第22讲直角三角形
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一、选择题(每小题6分，共30分)
1.(2010·无锡中考)下列性质中，等腰三角形具有而直角三 角形不一定具有的是( (A)两边之和大于第三边 (B)有一个角的平分线垂直于这个角的对边 )
(C)有两个锐角的和等于90°
(D)内角和等于180° 【解析】选B.
答案：4
7．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm， 高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧 面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 _____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈 到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 【解析】根据侧面展开图，把所需的线长度转化到平面图形 中，利用勾股定理求得需要 =10(cm);点A开始经过4
1 2 1 ×4×3=6, 2
而矩形PMCN的面积=AM·MP=4×3=12. 积同时相等的x的值.
所以不存在能使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面
13.(12分)如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1， MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N， 使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
2.(2010·湛江中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形 的是( ) (B)2，3，4
(A)1，2，3
(C)3，4，5
(D)4，5，6
【解析】选C.∵32+42=25，
52=25，∴32+42=52，
∴3，4，5能构成直角三角形.
3．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向， 在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )
AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥
AC于点E，则DE的长是_____. 【解析】作AF⊥BC,CH⊥AB，则BF=5,AF=12,根据 AF·BC=CH·AB,可知CH=120 ，故由△ADE
13 ∽△ACH可知，DE的长是 60 . 13 60 答案： 13
三、解答题(共46分) 10．(10分)如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，分别到河 的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河 边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千
3
③若BC为斜边，则(3-x)2=1+x2，
解得x= 4 ，满足1＜x＜2．∴x= 5 或x= 4 ．
3 3 3
(3)在△ABC中，作CD⊥AB于D，
设CD=h，△ABC的面积为S，则S= ①若点D在线段AB上，
1 xh． 2
当x=
3 4 1 时(满足 ≤x＜2)，S2取最大值 ，从而S取最大值 2 3 2
11．(12分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证： (1)△ACE≌△BCD； (2)AD2+DB2=DE2． 【证明】 (1)∵∠ACB=∠ECD， ∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE. 即∠BCD=∠ACE. ∵BC=AC,DC=EC,∴△ACE≌△BCD．
个侧面缠绕n圈到达点B，根据侧面展开图把所需的线长度转
化到平面图形中发现，直角三角形中一边为6，另一边为8n, 利用勾股定理求得需要长度为
答案：Baidu Nhomakorabea
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°， CD⊥AB，cos∠BCD= 2 ,BD=1,则边AB的
3
长是_____.
答案：9
5
9.(2010·山西中考)如图，在△ABC中，AB＝
．
②若点D在线段MA上，
【解析】选C.因为∠ACB=90°,AC=4,BC=3,所以AB上的高为 △12 ABC以AB边所在的直线为轴旋转一周为同底圆锥，所以得到 几何体的表面积为
5
，
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·德州中考)如图，小明在A时测得 某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的 高度为_____m. 【解析】如图，根据题意可得，△MNQ∽△PMQ，则
(1)在△ABC中，AB=____；
(2)当x=_____时，矩形PMCN的周长是14； (3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形
PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明.
【解析】(1)10
(2)5
(3)不存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形 PMCN的面积同时相等. ∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴∠AMP=∠PNB=90°. ∵AC∥PN，∴∠A=∠NPB. ∴△AMP∽△PNB. ∴当P为AB中点，即AP=PB时， △AMP≌△PNB. ∴此时S△AMP=S△PNB= AM·MP=
【解析】选A.
4.以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB 外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三 角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是( )
(A)32
(B)64
(C)128
(D)256
【解析】选C.三角形的边长之比是8 2∶1.
5.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4， BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一 周，则所得几何体的表面积是( )
米3万，铺设水管的最短长度为多少？并求出总费用是多少？
【解析】如图，延长AC到F点，使CF＝AC，连结BF,交L于点E，
则三角形CEF相似于三角形DEB，所以CE= 千米，所以AE=
30 千米， DE= 4 90 4
50 千米，BE= 150 千米.所以铺设水管的最短 4 4
长度为AE+BE=50千米，因此总费用是150万元.
(2)∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45°
∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°．
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°． ∴AD2+AE2=DE2． 由(1)知AE＝DB，∴AD2+DB2=DE2．
12.(12分)(2010·苏州中考)如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=8，BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分 别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N. 设AP=x.
(1)求x的取值范围；
(2)若△ABC为直角三角形，求x的值； (3)探究△ABC的最大面积.
【解析】(1)在△ABC中，∵AC=1,AB=x，BC=3-x．
(2)①若AC为斜边，则1=x2+(3-x)2， 即x2-3x+4=0，无解． ②若AB为斜边，则x2=(3-x)2+1， 解得x= 5 ，满足1＜x＜2．
1.(2010·无锡中考)下列性质中，等腰三角形具有而直角三 角形不一定具有的是( (A)两边之和大于第三边 (B)有一个角的平分线垂直于这个角的对边 )
(C)有两个锐角的和等于90°
(D)内角和等于180° 【解析】选B.
答案：4
7．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm， 高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧 面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 _____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈 到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 【解析】根据侧面展开图，把所需的线长度转化到平面图形 中，利用勾股定理求得需要 =10(cm);点A开始经过4
1 2 1 ×4×3=6, 2
而矩形PMCN的面积=AM·MP=4×3=12. 积同时相等的x的值.
所以不存在能使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面
13.(12分)如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1， MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N， 使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
2.(2010·湛江中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形 的是( ) (B)2，3，4
(A)1，2，3
(C)3，4，5
(D)4，5，6
【解析】选C.∵32+42=25，
52=25，∴32+42=52，
∴3，4，5能构成直角三角形.
3．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向， 在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )
AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥
AC于点E，则DE的长是_____. 【解析】作AF⊥BC,CH⊥AB，则BF=5,AF=12,根据 AF·BC=CH·AB,可知CH=120 ，故由△ADE
13 ∽△ACH可知，DE的长是 60 . 13 60 答案： 13
三、解答题(共46分) 10．(10分)如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，分别到河 的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河 边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千
3
③若BC为斜边，则(3-x)2=1+x2，
解得x= 4 ，满足1＜x＜2．∴x= 5 或x= 4 ．
3 3 3
(3)在△ABC中，作CD⊥AB于D，
设CD=h，△ABC的面积为S，则S= ①若点D在线段AB上，
1 xh． 2
当x=
3 4 1 时(满足 ≤x＜2)，S2取最大值 ，从而S取最大值 2 3 2
11．(12分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证： (1)△ACE≌△BCD； (2)AD2+DB2=DE2． 【证明】 (1)∵∠ACB=∠ECD， ∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE. 即∠BCD=∠ACE. ∵BC=AC,DC=EC,∴△ACE≌△BCD．
个侧面缠绕n圈到达点B，根据侧面展开图把所需的线长度转
化到平面图形中发现，直角三角形中一边为6，另一边为8n, 利用勾股定理求得需要长度为
答案：Baidu Nhomakorabea
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°， CD⊥AB，cos∠BCD= 2 ,BD=1,则边AB的
3
长是_____.
答案：9
5
9.(2010·山西中考)如图，在△ABC中，AB＝
．
②若点D在线段MA上，
【解析】选C.因为∠ACB=90°,AC=4,BC=3,所以AB上的高为 △12 ABC以AB边所在的直线为轴旋转一周为同底圆锥，所以得到 几何体的表面积为
5
，
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·德州中考)如图，小明在A时测得 某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的 高度为_____m. 【解析】如图，根据题意可得，△MNQ∽△PMQ，则
(1)在△ABC中，AB=____；
(2)当x=_____时，矩形PMCN的周长是14； (3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形
PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明.
【解析】(1)10
(2)5
(3)不存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形 PMCN的面积同时相等. ∵PM⊥AC，PN⊥BC， ∴∠AMP=∠PNB=90°. ∵AC∥PN，∴∠A=∠NPB. ∴△AMP∽△PNB. ∴当P为AB中点，即AP=PB时， △AMP≌△PNB. ∴此时S△AMP=S△PNB= AM·MP=
【解析】选A.
4.以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB 外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三 角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是( )
(A)32
(B)64
(C)128
(D)256
【解析】选C.三角形的边长之比是8 2∶1.
5.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4， BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一 周，则所得几何体的表面积是( )
米3万，铺设水管的最短长度为多少？并求出总费用是多少？
【解析】如图，延长AC到F点，使CF＝AC，连结BF,交L于点E，
则三角形CEF相似于三角形DEB，所以CE= 千米，所以AE=
30 千米， DE= 4 90 4
50 千米，BE= 150 千米.所以铺设水管的最短 4 4
长度为AE+BE=50千米，因此总费用是150万元.
(2)∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45°
∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°．
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°． ∴AD2+AE2=DE2． 由(1)知AE＝DB，∴AD2+DB2=DE2．
12.(12分)(2010·苏州中考)如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=8，BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分 别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N. 设AP=x.
(1)求x的取值范围；
(2)若△ABC为直角三角形，求x的值； (3)探究△ABC的最大面积.
【解析】(1)在△ABC中，∵AC=1,AB=x，BC=3-x．
(2)①若AC为斜边，则1=x2+(3-x)2， 即x2-3x+4=0，无解． ②若AB为斜边，则x2=(3-x)2+1， 解得x= 5 ，满足1＜x＜2．