对驻波与半波损失的认识
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大学物理学5.6 驻波(2)-半波损失
42
42
0.04 cos(x ) cos 4t 0.04 sin x cos 4t
2
由 sin x 0 可确定波节位置坐标
由 sin x 1 可确定波腹位置坐标
求出在之间各个波腹与波节点的位置坐标．
解 (1)设入射波波动方程为
y
A cos[ 2v(t
x )
]
u
根据题意t=0,x=0时，v0<0,得
2
，所以入射波的波动方程为
y
，
0.02 cos[4
(t
x)
](m)
42
（2）求反射波波动方程
已知O点振动方程
y 0.02 cos[4t ]
大学物理
第5章 机械波
§5.4 驻波（2）-半波损失
主讲教师：郭进教授
三、半波损失
入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。
折射率较大的媒质称为波密媒质；
折射波密媒质界面上反射时，有 半波损失，形成的驻波在界 面处是波节。
当波从波密媒质垂直入射到波 疏媒质界面上反射时，无半波 损失，界面处出现波腹。
2
以O点为波源的振动方程为
y 0.02 cos[4 (t t) ]
2
从O点传播，经P点反射回d点所需时间Δ
t=(2L-x)/u ,在p点处有半波损失-π
y反
0.02 cos[4 (t
x) 4
2
](m)
（3）驻波方程
y y入 y反
0.02 cos[4 (t x ) ] 0.02 cos[4 (t x ) ]
第六节 驻波及半波损失
生π的相位跃变，相当于出现了半个波长的波
程差，称半波损失。
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹。入射波与反 射波在此处的相位时时相同，即反射波在分 界处不产生相位跃变。
9
(5) 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长n和弦
线长 l 应满足
l n n
2
驻波频率为
n
n
15
例2 一沿x 方向传播的入射波在 x = 0处发生反
射，反射点为一波节。已知波函数为
y1
Acos2π( t T
x)
求 (1) 反射波的波函数；
(2) 求合成波（驻波）的波函数；
(3) 各波腹和波节的位置坐标。
解 (1)反射点为波节，说明波反射时有的相位 跃变，所以反射波的波函数为
tx
y2
A cos[2π( T
22
44
y (2Acos 2π x) cost
结论1 相邻两波节间各点振动相位相同。
5
y
•
•
•
•
3
5 x
4
4
4
4
2π x ( π , 3π) x ( , 3 ),cos 2π x 0
22
44
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论2 一波节两侧各点振动相位相反。
)
π]
16
(2) 合成波（驻波）的波函数为
y
y1
y2
Acos 2π( t T
x)
Acos[2π( t T
x ) π]
2Acos(2π x π) cos(2π t π)
2
T2
程差，称半波损失。
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹。入射波与反 射波在此处的相位时时相同，即反射波在分 界处不产生相位跃变。
9
(5) 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长n和弦
线长 l 应满足
l n n
2
驻波频率为
n
n
15
例2 一沿x 方向传播的入射波在 x = 0处发生反
射，反射点为一波节。已知波函数为
y1
Acos2π( t T
x)
求 (1) 反射波的波函数；
(2) 求合成波（驻波）的波函数；
(3) 各波腹和波节的位置坐标。
解 (1)反射点为波节，说明波反射时有的相位 跃变，所以反射波的波函数为
tx
y2
A cos[2π( T
22
44
y (2Acos 2π x) cost
结论1 相邻两波节间各点振动相位相同。
5
y
•
•
•
•
3
5 x
4
4
4
4
2π x ( π , 3π) x ( , 3 ),cos 2π x 0
22
44
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论2 一波节两侧各点振动相位相反。
)
π]
16
(2) 合成波（驻波）的波函数为
y
y1
y2
Acos 2π( t T
x)
Acos[2π( t T
x ) π]
2Acos(2π x π) cos(2π t π)
2
T2
对驻波与半波损失的认识课件
对驻波与半波损失的认识课 件
• 驻波现象及基本概念 • 半波损失现象及原因分析 • 驻波和半波损失在光学系统中影响 • 实验验证驻波和半波损失现象 • 总结回顾与拓展延伸
01 驻波现象及基本 概念
驻波定义与形成条件
驻波定义
在波的传播过程中，两个相反方向传播的波叠加形成的一种 特殊波形，其特点是在某些位置振幅始终为零，而在另一些 位置振幅始终最大。
管乐器
在管乐器中，如长笛、单簧管等，当气流通过吹口或簧片激发管内空气振动时，也会在管 内形成驻波。通过改变管的长度、直径和吹气方式等参数，可以改变管内驻波的频率和振 幅，从而发出不同的音调和音色。
电磁场
在电磁场中，当电磁波的频率与某些物体的固有频率相同时，也会在物体内部形成驻波。 这种现象被称为共振。例如，在微波炉中，微波的频率与食物中的水分子的固有频率相同， 从而在食物内部形成驻波，使食物加热均匀。
03
在微波谐振腔中，电磁波在腔内反射形成驻波，同时在腔壁处
发生半波损失。
THANKS
感谢观看
介绍多层膜的反射特性，包括宽带反 射、高反射等特性及应用。
偏振光经过多层膜后相位变化计算
偏振光与多层膜相互作用
分析偏振光经过多层膜后的相位变化规律，包括反射、透射等情况。
相位变化计算方法
介绍计算偏振光经过多层膜后相位变化的方法，包括矩阵法、传输 线法等。
实验验证
通过实验验证偏振光经过多层膜后相位变化的计算结果，包括不同 条件下的测量结果和分析。
02 半波损失现象及 原从一种介质传播到另一种介质时， 在两种介质的交界面处，反射波与入 射波的相位会发生变化，这种相位变 化称为半波损失。
产生机理
半波损失的产生是由于波在传播过程 中遇到不同介质时，介质对波的阻抗 发生变化，导致反射波与入射波的相 位发生变化。
• 驻波现象及基本概念 • 半波损失现象及原因分析 • 驻波和半波损失在光学系统中影响 • 实验验证驻波和半波损失现象 • 总结回顾与拓展延伸
01 驻波现象及基本 概念
驻波定义与形成条件
驻波定义
在波的传播过程中，两个相反方向传播的波叠加形成的一种 特殊波形，其特点是在某些位置振幅始终为零，而在另一些 位置振幅始终最大。
管乐器
在管乐器中，如长笛、单簧管等，当气流通过吹口或簧片激发管内空气振动时，也会在管 内形成驻波。通过改变管的长度、直径和吹气方式等参数，可以改变管内驻波的频率和振 幅，从而发出不同的音调和音色。
电磁场
在电磁场中，当电磁波的频率与某些物体的固有频率相同时，也会在物体内部形成驻波。 这种现象被称为共振。例如，在微波炉中，微波的频率与食物中的水分子的固有频率相同， 从而在食物内部形成驻波，使食物加热均匀。
03
在微波谐振腔中，电磁波在腔内反射形成驻波，同时在腔壁处
发生半波损失。
THANKS
感谢观看
介绍多层膜的反射特性，包括宽带反 射、高反射等特性及应用。
偏振光经过多层膜后相位变化计算
偏振光与多层膜相互作用
分析偏振光经过多层膜后的相位变化规律，包括反射、透射等情况。
相位变化计算方法
介绍计算偏振光经过多层膜后相位变化的方法，包括矩阵法、传输 线法等。
实验验证
通过实验验证偏振光经过多层膜后相位变化的计算结果，包括不同 条件下的测量结果和分析。
02 半波损失现象及 原从一种介质传播到另一种介质时， 在两种介质的交界面处，反射波与入 射波的相位会发生变化，这种相位变 化称为半波损失。
产生机理
半波损失的产生是由于波在传播过程 中遇到不同介质时，介质对波的阻抗 发生变化，导致反射波与入射波的相 位发生变化。
大学物理：Chapter 13-驻波
2
2
A驻 cos ( t )
A驻
2 Acos (2 x 2 1 ) 2
★ 说明：
(1) A驻 是 x 的周期函数，决定 x 处质点的振幅。
(2) (t ) 决定 x 处质点的振动状态。
(3) 各点作频率相同、振幅不同的谐振动。
(4) 方程中不含 (t x u) 项，非行波，没有波形的传播。
无半波损失时，应满足：
t kx0 0反 t kx0 0入
0反 0入 2kx0
有半波损失时，应满足：
t kx0 0反 t kx0 0入 0反 0入 2kx0
驻波在生活中的 应用
• 首先举几个生活中常见驻波的例子： • 以弦乐器的弦来说明。当拨动琴弦，产生一个波，遇到两
无半波损失时，
若入射波函数为：u入 ( x , t ) A cos(t kx) 则反射波函数一定为：u反 ( x , t ) A cos(t kx)
若入射波函数为：u入 ( x , t ) A cos(t kx 0 )
则反射波函数一定为：u反 ( x ,t ) A cos(t kx 0 )
解： (1)
y入
A cos
2
(
t T
x
)
入射波 O
反射波
P
波密 介质
x
y入O
A cos
2
t T
L = 5λ
波由O 传至P 再返回O ，引起O 点振动相位比 y入O 落后了：
2
2L
由半波损失引起的相位差
所以反射波在O点的振动方程为：
y反O
A cos[ 2
t T
(2
2L
)]
Acos[2 t (2 10 )] Acos[2 t 21 ]
驻波 半波损失
n=3
1
u 4L
——基频
n=4
四、振动的简正模式
拓展： 为什么弹奏不同的乐器会产生不同的音乐效果？
➢ 乐器是由弦上/管内存在的驻波和音箱共鸣而发声的。 音调由基频决定，谐频的频率和强度决定音色。
随堂练习
1、如图所示，设波源(在原点O)的振动方程为：
yo (t ) Acos(t )
它垂直于墙面方向发出波长为 的平面简谐波
机械波第五讲 驻波 半波损失
一、驻波的产生
1、驻波现象的感性认识
演示：弦驻波
一、驻波的产生
水中波浪被悬崖或码头时反射时，就可 以看到它与入射波叠加后形成的驻波。
一、驻波的产生
驻波是由在同一介质的同一直线上沿相反方向传播两 列振幅相同的相干波叠加后形成的一种特殊的振动。
现象——分段振动: (1) 存在波腹与波节； (2) 合成波的波形不传播。 (3) 相位特点…
波阻抗（ Z ）
介质的密度 和波速 u 的乘积
•波密介质：波阻抗较大的介质 •波疏介质：波阻抗较小的介质
反射波
反射面 透射波
•是相对的，不是绝对的！ 入射波
★理论研究表明：
1u1
2u2
结 入射波在从波疏介质传向波密介质，并在界面 论 反射时，反射波相位突变了，——半波损失.
四、振动的简正模式
(1)弦线两端固定
二、驻波的特征
1、驻波中的波腹与波节 （以一波腹处为坐标原点）
y
O
x
驻波的振幅
2 A cos (2
x )
与时间无关
波腹:
cos(2π ) 1
xm
2
(m 0,1,2,)
波节: cos(2π x ) 0
对驻波与半波损失认识
音响与驻波
现在许多人在家庭装修时都会考虑购买音响,而音响技术 中有一个最难对付的祸害--驻波。下面我们来讨论一下音 响学中的驻波。
声音虽然是纵波，但它与横波一样同样存在驻波现象。波 节两边的质点在某一时刻涌向波节，使波节附近成为质点 密集区，半周期后，又向两边散开，使波节附近成为质点 稀疏区，相邻节点附近质点的密集和稀疏情况正好相反。
感谢杨老师的关心 和半学期来对我每个问题的仔细解答！
n1 n2
当光从折射率大的光密介质，正入射于折射率小的 光疏介质时，反射光没有半波损失。
折射光都无半波损失。
结论
首先可以肯定这两种半波损失的产生机理并 不相同。我们在课本中讨论的绳波，是一种 特殊的机械波，而光波是电磁波。
在查阅资料后，发现对于光波的半波损失需 要借助菲涅耳公式进行证明，所以它与驻波 的半波损失不同。
左行波
合成后，弦上的运动为
y y1 y2 2Acos(kx
合成后的波称为驻波
2
2
1
)
cos(
t
2
2
1
)
由图可以看出：
各点离平衡位置 的距离保持不变， 经过T/4，各点 位移改变符号。
于是，我们所见 的驻波与行波不 同，没有位相的 逐点不同和逐点 传播。
驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律：
类比水波，对于声波，假设它在一个密闭的矩形房间里传 播。考虑两堵平行的墙壁，对于恒定的波源，特定频率的 波，某些恒定的点会成为波腹和波节。在波节的点就始终 听不到这一频率的声音，而在波腹的点声音频率特别高。
实际上，不管声源在什么地方，只要有二个平行平面存在， 声音最终都会在平行的二个面之间来回反射。所以，凡是 两个平行面间的距离是某些频率的半波长或半波长的整数 倍，那么，这些频率都是这个房间的驻波频率。这些频率 在空间的各点会表现出非常不同的性质。
对驻波与半波损失的认识-精选
在无线电技术中，驻波有重要的 应用。
在发射过程中要使无线电波以尽 量大的功率传输。
只有阻抗完全匹配，才能达到最 大功率传输。这在高频更重要！ 发射机、传输电缆（馈线）、天 线阻抗都关系到功率的传输。驻 波比就是表示馈线与天线匹配情 形。
不匹配时，发射机发射的电波将 有一部分反射回来，在馈线中产 生反射波，反射波到达发射机， 最终产生为热量消耗掉。接收时， 也会因为不匹配，造成接收信号 不好。
音响与驻波
❖ 现在许多人在家庭装修时都会考虑购买音响,而音响技术 中有一个最难对付的祸害--驻波。下面我们来讨论一下音 响学中的驻波。
❖ 声音虽然是纵波，但它与横波一样同样存在驻波现象。波 节两边的质点在某一时刻涌向波节，使波节附近成为质点 密集区，半周期后，又向两边散开，使波节附近成为质点 稀疏区，相邻节点附近质点的密集和稀疏情况正好相反。
驻波在生活中的应用
❖ 首先举几个生活中常见驻波的例子： ❖ 以弦乐器的弦来说明。当拨动琴弦，产生一个波，遇到两
个固定端后发生反射，形成驻波。无论是提琴还是古筝， 它的每一根弦在特定的长度和张力下，都会有自己的固有 频率。当弦以固有频率振动时，两端被固定振幅最小，但 振动方向的张力最大（波节）。中间振幅最大，但弦最松 弛，即振动张力最小（波腹）。 ❖ 一块石头落入水中，水波向四面散开。水波碰到硬质表面 就反射回来，反射回来的幅度和相位就象是没有阻档表面 时波原来传播下去那样的形状，但被折了回来。一般情况 这二种波是无规则的叠加的，不会使波形出现异常。但当 波源到反射表面的距离等于半波长的整数倍时，情况就不 同了。我们看到了驻波。 ❖ 此外，能量在驻波中的分布是不均匀的，振动的能量在波 节处的分布相对更为集中。
对于矩形房间，要考虑３对驻波：
机械波基础3
大学物理（下）
主讲人：吕波
5
一、驻波的产生
-6
驻波 半波损失
1、演示实验：弦线上的驻波
分别沿X 轴正、负方向传播的同频率、同初相位的两列相干波， 其合成波某些点振幅特大，某些点几乎不动，称为驻波
2、驻波的形成
驻波是一种特殊的干涉现象。 波节——静止不动，振幅为零 波腹——振动最强， 振幅最大
y
t l ( l－x ) y反 A cos[2 ( ) －2 ] T
将l=5λ代入上式得
t x y反 A cos(2 2l－2 ) T t x A cos 2 ( ＋ ) T
（2）驻波的表达式为
t l t x y y入 y反 A cos 2 ( ) A cos 2 ( ＋ ) T T 2 2 2 A sin sin t T
第二步静止的接收器收到行驶的汽车发出的波的频率为：
u v u
v
u u v
u v u v
v
v u
10 1 1 00 330 1 .7 m / s 5 10 1 1 00
例3、车上一警笛发射频率为1500Hz的声波。该车正以20m· -1的 s 速度向某方向运动，某人以5m· -1速度跟踪其后，已知空气中的 s 声速为330 m· -1，求该人听到的警笛发声频率。 s 解：设没有风。根据题目条件已知 =1500Hz，u=330m· -1，观 s 察者向着警笛运动，应取v0=5m· -1，而警笛背着观察者运动， s 应取vs=20m· -1。因而该人听到的频率为 s
y 2 A cos 2
x
cos 2t
使cos(2πx/λ)为正的点，相位为2πνt; 使cos(2πx/λ)为负的点，相位为2πνt+π。
主讲人：吕波
5
一、驻波的产生
-6
驻波 半波损失
1、演示实验：弦线上的驻波
分别沿X 轴正、负方向传播的同频率、同初相位的两列相干波， 其合成波某些点振幅特大，某些点几乎不动，称为驻波
2、驻波的形成
驻波是一种特殊的干涉现象。 波节——静止不动，振幅为零 波腹——振动最强， 振幅最大
y
t l ( l－x ) y反 A cos[2 ( ) －2 ] T
将l=5λ代入上式得
t x y反 A cos(2 2l－2 ) T t x A cos 2 ( ＋ ) T
（2）驻波的表达式为
t l t x y y入 y反 A cos 2 ( ) A cos 2 ( ＋ ) T T 2 2 2 A sin sin t T
第二步静止的接收器收到行驶的汽车发出的波的频率为：
u v u
v
u u v
u v u v
v
v u
10 1 1 00 330 1 .7 m / s 5 10 1 1 00
例3、车上一警笛发射频率为1500Hz的声波。该车正以20m· -1的 s 速度向某方向运动，某人以5m· -1速度跟踪其后，已知空气中的 s 声速为330 m· -1，求该人听到的警笛发声频率。 s 解：设没有风。根据题目条件已知 =1500Hz，u=330m· -1，观 s 察者向着警笛运动，应取v0=5m· -1，而警笛背着观察者运动， s 应取vs=20m· -1。因而该人听到的频率为 s
y 2 A cos 2
x
cos 2t
使cos(2πx/λ)为正的点，相位为2πνt; 使cos(2πx/λ)为负的点，相位为2πνt+π。
半波损失的原理分析
半波损失的原理分析［摘要］：根据机械波波动方程，菲涅尔公式的内容，从而得出光波和机械波半波损失的原理，加强对客观的物理现象的本质了解。
［关键词］：半波损失，波动方程，菲涅尔公式在这学期对波的学习过程中，半波损失是经常出现的概念与现象。
半波损失在机械波和光波中均有所涉及。
如在光的干涉现象中，半波损失就是一个不得不考虑的问题；而在驻波的形成中也需注意相位跃变。
半波损失是指：机械波或光波在媒质表面反射时出现附加位相差π的现象。
光从光速较大（折射率较小）的介质射向光速较小（折射率较大）的介质时，反射光的相位较之入射光的相位跃变了π，由于这一相位的跃变，相当于反射光与入射光之间附加了半个波长λ/2的波程差，故称为半波损失。
机械波和光波的原理并不完全相同，但本质上是一样的。
半波损失理论在我们实际生活中有很大的应用，如光学元件表面的检查；透镜质量的检查；増反膜，增透膜的应用；对微小间距的测量……而在教材中并未对半波损失的原理进行解释。
本文通过对菲涅尔公式的研究从而得出光波半波损失的原理，通过对基本的机械波波动方程的研究从而得出机械波半波损失的原理，对客观的物理现象有更为清晰，明白的了解。
1.机械波半波损失的原理设入射波的方程为y=A1cos(ωt-k1x),则反射波的方程为y’=A1’cos(ωt+k1x+Φ1),透射波的方程为y’’=A2cos(ωt-k2x +Φ2)(1)。
其中A1’，A2的符号由边界条件确定,如果A1’，A2与A1同号说明反射波、透射波与入射波同相,如果A1’，A2与A1异号说明反射波、透射波与入射波反相。
媒质1中机械波波的方程为：ξ1(x,t) =A1cos(ωt-k1x)+A1’cos(ωt+k1x +Φ1)(2)；媒质2中机械波的方程为：ξ2(x,t)=A2cos(ωt-k2x+Φ2)+A2(3)。
如果对界面处两侧媒质无分离、无滑动,这种情况下,界面两侧波的位移应相等,应力应相同, 即有边界条件ξ1(0,t)=ξ2(0,t)(4)。
大学物理：Chapter 13-驻波
2
)
y驻
2 A cos(2
x
)cos(2
2
t T
)
2
(3) 波节点： 2 Acos(2 x ) 2
0,
2 x (2k 1)
2
2
2 x k , x k (k 0, 1, 2,) (0 x 5 )
垂直入射中，入射波和反射波的合成
四、半波损失 (相位跃变）
1. 波阻：ρ u 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。
2. 半波损失
— 当波由波疏介质向波密介质垂直入射，在两介质界面
反射时相位突变π ，称为“半波损失”。
★ 1v1 2v2 时，有半波损失，
A驻 2 A
2 x 2 1 k (k 0, 1, 2,)
2
★ 相邻两波节(或波腹)间的距离： Δx xk 1 xk 2
t 0
tT 4
tT 2
t 3T 4
波节:始终 不动的点。 红色虚线对 应的位置。
波腹:振幅 始终最大的 点。黑色虚 线对应的位 置。
2. 驻波中各点的相位关系
2π
2
半波损失: 反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相.
两端固定的弦 振动的简正模式
l n n n 1,2,
2
l 1
2 l 22
2
l 33
2
1）弦上的驻波
A
弦
B
L n n
L
2
n
2L n
n=1 n=2 n=3
n
u
n
n u n=4 2L
1
u 2L （基频）
2
u L
3
3u 2L
)
y驻
2 A cos(2
x
)cos(2
2
t T
)
2
(3) 波节点： 2 Acos(2 x ) 2
0,
2 x (2k 1)
2
2
2 x k , x k (k 0, 1, 2,) (0 x 5 )
垂直入射中，入射波和反射波的合成
四、半波损失 (相位跃变）
1. 波阻：ρ u 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。
2. 半波损失
— 当波由波疏介质向波密介质垂直入射，在两介质界面
反射时相位突变π ，称为“半波损失”。
★ 1v1 2v2 时，有半波损失，
A驻 2 A
2 x 2 1 k (k 0, 1, 2,)
2
★ 相邻两波节(或波腹)间的距离： Δx xk 1 xk 2
t 0
tT 4
tT 2
t 3T 4
波节:始终 不动的点。 红色虚线对 应的位置。
波腹:振幅 始终最大的 点。黑色虚 线对应的位 置。
2. 驻波中各点的相位关系
2π
2
半波损失: 反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相.
两端固定的弦 振动的简正模式
l n n n 1,2,
2
l 1
2 l 22
2
l 33
2
1）弦上的驻波
A
弦
B
L n n
L
2
n
2L n
n=1 n=2 n=3
n
u
n
n u n=4 2L
1
u 2L （基频）
2
u L
3
3u 2L
驻波 惠更斯原理 半波损失
半波反射
波疏 波密界面反射
(4) 驻波应用举例： 弦乐发声：一维驻波； 鼓面：二维驻波；
微波振荡器， 激光器谐振腔
量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波…...
七、波的衍射 1. 衍射现象 波遇到障碍物时，绕过障碍 物进入几何阴影区。 光偏离直线传播路径进入几 何阴影区，并形成光强非均匀 稳定分布。
O
T 3 t , T: 4 4
T t 2 t 3T 4
Ψ
O
x 各质点达平衡位置，形变 为零，Ep = 0, E =Ek，集 x 中于波腹附近(速率最大)
Ψ
O
x
5) 驻波系统的固有频率：
L n
(n 1,
n
2
2,
2L n n
nu vn n 2 L
u
3,) 所有可能的振动方式：简正模式
基频 总之： “驻”波
谐频
外形象波：具有空间、时间周期性；波 形、能量不向前传播、无滞后效应。
(3) 半波损失 波在两种不同介质界面上的反射
全波反射
自由端反射
波密 波疏界面反射
反射波与入射波 在反射点同相
特征阻抗： z u大 z u小 固定端反射
波腹
反射波与入射波 在反射点反相 波节 相位突变 半波损失
(3) 入射波、反射波干涉静止条件：
x π Ψ 入 A cos[2π (t ) ] u 2
u入
O
3 4
疏 密
P
x
x π Ψ 反 A cos[2πv(t ) ] u 2
由
得 又
4πx 4πx 2 1 (2k 1)π u
x (2k 1) 4 3 k 1,0,1,2, x
平面简谐波和波的干涉 驻波 半波损失
有半波损失
y反 o ' = A cos ω t
2π
以O′为波源写反射波波动方程
7λ y反 = A cos[ ω t + (x − )] λ 4 = A cos( ω t + 2π
y
o
M
p o'
x
λ
x+
π
2
)
（3） y 合 = y 入 + y反 ）
= 2 A cos 2π x
λ
cos( ω t +
π
y0 = f (t )
不计介质吸收时，距原点 不计介质吸收时，距原点x 处的质元的振动规律应为： 处的质元的振动规律应为：
x y0 = f (t − ) u
波线
波 前
平面行波
二、平面简谐波
y
o· ·
·· · · · ··
x
· · P· ··· ·
u
· ··
· · ···
·· ····· ··
x
波函数用来表示任意时刻任意位置处的质点的振动位移
2 A2 = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ
P
r1
O1
r2
O2
合振动的强度： 合振动的强度：I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ∆ϕ
S1 、 S2在P点引起振动的相位差为： 点引起振动的相位差为： 点引起振动的相位差为
2π 2π 2π r2 − ϕ1 − r1 = ϕ 2 − ϕ1 − ∆ϕ = ϕ 2 − (r2 − r1 ) λ λ λ 2π 当 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − (r2 − r1 ) = ±2kπ (k = 0,1,2K) 干涉加强 λ
驻波的概述
即
y1
Acos(2 t
2
x)
y2
A c os(2 t
2
x)
两波相遇，其合成波为
y
y1
y2
A c os(2 t
2
x)
A c os(2 t
2
x)
2Acos 2 x cos2 t (x) (t)
变量分离 2
2、驻波特征
① 振幅分布的特点
➢波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各
x
0
Dy2
A c os2
t T
x
解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节， 说明有半波损失。
故应选 (D)
12
例 5－1０ 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点位相差是
（Ａ）
a
（B） 2
A
b
（C）5 4
o
（D） 0
A
2
9
8
解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。
5
／4
(x) ＞0 (x) < 0 3／4
5／4
相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。任 一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差π ，
──即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相 邻两段位相相反。
6
③、驻波能量分布特点：
y(t t, x x) 2Acos2 (x x) cos2 (t t) y(t, x)
驻波的概述
一、驻波现象
在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一 直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波。
P
A
B
m
绳上的驻波
驻波 半波损失
大学物理波动学基础第7讲驻波半波损失驻波半波损失驻波是如何形成的?它有什么特征?驻波半波损失一、驻波的形成(波干涉的特殊情况)两列振幅相同的相干波相向传播时迭加而成的波, 叫做驻波.(1)没有波形的推进，也没有能量的传播, 参与波动的各个质点处于稳定的振动状态.(2)各振动质点的振幅各不相同, 但却保持不变, 有些点振幅始终最大, 有些点振幅始终为零.设有两振幅相同、频率相同、初相均为零的简谐波,沿 x 轴的正负方向传播, 波动表达式分别为⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=λνλνx t A y x t A y π2cos π2cos 21两波相遇, 则t xA x t A x t A y y y νλλνλνπ2cos π2cos 2 π2cos π2cos 21=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+=————驻波方程二、驻波方程驻波形成后, 弦上各点的振幅为π2cos 2 λxA 各点均作频率为ν 简谐运动(与 x 无关).(与 t 无关, 与 x 有关)txA y νλπ2cos π2cos 2=(一)波节和波腹λxA A π2cos 2=驻三、驻波特征0π2cos =λx(1)(1)当 时, A 驻= 0 (最小)——波节()2π12π2 +±=k x λ()L ，，，，210412=+±=⇒k k x λ1π2cos =λx (2)(2)当 时, A 驻= 2A (最大)——波腹 ππ2 k x ±=λL ，，，，2102=±=⇒k k x λ相邻波节或波腹的间距为(3)(3) x 不满足以上条件的个点, 振幅的变化范围为AA 2<<0驻()[]()()22212412411211λλλλλλ=−+=−=+−++=−++k k x x k k x x k k k k 均为半个波长(二)各点的相位(1)(1)波节两边相位相反, 两波节之间相位相同, 同时极大, 同时极小.(2)波形不右移或左移, 各以确定的振幅在各自的平衡位置附近作简谐运动.2T t =xy O四、相位突变(半波损失)相位在分界面处跃变π, 即半个波长, 相当附加(或损失)了半个波长的波程———— 半波损失.为什么自由端为波腹固定端为波节?波密介质: 密度 ρ 与波速 u 的乘积 ρu 较大的较大的介质介质.波疏介质: 密度 ρ 与波速 u 的乘积 ρu 较小的较小的介质介质.波密介质波疏介质实验表明: 当波从波疏介质传播到波密介质而在分界面处垂直入射时, 反射点为波节; 反之,波由波密介质垂直入射到波疏介质时, 则反射点处形成波腹.⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=λνωρωωλνωρωωρx t A u x t A x t A u x t A π2sin sin π2sin sin 22222222222221w w 驻波不是波动而是振动, 能量和波形均不传播.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=t x A νλωρπ4cos π4cos 122驻w 五、驻波能量六、驻波与行波的区别(1)振幅行波: 弦线上每个质点都以相同的振幅振动;驻波: 不同质点的振幅不同, 质点的振幅随质点的位置x 而改变.(2) 能量行波: 能量随波传播出去;驻波: 能量不能流过弦线上的节点, 节点是静止不动的, 呈“常驻状态”, 它只在振动动能和弹性势能之间交替变换.(3)本质驻波的实质是一种特殊形式的简谐运动.我们把驻波叫做波动的理由在于这个运动可以看作为沿相反方向行进的二个波的叠加.例题 在弦线上有一简谐波, 其表达式为:)SI (]3π)2002.0(π2cos[100.221+−×=−x t y 为了在此弦线上形成驻波, 并且在 x = 0 处为一波节, 此弦上还应有一简谐波, 求其表达式.解: ])2002.0(π2cos[100.222ϕ++×=−x t y 反向波为)]3π02.0π4(21cos[)]3π202(21cos[100.4 221++−+×=+=−ϕϕt x y y y因为 x = 0 处为波节)2πor ( 2π)3π(21−=−ϕ)32π(or 34π−=ϕ]3π4)2002.0(π2cos[100.222++×=−x t y )]3π02.0π4(21cos[)]3π202(21cos[100.4 221++−+×=+=−ϕϕt x y y y and。
5.6 驻波 半波损失
x处质元的振动频率为 ν 处质元的振动频率为: 处质元的振动频率为 x处质元的振动相位为 2πνt 或 2πνt+π 处质元的振动相位为: 处质元的振动相位为
2,驻波的特点 ,
x y = 2 A cos 2π cos (2πν t ) λ
(1) 波节和波腹分布
相邻波节间 x A′ = 2 A cos 2π = 0 的距离为: 的距离为 λ λ x k +1 x k = π x 1, 2π = ± (2k + 1) k = 0, … 2 λ 2 即: x = ± (2k + 1)
x = (2k + 1)
λ
4
k = 0, 2, 1, …
例题:设入射波的表达式为 例题 设入射波的表达式为y1 = A cos[2π (νt + x / λ )]. 波在 x = 0 处发生反射,反射点为固定端,则形 处发生反射,反射点为固定端, 成的驻波表达式为___________. 成的驻波表达式为 . 点产生的振动方程为: 入射波在O点产生的振动方程为 y1 = A cos(2πνt ) 点产生的振动方程为: 反射波在O点产生的振动方程为
例题:一平面简谐波沿 轴正向传播 例题 一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅为A, 一平面简谐波沿 轴正向传播, 波速为u. 频率为ν,波速为 .设 t = t ′时刻的波形曲线如 图所示. 图所示.求:(1) x = 0 处质点振动方程; (2) 该波 处质点振动方程; y 的波动方程. 的波动方程. u 解:(1)设 x = 0 处质点振动方程 x 为: y = A cos (2πν t + φ ) O t = t′ 由图可知, 由图可知, = t ′ 时 t y = A cos (2πν t ′ + φ ) = 0 π 2πν t ′ + φ = dy 2 = 2πνA sin(2πνt ′ + φ ) < 0
对驻波与半波损失的认识
n1 n2
当光从折射率大的光密介质，正入射于折射率小的 光疏介质时，反射光没有半波损失。
折射光都无半波损失。
结论
• 首先可以肯定这两种半波损失的产生机理并 不相同。我们在课本中讨论的绳波，是一种 特殊的机械波，而光波是电磁波。
• 在查阅资料后，发现对于光波的半波损失需 要借助菲涅耳公式进行证明，所以它与驻波 的半波损失不同。
如上图所示前进波（发射波） 与反射波以相反方向进行。
完全匹配，将不产生反射波， 这样，在馈线里各点的电压 振幅是恒定的 .不匹配时， 在馈线里产生驻留在馈线里 的电压波形,即驻波。
我们可以引入驻波比的概念来表示阻抗的匹配情况: 驻波比（VSWR）的值的计算公式如下:
驻波比的值在1到无穷大之间。驻波比为1，表示完全匹 配；驻波比为无穷大表示全反射，完全失配。 在移动通信系统中，一般要求驻波比小于1.5，但实际应 用中VSWR应小于1.2。过大的驻波比会减小基站的覆盖 并造成系统内干扰加大，影响基站的服务性能。
• 类比水波，对于声波，假设它在一个密闭的矩形房间里传 播。考虑两堵平行的墙壁，对于恒定的波源，特定频率的 波，某些恒定的点会成为波腹和波节。在波节的点就始终 听不到这一频率的声音，而在波腹的点声音频率特别高。
• 实际上，不管声源在什么地方，只要有二个平行平面存在 ，声音最终都会在平行的二个面之间来回反射。所以，凡 是两个平行面间的距离是某些频率的半波长或半波长的整 数倍，那么，这些频率都是这个房间的驻波频率。这些频 率在空间的各点会表现出非常不同的性质。
在无线电技术中，驻波有重要的 应用。
在发射过程中要使无线电波以尽 量大的功率传输。
只有阻抗完全匹配，才能达到最 大功率传输。这在高频更重要！ 发射机、传输电缆（馈线）、天 线阻抗都关系到功率的传输。驻 波比就是表示馈线与天线匹配情 形。
当光从折射率大的光密介质，正入射于折射率小的 光疏介质时，反射光没有半波损失。
折射光都无半波损失。
结论
• 首先可以肯定这两种半波损失的产生机理并 不相同。我们在课本中讨论的绳波，是一种 特殊的机械波，而光波是电磁波。
• 在查阅资料后，发现对于光波的半波损失需 要借助菲涅耳公式进行证明，所以它与驻波 的半波损失不同。
如上图所示前进波（发射波） 与反射波以相反方向进行。
完全匹配，将不产生反射波， 这样，在馈线里各点的电压 振幅是恒定的 .不匹配时， 在馈线里产生驻留在馈线里 的电压波形,即驻波。
我们可以引入驻波比的概念来表示阻抗的匹配情况: 驻波比（VSWR）的值的计算公式如下:
驻波比的值在1到无穷大之间。驻波比为1，表示完全匹 配；驻波比为无穷大表示全反射，完全失配。 在移动通信系统中，一般要求驻波比小于1.5，但实际应 用中VSWR应小于1.2。过大的驻波比会减小基站的覆盖 并造成系统内干扰加大，影响基站的服务性能。
• 类比水波，对于声波，假设它在一个密闭的矩形房间里传 播。考虑两堵平行的墙壁，对于恒定的波源，特定频率的 波，某些恒定的点会成为波腹和波节。在波节的点就始终 听不到这一频率的声音，而在波腹的点声音频率特别高。
• 实际上，不管声源在什么地方，只要有二个平行平面存在 ，声音最终都会在平行的二个面之间来回反射。所以，凡 是两个平行面间的距离是某些频率的半波长或半波长的整 数倍，那么，这些频率都是这个房间的驻波频率。这些频 率在空间的各点会表现出非常不同的性质。
在无线电技术中，驻波有重要的 应用。
在发射过程中要使无线电波以尽 量大的功率传输。
只有阻抗完全匹配，才能达到最 大功率传输。这在高频更重要！ 发射机、传输电缆（馈线）、天 线阻抗都关系到功率的传输。驻 波比就是表示馈线与天线匹配情 形。
13.4驻波,半波损失
13.5 驻波
3. 弦上驻波的简正模式 驻波系统可以有许多固有频率
16
13.5 驻波
两端固定的弦线形成驻波时, 波长λn 和弦线长L满足：
L=n
λn
2
波节
2L ⇒ λn = n nu ⇒νn = ( n = 1, 2, 3,...) 2L
基频
谐频
由频率决定的各种振动方式为弦线振动的简正模式
h8 17
= 2 A cos( 2πx
λ
+
ϕ 2 − ϕ1
2
) cos(ω t +
ϕ 2 + ϕ1
2
)
适当选择计时起点和原点，使原点处 ϕ 1 = ϕ 2 = 0 合成波： Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = 2 A cos 驻波的振幅 与位置有关
2πx
λ
cos ω t
各质点都在作同 频率的简谐运动 8
13.5 驻波
λ
( 相长 ) ⎧ ± kλ ⎪ δ = r2 − r1 = ⎨ (k = 0,1,2, L) λ ⎪ ± ( 2k + 1) 2 ( 相消) ⎩
2
13.5 波的干涉
练习1：判断是非
(1) 两列不满足相干条件的波不能叠加 (2) 两列波相遇区域中P点，某时刻位移值恰 好等于两波振幅之和，这两列波为相干波。 (3) 在波的干涉现象中，波动相长各点或波动 相消各点的集合的形状为双曲面族。
小提琴
长号 相 对 振 幅
单簧管 钢琴
频率 H Z
19
13.5 驻波
4. 驻波应用举例 弦乐发声：一维驻波； 鼓面：二维驻波； 微波振荡器，激光器谐振腔 量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波…
20
对驻波与半波损失的认识课件
实验研究提供了更好的条件。
实验方法的创新
研究者们不断探索新的实验方法， 以更有效地观测和测量驻波与半波 损失，为理论验证提供有力支持。
实验结果的应用
实验研究不仅有助于理解驻波与半 波损失的本质，其结果还可应用于 实际工程中，提高相关系统的性能 。
驻波与半波损失的应用前景
声学工程领域
驻波与半波损失在声学工程领域有广泛的应用前景，如声学材料 的优化设计、声学仪器的改进等。
半波损失
半波损失是指在波的传播过程中，由于反射或折射等原因，导致波的能量在传 播方向上减少一半的现象。这种现象通常发生在波的传播路径上遇到不同介质 或障碍物时。
驻波与半波损失的物理意义
驻波的物理意义
驻波的形成是能量守恒的结果，它使得能量在介质中以振动的形式不断传递和交 换。驻波的波形稳定，能量分布均匀，因此在声学、地震学等领域有广泛的应用 。
当两个波源的相位差为整数倍 的波长时，波峰与波峰或波谷 与波谷相遇，形成驻波。
驻波的振幅取决于两个波源的 振幅和相位差。
驻波的特性分析
01
驻波具有固定的振幅和 频率，不随时间变化。
02
驻波的波形不随时间推 移而传播，因此被称为 “驻波”。
03
驻波的能量在介质中固 定位置上不断振荡，不 向外传播。
04
半波损失在实际问题中的应用
01
声学测量
在声学测量中，半波损失是一个重要的概念。通过测量反射波与入射波
的相位差，可以推断出声波在不同介质中的传播特性，进而评估介质的
物理性质和结构。
02
振动分析
在机械振动分析中，半波损失可以帮助解释振动波形和共振现象。例如
，在分析梁的振动时，半波损失会影响梁的振动幅值和频率，进而影响
实验方法的创新
研究者们不断探索新的实验方法， 以更有效地观测和测量驻波与半波 损失，为理论验证提供有力支持。
实验结果的应用
实验研究不仅有助于理解驻波与半 波损失的本质，其结果还可应用于 实际工程中，提高相关系统的性能 。
驻波与半波损失的应用前景
声学工程领域
驻波与半波损失在声学工程领域有广泛的应用前景，如声学材料 的优化设计、声学仪器的改进等。
半波损失
半波损失是指在波的传播过程中，由于反射或折射等原因，导致波的能量在传 播方向上减少一半的现象。这种现象通常发生在波的传播路径上遇到不同介质 或障碍物时。
驻波与半波损失的物理意义
驻波的物理意义
驻波的形成是能量守恒的结果，它使得能量在介质中以振动的形式不断传递和交 换。驻波的波形稳定，能量分布均匀，因此在声学、地震学等领域有广泛的应用 。
当两个波源的相位差为整数倍 的波长时，波峰与波峰或波谷 与波谷相遇，形成驻波。
驻波的振幅取决于两个波源的 振幅和相位差。
驻波的特性分析
01
驻波具有固定的振幅和 频率，不随时间变化。
02
驻波的波形不随时间推 移而传播，因此被称为 “驻波”。
03
驻波的能量在介质中固 定位置上不断振荡，不 向外传播。
04
半波损失在实际问题中的应用
01
声学测量
在声学测量中，半波损失是一个重要的概念。通过测量反射波与入射波
的相位差，可以推断出声波在不同介质中的传播特性，进而评估介质的
物理性质和结构。
02
振动分析
在机械振动分析中，半波损失可以帮助解释振动波形和共振现象。例如
，在分析梁的振动时，半波损失会影响梁的振动幅值和频率，进而影响
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在无线电技术中，驻波有重要的 应用。 在发射过程中要使无线电波以尽 量大的功率传输。 只有阻抗完全匹配，才能达到最 大功率传输。这在高频更重要！ 发射机、传输电缆（馈线）、天 线阻抗都关系到功率的传输。驻 波比就是表示馈线与天线匹配情 形。 不匹配时，发射机发射的电波将 有一部分反射回来，在馈线中产 生反射波，反射波到达发射机， 最终产生为热量消耗掉。接收时， 也会因为不匹配，造成接收信号 不好。
半波损失
课本在讨论固定端反射问题时，提到了半
波损失。相比于自由端，两者的差异是由 于解微分方程后初始值的待定产生的。 而在中学时我们学过，光波在界面间发生 反射时也有半波损失。 这两种半波损失是否相同，有何联系？
半波损失：光从光疏介质进入光密介质，光反射后有 了量值为 的位相突变，即在反射过程中损失了半个 波长的现象。 i
音响与驻波
现在许多人在家庭装修时都会考虑购买音响,而音响技术 中有一个最难对付的祸害--驻波。下面我们来讨论一下音 响学中的驻波。 声音虽然是纵波，但它与横波一样同样存在驻波现象。波 节两边的质点在某一时刻涌向波节，使波节附近成为质点 密集区，半周期后，又向两边散开，使波节附近成为质点 稀疏区，相邻节点附近质点的密集和稀疏情况正好相反。 类比水波，对于声波，假设它在一个密闭的矩形房间里传 播。考虑两堵平行的墙壁，对于恒定的波源，特定频率的 波，某些恒定的点会成为波腹和波节。在波节的点就始终 听不到这一频率的声音，而在波腹的点声音频率特别高。 实际上，不管声源在什么地方，只要有二个平行平面存在， 声音最终都会在平行的二个面之间来回反射。所以，凡是 两个平行面间的距离是某些频率的半波长或半波长的整数 倍，那么，这些频率都是这个房间的驻波频率。这些频率 在空间的各点会表现出非常不同的性质。
右行波 左行波
合成后，弦上的运动为
y y1 y 2 2 2 1
2
) cos( t
2 1
2
)
由图可以看出： 各点离平衡位置 的距离保持不变， 经过T/4，各点 位移改变符号。 于是，我们所见 的驻波与行波不 同，没有位相的 逐点不同和逐点 传播。
振幅为零，这种位置称为波节。相邻波节的距离也为 λ/2。
驻波在生活中的应用
首先举几个生活中常见驻波的例子： 以弦乐器的弦来说明。当拨动琴弦，产生一个波，遇到两 个固定端后发生反射，形成驻波。无论是提琴还是古筝， 它的每一根弦在特定的长度和张力下，都会有自己的固有 频率。当弦以固有频率振动时，两端被固定振幅最小，但 振动方向的张力最大（波节）。中间振幅最大，但弦最松 弛，即振动张力最小（波腹）。 一块石头落入水中，水波向四面散开。水波碰到硬质表面 就反射回来，反射回来的幅度和相位就象是没有阻档表面 时波原来传播下去那样的形状，但被折了回来。一般情况 这二种波是无规则的叠加的，不会使波形出现异常。但当 波源到反射表面的距离等于半波长的整数倍时，情况就不 同了。我们看到了驻波。 此外，能量在驻波中的分布是不均匀的，振动的能量在波 节处的分布相对更为集中。
驻波中，振动的振幅在空间有一定的分布规律：
n 2 1 n 2 1 当X满足 x k 2k 2 2 2
振幅最大，这种位置称为波腹，这时质点的振幅为分 波振幅的两倍。相邻波腹的距离为λ/2。
当X满足 x
(2n 1) 2 1 (2n 1) 2 1 2k 2k 4 2 2
对驻波与半波损失的认识
PB05000834 华奕
驻波
介质中有反向行进的两个同频率的波存在，这两个 波叠加后将产生干涉现象。不妨设弹性弦上传播着 具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们的运 动方程为:
y1 A cos( t kx 1 )
y2 A cos( t kx 2 )
如上图所示前进波（发射波） 与反射波以相反方向进行。 完全匹配，将不产生反射波， 这样，在馈线里各点的电压 振幅是恒定的 .不匹配时， 在馈线里产生驻留在馈线里 的电压波形,即驻波。
我们可以引入驻波比的概念来表示阻抗的匹配情况: 驻波比（VSWR）的值的计算公式如下:
驻波比的值在1到无穷大之间。驻波比为1，表示完全匹 配；驻波比为无穷大表示全反射，完全失配。 在移动通信系统中，一般要求驻波比小于1.5，但实际应 用中VSWR应小于1.2。过大的驻波比会减小基站的覆盖 并造成系统内干扰加大，影响基站的服务性能。
产生条件：
n1
n1 n2
r
n2
当光从折射率小的光疏介质，正入射或掠入射于折 射率大的光密介质时，则反射光有半波损失。
n1 n2
当光从折射率大的光密介质，正入射于折射率小的 光疏介质时，反射光没有半波损失。 折射光都无半波损失。
结论
首先可以肯定这两种半波损失的产生机理并
不相同。我们在课本中讨论的绳波，是一种 特殊的机械波，而光波是电磁波。 在查阅资料后，发现对于光波的半波损失需 要借助菲涅耳公式进行证明，所以它与驻波 的半波损失不同。 这已经超出力学的范围。 现在仅需知道结论，以后在光学中会仔细讨 论。
对于矩形房间，要考虑３对驻波： 第一种轴向驻波，是最强的驻波。是由二二相对的前 后、左右、上下六个平面形成的。 第二种切向驻波，强度次之。是在相对的棱线间发生 的。
第三种为斜向驻波，作用最弱。是对角到对角。
与驻波有关的平面越多，驻波的强度就越弱，对声场 频响的影响就越小。如果是一个球体空间，驻波就不 会发生。房间各个平面都不平行，驻波也不会发生。 这就是音乐厅和电影院都建设成扇形空间的原因 。 对于一般家庭的矩形房间，设一对墙面距离为d，波速 按340m/s计，那么半波长频率f=0.5×340÷d。所有半 波长的整数倍频率都有驻波发生，但波腹与波节的位 置不同，而频率为半波长频率的声音驻波反映最强， 所以一般越小的房间，音响效果越差。
参考文献：
《力学》 杨维纮 中国科学技术大学出版社．2003
本篇文章纯属个人之见。在写作过程中深感自己知识浅薄，对 物理知识只知皮毛，不知深入。对许多问题心存疑惑，却无法 给出自圆其说的解答。 如有不正确的地方还望老师多多指点。
感谢杨老师的关心 和半学期来对我每个问题的仔细解答！