高等数学理、专复习题

高等数学（理、专）复习题

1.求极限：

（1） （2）

（3）

（4） （5） （6）

（7） （8） （9）

2.设 要使 在 内连续,应当怎样选择 ？

3.设函数e , 0,

(), 0.x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩

为了使函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，a 应取什么值？

4. 选择题

（1）设函数 则 是 的（ ）.

（A ）可去间断点； (B)跳跃间断点； (C)无穷间断点； (D)振荡间断点.

（2）当 时，

是 的（ ）. （A ）高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 等价无穷小； (D) 同阶但非等价无穷小.

5.求函数 的间断点及其类型.

6.求函数 的间断点及其类型. 22232

lim ;2x x x x x →-+--0lim x x →0sin 5lim ;tan 3x x x

→20tan sin lim ;sin x x x x x →-2

2lim ;3x x x x +→∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

01lim sin ;x x x →21sin 0,() 0,x x f x x

a x x ⎧

>⎪=⎨⎪+≤⎩

()f x (,)-∞

+∞a sin x

y x

=1

()arctan ,f x x x

=+0x =()f x 2

1cos3 x x -0x →arctan lim x x x

→∞201lim sin ;x x x →sin lim .x x x →∞tan x y x

=

7.填空题

（1）设 则 （2）曲线 在点 处的切线方程和法线方程为

______.

8.设 求 9.设 在 内具有一阶连续导数， ，求

10.求 的导数. 11.设函数 由方程 所确定，求

12.设 求

13.设函数

的微分.

14.设函数 求

y '.

15.求 为常数 的 阶导数. 16.求下列函数的导数： （1）2

3e

;x y -= （2）2In(1);y x =+ （3）2in ;y s x = （4）

2arctan ;y x =

（5）

2

(arcsin );y x = （6）arctan(e );x y = （7）In cos ;y x = （8）y =

17.设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且

0()4,f x '=000()()

lim ____.h f x h f x h h →+--=2

3y x =+0

(,)M x y ()()()()12100,f x x x x x =---L ()0.

f '()f x (),-∞+∞()()()2

x x a f x ϕ=-().

a ϕ''cos (0)x

y x x

=>()y y x =e e y

xy +=0

d .

d x y

x =2ln(1),arctan .

x t y t t ⎧=+⎨=-⎩

2

2d .d y x 1

y x =+1

arctan e ,x

y =()e ( )ax f x a =n ()f x [0,1](0,1)

，证明在 内存在点 ，使得

18.求极限：

（1） （2） （3）

（4） （5） 为正整数 （6） 19.求极限

20. 求极限

2

6

sin d lim .

x x t t x

→⎰

21. 求极限 2

2

20

00

cos d lim .e d x x

x t t t

t

→⎰

⎰

22.证明不等式

当0x >时， 23. 证明不等式

当 时 24. 确定函数曲线 的凹凸性与拐点.

26.问函数 在何处取得最小值?

27.试确定曲线32

y ax bx cx d =+++中的,,,a b c d 使得2x =-为

驻点，(1,10)-为拐点，且通过点(2,44).-

28. 填空题

(1)0f =ξ(0,1)30arctan lim ;ln(12)

x x x x →-+1

21cos 0lim(1sin ) ;x

x x -→+2

20ln(13)lim ;x x x →+lim arctan ;2x x x π→+∞⎛⎫

- ⎪⎝⎭ln lim ( ).n x x n x →+∞20

1sin lim

.

sin x x x x

→21cos 2

e d lim .

t x

x t x -→⎰sin 0

(7) lim . x

x x +

→1

1.2

x +>

(

0 ,1+In .

x x x >+>3

1(1)y x =+-2

54

(0)y x x x =-<

29. 填空题

设函数()f x 连续,则 30. 选择题

设函数()f x 为可导函数，则（ ）

( A ).

(B) （C ） （D ） 31.求导数

（1） （2）

（3） （4） 32.求由方程 所确定的隐函数的导数d .d y

x

33.求由参数方程2020sin d ,

cos d ,

t t

x x x y x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d .d y x 34.计算不定积分：

（1）

（2） （3）

（4）

.x ⎰

（5）32d .9x x x +⎰ （6）e d .x

x x -⎰ 35. 计算定积分：

（3）

1

e

e

In d ;x x ⎰

323

423sin d ____.21

x x

x x x -=++⎰0

d ()d ___.d x

xf t t x =⎰()d ();f x x f x '=⎰

d ()();f x f x =⎰()()d ();f x x f x '=⎰()d ()d ().

f x x f x =⎰22

sin d sin d ;d x x t t x

⎰2

2sin d [e d ];d t x t x ⎰2

2

00e d cos d 0y

x

t t t t -+=⎰⎰20d sin d ;d 1x t t

t x t

+⎰1d sin d .d x t t x t ⎰⎰.x +⎰d .(12In )

x

x x arctan d .x x x ⎰2

2400(1)

1d ; (2)tan d .

x x x x π

-⎰

⎰