认识无理数(2)ppt
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认识无理数课件北师大版八年级数学上册
教学重难点1.无理数的探索过程.2.了解无理数与有理数的区分，并能正确判断.3把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
剪一剪
拼一拼
议一议
越来越大，所以a不可能是整数
a可能是整数吗?
a可能是以2为分母的分数吗?
结果都为分数，所以a不可能是以2为分母的分数。
a可能是以3为分母的分数吗?
结果都为分数，所以a不可能是以3为分母的分数。
探究新知
a2=2
以2为分母的分数平方
结果都为分数，所以a不可能是以2为分母的分数。
以3为分母的分数平方
结果都为分数，所以a不可能是以3为分母的分数。a可能是分数吗?Fra bibliotek探究新知
1．4＜a＜1．5
1．96＜S＜2．25
1．41＜a＜1．42
1．9881＜S＜2．0164
1．414＜a＜1．415
1．999396＜S＜2．002225
1．4142＜a＜1．4143
1．99996164＜S＜2．00024449
结论：a2=2，a =1.41421356… a是一个无限不循环小数．
1< a< 2
探究新知
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
3=3.0;
探究新知
知识点
无理数的定义
有限小数
无限循环小数
有理数
无理数：无限不循环小数
实数
有理数和无理数统称为实数
无限不循环小数称为无理数
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
剪一剪
拼一拼
议一议
越来越大，所以a不可能是整数
a可能是整数吗?
a可能是以2为分母的分数吗?
结果都为分数，所以a不可能是以2为分母的分数。
a可能是以3为分母的分数吗?
结果都为分数，所以a不可能是以3为分母的分数。
探究新知
a2=2
以2为分母的分数平方
结果都为分数，所以a不可能是以2为分母的分数。
以3为分母的分数平方
结果都为分数，所以a不可能是以3为分母的分数。a可能是分数吗?Fra bibliotek探究新知
1．4＜a＜1．5
1．96＜S＜2．25
1．41＜a＜1．42
1．9881＜S＜2．0164
1．414＜a＜1．415
1．999396＜S＜2．002225
1．4142＜a＜1．4143
1．99996164＜S＜2．00024449
结论：a2=2，a =1.41421356… a是一个无限不循环小数．
1< a< 2
探究新知
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
3=3.0;
探究新知
知识点
无理数的定义
有限小数
无限循环小数
有理数
无理数：无限不循环小数
实数
有理数和无理数统称为实数
无限不循环小数称为无理数
《认识无理数》第2课时示范课教学课件【数学八年级上册北师大】
面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5， 经过计算器验证: b≈2.2 (结果精确到0.1)
做一做
如果结果精确到0.01呢？
列表格：
b
b的平方
2.230
5.29
2.235
4.995225
2.240
5.0176
边长b 2< b <3 2.2< b <2.3 2.23< b <2.24
面积 S 4< S <9 4.84< S <5.29 4.9729< S <5.0176
1 认识无理数
第2课时
复习回顾
若a2=2，则a 不是 分数， 不是 整数，
不是 有理数.
( 填“是” 或“不是”)
数a确实存在，但又不是有理数， 那它到底是什么数呢？
合作探究 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
能不能确定一下a的大致范围？
∵ a2=2， 而12=1， 22=4，··· ∴ 12<a2<22 ， 1< a< 2， 而1.52=2.25， 2.25＞2 ∴a的值一定小于1.5 ∴a的大致范围在1~1.5之间.
无
理
无理数的常见形式:
数
①无限不循环小数；
②圆周率π以及含π的数；
③开方开不尽的数(下一节学到).
教科书 第25页 习题2.2 第1，4题
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
∴根据无理数的定义，0.1010001000001…是无理数.
典型例题
例 下3列.14各，数- 中4 ，，0哪.5. 些7.，是有理数？哪些是无理数？
3 0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
北师大版数学八年级上册课件：2.1 认识无理数(共13张PPT)
综合能力提升练
13.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形,其中CA,CB,CD,CE中 长度既不是整数,也不是分数的有 3 条.
14.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内: -2,-12,3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),272,-π3,-( -3 ),0.333,0,34,-17,3.1·5·,0.12345678910111213…( 小数部分由相继的正整数组 成 ),-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 ).
( 4 )无理数集合: 3.020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ),-
π 3
,0.12345678910111213…(
小数部分由相继的正整数组成
)…
.
综合能力提升练
15.请你在方格纸上按照如下要求设计图形,每个单元格的边长为1.( 所设计图形顶点在格 点上 ) ( 1 )请在图1中设计一个直角三角形,使它三边中有两边边长不是有理数. ( 2 )请在图2中设计一个直角三角形,使它的三边边长都不是有理数.
综合能力提升练
( 1 )整数集合:{-2,-(-3 ),0,-17…}; ( 2 )分数集合: -12 , 272,0.333,-34,3.1·5·,-1.202020202…( 每两个 2 之间 有 1 个 0 )… ; ( 3 )负有理数集合: -2,-12,-34,-17,-1.202020202…( 每两个 2 之间有 1 个 0 )… ;
拓展探究突破练
17.无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料:由于小数部分位数是无限的,所 以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数.转化时需要先去掉无限循环小数 的“无限小数部分”.一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…… 使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教学课件
. < < .
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
. < < .
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. < < .
. < < .
想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
认识无理数-(第二课时)PPT课件
2020年9月28日
13
拓展
学习目标 预习
2、下列语句正确的是（ D ）
展 示 A、3.78788788887888是无理数
互 动 B、无理数分正无理数、零、负
生成
达 标 无理数
拓 展 C、无限小数不能化成分数
谈谈收获 D、无限不循环小数是无理数
2020年9月28日
14
拓展
学习目标
预 习 3、面积为6的长方形，长是宽
0 .351 , -5.232 332…， 3.14159, π . 4 . 96 ,
3
2, 3
123.345 678 910 11…(由相继的正整数组成)
0 .351 ,
.
4 .96 ,
2, 3
3.141 59,
-5.232332…
π, 3 0.123 345 678 910 11…
有理数
2020年9月28日
互动 生成
其中无理数的个数为x, 整数的个
达 标 数为y, 非负数的个数为z, 则
拓展
谈谈收获 x+y+z= ___6__.
2020年9月28日
12
拓展
学习目标
预 习 1、下列说法中正确的是（ D） 展 示 A、不循坏小数是无理数
互动
生 成 B、分数不是有理数 达 标 C、有理数都是有限小数
拓展
谈谈收获 D、3.1415926是有理数
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北师大版初中八年级数学上册第2章1认识无理数课件
是有理数吗?(2)哪个数是无限不循环小数?哪个是含有π的数?这些数都是
无理数吗?
11
解 有理数:0,-4,0.12,- ,3.141 592 7;无理数: ,1.112 111 211…(相邻两个 2 之
7
2
··
间 1 的个数逐次加 1).
【误区警示】
1.注意3.141 592 7与π的区别.3.141 592 7属于有限小数,不是π,前者是有理
(2)x不是有理数.因为没有一个整数的平方等于7,也没有一个分数的平方等
于7.由上面的计算知,x是无限不循环小数;
(3)x≈2.6;验证略;
(4)x≈2.65.
【方法归纳】
要估算无理数的近似值,第一步应确定被估算的无理数的整数取值范围;第
二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1),并求其平方,
实数
1
认识无理数
核心·重难探究
知识点一
无理数的识别
【例1】 下列各数,哪些是有理数?哪些是无理数?
·· 11
π
0, ,-4,0.12,- ,1.112
2
7
111 211…(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加 1),
3.141 592 7.
思路分析 (1)哪个数是整数?哪个是分数?哪个是无限循环小数?这些数都
确定被估算数的十分位;…;如此继续下去,可以求出无理数的近似值.
数,后者是无理数.
2.
π
2
不是分数,分数的分子与分母都是正整数.
知识点二
无理数的近似值的估算
【例2】 设面积为x的整数部分是多少?
(2)x是有理数吗?请简要说明理由.
(3)估计x的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.
《无理数》教学课件
即99x=492．
∴x= 164
33
课堂小结
1．本节课你学习了什么？ 2．本节课你有哪些收获？ 3．通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
课堂小结
1．无理数的定义． 2．理解无理数定义时要注意的问题：
再见
D．无理数
3．设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的 是（ D ）
A．x是有理数
B．x取0和1之间的实数
C．x不存在
D．x取1和2之间的实数
随堂练习
4.把下列各数填入相应集合.
0.351
-
2 3
••
4.96
3.14159
-5.232332…， π
3
1.2334567891011…(由相继的正整数组成).
A.0
B. 1.010010001
C.π
22
D. 7
典型例题
例2.如图所示的是面积分别为1、2、3、4、5、6、7、8、 9的正方形，边长是有理数的正方形有 3 个,边长是无理
数的正方形有 6 个.
典型例题
例3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
1
0.4583 3.7 ，-π，－ 7
，18，
认识无理数
无理数常见的形式主要有三种： ①一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数． 看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之 间0的个数逐次增加1)是无理数． ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． ③开方开不尽的数(下一节学到).
认识无理数
有理数与无理数的主要区别： ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. ②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能.
八年级数学上册教学课件《认识无理数(第2课时)》
B
π
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有理数的正方形有_____个，边长是无理数的正方形有_____个．
3
6
CD,EF
解析:设小正方形的边长为x,则x2=2.因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数.因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数.因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数.因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
3.14
（因为3.14是有限小数）
（因为0. 是无限循环小数）
（因为它是无限不循环小数）
例
1.在 ,0,3.14,-0. ,6.751 755 175 551 7…(7和1之间5的个数逐次加1),- 中,无理数有 个.
2
2.下列各数是无理数的是 ( )A．1 B．-0.6C．-6 D．π
1. 判断题
×
√
√
×
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形； B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
C
3 .下列各数，是大于-4而小于-3的无理数的是（ ）A.-2.56879 B.-3.121221222…C.-2. D.2.383883888…4.请你写出一个大于2且小于4的无理数: .
思考 a的范围在哪两个数之间?左面的边长
用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？
如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数. 事实上，b=2.236 067 978…它是一个无限不循环小数. 同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数.
π
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有理数的正方形有_____个，边长是无理数的正方形有_____个．
3
6
CD,EF
解析:设小正方形的边长为x,则x2=2.因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数.因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数.因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数.因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
3.14
（因为3.14是有限小数）
（因为0. 是无限循环小数）
（因为它是无限不循环小数）
例
1.在 ,0,3.14,-0. ,6.751 755 175 551 7…(7和1之间5的个数逐次加1),- 中,无理数有 个.
2
2.下列各数是无理数的是 ( )A．1 B．-0.6C．-6 D．π
1. 判断题
×
√
√
×
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形； B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
C
3 .下列各数，是大于-4而小于-3的无理数的是（ ）A.-2.56879 B.-3.121221222…C.-2. D.2.383883888…4.请你写出一个大于2且小于4的无理数: .
思考 a的范围在哪两个数之间?左面的边长
用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？
如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数. 事实上，b=2.236 067 978…它是一个无限不循环小数. 同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数.
《认识无理数》实数PPT教学课件
是有理数的线段
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
画一画（2）
在下面在正方形网格中画出四个三角形
1．三边长都是有理数
2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数
4．三边长都不是有理数
仿一仿
例：在数轴上表示满足
x2 2的
x 0
x
仿：在数轴上表示满足x2 5 x 0 的 x
赛一赛
下图是由五个单位正方形组成的纸片，
①②③⑤⑥
④⑦
⑦π+1, 其中有理数是______________，无理数是___________
5.观察图形，回答问题：
（1）x,y,z,w中，哪些是有理数，哪些是无理数？x2,y2,z2,w2的值分别是多少？
（2）根据你发现的斜边长度的表示规律，求出第n次作出的斜边长度的平方。
解：（1）因为图中的三角形都是直角三角形，由勾股定理得
x2=12+12=2,y2=2+12=3,z2=3+12=4,w2=4+12=5.
所以z是有理数，x,y,w是无理数；
（2）根据以上规律，第n次做出的斜边长度的平方是n+1.
6.
7.
课堂小结
1.掌握无理数的定义.
2.数的分类.（按小数的形式来分）
3.会判定一个数是无理数还是有理数.
4.会求一个无理数的近似值。
当3.6＜a＜3.7时，12.96＜a2＜13.69
∴a的十分位是6；
当3.60＜a＜3.61时，12.96＜a2＜13.032；
∴a的百分位是0；
当3.605＜a＜3.606时，12.996025＜a2＜13.003236，
∴a的千分位是5.
∴a≈3.61.
练一练
4
北师大版八年级数学上册《2.1.2认识无理数》课件
(2)如果结果精确到百分位呢?
事实上,b=2.236067978…,也是一个 无限不循环小数.
同样,对于体积为2的正方体,我们借助计算 器,可以得到它的棱长C=1.25992105…,它 也是一个无限不循环小数
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
一、想一想
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ).
有理数 分数(如
1,2, 9 3 5 11
…)
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不
是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是 多少呢？
（1）下图中，3个正方形的边长之间 有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分 位是几？百分位呢？千分位 呢？ … …借助计数器进行探索。
1 1
a 面积为2 a
2 2
（3）小明根据他的探索过程整理出如下 的表格，你的结果呢？
边长a 1＜a ＜2
面积S 1 ＜S ＜4
1.4 ＜a ＜1.5
1.96 ＜S ＜2.25
1.41 ＜a ＜1.42 1.414 ＜a ＜1.415 1.4142 ＜a ＜ 1.4143
5.任何一个分数一定是有理数.
()
二、填空题。
1.面积是25的正方形的边长为 ,它是 数.
面积为7 的正方形边长a的整数部分是 ，边
长a是一个 数.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别
事实上,b=2.236067978…,也是一个 无限不循环小数.
同样,对于体积为2的正方体,我们借助计算 器,可以得到它的棱长C=1.25992105…,它 也是一个无限不循环小数
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
一、想一想
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ).
有理数 分数(如
1,2, 9 3 5 11
…)
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不
是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是 多少呢？
（1）下图中，3个正方形的边长之间 有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分 位是几？百分位呢？千分位 呢？ … …借助计数器进行探索。
1 1
a 面积为2 a
2 2
（3）小明根据他的探索过程整理出如下 的表格，你的结果呢？
边长a 1＜a ＜2
面积S 1 ＜S ＜4
1.4 ＜a ＜1.5
1.96 ＜S ＜2.25
1.41 ＜a ＜1.42 1.414 ＜a ＜1.415 1.4142 ＜a ＜ 1.4143
5.任何一个分数一定是有理数.
()
二、填空题。
1.面积是25的正方形的边长为 ,它是 数.
面积为7 的正方形边长a的整数部分是 ，边
长a是一个 数.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别
认识无理数课件
其他生活场景中无理数现象
在金融领域，无理数也经常出 现。例如，股票价格、汇率等 金融数据经常以小数形式表示 ，并且可能包含无限不循环的 小数部分，因此是无理数。
在音乐中，音高和音程可以用 频率来表示。这些频率值往往 是无理数，因为音乐的和谐性 要求精确的音高比例。
在物理学中，许多常数和公式 涉及到无理数。例如，圆周率π 是一个典型的无理数，它在计 算圆的周长、面积等时经常出 现。
03
忽视无理数的运算 规则
在进行无理数的运算时，需要注 意运算顺序和运算法则，避免出 现计算错误。
拓展延伸：无理数在数学领域更深层次应用
无理数与几何学
在几何学中，无理数常常出现在与 长度、面积和体积相关的计算中，
如勾股定理中的斜边长度等。
无理数与数学分析
在数学分析中，无理数的存在 对于极限、连续性和可微性等 概念的研究具有重要影响。
无理数与代数学
在代数学中，无理数是实数域的一 个重要组成部分，对于方程的求解 和函数的性质研究具有重要意义。
无理数与概率论
在概率论中，无理数可以作为 随机变量的取值，参与概率分
布和期望等统计量的计算。
THANK YOU
感谢聆听
无理数的判别方法
通过开方、求根、三角函数等特殊运算产生的数 ，若无法化简为有理数形式，则可判定为无理数 。
易错难点剖析指导
01
误将无限循环小数 当作无理数
无限循环小数是有理数的一种形 式，可以表示为两个整数的比值， 因此不是无理数。
02
误将带根号的数当 作无理数
带根号的数不一定是无理数，例 如√4=2是有理数。需要判断开 方后是否能得到有理数。
在几何图形中，通过构造符合黄金分割比例的线段或图形，可以创造出
北师大版八年级上2.1认识无理数课件
线段AC，CE，BE的长
不能用有理数表示.
C
AB
D
课堂检测
设计面积为5π的圆的半径为a. (1)a是有理数吗?说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算器验证
你的估计. (3)如果精确到百分位呢?
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .
(1)a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是 无限不循环小数. (2)估计a≈2.2. (3)估计a≈2.24.
(圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数, 故π是无理数)
活动2：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？ 请同学们以学习小组活动:一同学举出任意一分数，另一同学 将此分数化成小数.并总结此小数的形式? 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
3.教学难点
无理数存在的探索过程.
☞
什么叫有理数？
正整数：如：1，2，3，…
有 整数 理 数
分数
零：0 负整数：如-1，-2，-3，…
正分数：如 1 , 1 , 5.2, … 23
负分数如 1 5
， 5 6
，-3.5, …
除了有理数外还有没有其他的数呢？
有两个边长为1的小正方形，剪，拼，设法得 到一个大正方形.
思考：a究竟是什么数？
事实上，a=1.414 213 56…... c=2.236 067 978…… 它们是一个无限不循环小数. 像0.585 885 888 588 885…，1.414 213 56…，2.236 067 9…等 这些数的小数位数都是无限的,但 是又不是循环的,是无限不循环小数，也叫无理数.
解 :因 为 AB 是 C正三 ,且 A角 D B形 C A 所B 以 D D,则 CB D 1A B 1 2 由勾股定 :h2理 22得 123 2 h
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小明根据他的探索过程整理出 如下的表格，你的结果呢？
边长a 1＜a＜ 2 1.4＜ a＜ 1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 1.4142＜a＜1.4143 面积s=a2 1＜s＜4 1.96＜s＜2.25 1.9881＜s＜2.0164 1.999369＜s＜2.002225 1.99996164＜s＜2.00024449
1、把下列各数表示成小数，你பைடு நூலகம் 现什么？
4 5 8 2 3, , , , . 5 9 45 11
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
强
调
像0.585885888588885…，1.41421356…， 2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不
a可能是有限小数吗？
你有什么新的发现？
事实上， a=1.41421356……
(1)估计面积为5的正方形的边长 的值（结果精确到十分位） (2)计算结果精确到百分位呢？
事实上b=2.236067978……
事实b=2.236067978…,也是一个无限不循环小数.
自学指导2：
自学课本P23议一议，想一想，完成： 1.理解无理数的概念，有理数与无理数的 区别，会识别一个数是有理数还是无理数.
6.（1）设面积为20的正方形的 边长为x，x是有理数吗？说说你 的理由.
（2）估计x的值（结果精确到十分 位），并用计算器验证你的估计。
（3）如果结果精确到百分位呢？
回顾与小结： 1、_________________叫无理 数。_______________叫有理数。试 举例说明。 2、借助计算器进行探索，用两边 夹逼法可以求一个无理数的近似值。
是循环的,是无限不循环小数.
无限不循环小数叫无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故
π是无理数)
三、分一分
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？ 按小数的形式来分 整数
有理数：有限小数或无限循环小数
数 分数
无理数：无限不循环小数
1.下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
. . 4 3.14, ,0. 5 7, 3
0.1010001000001
（相邻两个1之间的0的个数逐次加2个）
2. 下列各数中，哪些是无理数？ 哪些是有理数？ 0.123432123432 … ， 3.14，-4/3， 0.57，0.101001000100001, 1.2332333233332…， ， ，
§2.1 数怎么又不够用了(2)
学习目标:
1.理解无理数的定义，并会判断一个数是 否是无理数.分清有理数与无理数的区别. 2.借助计算器，利用无限逼近的思想，探 索无理数是无限不循环小数。并会求一个无 理数的近似值.
巩固：
1.若x2=8，则x是整数吗？是分数吗？ 是有理数吗？
2.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则 宽为（ ） A、小数
C、不是有理数
B、分数
D、不能确定
问题的引入：
上节课我们通过分析发现，一个面积 2 为2的正方形，如果边长为a，那么a =2,这 里a既不是整数也不是分数，a到底是一个 什么数呢？它大约等于多少呢？学习了本 节内容，你就可以解决这个问题了.
自学指导1：
自学课本P22－P23议一议之前的内容，完 成： 1、P22的三个问题。重点是体会两边夹逼法 估算无理数的近似值. 2、完成P23－做一做的三个问题. 3 、理解a2=2,b2=5中的a、b的值是一个无限 不循环小数.
(3)无理数都是无限小数; （ √ ） (4)有理数是有限小数. （╳ ）
(5)无限不循环小数是无理数.
(√ )
3.在直角三角形ABC中，∠C＝90° 若a＝2，b＝3，则c满足什么条件？C是有 理数吗？你能确定c的近似值吗？（精确到 0.1） 4.已知a、b是两个连续整数，且 a2﹤7﹤b2，则a+b＝____ 5.已知m2＝26，n2＝88，那么在m、 n之间的正整数有_________________。
..
1
2
检测题：1.下列各数中，哪些是有 理数？哪些是无理数？ 0.4583，3.7，-∏，-1/7，18
-
559 180
，3.97，-234.10101010……
..
0.12345678910111213…… （小数部分由相继的正整数组成）
3. 判断题
(1)有限小数是有理数; （√ ）
？
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）