《用向量法求直线与平面所成的角》教案
“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学与思考
案例剖析ANLI POUXI“向量法解决直线与平面所成角问题#，/学与思考◎李琳（广州市第七十五中学，广东广州510000）立体几何模块是高中阶段学习的重点,学生在《数学必修2》的学习上，结合空间向量又在选修2-1中补充学习，这不是简单的重复学习，而是的视角对的位置关系与度量问题进行学习，而且为解决立体几何中某些用综合法解题时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些，从而进一步提升学生的空间想象能力和几观能力•教师在教学过程中如何做到既注重基础知识的教学，又能拓展学生的思维进培养学生能力的目的？笔者以“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学为例展开论述.一、教学设计（一）课前导入有的放矢由于本节课不是概念课，也不是新授课,师生已经对教材（人教A版选修2-1）《立体几何中的向量方法》进行了学习，对空间向量这个工具的使用有了一定的认识，所以笔者设计了以下三道小题给学生课前完成：1•已知空间向量a=（1，1，0），b=（#，- 1，1），若〈a，"〉=■"，贝》#=（）.A.0或4B.0C.4D.12.已知2（3，-1，4）,3（2，1，3），若子=#壶，则0点的坐标是（）•A.（3-#，2#-1，4-入）B.（入，#-1，2入）C.（入,2#,2-A）D.（3#,2-#,#,）3•如图1所示，在棱长为4的正方体中，点0在上，且C+=宁C++,则直线02与平面A3CD所成角的余弦值为_______•图1习题1的设计是检测学生向量夹角公式的掌握情况，结果绝大部分学生错选成了A,究其原因是学生忽视了向量的范围，在计程中对方程平方会扩大变量的范围•如果学生在求解过程中列岀了式子:*?，注意到向量夹角为锐角时其数量积为正数，就/2/#+2可得岀#〉1，可以选岀正确答案C；习题2的设计是为后面例题1的变式做铺垫的,检测的知识点是向量共线的应用，答题效果比较好.习题3的设计是借助一个正方体求直线与平面所的余弦值，这有两个设计：其一是用向量法和综合法都很容易入手，学生可以自由选择方法,其二是题目求的是与平面所成角的余弦值，若学生用量法解题的话这里是个点，不少学生对向量法求岀的值到底是正弦值还是余弦值还有些混淆•因此，本节课的 课前导入就是通过习题帮助学生查缺补漏，并围绕本节课的教学重点进行归纳小结,让学生知识点、考点，学习程中做中有数.（二）课中题型精选典型数学教学离不开解题教学，解题教学的首要工作就是精选•高中的数学学习更多的是培养学生的思维品质,达到提升学生学习能力的目的，因此，教师选取的例题需有基础性、典型性和示范性的特征•笔者选取了如作为课堂例题：例1如图2所示，在三棱锥0-M3C中，0A丄平面ABC,AC丄3C,D为0C的中点,0A=AC=4,3C=2.N为AD 的中点，求0N与平面AD3所成角的正弦值•12用向量法求直线与平面所成角本身难度不大,学生的难点主要集中在建立空间直角坐标系和找空间点的坐标这两项•笔者选取的这道例题无论是建系还是找点的坐标学生都容""解答方也有型的功能•设计是强化用向量法求与平面所的“三步曲”:化为向量问题---进行向量运算----回到图形问题•第一步是向学生渗透化归与转化的思想，第二步考查学生的能力和综合能力，强化学生对知识的理解和掌握•为了拓展学生的思维,例题讲完后笔者设计了一道探究题:你还有哪些方法得岀N点的坐标？由于学生最容易想到直接求N点坐标，所以容易想到的方法有:用中点坐标公式求的;先找N点在底面投影再求N点坐标的；这时笔者提示学生:根据A,N,D三点共线及课前演练的第二小题,数学学习与研究2019.20案例剖析ANLI POUXI你有什么启发吗？有些学生马上领悟到可用向量共线设二入直接求岀n 点坐标进而求0N 的坐标形式;又有 学生提岀可由=+ #0?直接表示岀0N 的坐标.接下来笔者向学生提问:这些方法中各有何优缺点？我们在日后的学习和解题过程中如何快速选取更优的方法？经过学生 的思考和探讨，学生明白了:1.当且仅当点N 为中点时方可用中点坐标公式得岀N 点坐标;2.当点N 在#9'平面上的影位置 特殊（如在坐标轴上等）时可以用投影法求点N 的坐标;3.建立坐标系的方式与求点N 坐标的难度有关,比如,以2为原点比以C 为原点更好求点N 的坐标;4.无论点N 在 （ ）2M 上 置，都用向量 求其坐标，且计算难度与N 点位置没有 关系.经过这样一番思考与，笔马上 学生解 1的变式 ？习:变式 在上述例题中，线段2M 上是否存在一点T ,使 得直线0T 与平面2M3所成角的正弦值为李？若存在，请6求岀T 点坐标，若不存在请说明理由.练习 如图3所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，4BCM = 135。
高二数学教案：9.7直线和平面所成的角与二面角(2)
CA【课 题】直线和平面所成的角与二面角（2） 【教学目标】1、进一步理解直线和平面所成的角的概念；2、掌握求直线与平面所成的角的方法；3、重点要求学会利用平面的法向量求直线和平面的夹角。
【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；2、直线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。
直线和平面所成的角范围：[0，2π] 二、 例题讲解【例1】 如图。
在长方体ABC D －A'B'C'D'中，AB=4，BC=3，AA'=5，试求B'D'与平面A'BCD'所以成的角的正弦值。
解：作B'E ⊥A'B ，又因为A'D'⊥平面ABB'A'， 所以A'D'⊥B'E 。
由B'E ⊥A'B 及B'E ⊥A'B 可得B E A BCD '''⊥平面 所以D E '就是D B ''在平面A BCD ''上的射影， 从而B D E ''∠就是D B ''与平面A BCD ''所成的角； 在直角B D E ''∆中，有sin EB B D E D B '''∠=''但是，5D B ''==，又1122A BB S AB EB A B BB ''∆'''''==g gA B '==EB '∴==sin 41B D E ''∴∠==解法2：如图建立空间直角坐标系，则(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5),(3,4,5)B C A D B '''，()()()3,4,0,0,4,5,3,0,0B D A B A D '''''∴=-=-=-u u u u r u u u r u u u u r， 设平面A BCD ''的法向量为(),,1n x y =r则045050,,13040n A B y n x n A D ⎧'⋅=-=⎧⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪-=⎝⎭''⋅=⎩⎪⎩r u u u r r r u u u u r。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。
2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。
3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。
2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。
3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。
4. 实例分析：求直线与平面所成的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面所成的角的定义，向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 教学难点：向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实例，让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生提问、讨论，提高学生对知识点的理解和运用能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作相关的教学课件，包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。
2. 实例：准备一些直线与平面所成的角的实例，用于讲解和分析。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便进行板书和讲解。
六、教学过程1. 导入：通过复习前期学习的直线与平面基础知识，引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的定义，解释其意义。
3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理，阐述其适用范围和优势。
4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤，通过板书和课件演示每个步骤的操作。
5. 分析实例，引导学生运用向量法求直线与平面所成的角，解答过程中注意引导学生思考和讨论。
七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题，让学生运用向量法求解。
2. 引导学生独立思考和解决问题，及时给予指导和解答疑问。
3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法，提醒学生巩固知识点。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案
【教学目标】
1. 知识与技能：了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2.过程与方法：注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
3.情感态度与价值观：激发学生的学习兴趣,培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”的过程中获取新知。
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成角的求法．
【教学方法】
问题探索法及启发式讲授法。
直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案
直线间的夹角,直线与平面间的夹角 教案一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 （二）、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且b a ⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+==21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅1715||||,cos 111111=>=<DF BE DF BE DF BE解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝151715||||,cos 111111=<DF BE DF BE DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题： 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB |=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习：课本P45练习题1、2（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案教案：用向量法求直线与平面所成的角一、教学目标1.知识目标：了解用向量法求直线与平面所成角的基本原理和方法。
2.技能目标：能够运用向量法求解直线与平面所成角的问题。
3.情感目标：培养学生思维的灵活性和创造性，激发学生对数学的兴趣。
二、教学内容1.概念讲解：直线与平面的基本概念和相互关系。
2.原理讲解：用向量法求解直线与平面的夹角的基本原理和方法。
3.实例分析：通过实例分析，引导学生掌握运用向量法求解直线与平面所成角的技巧。
4.练习与检测：组织学生进行练习和检测，巩固所学知识。
三、教学过程1.导入：通过引入直线与平面的关系，让学生初步了解直线与平面的基本概念，并激发学生的探究兴趣。
2.概念讲解：向学生介绍直线与平面的定义和相互关系，并引导学生认识直线与平面所成角的概念。
3.原理讲解：详细讲解用向量法求解直线与平面所成角的基本原理和方法，并给出相关的公式和推导过程。
4.实例分析：通过具体的例子，引导学生运用向量法求解直线与平面所成角的过程，并解析每个实例中的要点和思路。
5.练习与检测：组织学生进行一些练习题和习题检测，检测学生对于向量法求解直线与平面所成角的掌握程度。
6.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生拓展思考，探究其他与向量法求解直线与平面所成角相关的问题。
四、教学辅助1.教具：黑板、彩色笔。
2.教材：《高中数学教材》。
3.多媒体设备：电脑、投影仪。
五、板书设计用向量法求直线与平面所成的角1.直线与平面的基本概念和相互关系直线的定义：直线是两个方向相同的无限延伸的点的集合。
平面的定义：平面是一个无限延伸的二维几何体。
2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义：直线与平面的夹角是指直线与平面之间的最小角度。
3.用向量法求解直线与平面所成角的原理和方法向量法求解直线与平面所成角的基本原理：两个向量的夹角等于它们的点乘结果除以它们的模的乘积的反余弦函数。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案第一章：向量基本概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的几何表示1.3 向量的运算1.4 向量的长度与方向第二章：向量投影的概念与计算2.1 向量投影的定义2.2 正投影与斜投影2.3 投影的计算方法2.4 投影在坐标系中的应用第三章：直线与平面所成角的定义与性质3.1 直线与平面所成角的定义3.2 直线与平面所成角的性质3.3 直线与平面所成角的计算方法3.4 直线与平面所成角的应用第四章：向量法求直线与平面所成的角4.1 向量法的基本思路4.2 向量法求直线与平面所成的角的步骤4.3 向量法在实际问题中的应用4.4 向量法求直线与平面所成的角的局限性第五章：练习题及解答5.1 选择题5.2 填空题5.3 解答题5.4 思考题第六章：向量法在空间几何中的应用6.1 向量法在求解空间直线与直线间的角中的应用6.2 向量法在求解空间直线与平面间的角中的应用6.3 向量法在求解空间平面与平面间的角中的应用6.4 向量法在空间几何其他问题中的应用第七章：空间向量与解析几何的综合应用7.1 解析几何的基本概念回顾7.2 空间向量与解析几何的关联7.3 向量法在解析几何问题中的应用7.4 解析几何在向量法中的应用第八章：数值计算方法在向量法中的应用8.1 数值计算方法的基本概念8.2 数值计算方法在向量法中的应用8.3 常见数值计算方法的比较与选择8.4 数值计算方法在实际问题中的应用第九章：案例分析与实践9.1 用向量法求直线与平面所成的角的实际案例分析9.2 向量法在建筑设计中的应用9.3 向量法在导航中的应用9.4 向量法在其他领域中的应用第十章：总结与拓展10.1 本课程的主要内容和收获10.2 向量法在未来的发展趋势10.3 向量法在相关领域的拓展10.4 课程实践与思考重点和难点解析一、向量基本概念回顾难点解析：向量的概念理解，向量的几何表示与坐标表示的转换。
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第二讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。
教学目标
1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量；
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾有关知识：
1、直线与平面所成的角：（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为n ，则><BA n ,与θ的关系？
A
B
θ
αO
⇔n
1）
据图分析可得：结论：
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值.
分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
（图2）
x
y
Z
A
y
x
C
B
1
A D 1
B 1
C 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a AB a AA ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n =
由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
00
020
01z y ay az AB n AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴n 设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
213|
23||
||||||,cos |sin 2
211=-=
⋅=
><=∴a
a N AC n AC n AC θ ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1
. 点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系，通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其锐角就是斜线和平面所成的角。
练习1：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的
正三角形，侧棱长为3，求BB 1与平面AB 1C 1所成的角.
解：建立如图所示的空间直角坐标系O xyz . 则A (－1，0，0)，B (0，
3，0)，B 1(0，
3，3)，C 1(1，0，3)．
设平面AB 1C 1的一个法向量为(,,)n x y z =，
由
令z ＝2，得(3,3,2)n =-． 设直线BB 1与平面AB 1C 1所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→
〉|＝|n ·BB 1→
||n ||BB 1→|
＝64×3＝1
2
.
又0＜θ≤π2， ∴θ＝π
6.
练习2：如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．求1BC 和面EFBD 所成的角.
解：如图建立空间坐标系D xyz -， 则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB = 设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y =
由0
DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112
sin |cos ,||
|2||||
BC n BC n BC n θ⋅=〈〉==
∴ 1BC 和平面EFBD 所成的角为4
π．
Ⅲ、小结与收获
1、直线与平面所成的角的正弦值 |
||||,cos |sin AB n AB n =
><=θ
2、求平面法向量的方法.
Ⅳ、课后练习
1、 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点. 求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
y。