大学物理一计算题111

（1）圆柱形电容器的电容；
（2）它储有的电能。
解：
1、（1）如图一，试写出通过闭合曲面S的电位移矢量 通量的高斯定理。
（2）如图二，试写出磁场强度矢量 沿闭合曲线L的环流的安培环路定理。
解：(1)
(2)
2、如图所示，一根长为L，均匀带电量为Q的细棒，以速度 沿X轴正向运动，当细棒运动至与Y轴重合的位置时，细棒下端到坐标原点O的距离为a，求此时细棒在O点产生的磁感应强度 。
1、均匀带电细线ABCD弯成如图所示的形状，其线电荷密度为λ，试求圆心O处的电势。
解：
两段直线的电势为
半圆的电势为 ，
O点电势
2、有一半径为a的半圆环，左半截均匀带有负电荷，电荷线密度为-λ，右半截均匀带有正电荷，电线密度为λ，如图。试求：环心处O点的电场强度。
解：如图，在半圆周上取电荷元dq
3、一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O的电势。（以无穷远处为电势零点）
解：
13、电荷Q均匀分布在半径为R的半圆周上，求曲率中心O处的电场强度。
解：如图，在圆周上取电荷元dq
14、用细的绝缘棒弯成半径为R的圆弧,该圆弧对圆心所张的角为2α，总电荷q沿棒均匀分布,求圆心处的电场强度。
解：如图，在圆弧上取电荷元dq
15、求均匀带电圆环轴线上任一点P处的电场强度（圆环半径为R，带电量为Q）
5、有一半径为a的非均匀带电的半球面，电荷面密度为σ=σ0cosθ，σ0为恒量。试求：球心处O点的电势。
解：
6、有一半径为a的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为λ=λ0cosθ，λ0为恒量。试求：圆心处O点的电势。
解：
7、 有宽度为a的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的带电量为λ，试求：与板的边缘距离为b的一点P处的电场强度(已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为 )。
解：
10、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状,求
O点处的磁感强度B。
解：
11、在半径为2a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为a无限长圆柱体，两圆柱体的轴线平行，相距为a,如图所示。今有电流沿空心柱体的的轴线方向流动，电流均匀分布在空心柱体的横截面上,设电流密度为δ。
求P点及O点的磁感应强度。
解：
12、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状,求O点处的磁感强度B。
解：
7、如图，两段共心圆弧与半径构成一闭合载流回路，对应的圆心角为θ(rad)，电流强度为I。求圆心O处的磁感应强度 的大小和方向。
解：
8、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状,求O点处的磁感强度矢量 的大小和方向。
解：由圆电流公式
9、如图所示，电荷Q均匀分布在长为b的细杆上，杆以角速度ω绕垂直于纸面过O点的轴转动。O点在杆的延长线上，与杆的一端距离为a,求O点处的磁感应强度B的大小。
解：:以顶点O作坐标原点,圆锥轴线为X轴向下为正.
在任意位置x处取高度为dx的小圆环,其面积为
其上电量为
它在O点产生的电势为
总电势
4、已知一带电细杆，杆长为l，其线电荷密度为λ=cx，其中c为常数。试求距杆右端距离为a的P点电势。
解：考虑杆上坐标为x的一小块dx
dx在P点产生的电势为
求上式的积分,得P点上的电势为
解：如图，在薄板上取窄条，视为无限长直线电流，
1、一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，当它绕其轴线以角速度ω转动时，磁矩为多少？若圆盘置于均匀磁场 中， 的方向平行盘面，如图所示，圆盘所受磁力矩大小为多少？
解：
2、正方形线圈可绕Y轴转动，边长为l，通有电流I。今将线圈放置在方向平行于X轴的均匀磁场B中，如图所示。求：（1）线圈各边所受的作用力；（2）要维持线圈在图示位置所需的外力矩。
解：（1）内表面感应电荷-q，外表面感应电荷q
（2）E=0
3、圆柱形电容器，长度为L，半径分别为R1和R2，二柱面间充满相对介电常数为εr的均匀介质。设电容器充电后，两极板单位长度上带电量分别为+λ和-λ，求：
（1）两极板间的电场强度；
（2）圆柱形电容器的电容；
（3）它储有的电能。
解：
4、如图，半径为R0的金属球，带电Q，球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外半径分别为R1和R2，相对介电常数为εr，P为介质中的一点，离球心为r。
解：dF=I2dxBsin90=I2dx ，
F=
方向：垂直I2指向左上
9、如图所示,一等腰直角三角形线圈放在一无限长直导线旁,且两者共面.长直导线中通有电流I1,三角形线圈中通有电流I2,求线圈各边受力的大小和方向。
解：
10、如图所示，一矩形线圈放在一无限长直导线旁，且两者共面。长直导线中通有电流I1,线圈中通有电流I2,求线圈各边受力的大小和方向.
为正常数,求圆弧状导线所受的安培力。
解：
5、如图所示,在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线,半径为R,通以电流I,处于磁感应强度为 的均 匀磁场中,a、b均
为正常数,求圆弧状导线所受的安培力。
解：
6、半径为R的平面圆形线圈中载有电流I2，另一无限长直导线AB中载有电流I1
，设AB通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内（如图）,求圆形线圈所受的磁力。
解：（1）
（2）0
10、如图，长直圆柱面半径为R，单位长度带电为λ，试用高斯定理计算圆柱面内外的电场强度。
解：
( )
( )
11、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位于AB的延长线上，且与B相距为d，求P点的电场强度。
解：
12、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位于AB的延长线上，且与B相距为d，求P点的电势。
解：
(1)
(2)
3、如图所示,在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线,半径为R,通以电流I,处于磁感应强度为B的均匀磁场中,磁场方向垂直向里
。求圆弧状导线所受的安培力。
解：
同理
方向：与x轴正向成45度
4、如图所示,在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线,半径为R,通以电流I,处于磁感应强度为 的均匀磁场中,a
解：
13、如图,有一边长为a的正方形导线回路,载有电流I,求正方形中心处的磁感应强度的大小和方向。
解：
14、螺绕环通有电流 ,总匝数为N。如图所示，求螺绕环内的磁感强度。
解：
15、一根很长的铜导线载由电流10A，在导线内部作一平面S，如图。现沿导线长度方向取长为l的一段，试计算通过平面S的磁通量。铜的磁导率μ≈μ0。
解：
l=1m
16、一半径R的圆盘，其上均匀带有面密度为σ的电荷，圆盘以角速度ω绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求:圆盘中心处的磁感强度。
解：
17、半径R的一个载流圆线圈，通有电流I，求:轴线上与圆心的距离为a的P点的磁感应强度。
解：
18、如图，一无限长薄平板导体，宽为a，通有电流I，求和导体共面的距导体一边距离为d的P点的磁感应强度。
解：
7、如图球形电容器，内外半径分别为R1和R2，二球面间充满相对介电常数为εr的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求：（1）介质内 的大小；（2）内外球壳之间的电势差Δ ；（3）球形电容器的电容C；（4）它储有的电能We。
解：
8、圆柱形电容器，长度为L，半径分别为R1和R2，二柱面间充满相对介电常数为εr的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求：
解：在细棒上距O点y取电荷元dq=λdy，由运动电荷的磁场公式
方向垂直向里
3、在半径为a和b的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面螺线圈(即单位长度半径上的匝数为 ，通以电流I，如图所示。求线圈中心O点处的磁感应强度。
解：取半径为r宽为dr的圆环，
4、一半径R的圆盘，其上均匀带有面密度为σ的电荷，圆盘以角速度ω绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，试证其磁矩的大小为 。
解： 向ห้องสมุดไป่ตู้和向下
向左
11、如图，半径为R的半圆形导线载有电流I，放在磁感强度为 的匀强磁场中， 的方向垂直向里，求该半圆形导线所受的磁场力的大小和方向。
解：
解：取半径为r宽为dr的圆环
5、用两根彼此平行的半无限长直导线L1、L2把半径为R的均匀导体圆环联到电源上，如图所示。已知直导线上的电流为Ｉ。求圆环中心O处的磁感应强度的大小。
解：
6、内外半径分别为a、b的圆环，其上均匀带有面密度为σ的电荷，圆环以角速度ω绕通过圆环中心垂直于环面的轴转动，求:圆环中心处的磁感强度大小。
解：
7、如图所示,一平面半圆形线圈放在一无限长直导线旁，且两者共面。长直导线中通有电流I,半圆形线圈中也通有电流I，半圆形线圈的半径为R，中心到直导线的距离为R，求（1）AB边受的磁场力的大小和方向；（2）BCA半圆受的磁场力的大小和方向。
( )
解：
8、在同一平面上有一条无限长载流直导线和一有限长载流直导线，它们分别通有电流I1及I2。尺寸及位置如图所示。求有限长导线所受的安培力。
解：
1、一平板电容器的电容为1×10-11F，充电到带电荷为1.0×10-8C后，断开电源，求极板间的电压及电场能量。
解：U=Q/C=1000VW=Q2/2C= 5.0×10-6J
2、点电荷带电q，位于一个内外半径分别为R1、R2的金属球壳的球心，如图，P为金属球壳内的一点，求：（1）金属球壳内表面和外表面的感应电荷；（2）P点的电场强度大小和P点的电势。
解：
8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为σ，瓦楞的圆半径为a，试求：轴线中部一点P处的电场强度。(已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为 )
解：
9、电荷以相同的面密度σ分布在半径分别为R1=10cm和R2=20cm两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为V0=300V。
（1）求电荷面密度σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度σ’应为多少？（εo=8.85×10-12C2N-1m-2）
（1）试用高斯定理求P点的电场强度 ；
（2）由 求P点的电势V。
解：
5、金属球半径为R1，带电q1，外有一同心金属球壳，半径分别为R2、R3，金属球壳带电q2，求金属球和球壳之间一点P的电势。
解：
6、如图所示，平板电容器（极板面积为S，间距为d）中间有两层厚度各为d1和d2、电 容率各为ε1和ε2的电解质，试计算其电容。