一次函数利润问题(教师版)

一次函数利润问题(教

师版)

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一次函数利润问题（教师版)

1．某电视台在每天晚上的黄金时段的3分钟内插播长度为20秒和40秒的两种广告，20秒广告每次收费6000元，40秒广告每次收费10000元．若要求每种广告播放不少于2次，且电视台选择收益最大的播放方式，则在这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是__________元．

【来源】2005年初中毕业升学考试（山东潍坊卷)数学（带解析)

【答案】50000

【解析】

设20秒的广告播x秒，40秒的广告播y秒．则：20x+40y=180，

∵每种广告播放不少于2次，∴x=3，y=3，或x=5，y=2．

当x=3，y=3时，收益为：3×6000+3×10000=48000；

当x=5，y=2时，收益为：5×6000+2×10000=50000;

∴这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是50000元．

2．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间y（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润y（单位：元）与时间y（单位：天）的函数关系，第27天的日销售利润是__________元.

【来源】山东省济南市市中区2019届九年级一模考试数学试题

【答案】875

【解析】

【分析】

先根据图①求出24-30天的日销售量y与时间y的函数关系，再求出第27天的日销售量，再乘以一件产品的销售利润y即可求解.

【详解】

∵24-30天的日销售量y与时间y的函数经过（24,200），（30,150）

设函数为y=kx+b,可求得k=-25

3

，b=400，

∴y=-25

3

x+400，∴第27天的日销售量为175，

由图②得第27天的一件产品的销售利润y=5

∴第27天的日销售利润是175×5=875元.

【点睛】

此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的求法.

3．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元．

（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．

①求m的取值范围．

②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式.

【来源】四川省南充市2018届中考数学试卷

【答案】（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）

①16≤y≤25，②y={−75y+12500(50≤y<100)

5000(y=100)

−66y+11600(100

．

【解析】

【分析】

（1）根据题意应用分式方程即可；

（2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系．

【详解】

（1）设y型丝绸的进价为y元，则y型丝绸的进价为(y+100)元,

根据题意得：10000

y+100=8000

y

，

解得y=400，

经检验，y=400为原方程的解，

∴y+100=500，

答：一件y型、y型丝绸的进价分别为500元，400元．

（2）①根据题意得：

{y⩽50−y

y⩾16，

∴y的取值范围为：16⩽y⩽25，

②设销售这批丝绸的利润为y，

根据题意得：

y=(800−500−2y)y+(600−400−y)·(50−y)，

=(100−y)y+10000−50y

∵50⩽y⩽150，

∴（Ⅰ）当50⩽y<100时，100−y>0，

y=25时，

销售这批丝绸的最大利润y=25(100−y)+10000−50y=−75y+ 12500；

（Ⅱ）当y=100时，100−y=0，

销售这批丝绸的最大利润y=5000；

（Ⅲ）当100

当y=16时，

销售这批丝绸的最大利润y=−66y+11600．

综上所述：y={−75y+12500(50⩽y<100) 5000y=100

−66y+11600(100

．

【点睛】

本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．4．益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：

（1）求每次运输的农产品中A ，B 产品各有多少件？

（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？

【来源】湖南省益阳市2018年中考数学试题

【答案】（1）每次运输的农产品中A 产品有10件，每次运输的农产品中B 产品有30件，（2）产品件数增加后，每次运费最少需要850元．

【解析】

【分析】

（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有y 件，根据表中的数量关系列出关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可，

（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8-m ）件B 产品，设增加供货量后得运费为W 元，根据（1）的结果结合图表列出W 关于m 的一次函数，再根据“总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍”，列出关于m 的一元一次不等式，求出m 的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．

【详解】

（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有y 件，

根据题意得：

{

45y +25y＝120030y +20y＝1200−300

， 解得：{y＝10y＝30 ， 答：每次运输的农产品中A 产品有10件，每次运输的农产品中B 产品有30件，

（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8-m ）件B 产品，设增加供货量后得运费为W 元，