7.3三、向量的坐标表示

图5－10 z A
o x
解 B
OA {x1, y1, z1} OB {x2, y2, z2}
所以 AB OB OA
{x2 x1, y2 y1, z2 z1}
即始点不在原点的向 y 量坐标等于终点的坐
标减去始点的坐标。
例3 已知两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2) ，求线段P1P2 的中点P的坐标。
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
并称x,y,z为向量a的坐标.
由空间点的坐标定义知，起点在原点的向量OM的 坐标xyz也恰是终点M的坐标，并且易验证向量的坐标 表示是唯一 的。
下面来讨论向量运算的坐标表示。
设
a={x1,y1,z1}=x1i+y1j+z1k
b={x2,y2,z2}=x2i+y2j+z2k
则有 a ± b = (x1i+y1j+z1k) ±(x2i+y2j+z2k)
图5－9 z
OM ON NM
ON OA OB,
ห้องสมุดไป่ตู้
k
M
MN OC
所以
Oj i
y OM OA OB OC
记x、y、z分别是A、B、C在x轴、
y轴、z轴上的坐标，由数乘知，显
x
然有 OA=xi,OB=yj,OC=zk
故有 a=OM=xi+yj+zk
这就是向量的坐标表示式。也可简记做 a={x,y,z}
图5－11
解 如图5－11所示
z
设P (x,y,z1)为P1P2的中点，所以有
P1 P
P1P PP2 而 P1P {x x1, y y1, z z1}
P2
PP {x2 x, y2 y, z2 z}
O
y
所以
x x1 x2 x
y y1 y2 y
z z1 z2 z
x
即有 x x x y y y z z z
三、向量的坐标表示
在给定的空间直角坐标系中，取三个分别与x轴、y 轴、z轴正方向相同的单位向量I、j、 k,称其为空间直 角坐标系下的三个基本单位向量。
对于任意一个a，我们来定义它的坐标。将a平移， 使原点O为a的始点，终点记为M。则OM=a(图5－9），
过M点作垂直于三个坐标轴的平面，分别交x轴、y轴、 z轴于点A、B、C。则OA、OB、OC分别称为OM在坐标 轴上的分向量。
2
2
2
2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量 a,b的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos
x r
x x2 y2 z2
cos
y r
cos
z r
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
例7. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
= ( x1± x2 ) i +(y1± y2) j + (z1± z2) k
= { x1± x2 , y1± y2 , z1± z2 }
λ a = λ( x1i+y1j+z1k）
= λx1i + λy1j + λz1k = { λx1 , λy1 , λz1k }
例2 设A(x1,y1,z1)、 B(x2,y2,z2)为空间两点（图5－10）， 求AB的坐标表示。
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
在第一卦限
, 故cos
1 2
,
于是
OA
OA
OA
6
(