《用向量法求直线与平面所成的角》教案
“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学与思考
案例剖析ANLI POUXI“向量法解决直线与平面所成角问题#，/学与思考◎李琳（广州市第七十五中学，广东广州510000）立体几何模块是高中阶段学习的重点,学生在《数学必修2》的学习上，结合空间向量又在选修2-1中补充学习，这不是简单的重复学习，而是的视角对的位置关系与度量问题进行学习，而且为解决立体几何中某些用综合法解题时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些，从而进一步提升学生的空间想象能力和几观能力•教师在教学过程中如何做到既注重基础知识的教学，又能拓展学生的思维进培养学生能力的目的？笔者以“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学为例展开论述.一、教学设计（一）课前导入有的放矢由于本节课不是概念课，也不是新授课,师生已经对教材（人教A版选修2-1）《立体几何中的向量方法》进行了学习，对空间向量这个工具的使用有了一定的认识，所以笔者设计了以下三道小题给学生课前完成：1•已知空间向量a=（1，1，0），b=（#，- 1，1），若〈a，"〉=■"，贝》#=（）.A.0或4B.0C.4D.12.已知2（3，-1，4）,3（2，1，3），若子=#壶，则0点的坐标是（）•A.（3-#，2#-1，4-入）B.（入，#-1，2入）C.（入,2#,2-A）D.（3#,2-#,#,）3•如图1所示，在棱长为4的正方体中，点0在上，且C+=宁C++,则直线02与平面A3CD所成角的余弦值为_______•图1习题1的设计是检测学生向量夹角公式的掌握情况，结果绝大部分学生错选成了A,究其原因是学生忽视了向量的范围，在计程中对方程平方会扩大变量的范围•如果学生在求解过程中列岀了式子:*?，注意到向量夹角为锐角时其数量积为正数，就/2/#+2可得岀#〉1，可以选岀正确答案C；习题2的设计是为后面例题1的变式做铺垫的,检测的知识点是向量共线的应用，答题效果比较好.习题3的设计是借助一个正方体求直线与平面所的余弦值，这有两个设计：其一是用向量法和综合法都很容易入手，学生可以自由选择方法,其二是题目求的是与平面所成角的余弦值，若学生用量法解题的话这里是个点，不少学生对向量法求岀的值到底是正弦值还是余弦值还有些混淆•因此，本节课的 课前导入就是通过习题帮助学生查缺补漏，并围绕本节课的教学重点进行归纳小结,让学生知识点、考点，学习程中做中有数.（二）课中题型精选典型数学教学离不开解题教学，解题教学的首要工作就是精选•高中的数学学习更多的是培养学生的思维品质,达到提升学生学习能力的目的，因此，教师选取的例题需有基础性、典型性和示范性的特征•笔者选取了如作为课堂例题：例1如图2所示，在三棱锥0-M3C中，0A丄平面ABC,AC丄3C,D为0C的中点,0A=AC=4,3C=2.N为AD 的中点，求0N与平面AD3所成角的正弦值•12用向量法求直线与平面所成角本身难度不大,学生的难点主要集中在建立空间直角坐标系和找空间点的坐标这两项•笔者选取的这道例题无论是建系还是找点的坐标学生都容""解答方也有型的功能•设计是强化用向量法求与平面所的“三步曲”:化为向量问题---进行向量运算----回到图形问题•第一步是向学生渗透化归与转化的思想，第二步考查学生的能力和综合能力，强化学生对知识的理解和掌握•为了拓展学生的思维,例题讲完后笔者设计了一道探究题:你还有哪些方法得岀N点的坐标？由于学生最容易想到直接求N点坐标，所以容易想到的方法有:用中点坐标公式求的;先找N点在底面投影再求N点坐标的；这时笔者提示学生:根据A,N,D三点共线及课前演练的第二小题,数学学习与研究2019.20案例剖析ANLI POUXI你有什么启发吗？有些学生马上领悟到可用向量共线设二入直接求岀n 点坐标进而求0N 的坐标形式;又有 学生提岀可由=+ #0?直接表示岀0N 的坐标.接下来笔者向学生提问:这些方法中各有何优缺点？我们在日后的学习和解题过程中如何快速选取更优的方法？经过学生 的思考和探讨，学生明白了:1.当且仅当点N 为中点时方可用中点坐标公式得岀N 点坐标;2.当点N 在#9'平面上的影位置 特殊（如在坐标轴上等）时可以用投影法求点N 的坐标;3.建立坐标系的方式与求点N 坐标的难度有关,比如,以2为原点比以C 为原点更好求点N 的坐标;4.无论点N 在 （ ）2M 上 置，都用向量 求其坐标，且计算难度与N 点位置没有 关系.经过这样一番思考与，笔马上 学生解 1的变式 ？习:变式 在上述例题中，线段2M 上是否存在一点T ,使 得直线0T 与平面2M3所成角的正弦值为李？若存在，请6求岀T 点坐标，若不存在请说明理由.练习 如图3所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，4BCM = 135。
高二数学教案：9.7直线和平面所成的角与二面角(2)
CA【课 题】直线和平面所成的角与二面角（2） 【教学目标】1、进一步理解直线和平面所成的角的概念；2、掌握求直线与平面所成的角的方法；3、重点要求学会利用平面的法向量求直线和平面的夹角。
【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；2、直线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。
直线和平面所成的角范围：[0，2π] 二、 例题讲解【例1】 如图。
在长方体ABC D －A'B'C'D'中，AB=4，BC=3，AA'=5，试求B'D'与平面A'BCD'所以成的角的正弦值。
解：作B'E ⊥A'B ，又因为A'D'⊥平面ABB'A'， 所以A'D'⊥B'E 。
由B'E ⊥A'B 及B'E ⊥A'B 可得B E A BCD '''⊥平面 所以D E '就是D B ''在平面A BCD ''上的射影， 从而B D E ''∠就是D B ''与平面A BCD ''所成的角； 在直角B D E ''∆中，有sin EB B D E D B '''∠=''但是，5D B ''==，又1122A BB S AB EB A B BB ''∆'''''==g gA B '==EB '∴==sin 41B D E ''∴∠==解法2：如图建立空间直角坐标系，则(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5),(3,4,5)B C A D B '''，()()()3,4,0,0,4,5,3,0,0B D A B A D '''''∴=-=-=-u u u u r u u u r u u u u r， 设平面A BCD ''的法向量为(),,1n x y =r则045050,,13040n A B y n x n A D ⎧'⋅=-=⎧⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪-=⎝⎭''⋅=⎩⎪⎩r u u u r r r u u u u r。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。
2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。
3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。
2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。
3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。
4. 实例分析：求直线与平面所成的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面所成的角的定义，向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 教学难点：向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实例，让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生提问、讨论，提高学生对知识点的理解和运用能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作相关的教学课件，包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。
2. 实例：准备一些直线与平面所成的角的实例，用于讲解和分析。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便进行板书和讲解。
六、教学过程1. 导入：通过复习前期学习的直线与平面基础知识，引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的定义，解释其意义。
3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理，阐述其适用范围和优势。
4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤，通过板书和课件演示每个步骤的操作。
5. 分析实例，引导学生运用向量法求直线与平面所成的角，解答过程中注意引导学生思考和讨论。
七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题，让学生运用向量法求解。
2. 引导学生独立思考和解决问题，及时给予指导和解答疑问。
3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法，提醒学生巩固知识点。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案
【教学目标】
1. 知识与技能：了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2.过程与方法：注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
3.情感态度与价值观：激发学生的学习兴趣,培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”的过程中获取新知。
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成角的求法．
【教学方法】
问题探索法及启发式讲授法。
直线间的夹角,直线与平面间的夹角参考教案
直线间的夹角,直线与平面间的夹角 教案一、教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题二、教学重点：异线角与线面角的计算；教学难点：异线角与线面角的计算。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 （二）、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且b a ⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+==21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅1715||||,cos 111111=>=<DF BE DF BE DF BE解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD DC DA 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝151715||||,cos 111111=<DF BE DF BE DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小 解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题： 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0） （1）∵SC ·CB =0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB |=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习：课本P45练习题1、2（四）、回顾总结：求异线角与线面角的方法，反思解题，回顾总结方法。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案教案：用向量法求直线与平面所成的角一、教学目标1.知识目标：了解用向量法求直线与平面所成角的基本原理和方法。
2.技能目标：能够运用向量法求解直线与平面所成角的问题。
3.情感目标：培养学生思维的灵活性和创造性，激发学生对数学的兴趣。
二、教学内容1.概念讲解：直线与平面的基本概念和相互关系。
2.原理讲解：用向量法求解直线与平面的夹角的基本原理和方法。
3.实例分析：通过实例分析，引导学生掌握运用向量法求解直线与平面所成角的技巧。
4.练习与检测：组织学生进行练习和检测，巩固所学知识。
三、教学过程1.导入：通过引入直线与平面的关系，让学生初步了解直线与平面的基本概念，并激发学生的探究兴趣。
2.概念讲解：向学生介绍直线与平面的定义和相互关系，并引导学生认识直线与平面所成角的概念。
3.原理讲解：详细讲解用向量法求解直线与平面所成角的基本原理和方法，并给出相关的公式和推导过程。
4.实例分析：通过具体的例子，引导学生运用向量法求解直线与平面所成角的过程，并解析每个实例中的要点和思路。
5.练习与检测：组织学生进行一些练习题和习题检测，检测学生对于向量法求解直线与平面所成角的掌握程度。
6.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生拓展思考，探究其他与向量法求解直线与平面所成角相关的问题。
四、教学辅助1.教具：黑板、彩色笔。
2.教材：《高中数学教材》。
3.多媒体设备：电脑、投影仪。
五、板书设计用向量法求直线与平面所成的角1.直线与平面的基本概念和相互关系直线的定义：直线是两个方向相同的无限延伸的点的集合。
平面的定义：平面是一个无限延伸的二维几何体。
2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义：直线与平面的夹角是指直线与平面之间的最小角度。
3.用向量法求解直线与平面所成角的原理和方法向量法求解直线与平面所成角的基本原理：两个向量的夹角等于它们的点乘结果除以它们的模的乘积的反余弦函数。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案第一章：向量基本概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的几何表示1.3 向量的运算1.4 向量的长度与方向第二章：向量投影的概念与计算2.1 向量投影的定义2.2 正投影与斜投影2.3 投影的计算方法2.4 投影在坐标系中的应用第三章：直线与平面所成角的定义与性质3.1 直线与平面所成角的定义3.2 直线与平面所成角的性质3.3 直线与平面所成角的计算方法3.4 直线与平面所成角的应用第四章：向量法求直线与平面所成的角4.1 向量法的基本思路4.2 向量法求直线与平面所成的角的步骤4.3 向量法在实际问题中的应用4.4 向量法求直线与平面所成的角的局限性第五章：练习题及解答5.1 选择题5.2 填空题5.3 解答题5.4 思考题第六章：向量法在空间几何中的应用6.1 向量法在求解空间直线与直线间的角中的应用6.2 向量法在求解空间直线与平面间的角中的应用6.3 向量法在求解空间平面与平面间的角中的应用6.4 向量法在空间几何其他问题中的应用第七章：空间向量与解析几何的综合应用7.1 解析几何的基本概念回顾7.2 空间向量与解析几何的关联7.3 向量法在解析几何问题中的应用7.4 解析几何在向量法中的应用第八章：数值计算方法在向量法中的应用8.1 数值计算方法的基本概念8.2 数值计算方法在向量法中的应用8.3 常见数值计算方法的比较与选择8.4 数值计算方法在实际问题中的应用第九章：案例分析与实践9.1 用向量法求直线与平面所成的角的实际案例分析9.2 向量法在建筑设计中的应用9.3 向量法在导航中的应用9.4 向量法在其他领域中的应用第十章：总结与拓展10.1 本课程的主要内容和收获10.2 向量法在未来的发展趋势10.3 向量法在相关领域的拓展10.4 课程实践与思考重点和难点解析一、向量基本概念回顾难点解析：向量的概念理解，向量的几何表示与坐标表示的转换。
向量法求直线与平面的夹角(微课)
的正弦值。 求B1C1与面AB1C所成的角 .
例：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=5，AD=8,AA1=4,M为 z B1C1上的一点，且B1M=2， A1 N 点N在线段A1D上，A1D⊥AM,B C1 1 M 求AD与平面ANM所成的角。
A
D1
D
y
x
B
C
向量法求直线与平面的夹角
直线与平面的夹角
A
平面外一条直线与它在该 平面内的投影的夹角叫做 B 该直线与此平面的夹角。
O
若直线与平面垂直，则夹角为 2 若直线与平面平行或在平面内，则夹角 为0
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
n
B A
2
2
n， BA
B
A
n， BA 2
结论：sin
| cos 1C1D1 的棱长为1.
z A 1 解： 以AB， AD ， AA1为单 D 1 A (0 ， 0 ，， 0) 位正交基底，可得 B1 (1， 0，， 1) B1 ， ，， 0) C (11 ， ，， 0) C1 (111) ， ，，则B1C1 (01 C1 AB1 (1 ， 01) ，， AC (11 ， ， 0) y 设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) A D 则n AB1 0， n AC 0 B C x z 0 所以 ，取x = 1， x x y 0 0 1 0 3 cos n， B1C1 得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
《直线与平面的夹角》 导学案
《直线与平面的夹角》导学案一、学习目标1、理解直线与平面夹角的定义。
2、掌握直线与平面夹角的求法。
3、能够运用直线与平面夹角的知识解决实际问题。
二、学习重点1、直线与平面夹角的定义。
2、直线与平面夹角的计算方法。
三、学习难点1、理解直线与平面夹角的定义中的关键要素。
2、运用向量法求直线与平面的夹角。
四、知识链接1、直线的方向向量和平面的法向量的概念。
2、向量的数量积运算。
五、学习过程（一）引入在日常生活中，我们经常会遇到直线与平面相交的情况，比如铅笔斜放在桌面上，此时就形成了直线与平面的夹角。
那么如何准确地定义和计算这个夹角呢？这就是我们今天要学习的内容。
（二）直线与平面夹角的定义1、观察：观察直线与平面相交的情况，思考夹角的形成。
2、定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地，如果直线垂直于平面，我们就说直线与平面所成的角为90°；如果直线平行于平面或在平面内，我们就说直线与平面所成的角为 0°。
（三）直线与平面夹角的范围直线与平面夹角的范围是 0°，90°。
（四）直线与平面夹角的求法1、几何法（1）作出直线与平面夹角：过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足，得到斜线在平面上的射影，斜线与射影所成的锐角即为直线与平面的夹角。
（2）在直角三角形中求解：通过解直角三角形，求出夹角的大小。
2、向量法（1）设直线的方向向量为\（＼vec{a}＼），平面的法向量为\（＼vec{n}＼），直线与平面的夹角为\（＼theta\）。
（2）则\（＼sin\theta ＝＼vert ＼cos ＜＼vec{a}，＼vec{n}＞＼vert ＝＼dfrac{＼vert\vec{a}＼cdot\vec{n}＼vert}｛＼vert\vec{a}＼vert\vert\vec{n}＼vert}＼）（五）例题讲解例 1：在正方体\（ABCD A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}＼）中，求直线\（A_{1}B\）与平面\（A_{1}B_{1}CD\）所成的角。
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 理解向量法求直线与平面所成角的原理。
2. 学会运用向量法求直线与平面所成的角。
3. 能够运用向量法解决实际问题。
二、教学内容1. 向量法求直线与平面所成角的原理。
2. 向量法求直线与平面所成角的步骤。
3. 向量法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
2. 教学难点：如何运用向量法解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析向量法在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论和练习。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引发学生对直线与平面所成角的兴趣。
2. 讲解向量法求直线与平面所成角的原理和步骤。
3. 案例分析：分析向量法在实际问题中的应用，如在几何、物理、工程等领域中的应用。
4. 课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调向量法在解决直线与平面所成角问题中的应用。
6. 作业布置：布置一些有关的作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习的完成情况：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对向量法求直线与平面所成角的理解和掌握程度。
2. 作业的完成情况：检查学生作业的完成质量，评估他们对课堂所学知识的巩固情况。
3. 学生提问和参与讨论的情况：鼓励学生在课堂上提问和参与讨论，通过他们的提问和讨论了解他们对知识的掌握程度。
七、教学反思在课后，对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足之处，并根据学生的反馈调整教学方法和内容，以便更好地满足学生的学习需求。
八、教学拓展1. 向量法在立体几何中的应用：引导学生进一步学习向量法在立体几何中的其它应用，如求直线与直线、直线与球、球与球等所成的角。
2. 向量法在实际问题中的应用：引导学生关注向量法在其他学科和实际问题中的应用，如物理学、工程学等。
高中数学选修21：3.2.5直线及平面所成角计算教师案
课新课型题教学目标：利用空间向量求直线与平面所成的角教学重、难点：用空间向量求直线与平面所成的角教学方法：讲练结合教学内容教学流程：一复习直线与平面所成的角？如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面所成的角为？如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面所成的角是？【例题精讲】例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角.变式2在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1，PA=2，求PA与平面DEF所成角的正弦值【目标检测】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=1，B B1=2，AB⊥平面B B1C1C(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值〔2〕在棱C C1(不包括端点C,C1〕上确定一点E的位置，使EA⊥E B1.AA 1B B1C E C1教后反思：学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。
有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。
每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。
〞说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？〞学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。
一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。
还有哪几个同学坚持了？〞这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。
同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。
要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。
2019年高中数学第3章空间向量与立体几何3.6直线与平面、平面与平面所成的角讲义(含解析)湘教版
3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作αl β. (2)二面角的平面角过二面角αl β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角αl β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角αl β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°.[小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)． 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0＝0，x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)． 设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55， 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E BC A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D AF E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C BE F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.由图知，二面角E BC A 为钝角， 故二面角E BC A 的余弦值为－21919.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A PB C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A PB C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1， AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ， 解得cos θ＝33. 故二面角A PB C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A PB C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12.又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，24，34，EA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A PB C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ，y ，z，0，＝0，x ，y ，z2，1，＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ′，y ′，z2，0，＝0，x ′，y ′，z，－1，＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A PB C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ， 故cos ∠PDC ＝PDDC ＝33. 答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B AD C 后，BC ＝12a ，这时二面角B AD C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角， 又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝，0，，9，382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD A1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B A 1D A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz . 因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17.因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量， 从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34.设二面角B A 1D A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B A 1D A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176 B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝，2，，1，1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A Ox B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析： 过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A PC B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A PB C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B PA C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A PC B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A PB C的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B PA C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B PA C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A PC B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B1(3，1,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， 则CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A BD C 的正弦值为255.答案：2557．已知三棱锥S ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，错误!.则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ， 则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66， 即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66.答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M AB D 的余弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |x －2＋y 2＋z2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M AB D 为锐角， 因此二面角M AB D 的余弦值为105.。
〖2021年整理〗《直线与平面、平面与平面所成的角》参考优秀教案
直线与平面、平面与平面所成的角教学目标1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.教学过程 一、课前准备 复习1：已知1a b •=，1,2a b ==，且2m a b =+，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学()()()1////()2(10]23()a b O a a b b a b a b a b πθ''''∈定义：直线、是异面直线，经过空间一点，分别作，，相交直线，所成的锐角或直角叫做异面直线，所成的角．范围：，．方法：①平移法：在图中选一个恰当的点通．常是线段端点或中点作，的平行线，构造一个三角形两条异面直线所，并解三成的角角形求角．()()—2.12P ABC PC ABC PC AC AB BC D PB CD PAB AB PCB AP BC ⊥===⊥⊥如图，三棱锥中，平面，，，是上一点，且平面求证：平面；求异面直线与所成角的大小．2.直线与平面所成的角斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形。
例:如图，在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.A DC 1D 1A 1B 1CB()()13.2CD O AO BO AOB CD αβ∠--定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；二面角的大小用它的平面角来度量．方法：①定义法：在棱上找一点，在两个面内分别作棱的垂线，，则为二面角 二面角的平面角．11111111903221___ABC A B C BAC A A ABC A A AB AC AC A C C B ∠=︒⊥====--例：三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，则二面角的正切值为．传统的求空间角的方法主要是找到或作出所求的夹角，然后在所作的三角形中进行计算。
用向量法求直线与平面所成的角教案
第二讲: 立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道, 立体几何是高中数学学习的一个难点, 以往学生学习立体几何时, 主要采取“形到形”的综合推理方法, 即根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线线, 线面等关系确定结果, 这种方法没有一般规律可循, 对人的智力形成极大的挑战, 技巧性较强, 致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中, 向量知识的引入, 为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题, 体现了数形结合的思想。
并且引入向量, 对于某些立体几何问题提供通法, 避免了传统立体几何中的技巧性问题, 因此降低了学生学习的难度, 减轻了学生学习的负担, 体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要, 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值, 激发学生学习向量的兴趣, 从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角, 不需要繁杂的推理, 只需要将几何问题转化为向量的代数运算, 方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角, 下面对线面角的求法进行总结。
教学目标1.使学生学会求平面的法向量与直线与平面所成的角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点求解直线与平面所成的角的向量法.教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识:1.直线与平面所成的角: （范围: ）思考：设平面 的法向量为 , 则 与 的关系？2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:（1）建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉与的点、直线、A B θαO n平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以与它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
利用向量法求线段与平面所成的角
利用向量法求线段与平面所成的角介绍在几何学中，线段与平面所成的角是指一条线段与一个平面之间的夹角。
通过使用向量法，我们可以求解线段与平面所成的角度。
本文档将详细描述利用向量法来计算线段与平面所成角度的方法。
线段与平面的夹角定义线段与平面所成的角是指线段与平面之间的夹角。
夹角的大小可以用弧度或角度来衡量。
利用向量法求解线段与平面所成角度的步骤以下是使用向量法计算线段与平面所成角度的步骤：1. 定义线段和平面：首先，我们需要明确所考虑的线段和平面的具体定义。
线段可以用两个点来定义，而平面则可以用一个点和一个法向量来定义。
2. 求解线段的向量表示：利用线段的两个端点，我们可以计算出该线段的向量表示。
向量的方向是从线段的一个端点指向另一个端点。
3. 求解平面的法向量：利用平面的定义，我们可以得到该平面的法向量。
法向量垂直于平面上的所有向量。
4. 计算线段与平面夹角的余弦值：将线段的向量表示和平面的法向量进行点积运算，然后除以线段的长度和法向量的长度，可以得到线段与平面夹角的余弦值。
5. 计算夹角：根据余弦值，可以通过反余弦函数计算出线段与平面夹角的实际数值。
示例以下是一个计算线段与平面夹角的示例：假设我们有一个线段AB，线段的两个端点分别为点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)。
另外，我们有一个平面P，平面P的一个点为点C(7, 8, 9)，法向量为向量V(1, 1, 1)。
1. 求解线段的向量表示：根据线段的两个端点，我们可以计算出线段AB的向量表示为向量AB = 向量B - 向量A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。
2. 求解平面的法向量：平面P的法向量已经给出，为向量V(1, 1, 1)。
3. 计算线段与平面夹角的余弦值：将线段AB的向量表示和平面P的法向量进行点积运算，得到点积为AB·V = (3, 3, 3)·(1, 1, 1) = 3 + 3 + 3 = 9。
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第二讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。
教学目标
1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量；
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾有关知识：
1、直线与平面所成的角：（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为n ，则><BA n ,与θ的关系？
A
B
θ
αO
⇔n
1）
据图分析可得：结论：
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值.
分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
（图2）
x
y
Z
A
y
x
C
B
1
A D 1
B 1
C 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a AB a AA ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n =
由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
00
020
01z y ay az AB n AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴n 设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
213|
23||
||||||,cos |sin 2
211=-=
⋅=
><=∴a
a N AC n AC n AC θ ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1
. 点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系，通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其锐角就是斜线和平面所成的角。
练习1：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的
正三角形，侧棱长为3，求BB 1与平面AB 1C 1所成的角.
解：建立如图所示的空间直角坐标系O xyz . 则A (－1，0，0)，B (0，
3，0)，B 1(0，
3，3)，C 1(1，0，3)．
设平面AB 1C 1的一个法向量为(,,)n x y z =，
由
令z ＝2，得(3,3,2)n =-． 设直线BB 1与平面AB 1C 1所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→
〉|＝|n ·BB 1→
||n ||BB 1→|
＝64×3＝1
2
.
又0＜θ≤π2， ∴θ＝π
6.
练习2：如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．求1BC 和面EFBD 所成的角.
解：如图建立空间坐标系D xyz -， 则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB = 设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y =
由0
DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112
sin |cos ,||
|2||||
BC n BC n BC n θ⋅=〈〉==
∴ 1BC 和平面EFBD 所成的角为4
π．
Ⅲ、小结与收获
1、直线与平面所成的角的正弦值 |
||||,cos |sin AB n AB n =
><=θ
2、求平面法向量的方法.
Ⅳ、课后练习
1、 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点. 求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
y。