第20讲 直角三角形
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Hale Waihona Puke Baidu
∠CAE＝∠BCD， AC＝CB， ∴△AEC≌△CDB(AAS)．∴EC＝BD.
(2)由①知 BD＝CE＝a，CD＝AE＝b， ∴S 梯形 ABDE＝12(a＋b)(a＋b)＝21a2＋ab＋12b2. 又∵S 梯形 ABDE＝S△AEC＋S△BCD＋S△ABC＝12ab＋21ab＋12c2＝ab＋12c2， ∴21a2＋ab＋12b2＝ab＋12c2.∴a2＋b2＝c2. ∴直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
26．(2019·苏州)如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝90°.P 为A︵B上的一点， 过点 P 作 PC⊥OA，垂足为 C，PC 与 AB 交于点 D.若 PD＝2，CD＝1，则 该扇形的半径长为 5 ．
27．(2019·鄂州)如图，已知线段 AB＝4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过 点 O，∠1＝60°，P 点是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则 BP ＝ 2 或 2 3或 2 7 ．
考点 4 直角三角形斜边上的中线的性质 7．(2019·株洲)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，E，F 分别为 MB，BC 的中点．若 EF＝1，则 AB＝ 4 ．
8．(2019·吉林)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD.若将△BCD 沿 BD 折叠，点 C 与边 AB 的中点 E 恰好重合，则四边形 BCDE 的周长为20．
A．6
B．6 2
C．6 3
D．12
5．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，
垂足为 D.若 CE＝8，则 ED 的长为( C )
A．2
B．3
C．4
D．6
6．(2018·广安)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于点 C.若 EC＝1，则 OF＝ 2 ．
证明： ∵a－ab＋c＝12（a＋cb＋c）， ∴ac＝12(a＋b＋c)(a－b＋c)． ∴2ac＝(a＋c)2－b2. ∴b2＝a2＋c2. ∴△ABC 是直角三角形．
20．(2018·枣庄)如图是由 8 个全等的小矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA，PB， 那么使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是( B )
28．(2019·大庆)如图，一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10km 至 B 港，然后再沿北偏西 30°方向航行 10 km 至 C 港．
(1)求 A，C 两港之间的距离(结果精确到 0.1 km，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)；
(2)确定 C 港在 A 港的什么方向？
15．(2019·邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时， 创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面 积是 4 ．
16．(2019·巴中)如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥m 于点 E，BD⊥m 于点 D.
考点 6 勾股定理 11．(2019·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上．若 EB＝1， EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为( B )
A. 3 B．3 C. 5 D．5
12．(2019·西藏)若实数 m，n 满足|m－3|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是 直角三角形的两条边的长，则该直角三角形的斜边长为 5或4 ．
考点 2 直角三角形的两个锐角互余
3．(2019·赤峰)如图，点 D 在 BC 的延长线上，DE⊥AB 于点 E，交 AC
于点 F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB 的度数为( B )
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
考点 3 含 30°角的直角三角形的性质
4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则 BC＝(A )
13．(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C，则点 C 的坐标 为 (－1，0) ．
14．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm.
A．2 B．3 C．4 D．5
21．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为(B )
A．(1，1)
B．(1， 3)
C．( 3，1)
D．( 3， 3)
22．(2018·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm， 在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最 短距离为 20 cm.(杯壁厚度不计)
解：(1)由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°， ∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°. ∴∠ABQ＝30°. ∴∠ABC＝90°. ∵AB＝BC＝10 km， ∴AC＝ AB2＋BC2＝10 2≈14.1(km)． 答：A，C 两港之间的距离约为 14.1 km.
(2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝15°. ∴C 港在 A 港北偏东 15°方向上．
考点 7 勾股定理的逆定理 17．(2019·滨州)满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为(C ) A．AB＝ 41，BC＝4，AC＝5 B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．|cosA－12|＋(tanB－ 33)2＝0
18．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上两点，AM＝MN＝2，NB＝1，
考点 5 等腰直角三角形
9．(2019·成都)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一
起．若∠1＝30°，则∠2 的度数为(B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
10．(2019·枣庄)把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式 放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A， 且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝2，则 CD＝ 6－ 2 ．
23．【易错】(2019·绵阳)在△ABC 中，若∠B＝45°，AB＝10 2，AC＝ 5 5，则△ABC 的面积是 75或25 ．
24．(2019·西藏)如图，把一张长为 4，宽为 2 的矩形纸片，沿对角线折 叠，则重叠部分的面积为 2.5 ．
25 ． (2019·北 京 ) 如 图 所 示 的 网 格 是 正 方 形 网 格 ， 则 ∠PAB ＋ ∠PBA ＝ 45 °(点 A，B，P 是网格线交点)．
(1)求证：EC＝BD； (2)若设△AEC 三边长分别为 a，b，c，利用此图证明勾股定理．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCD＝90°. ∵BD⊥m，AE⊥m， ∴∠CDB＝90°，∠AEC＝90°. ∴∠ACE＋∠CAE＝90°.∴∠CAE＝∠BCD. 在△AEC 和△CDB 中， ∠AEC＝∠CDB，
第四单元 图形的初步认识与三角形 第20讲 直角三角形
考点 1 直角三角形的定义 1．(2018·柳州)如图，图中直角三角形有(C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( D ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，
两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
19．(2019·呼和浩特节选)如图，在△ABC 中，内角∠A，∠B，∠C 所 对的边分别为 a，b，c.若a－ab＋c＝12（a＋cb＋c），求证：△ABC 是直角三 角形．
29．【关注数学文化】(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之 一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图 1，以直角三角形的各边 为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最 大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C )
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
∠CAE＝∠BCD， AC＝CB， ∴△AEC≌△CDB(AAS)．∴EC＝BD.
(2)由①知 BD＝CE＝a，CD＝AE＝b， ∴S 梯形 ABDE＝12(a＋b)(a＋b)＝21a2＋ab＋12b2. 又∵S 梯形 ABDE＝S△AEC＋S△BCD＋S△ABC＝12ab＋21ab＋12c2＝ab＋12c2， ∴21a2＋ab＋12b2＝ab＋12c2.∴a2＋b2＝c2. ∴直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
26．(2019·苏州)如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝90°.P 为A︵B上的一点， 过点 P 作 PC⊥OA，垂足为 C，PC 与 AB 交于点 D.若 PD＝2，CD＝1，则 该扇形的半径长为 5 ．
27．(2019·鄂州)如图，已知线段 AB＝4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过 点 O，∠1＝60°，P 点是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则 BP ＝ 2 或 2 3或 2 7 ．
考点 4 直角三角形斜边上的中线的性质 7．(2019·株洲)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，E，F 分别为 MB，BC 的中点．若 EF＝1，则 AB＝ 4 ．
8．(2019·吉林)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD.若将△BCD 沿 BD 折叠，点 C 与边 AB 的中点 E 恰好重合，则四边形 BCDE 的周长为20．
A．6
B．6 2
C．6 3
D．12
5．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，
垂足为 D.若 CE＝8，则 ED 的长为( C )
A．2
B．3
C．4
D．6
6．(2018·广安)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于点 C.若 EC＝1，则 OF＝ 2 ．
证明： ∵a－ab＋c＝12（a＋cb＋c）， ∴ac＝12(a＋b＋c)(a－b＋c)． ∴2ac＝(a＋c)2－b2. ∴b2＝a2＋c2. ∴△ABC 是直角三角形．
20．(2018·枣庄)如图是由 8 个全等的小矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA，PB， 那么使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是( B )
28．(2019·大庆)如图，一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10km 至 B 港，然后再沿北偏西 30°方向航行 10 km 至 C 港．
(1)求 A，C 两港之间的距离(结果精确到 0.1 km，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)；
(2)确定 C 港在 A 港的什么方向？
15．(2019·邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时， 创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面 积是 4 ．
16．(2019·巴中)如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥m 于点 E，BD⊥m 于点 D.
考点 6 勾股定理 11．(2019·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上．若 EB＝1， EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为( B )
A. 3 B．3 C. 5 D．5
12．(2019·西藏)若实数 m，n 满足|m－3|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是 直角三角形的两条边的长，则该直角三角形的斜边长为 5或4 ．
考点 2 直角三角形的两个锐角互余
3．(2019·赤峰)如图，点 D 在 BC 的延长线上，DE⊥AB 于点 E，交 AC
于点 F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB 的度数为( B )
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
考点 3 含 30°角的直角三角形的性质
4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则 BC＝(A )
13．(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C，则点 C 的坐标 为 (－1，0) ．
14．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm.
A．2 B．3 C．4 D．5
21．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为(B )
A．(1，1)
B．(1， 3)
C．( 3，1)
D．( 3， 3)
22．(2018·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm， 在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最 短距离为 20 cm.(杯壁厚度不计)
解：(1)由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°， ∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°. ∴∠ABQ＝30°. ∴∠ABC＝90°. ∵AB＝BC＝10 km， ∴AC＝ AB2＋BC2＝10 2≈14.1(km)． 答：A，C 两港之间的距离约为 14.1 km.
(2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝15°. ∴C 港在 A 港北偏东 15°方向上．
考点 7 勾股定理的逆定理 17．(2019·滨州)满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为(C ) A．AB＝ 41，BC＝4，AC＝5 B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．|cosA－12|＋(tanB－ 33)2＝0
18．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上两点，AM＝MN＝2，NB＝1，
考点 5 等腰直角三角形
9．(2019·成都)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一
起．若∠1＝30°，则∠2 的度数为(B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
10．(2019·枣庄)把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式 放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A， 且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝2，则 CD＝ 6－ 2 ．
23．【易错】(2019·绵阳)在△ABC 中，若∠B＝45°，AB＝10 2，AC＝ 5 5，则△ABC 的面积是 75或25 ．
24．(2019·西藏)如图，把一张长为 4，宽为 2 的矩形纸片，沿对角线折 叠，则重叠部分的面积为 2.5 ．
25 ． (2019·北 京 ) 如 图 所 示 的 网 格 是 正 方 形 网 格 ， 则 ∠PAB ＋ ∠PBA ＝ 45 °(点 A，B，P 是网格线交点)．
(1)求证：EC＝BD； (2)若设△AEC 三边长分别为 a，b，c，利用此图证明勾股定理．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCD＝90°. ∵BD⊥m，AE⊥m， ∴∠CDB＝90°，∠AEC＝90°. ∴∠ACE＋∠CAE＝90°.∴∠CAE＝∠BCD. 在△AEC 和△CDB 中， ∠AEC＝∠CDB，
第四单元 图形的初步认识与三角形 第20讲 直角三角形
考点 1 直角三角形的定义 1．(2018·柳州)如图，图中直角三角形有(C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( D ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，
两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
19．(2019·呼和浩特节选)如图，在△ABC 中，内角∠A，∠B，∠C 所 对的边分别为 a，b，c.若a－ab＋c＝12（a＋cb＋c），求证：△ABC 是直角三 角形．
29．【关注数学文化】(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之 一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图 1，以直角三角形的各边 为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最 大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C )
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和