，都比较注重创设各种情境氛围，重视学生的自主探究学习。
我以“新课标”精神为指导，用活用好教材，让学生经历学习过程，充分体验数学学习，感受成功的喜悦。
“分数除以整数”是苏教版六年级上册的教学内容。
在课堂教学中，我对教材作了灵活的处理，这样为学生提供了更宽阔的探索空间，更有利于体现学生的主体地位，促进学生主动发展。
片段：……原例题师：根据题意要求，独立思考完成。
请学生上台来在图上画出每个小朋友分别喝的部分。
（设计意图：有意识地直观渗透：每人喝的部分其实就是45升果汁的一半）生：45 ÷2＝4÷25 =25（升） 师：同学们的速度真快，那么根据你们画的图与解答，谁能知道每个小朋友喝的部分与“45升果汁”这个总量存在什么联系 学生争先恐后举手，得到结论：每个小朋友喝的部分正好是“45升果汁”的一半。
（板书结论）（其实图画好后一眼就能看出来，这个问题的设计意图是有意识地提醒学生结果与总量之间存在联系，以便于学生联系分数乘法的知识）第一次改例题：师：真不错，现在呀老师再考考你们，看题，把果汁总量“45”升改成 “25”升，其他要求不变。
该如何做呢？动脑筋思考解答。
生： 25 ÷2＝15（升） 师：同学们今天解题的成功率真高！谁能根据图用语言说说？（呈现学生的画图）生：从图上可以看出25升果汁平均分给2个小朋友后每人得到的是15升（学生们一脸的自豪，因为学生自认为太简单了） 师：（适时指图）这个结果也正好是25升果汁的？生跟道：一半。
（板书：每个小朋友喝的部分正好是“25升果汁”的一半） 第二次改例题：师：老师再把数字变一变，你们还能做正确吗？生：（齐答）能。
在“变化”中探求“不变”——浅析含参不等式恒成立问题的求解策略
２ 单元恒 成 立 问题 的 求解 策略
例２ ： （ ０ ６ 年全 国 ） 设 函数 ｘ ） ＝ （ ｘ ＋ １ ） ｌ ｎ （ ｘ ＋ １ ） ， 若对 所有 ｘ ≥
０， 都有 ｆ （ ｘ ） ≥ａ ｘ 成立 ， 求实数 ａ的取 值范 围 。 策略一 ： （ 构 作辅 助 函数正 面求 解法 ） 令ｇ （ ｘ ） ＝ ｉ ｆ ｘ ） 一 ａ ｘ ＝ （ ｘ ＋ １ ） ｌ ｎ （ ｘ ＋ １ ） 一 ａ ｘ ， 原 问题 变 为 ｇ （ ｘ ） ＞０对 所 Ｉ 有的 ｘ ≥０恒 成 立 ， 注 意到 ｇ （ ０ ） ＝ Ｏ， 故 问题 转 化 为 ｇ （ ｘ ） ≥ｇ （ ０ ） 在 ｘ ≥０时 恒 成立 ， 即函 数 ｇ （ ｘ ） 在【 ０ ， ＋ ） 为 增 函数 ． 于 是可 通 过 求 导判 断 ｇ （ ｘ ） 的单 调性 ， 再 求 出使 ｇ （ ｘ ） ≥ｇ （ ０ ） 成 立 的条件 。
ｇ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ （ ｘ ＋ １ ） ＋ ｌ － ａ ， 由ｇ （ ｘ ） ＝ ０， 得 ｘ ＝ ｅ ａ － ｌ ＿ １。
运用 ． 体现能 力立 意的原则 ， 带有 时代特 征 ， 突出了高考 试题 与
时俱 进 的改革 方 向． 因此 ， 越来越 受到高考 命题者 的青 睐 ， 下 面 通过 一些 典型实例作一剖析。
教学实践
教 育论 坛
Hale Waihona Puke ２ （ ｝ １ ３年 第 ３期
在“ 变化” 中探求 “ 不 变”
一
浅析 含参不等式恒成立 问题的求解 策略
周 云 霞
（ 浙江 省嘉 善 高级 中学 ， 浙江 嘉 兴 ３ １ ４ １ ０ ０ ）
摘
要： 不等式恒成立和有 解是有 明显 区别的 ， 确定恒成立不等式 中参数 的取值 范围需灵活应用函数 与不
在不变中寻变变中把握不变教案
在不变中寻变，变中把握不变教案一、教学目标1. 让学生理解“在不变中寻变，变中把握不变”的哲理。
2. 培养学生学会从变化中寻找规律，把握事物的本质。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 导入：介绍“在不变中寻变，变中把握不变”的含义。
2. 理论讲解：讲解“在不变中寻变，变中把握不变”的哲理，举例说明其在生活中的应用。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会从变化中寻找规律，把握事物的本质。
4. 小组讨论：分组讨论如何在生活中运用“在不变中寻变，变中把握不变”的哲理。
5. 总结提升：总结本节课的主要内容，强调“在不变中寻变，变中把握不变”的重要性。
三、教学方法1. 讲授法：讲解“在不变中寻变，变中把握不变”的哲理及应用。
2. 案例分析法：分析具体案例，让学生深入理解哲理。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作与交流能力。
4. 总结提升法：对本节课内容进行总结，强化学生对哲理的认识。
四、教学准备1. 课件：制作课件，展示相关理论及案例。
2. 案例材料：准备一些生活中的案例，用于教学分析。
3. 分组讨论工具：准备足够的小组讨论材料，如白纸、笔等。
五、教学过程1. 导入：简要介绍“在不变中寻变，变中把握不变”的含义，激发学生的兴趣。
2. 理论讲解：详细讲解“在不变中寻变，变中把握不变”的哲理，并举例说明其在生活中的应用。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会从变化中寻找规律，把握事物的本质。
4. 小组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论如何在生活中运用“在不变中寻变，变中把握不变”的哲理，并分享讨论成果。
5. 总结提升：对本节课的主要内容进行总结，强调“在不变中寻变，变中把握不变”的重要性，鼓励学生在日常生活中积极实践。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，观察学生对“在不变中寻变，变中把握不变”哲理的理解程度，以及他们在生活中的实际运用情况。
针对存在的问题，及时调整教学方法，以提高教学效果。
在不变中寻变变中把握不变教案
在不变中寻变——变中把握不变教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握“在不变中寻变，变中把握不变”的思维方法。
2. 培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生运用所学知识解决实际生活中的问题。
二、教学内容1. 不变与变的概念解析2. 在不变中寻变的思维方法3. 变中把握不变的策略4. 实例分析与实践操作三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握在不变中寻变、变中把握不变的思维方法。
2. 教学难点：如何引导学生运用所学知识解决实际问题。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不变与变的概念，解析在不变中寻变、变中把握不变的思维方法。
2. 案例分析法：分析实例，让学生深入理解所学知识。
3. 实践操作法：引导学生进行实际操作，锻炼运用所学知识解决问题的能力。
4. 讨论法：组织学生进行分组讨论，分享学习心得。
五、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生思考不变与变的关系，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解不变与变的概念，解析在不变中寻变、变中把握不变的思维方法。
3. 案例分析：分析实例，让学生深入理解所学知识。
4. 实践操作：引导学生进行实际操作，锻炼运用所学知识解决问题的能力。
5. 分组讨论：组织学生进行分组讨论，分享学习心得。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
8. 课后辅导：提供课后辅导资源，帮助学生解决学习中遇到的问题。
9. 教学评价：通过课后练习、课堂表现等方式对学生的学习情况进行评价。
10. 教学反馈：根据教学评价结果，对教学内容和方法进行调整，以提高教学质量。
六、教学活动设计1. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，让学生积极参与课堂，提高课堂氛围。
2. 小组合作：组织学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力。
3. 思维导图：引导学生绘制思维导图，帮助学生梳理知识点。
4. 角色扮演：设计相关角色扮演活动，让学生更好地理解所学知识。
七、教学资源准备1. 案例素材：收集相关案例素材，用于教学案例分析。
初中数学动点问题及练习题附参考问题详解
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------在“变化”中探求“不变”在变化中探求不变在变化中探求不变摘要：不等式恒成立和有解是有明显区别的，确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数的函数的最值问题这一函数的不变性来讨论。
关键词：高考数学；不等式；解题策略；转化思想含参数不等式恒成立的问题，是近几年高考的热点，恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，而如何确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数的函数的最值问题这一函数的不变性来讨论. 它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查导数这一新增内容的掌握和灵活运用. 体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐，下面通过一些典型实例作一剖析。
1 不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，1 / 8等价转化，切不可混为一团。
（1）不等式 f（x） k 在 xI 时恒成立（变化性） fmax （x）k， xI （不变性）；（2）不等式 f（x） k 在 xI 时有解（变化性） fmin（x） k， xI（不变性）；（3）不等式 f（x） k 在 xI时恒成立（变化性） fmin（x） k， xI （不变性）；（4）不等式f（x） k 在 xI 时有解（变化性） fmax（x） k， xI （不变性）。
解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。
例 1 已知两函数f（x）=8x2+16x-k ，g（x）=2x3+5x2+4x ，其中 k 为实数。
（1）对任意 x[-3， 3]，都有 f（x） g（x）成立，求k 的取值范围；（2）存在 x[-3， 3] ，使 f（x） g（x）成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1， x2[-3， 3] ，都有 f（x1）g（x1），求 k 的取值范围。
解析（1）设 h（x） =g（x） -f（x） =2x3-3x2+k ，问题转化为 x [-3， 3] 时， h（x） 0 恒成立，故 hmin（x） 0。
令 h （x） =6x2-6x-12=0 ，得 x=-1 或 2。
由 h（-1） =7+k ， h（2） =-20+k ， h（-3） =k-45 ，h（3） =k-9 ，故 hmin（x） =-45+k ，由 k-450 ，得 k45 。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （2）据题意：存在 x [-3， 3] ，使 f（x） g（x）成立，即为：h（x） =g（x） -f（x） 0 在 x [-3， 3] 有解，故 hmax （x）0 ，由（1）知 hmax（x） =k+7 ，于是得 k-7 。
（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1， x2[-3， 3] ，都有 f（x1） g（x1）成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， x1， x2 的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：fmax（x） gmin（x）， x[-3， 3] ，由 g （x） =6x2+10x+4=0 ，得 x=-■或 -1，易得 gmin（x） =g（-3） =-21 ，又 f（x） =8（x+1） 2-8-k， x [-3，3] . 故 fmax（x） =f（3） =120-k . 令120-k-21 ，得 k141 。
点评：本题的 3 个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
2 单元恒成立问题的求解策略例 2：（06 年全国）设函数 f（x） =（x+1） 1n（x+1），若对所有 x0，都有 f（x） ax 成立，求实数 a 的取值范围。
策略一：（构作辅助函数正面求解法）令 g（x） =f（x） -ax=（x+1）1n（x+1） -ax，原问题变为 g（x）0 对所有的 x0 恒成立，注意3 / 8到 g（0） =0 ，故问题转化为 g（x）g（0）在 x0 时恒成立，即函数 g（x）在[0， +）为增函数.于是可通过求导判断 g（x）的单调性，再求出使 g（x） g（0）成立的条件。
g （x） =1n（x+1） +1-a，由 g （x） =0 ，得 x=ea-1-1 。
当 xea-1-1 时， g （x） 0 ， g（x）为增函数。
当-1xea-1-1 时， g （x） 0， g（x）为减函数。
那么对所有的 x0，都有 g （x）g （0），其充要条件是 ea-1-10，故得 a 的取值范围是（-， 1]。
点评：假若我们没有注意到 g（0） =0，那么在解 g（x） 0 对所有的 x0 恒成立时，也可转化为 gmin（x） 0（x0），再以导数为工具，稍作讨论即可得解。
策略二：（分离参数利用最值求解法）由 f（x） =（x+1） 1n（x+1）ax 对所有的 x0 恒成立可得：（1）当 x=0 时， aR （2）当 x0 时，a■ 。
设 g（x）=■，问题转化为求 g（x）在开区间（0， +）上最小值或下界， g （x）=■ ，试图通过 g （x） =0 直接解得稳定点，困难重重！退一步令 h（x） =x-1n（x+1），因为 h （x）=1-■，x0 故 h （x） 0，则 h（x）在（0， +）单调递增，即h（x） h（0） =0，从而 g （x） 0，于是 g（x）在（0， +）单调递增，故g（x）无最小值，此时，由于 g（0）无意义， g---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （x）的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：，然而求此极限却又超出所学知识范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无果而终. 事实上采用洛比达法则可得：，故 x0 时， g （x）1，因而 a1。
!--endprint-- !--startprint-- 综合（1）（2），得 a 的取值范围是：（-，1]。
点评：采用参数分离法求解本题，最大的难点在于求分离后所得函数的下界. 它需要考生拥有扎实的综合素质和过硬的极限、导数知识，并能灵活地运用这些工具来研究函数的性态，包括函数的单调性，极值（最值）或上下界. 突出考查了函数与方程思想、有限与无限的思想。
例 3 （11 年浙江）设函数 f（x） =（x-a） 21nx， aR （Ⅰ ）若 x=e 为 y=f（x）的极值点，求实数 a；（Ⅱ）求实数 a的取值范围，使得对任意的 x （0， 3e] ，恒有 f（x） 4e2成立。
此问题的第一小题还是比较容易解决的，难点在于第二小题，其命题目的是考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用、不等式等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等分析问题和解决问题的能力. 解题时若采用策略一（构作辅助函数正面5 / 8求解法）看似简单，实则不然，因为很难求出函数的极值点，所以最小值也就很难确定了. 还是采用策略二（分离参数利用最值求解法）要好一点，因为当 x（0， 1]时，显然成立，所以只需研究x（1， 3e]的情形即可.又当 x（1， 3e]时， f（x） 4e2 等价于 1x-a1■（*）下去的难点在于绝对值该怎么去掉？若能发现的隐含范围，那么讨论也就简单了。
策略三：（挖掘隐含条件简化讨论求解法）由题意可知 f（e） 4e2f （3e） 4e2 （e-a） 24e2 （3e-a）21n3e4e2 3e-■a3e，又因为 x （1， 3e] ，所以只需进行以下讨论：（1）当 xa 时，（*）式等价于 ax-■，通过辅助函数求出最大值可得：a3e-■ ；（2）当 x 点评：此种解法的精妙之处在于的范围的挖掘，只要能把 a 的取值范围压缩到区间[3e-■， 3e]之内，那么后面的讨论也就迎刃而解了。
3 多元恒成立问题的求解策略例4 （07 年浙江）设 f （x）=■，对任意实数 t，记 gt （x）=t2/3x-■t.求证：当 x0 时， f（x） gt（x）对任意正实数 t 成立。
本题因为有两个变元，如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元、次变元，逐步减元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否明朗化的关键所在. 所以解题时有先固定，还是先固定产生不同的方法。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 策略四：（定主元逐次消元求解法）解法 1：定的 t0 令 h （x） =f （x） -gt （x）=■-t2/3x+■t （x0），则 h （x） =x2-t2/3=（x+t1/3）（x-t1/3），当 t0 时，由 h（x）=0 ，得 x=t1/3，当 x（0， t1/3）时 h （x） 0，当 x （t1/3， +）时， h（x） 0，所以 h （x）在（0， +）内的最小值是 h （t1/3），因为 h （t1/3）=■（t1/3） 3 -t2/3・t1/3+■t=0；故当 x0 时， f（x） gt（x）对任意正实数 t 成立。
解法 2：任意固定的 x0，令 h（t） =gt（x）=t2/3x+■t（t0），则 h （t）=■t-1/3（x-t1/3），由 h （t） =0，得 t=x3. 当 0tx3时， h （t） 0 . 当 tx3 时， h （t） 0，所以当 t=x3 时， h （t）取得最大值 h（x3）=■x3。