(高等教育出版)概率论与数理统计教程课后习题答案

1 1 1− 3× × 3 2 =1 (2) P( B ) = 1 2
1.18 在平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形， ，求三角形与平行线相交的概率。 该三角形的边长为 a, b, c （均小于 d ） 解 分别用 A1 , A2 , A3 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相 合，两条边与平行线相交，显然 P( A1 ) = P( A2 ) = 0. 所求概率为 P( A3 ) 。分别用
i =1 i =1 n n
证明 （1） — （4） 显然， （5） 和 （6） 的证法分别类似于课文第 10—12 页 （1.5） 式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡片 上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为 A82 = 8 × 7 。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、 13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事
(正 2， 正 4 )， L， (正 2， 正 9 )， (正 2， 次)， Ω = {(正1， 正 2 )， (正1， 正 3 )， L， (正1， 正 9 )， (正1， 次)，(正 2， 正 3 )， (正 3， 正 4 )， L， (正 3， 正 9 )， (正 3， 次)，L， (正 8， 正 9 )， (正 8， 次)， (正 9， 次)}
(ⅰ) A = { ω1 ， ω 2 }
(ⅱ) B = { r1 ， r2 ， r3 ， r4 }
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。 (1) 叙述 ABC 的意义。 (2)在什么条件下 ABC = C 成立？ (3)什么时候关系式 C ⊂ B 是正确的？ (4) 什么时候 A = B 成立？ 解 (1)事件 ABC 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) ABC = C 等价于 C ⊂ AB ，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了 n 个零件，以事件 Ai 表示他生产的第 i 个零件是合格品 （1 ≤ i ≤ n ） 。用 Ai 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)
3!2!2!2! 48 = 13! 13! 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车” ，求它们正 好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 9 × 10 − 1 = 89 个不同位置，当 它处于和红“车”同行或同列的 9 + 8 = 17 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所求 概率为 17 P ( A) = 89 1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层 都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，
2 1 CD ′ 2 ΔA′B ′C有面积 CD ′ 1 n −1 之比大于 = ，因此所求概率为 P ( A) = = n = 2 。 2 2 ΔABC的面积 n n CD CD
2
1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设 两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一 段时间的概率。 解 分别用 x, y 表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等 待当且仅当 0 ≤ x − y ≤ 2,0 ≤ y − x ≤ 1 。因此所求概率为
A97 。 97
1.10 某城市共有 10000 辆自行车， 其牌照编号从 00001 到 10000。 问事件 “偶 然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？
94 ⎛9⎞ 解 用 A 表示“牌照号码中有数字 8” ，显然 P ( A) = = ⎜ ⎟ ，所以 10000 ⎝ 10 ⎠
4
P ( A) = 1 - P ( A) = 1 −
94 ⎛9⎞ = 1− ⎜ ⎟ 10000 ⎝ 10 ⎠
4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案 4 2 为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本 空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ，则该 数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后两位数 字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a = 7 ，因此 A 所包含的样本 点只有 71 这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接， 6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。 并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另 一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对 头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，所以样本点总数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。 用 A 表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种连接法，而 对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一 尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环， 故 尾 的 连 接 法 为 4 ⋅ 2 。 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ 2) ， 于 是
-2-
求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以 样本点总数为 9 7 。事件 A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9
7 层中任取 7 层， 各有一位乘客离开电梯” 。 所以包含 A9 个样本点， 于是 P( A) =
A = {(正1， 次) ， (正 2， 次)，L， (正 9， 次)}
(2)记 2 个白球分别为 ω1 ， ω 2 ，3 个黑球分别为 b1 ， b2 ， b3 ，4 个红球分别为
r1 ， r2 ， r3 ， r4 。则 Ω = { ω1 ， ω 2 ， b1 ， b2 ， b3 ， r1 ， r2 ， r3 ， r4 }
1 1 24 2 − × 23 2 − × 22 2 2 2 P ( A) = ≈ 0.121 2 24
1.17 在线段 AB 上任取三点 x1 , x 2 , x3 ，求：
-4-
(1) x 2 位于 x1与x3 之间的概率。 (2) Ax1 , Ax 2 , Ax3 能构成一个三角形的概率。
1 解 (1) P ( A) = 3
1 1 件 A “所得分数为既约分数”包含 A32 + 2 A3 × A5 = 2 × 3 × 6 个样本点。于是
2 × 3× 6 9 = 。 8× 7 14 1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求 所取三条线段能构成一个ห้องสมุดไป่ตู้角形的概率。 P( A) =
⎛ 5⎞ 解 样本点总数为 ⎜ ⎜ 3⎟ ⎟ = 10 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必 ⎝ ⎠ 须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 A “所取三条线段能构成一个 3 。 三角形”包含 3 个样本点，于是 P ( A) = 10 1.7 一个小孩用 13 个字母 A, A, A, C , E , H , I , I , M , M , N , T , T 作组字游戏。如果 字母的各种排列是随机的（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的 概率为多大？ 事件 A “恰好组成 “MATHEMATICIAN” 包含 3 ! 2 ! 2 ! 2 ! 解 显然样本点总数为 13 ! ， 个样本点。所以 P( A) =
− n ≤ m ≤ N −1
⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ (3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为 ⎜ ⎝ m − 1 ⎠⎝
⎛ m + j − 1⎞⎛ N − m + n − j − 1⎞ ⎟ ⎟ n− j ⎠ ⎛ N + n − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠
，
1 ≤ m ≤ N ,0 ≤ j ≤ N .
IA ;
i i =1
n
(2)
IA =UA ;
i i i =1 i =1
n
n
(3)
U[ A (I A )] ;
i j i =1 j =1 j ≠i n i , j =1 i≠ j
n
n
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品” ，可表示为 U Ai A j ； 1.4 证明下列各式：
-1-
(1) A ∪ B = B ∪ A ; (2) A ∩ B = B ∩ A (3) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ; (4) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (5) ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (6) I Ai = U Ai
第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。 (2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白 球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记 9 个合格品分别为 正1 , 正 2， L， 正 9 ，记不合格为次，则
⎛ N + n − k − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 为⎜ ⎝ n−k ⎠，0 ≤ ⎛ N + n − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠
k≤n
⎛ N ⎞⎛ n − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ (2)恰好有 m 个盒的概率为 ⎜ ⎝ m ⎠⎝ N − m − 1⎠ ， N ⎛ N + n − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠
Aa , Ab , Ac , Aab , Aac , Abc 表 示 边 a, b, c ， 二 边 ab, ac, bc 与 平 行 线 相 交 ， 则 P( A3 ) = P( Aab ∪ Aac ∪ Abc ). 显 然 P ( A P( Ac ) = P( Aac ) + P( Abc ) 。所以 P( A3 ) = 1 2 1 [ P( Aa ) + P( Ab ) + P( Ac ) ] = (a + b + c) = (a + b + c) 2 πd 2π d
解 略。 1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任 意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。 3 解 所求概率为 P ( A) = 5 n −1 1.15 在 ΔABC 中任取一点 P ， 证明 ΔABP与ΔABC 的面积之比大于 的概率 n 1 为 2。 n 1 解 截取 CD ′ = CD ，当且仅当点 P 落入 ΔCA′B ′ 之内时 ΔABP与ΔABC 的面积 n
P ( A) =
(5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ 2) 8 = 15 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2
-3-
(2) 2n 根草的情形和(1)类似得 1.13 把 n 个完全相同的球随机地放入 N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区 别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的） 。 如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 k 个球的概率