函数的连续性与导数的概念
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示及g(t)的最大值.
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
【解析】（1）∵y′=2x kl=y′|x=t=2t.
切线PQ方程为y-t2=2t（x-t
即y=2tx-t2（0＜t＜6
1，Q（6，12t-t2 （2）由（1）可知P( ,0) 12 t ∴g(t)=|AP|· |AQ|= (6- )(12t-t2) 2 2 1 = t3-6t2+36t（0＜t＜6）， 4 3 g′(t)= t2-12t+36=0 得t=4，t=12 4
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
【解析】①、②、③为函数不连续的三种类型.
2．已知函数f(x)在x=x0处及附近有定义，给出下列三
lim f(x)=f(x0) ①x x
0
lim f(x)= xlim (x) x 0 x x0 lim f(x)=f(x0)
在点P处切线的斜率，又由切线方程2x+y+1=0可知
其斜率为-2，所以h′(a)=-2<0.故选A．
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
知识要点
1．函数f(x)在点x0 （1）函数f(x)在点x=x0 （2）函数f(x)在点x=x0处有极限； lim f(x)=f(x0). （ 3） x x0 2 函数f(x)在开区间(a,b)内连续，只要求在开区间(a,b) 内任何点处连续即可，对在端点a,b处是否连续不要求.函 数f(x)在闭区间［a,b］上连续，除要求在其相应的开区间 内(a,b)连续外，对端点只要求在左端点a处右连续，在右 端点b处左连续.
2 2
2
lim f ( x) lim f ( x 2) 2 2=0
x 2 x 2
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
2．导数的概念及几何意义的应用 例3 设f(x)在R上可导. （1）利用定义求：f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处
的导数之间的关系.
x 1 x 1
（2）由于f(x)在点x=1处的极限不存在，故 f(x)在x=1
处不连续. （3）函数的连续区间是(0,1］,(1,3］.
（4）∵点x= 1 ，x=2均在函数的连续区间内，
1 1 lim f ( x) lim f ( x 1) 1 , 1 1 2 2 x x
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2 ∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.即a+c=-2. ∵f′(1)=［4ax3+2cx］ x =4a+2c 1 ∴4a+2c=1. 5 9 由③、④得 a , c ,
2 2
5 4 9 2 ∴f(x)= x x 1 2 2
2008高考Hale Waihona Puke Baidu习方案
【解析】（1）由x2-3x+2=0得x=1或x=2， ∴函数的不连续点为x=1和x=2. （2）当x=kπ(k∈Z)时，tanx=0，当
x π x=kπ+ (k∈Z时，tanx不存在，故函数f(x)= tan x 2 π
的不连续点为x=kπ和x=kπ+
（3）∵f(x)的定义域为(-∞，+∞)
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
3 如果函数f(x)在闭区间［a,b］上是连续函数，那么f(x)在 闭区间［a,b］上有最大值和最小值. 4 曲线y=f(x)上两点P、Q，Q在P附近，则PQ称为曲线的割 线，当Q沿曲线无限接近点P，若割线PQ有极限位置，则 割线PQ的极限位置叫做曲线上点P的切线. 5 曲线上有两点（x0，f(x0)），（x0+Δx）， x) f ( x ) f（x0+Δx））.当Δx→0时， f ( x 极限存在，称y=f(x) x 在x0处可导.并把这个极限值称f(x)在x0处的导数.
P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解
【解析】（1）∵图象过P(0，1)， ∴ e=1， 又f(x)是偶函数， ∴f(-x)=f(x) 故ax4+bx3+cx2+dx+e= ax4-bx3+cx2-dx+e ∴ b=d=0 ∴ ax4+cx2+1.
②
第79讲
导数的概念及计算
(
) A
A．-1 C． 1
B．-2 1 D． 2
【解析】
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
5．若曲线y=h(x)在x=a处的切线方程为2x+y+1=0， 那么 ( A ) A．h′(a)<0 B．h′(a)>0 C．h′(a)=0 D. h′(a)
【解析】由导数几何意义可知，h′(a)是曲线
x 2
f(x)的
lim f ( x) lim f ( x 1) 0, 【解析】（1） x 1
x 1
lim f ( x) , lim f (2 x) 1,
x 1
x 1
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
x 1
lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x)不存在
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
规律总结
1．研究初等函数的连续区间，必须考虑函数的定义
域.
2．由初等函数构成分段函数的连续区间，只须考虑分 界点处连续即可.
3．研究函数的连续性，尽可能作出图象帮助思考.
4
（1）求函数值的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)
（2
第84讲 函数的连续性与导数的概念
令x=-t，则当x→-a时，t→+a.
f (t ) f (a) 于是 f '(a) lim t a t a f (t ) f (a) lim g '(a). t a t a
第79讲
导数的概念及计算
例4 偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点
2008高考复习方案
y (3)求极限 lim . x x
5．理解导数的物理意义和几何意义，会用导数求物 体运动的瞬时速度，瞬时加速度及曲线的切线.
y f ( x x) f ( x) x x x
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
能力提升
例5 [2007届· 黄岗模拟题]如图12-84-1所示，曲线
段OMB是抛物线y=x2（0＜x＜6）的一段，在点x=t（即 点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于Q且BA⊥x 轴于A （1）试用t表示切线PQ的方程；
的面积g(t)的表达 （2）求△QAP
2
(k∈Z).
演
示 1
文
稿
2
3 后
等
硅酸铝针刺毯www.gslzct.cn 嶆幷夻
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
∴f(x)在x=1处不连续. 即x=1是此函数的不连续点.
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
例2 设f(x)= x 1(0<x≤1), 2-x(1<x≤3). （1）求f(x)在点x=1处的左、右极限.在点x=1 （2）f(x)在点x=1 （3）求函数f(x)的连续区间； lim f ( x), lim f ( x). （4 1 x 2
（2）利用定义证明：若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数. 【证明】（1）记f(-x)=g(x)，则f(-x)在a处的导数为 g′(a)，于是
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
g ( x) g ( a) f ( x) f ( a ) g '(a) lim lim , x a x a xa xa f ( x) f ( a ) 而f '(a) lim , x a xa
x x0
则函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是①.
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
3．下列命题中假命题是
（ C ）
A B
C
D．抛物线的切线与抛物线只有一个交点
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
f ( x0 k ) f ( x0 ) 4．若f′(x0)=2，则 lim 等于 k 0 2k
8
可导一定连续，连续不一定可导.
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
双基固化
1．函数的连续性
例1 （1）f(x)=
（2）f(x)=
x2 1 x 2 3x 2 x tan x
（3）f(x)= x-1(x≤1)
3-x(x>1).
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
本讲的重点是导数的定义及利用导数求曲线的 切线方程.
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
基础训练
1 1．①f(x)= . x
② y= x2
(x≥1)
x-1(x<1)
③y= 2x+1 (x≠0)
0(x=0) D）
④y=sinx
其中在(-∞，+∞)不连续的函数有（
第84讲 函数的连续性与导数的 概念
复习目标及教学建议 基 础
知 双 能 规
训
识 基
练
要 固 力 律 提 总 点 化 升 结
复习目标及教学建议
复习目标
掌握函数在某点处连续，在开区间、闭区间上 连续的定义与判定方法，知道函数在某点处不连续 三种类型.了解导数的实际背景，理解导数的定义， 掌握导数的几何意义. 教学建议
0 0
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
6．导数的物理意义
函数s=s(t)的导数s′(t)表示t时刻的瞬时速度，即v=s′(t).
瞬时速度v=v′(t)的导数v′=v′(t)是t时刻的加速度. 7
a=v′(t).
若函数f(x)在x0处可导，则f′(x0)是以点（x0，f(x0)） 为切点的切线的斜率.
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
且0＜t＜4时，g′(t)＞0，∴g(t)在（0，4）上为增 函数. 4＜t＜6时，g′(t)＜0，∴g(t)在（4，6）上为减函 数. 故当t=4时，g(t)的最大值64.
【小结】 利用导数的几何意义求切线的斜率方便快捷
，也是高考考查的热点.
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
【解析】（1）∵y′=2x kl=y′|x=t=2t.
切线PQ方程为y-t2=2t（x-t
即y=2tx-t2（0＜t＜6
1，Q（6，12t-t2 （2）由（1）可知P( ,0) 12 t ∴g(t)=|AP|· |AQ|= (6- )(12t-t2) 2 2 1 = t3-6t2+36t（0＜t＜6）， 4 3 g′(t)= t2-12t+36=0 得t=4，t=12 4
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
【解析】①、②、③为函数不连续的三种类型.
2．已知函数f(x)在x=x0处及附近有定义，给出下列三
lim f(x)=f(x0) ①x x
0
lim f(x)= xlim (x) x 0 x x0 lim f(x)=f(x0)
在点P处切线的斜率，又由切线方程2x+y+1=0可知
其斜率为-2，所以h′(a)=-2<0.故选A．
第84讲 函数的连续性与导数的概念
2008高考复习方案
知识要点
1．函数f(x)在点x0 （1）函数f(x)在点x=x0 （2）函数f(x)在点x=x0处有极限； lim f(x)=f(x0). （ 3） x x0 2 函数f(x)在开区间(a,b)内连续，只要求在开区间(a,b) 内任何点处连续即可，对在端点a,b处是否连续不要求.函 数f(x)在闭区间［a,b］上连续，除要求在其相应的开区间 内(a,b)连续外，对端点只要求在左端点a处右连续，在右 端点b处左连续.
2 2
2
lim f ( x) lim f ( x 2) 2 2=0
x 2 x 2
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2．导数的概念及几何意义的应用 例3 设f(x)在R上可导. （1）利用定义求：f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处
的导数之间的关系.
x 1 x 1
（2）由于f(x)在点x=1处的极限不存在，故 f(x)在x=1
处不连续. （3）函数的连续区间是(0,1］,(1,3］.
（4）∵点x= 1 ，x=2均在函数的连续区间内，
1 1 lim f ( x) lim f ( x 1) 1 , 1 1 2 2 x x
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2 ∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.即a+c=-2. ∵f′(1)=［4ax3+2cx］ x =4a+2c 1 ∴4a+2c=1. 5 9 由③、④得 a , c ,
2 2
5 4 9 2 ∴f(x)= x x 1 2 2
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【解析】（1）由x2-3x+2=0得x=1或x=2， ∴函数的不连续点为x=1和x=2. （2）当x=kπ(k∈Z)时，tanx=0，当
x π x=kπ+ (k∈Z时，tanx不存在，故函数f(x)= tan x 2 π
的不连续点为x=kπ和x=kπ+
（3）∵f(x)的定义域为(-∞，+∞)
第84讲 函数的连续性与导数的概念
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3 如果函数f(x)在闭区间［a,b］上是连续函数，那么f(x)在 闭区间［a,b］上有最大值和最小值. 4 曲线y=f(x)上两点P、Q，Q在P附近，则PQ称为曲线的割 线，当Q沿曲线无限接近点P，若割线PQ有极限位置，则 割线PQ的极限位置叫做曲线上点P的切线. 5 曲线上有两点（x0，f(x0)），（x0+Δx）， x) f ( x ) f（x0+Δx））.当Δx→0时， f ( x 极限存在，称y=f(x) x 在x0处可导.并把这个极限值称f(x)在x0处的导数.
P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解
【解析】（1）∵图象过P(0，1)， ∴ e=1， 又f(x)是偶函数， ∴f(-x)=f(x) 故ax4+bx3+cx2+dx+e= ax4-bx3+cx2-dx+e ∴ b=d=0 ∴ ax4+cx2+1.
②
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导数的概念及计算
(
) A
A．-1 C． 1
B．-2 1 D． 2
【解析】
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5．若曲线y=h(x)在x=a处的切线方程为2x+y+1=0， 那么 ( A ) A．h′(a)<0 B．h′(a)>0 C．h′(a)=0 D. h′(a)
【解析】由导数几何意义可知，h′(a)是曲线
x 2
f(x)的
lim f ( x) lim f ( x 1) 0, 【解析】（1） x 1
x 1
lim f ( x) , lim f (2 x) 1,
x 1
x 1
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x 1
lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x)不存在
第84讲 函数的连续性与导数的概念
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规律总结
1．研究初等函数的连续区间，必须考虑函数的定义
域.
2．由初等函数构成分段函数的连续区间，只须考虑分 界点处连续即可.
3．研究函数的连续性，尽可能作出图象帮助思考.
4
（1）求函数值的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)
（2
第84讲 函数的连续性与导数的概念
令x=-t，则当x→-a时，t→+a.
f (t ) f (a) 于是 f '(a) lim t a t a f (t ) f (a) lim g '(a). t a t a
第79讲
导数的概念及计算
例4 偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点
2008高考复习方案
y (3)求极限 lim . x x
5．理解导数的物理意义和几何意义，会用导数求物 体运动的瞬时速度，瞬时加速度及曲线的切线.
y f ( x x) f ( x) x x x
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能力提升
例5 [2007届· 黄岗模拟题]如图12-84-1所示，曲线
段OMB是抛物线y=x2（0＜x＜6）的一段，在点x=t（即 点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于Q且BA⊥x 轴于A （1）试用t表示切线PQ的方程；
的面积g(t)的表达 （2）求△QAP
2
(k∈Z).
演
示 1
文
稿
2
3 后
等
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第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
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∴f(x)在x=1处不连续. 即x=1是此函数的不连续点.
第84讲 函数的连续性与导数的概念
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例2 设f(x)= x 1(0<x≤1), 2-x(1<x≤3). （1）求f(x)在点x=1处的左、右极限.在点x=1 （2）f(x)在点x=1 （3）求函数f(x)的连续区间； lim f ( x), lim f ( x). （4 1 x 2
（2）利用定义证明：若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数. 【证明】（1）记f(-x)=g(x)，则f(-x)在a处的导数为 g′(a)，于是
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
2008高考复习方案
g ( x) g ( a) f ( x) f ( a ) g '(a) lim lim , x a x a xa xa f ( x) f ( a ) 而f '(a) lim , x a xa
x x0
则函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是①.
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
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3．下列命题中假命题是
（ C ）
A B
C
D．抛物线的切线与抛物线只有一个交点
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f ( x0 k ) f ( x0 ) 4．若f′(x0)=2，则 lim 等于 k 0 2k
8
可导一定连续，连续不一定可导.
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2008高考复习方案
双基固化
1．函数的连续性
例1 （1）f(x)=
（2）f(x)=
x2 1 x 2 3x 2 x tan x
（3）f(x)= x-1(x≤1)
3-x(x>1).
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
本讲的重点是导数的定义及利用导数求曲线的 切线方程.
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基础训练
1 1．①f(x)= . x
② y= x2
(x≥1)
x-1(x<1)
③y= 2x+1 (x≠0)
0(x=0) D）
④y=sinx
其中在(-∞，+∞)不连续的函数有（
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知 双 能 规
训
识 基
练
要 固 力 律 提 总 点 化 升 结
复习目标及教学建议
复习目标
掌握函数在某点处连续，在开区间、闭区间上 连续的定义与判定方法，知道函数在某点处不连续 三种类型.了解导数的实际背景，理解导数的定义， 掌握导数的几何意义. 教学建议
0 0
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6．导数的物理意义
函数s=s(t)的导数s′(t)表示t时刻的瞬时速度，即v=s′(t).
瞬时速度v=v′(t)的导数v′=v′(t)是t时刻的加速度. 7
a=v′(t).
若函数f(x)在x0处可导，则f′(x0)是以点（x0，f(x0)） 为切点的切线的斜率.
第84讲 函数的连续性与导数的概念 D
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且0＜t＜4时，g′(t)＞0，∴g(t)在（0，4）上为增 函数. 4＜t＜6时，g′(t)＜0，∴g(t)在（4，6）上为减函 数. 故当t=4时，g(t)的最大值64.
【小结】 利用导数的几何意义求切线的斜率方便快捷
，也是高考考查的热点.