自动控制原理第5章 根轨迹分析法

由特征方程式列出劳斯阵为
s3 s2 1 12
7 12K 84 12K 1 s 0 7 0 s 12K 0 当劳斯阵s1行等于零时，特征方程可能会出现共轭虚根。
令s1 行等于零，则得KCr＝7。共轭虚根值可由s2行的辅助方程
求得：
7s 12K 0
2
将KCr＝7代入上式解得
s j2 3
5.2.3 闭环零极点与开环零极点的关系
R(s)
如图所示系统的闭环传函为
G(s) (s) 1 G(s)H(s)
G(s) G(s) H(s)
C(s)
(1)
l
一般开环传函可以写成 G(s) K
i 1 G q
(s Zi ) ( s Pi )
i 1 f i 1 q
f
,
H(s) K H
| G(s)H(s) |
j 1 m
(s p j )
i 1 n
( s zi )
m

1 K
n *
幅值条件
G(s)H(s) (s z i ) - (s p j )
i 1 j 1
i - j
i 1 j 1
mห้องสมุดไป่ตู้
n
180 (1 2 ) ( 0,1,2, )
解：可知系统的闭环特征方程为 s 3 7s 2 12s K g 0 同时可知临界根轨迹增益K g 与临界放大系数K cr的关系为K g 12K cr。
* *
（）把s j代入1 G L (s) 0得 1 G （j） 0 1 L 即 即 ( jω) 3 7( jω) 2 12 jω K g K g 7ω 2 j(12ω ω3 )
l
(s z j ) (s p j )
j 1 j 1 h
(2)
则 G(s)H(s) K n qh (s) K G
(s Zi ) (s z j ) ( s Pi ) ( s p j )
i 1 j 1 j 1 h
(3) k kGkH
§5.2 根轨迹的基本概念
5.2.1 根轨迹的基本概念
系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环 特征方程式的根在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。
例. 设有一单位反馈系统如图所示Gk ( s ) 该系统的闭环传函为 C (s) 2k (s) 2 R ( s ) s 2s 2k 系统的特征方程为 s 2 2s 2k 0 两闭环极点为 : s1 -1 1 - 2k s 2 -11 - 2k 2k s ( s 2)
知识要点
根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹 绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的 动态、静态特性。
§5.1 引言
系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能 是密切相关的。闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的 根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性 能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。 对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性， 1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了一种通过改变系统的一个 参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘 制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。 根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，具有直观和 简便的优点，并且是一种通用方法，可以绘制任意线性多项 式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程 的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能 的影响。
2
jω
90
-3
-2 -1
270
。
1 0 -1
σ
8、根轨迹与虚轴的交点 当根轨迹增益K *增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴 进入右半s平面，出现实部为正的特征根，系统将不稳定。
K* 例5 3：开环传递函数为G L (s) , 试求根轨迹和虚轴的交点， s(s 3)(s 4) 计算临界开环增益, 并汇出根轨迹图。
5.2.4 根轨迹方程
R(s)
根轨迹是所有闭环极点 的集合. 1 G (s)H(s) 0
m
G(s) G(s) H(s)
zi
m
C(s)
1 G K (s) 0
i 1 n
一般形式 G K (s)
K ( i s 1) ＝ (T j s 1) ( s zi )
（2）利用Routh判据确定K*和ω值
由特征方程式列出劳斯阵为
s3 s2 s
1
s0
2 3 6 K* 3 K*
2 K*
当劳斯阵s1行等于零时，特征方程可能会出现共轭虚根。
令s1 行等于零，则得K*＝KC＝6。共轭虚根值可由s2行的辅助
方程求得：
3s K 0
2 *
将KC＝6代入上式解得
sj 2
两种方法计算的结果一致。
9、根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角) (1)出射角 : 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角
3 1 p j zi j 1 i 1



交点为 a
(5)实轴 2,3之间必有一个根轨迹的 分离点，它满足下面的 方程
N (s)D(s) - N(s)D (s) 0
可以解得 s －2.47 满足题意。 最后画出系统的概略根 轨迹如图所示。
nm

（ －2－3 ( 1) 0 ） 3 1
m
K ( s zi )
* i 1
m
j 1
j 1
， 其中 K K * i 1 n n (s p j ) pj
j 1
则有
K * i 1 -1 n (s p j )
j 1
特征方程的这种形式称为根轨迹方程。满足根轨迹方程 的s就是闭环特征根。当根轨迹增益K*从0→∞时，特征根s 在复平面上变化的轨迹就是根轨迹。
试画出其根轨迹。
(1) 解： 根轨迹始于 p1 0, p 2 -2, p3 -3; 终于z 1和无穷远点； (2) 有3条根轨迹且对称于实轴 ； (3) 实轴上的根轨迹为 0，－1 和 －2，－3 ； (4) 二条终于无穷远的根轨 迹的渐近线与实轴的交 角为90 和270 ，
m f l
f h i 1 j 1
(s Zi ) (s p j ) ( s Pi ) K ( s z j )
i 1 j 1 n m
结论
(1) 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路 传 函 的极点所组成 (2) 对于单位反馈系统, 闭环零点就是开环零点 (3) 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关 根轨 迹法的基本任务 : 如何由已知的开环零极点的分布及根轨迹增益, 通过图解的 方法 找出闭环极点.
* *
令 Re[1 G K ( jω） 0，Im[1 G K ( jω)] 0 解得及K c ] K g 7ω 2 0
* *
12ω ω3 0 ω 2,3 2 3 和K g 84
*
由此解得 ω1 0和K g 0 或者
（2）利用Routh判据确定K*和ω值
6.根轨迹上分离点(会合点)的分离角(会合角)
在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为
(2k 1) / l
l为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。
7. 根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的交点 : a 渐近线与实轴的交角 :
p z
j 1 j i 1
n
m
i
nm 180 (1 2 ) a nm
K
j
s 1 -1 1 - 2k s 2 -1 1 - 2k
-2 -1 0

K
5.2.2 根轨迹与系统性能
系统特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关， 而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情 况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。 根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环 增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统 的稳态精度。 根轨迹与系统性能之间有比较密切的关系。
第5章
根轨迹法
内容提要
闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在s 平面上的分布所决定。利用系统的开环零、极点分布图，采 用图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹---根轨迹。 本章介绍根轨迹的基本条件、常规根轨迹绘制的基本规 则、广义根轨迹的绘制，以及用根轨迹确定闭环极点及系统 性能指标。
( 0,1,2, , n m 1)
K * ( s 1) 例5-1．设控制系统的开环传函为 G( s) s( s 4)( s 2s 2)
试确定根轨迹的有关数据。
终止于 Z1 1和无穷远
(1) 解： 根轨迹起始于 P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j (2) 有四条根轨迹且对称于 实轴 (3)n - m 3条根轨迹终止于无穷远 , 其渐近线与实轴的交点 为 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) 4 1
两种方法计算的结果一致。
j
Kg
j2 3
Kg
4
3

7 3
0

j2 3
Kg
K* 例5 4：开环传递函数为G L (s) , 试求根轨迹和虚轴的交点， s(s 1)(s 2) 并计算临界开环增益。
解：（ ）把s j代入1 GK ( s) 0得 1 G（j） 0 1 K 即 即 jω3 3ω2 j 2ω K * 0 K * 3ω2 0 - ω3 2ω 0 KC 6 令 Re[1 GK ( jω） 0，Im[1 GK ( jω)] 0 解得及K c ] , 由此解得 ω1 0 ω2,3 2