高等数学理、专复习题
高等数学(2-1)专科 复习题及答案32
《高等数学》复习题1一、判断题（每题3分，共15分） 1. f(x)=x 是偶函数 （ ）2． f(x)=2x+1在x=0处连续。
（ ）3. u(x) 、v(x)可导，则v u v u v u '+'='+)( （ ）4.⎰⎰+=vdu uv udv （ ）5. x=0是函数y=cosx 的驻点 （ ）。
二、选择题 (每题3分，共15分)1．=→xxx sin lim0（ ）①.1 ②.2 ③.21④. 0 2． f(x)=392+-x x 的间断点（ ）①.1 ②.2 ③.-3 ④. -43. 函数3x y =在x=0点的切线方程__________. ①.x=0 ②. y=0 ③. x=1 ④. y=1 4.⎰=dx x 2( )①.c x+22ln 1 ②.2x +c ③. x x ln 2+c ④. 2ln 2x 5. =+⎰-dx x xx 2224cos ( ) ①.0 ②.1 ③. 2 ④. 3三、填空题(每题3分，共15分)1. x y 2sin =是由函数2u y =与_____复合而成。
2. =+/)1(sin x __________ 3． d(tanx)=_____________. 4.⎰xdx =______________.5. 设f(x)连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 (x)baf dx =⎰____________.四、（10分）叙述拉格朗日微分中值定理 五、综合计算（每题5分，共30分）1. 求极限（1）1231x 4lim 222-++→x x x （2）xx x3)11(lim +∞→2. 求下列函数的导数（1）y=x 2 -3x 4 +2 （2）y=sinx 23. 求积分（1）dx x x x)2sin 2(3⎰+-(2)⎰2cos πxdx x六、（15分）求函数y=19623-+-x x x 的单调区间、极值。
四川大学网络教育《高等数学(理)(1)》复习资料期末考试复习题及参考答案
之得
y
2xy 3 ey x2
.
1 etdt
11.求极限 lim x0
cos x
sin x2
.
解：由洛必达法则，
lim
x0
1 etdt
cos x
sin x2
sin xecos x lim
x0 2x
1 e. 2
12. 设 D 是 由 直 线 x y 1 与 x、y 轴 围 成 的 区 域 ， 求 二 重 积 分
解：特征方程为 r2 5r 6 0 ，解之得特征根为 r1 2，r2 3 . 故原方 程的通解为
y C1e2x +C2 e3x， 其中 C1，C2 为任意常数. 10.求由方程 e y x2 y 3x 0 所确定的隐函数 y y(x) 的导数. 解：
方程 e y x2 y 3x 0 两边同时对 x 求导得，e y y 2xy x2 y 3 0，解
(A) 2x y 1 0
(B) 2x y 1 0
(C) x 1 0
(D) y 1 0
9. 设区域 D 为 x2 y2 1在第一象限部分，则 xy2dxdy =( C )
D
(A)
d
1sin cos2 r2dr
0
0
(B)
d
1sin cos2 r3dr
0
0
(C)
x0
x
x0
1
14.由方程 xy2 e y 5 0 可确定 y 是 x 的隐函数，求 dy . dx
解：方程 xy2 e y 5 0 两边同时对 x 求导得，
y2 2xyy e y y 0
解之得，
y
e
y
y2 2xy
.
15.求微分方程 y 3 y 4 y 0 的通解.
高等数学总复习题
3
处的切线方程。
面图形的面积。 14. 求由抛物线 y x2、直线y 图形的面积。 15. 求由抛物线 y x、直线y x 2 所围成平
2
2.求曲线 y x 在点（2，4）处的切线方程。 3.试求曲线 x xy 2 y 28 0 在 （2,3） 处
2 2
x 所围成平面
12.
0
x dx 2
sin x x
dx
9.
x ln x dx
10. x cos x dx
0
第 3 页 共 3 页
11.
1 0
xe x dx
x sin xdx
8.将边长为 a 的一块正方形铁皮，四角各截去一 个大小相等的额正方形，然后将四边折起，做成一 个无盖的方盒。问截掉的小正方形的边长为多少 时，所得方盒的容积最大？ 9.欲用围墙围成面积为 216 m 的一块矩形土地， 并 在此土地的正中间用一堵墙将其分成相等的两块。
5. lim
x0
1 1 x ) x e 1
= lim
x 0
e x -1 e x x e x -1
x2 1 1 x2
2x 1 2 1 x2
= lim
x 0
ex e x (2 x)
= lim
x 0
=
1 2
x 0
20. lim
2
= lim 2 x 2 1 x
x 0
x
2. ( x 3 3 x 2 cos x)dx
2 x 19. x e dx
1
3. sin 2
x dx 2
2 20. x cos x dx
高数复习题与答案
复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（ ）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 （ ）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（ ）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（ ）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（ ）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（ ）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（ ）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为 ； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。
[理学]高等数学大二第二学期总复习
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6. f (a )a dx;
f (arctan x ) 8. dx; 2 1 x
x
x
7. f (tan x ) sec xdx;
1 如： tan x 1 cos2 x dx;
2
3、第二类换元积分法
定理 设 x ( t ) 是单调的、可导的函数，并
( t ) 具有原函数， 且 ( t ) 0 ，又设 f [ ( t )]
u
kx
2 x
P ( x ) sin axdx, P ( x ) cos axdx, P ( x )e dx, Pn ( x)为n次多项式 如： x e dx
u u
P ( x ) arcsin xdx, P ( x ) arctan xdx,
n
P ( x ) ln xdx
(2) (3)
设f ( x )在[a , b]上连续, 则f ( x )在[a , b]上 可积. 设f ( x )在[a , b]上有界, 且只有有限个间 断点,则f ( x )在[a , b]上可积.
3、定积分的性质
性质1
性质2
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
及直线 x a , x b 所围成的区域的 面积A.
dA f ( x ) g( x ) dx
A [ f ( x ) g( x )]dx
a
b
y
y f ( x)
A
O a
y g( x )
x x dx b
x
(2) 由曲线 x f ( y ), x g( y ) ( f ( y ) g( y )) 和直线 y c , y d 所围成的区域的 面积A.
高等数学(专科)复习题及答案
高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分）1．函数1142-+-=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f．解.2x 3．x 答案：4.2=, 知2=a 5.已知x →lim 0x 6．函数因为1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x。
7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()=+1n y(1)!n +8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
答案：2)12(+x 或1442++x x9．函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为 。
解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
z ⇒ 的定义域为：{10|),(22<+<y x y x 且x y 42≤}10．已知22),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f .解 令，，则,u v u vx y +-==， (f 11．设f f 12． 解 dzdt13.⎰dxd14.设(f 15．若⎰∴2=k二、单项选择题（每题2分，共30分）1．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
解：利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B 正确。
2．若函数2211(xx x x f +=+，则=)(x f （ ）A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
解：因为2)1(212122222-+=-++=+x x xx x x，所以2)1()1(2-+=+x x x x f 则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。
高数I(理)复习题2019参考答案
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铃
6、下列等式中，哪些成立？哪些不成立？
(34) lim sin x 1 x x
不成立
sin x
(35) lim
1
x0 x
成立
1
(36) lim(1 x) x e x0 1
(37) lim(1 x) x e x
成立 不成立
(38) lim(1 1 )x e
x0
x
不成立
(39) lim(1 1 )x e
(28)若f
(ax
1) ax
a4 x2
1 x2
, 则f
( x)
.
解：f (ax
1 ) ax
a4x2
1 x2
a2(a2 x2
1 a2x2
2 2)
a2
(ax
1 ax
)2
2
令u ax 1 , 则f (u) a2(u2 2) ax
f ( x) a2 x2 2a2
f ( x) 2a2
11
x0
x
x x0
x x0 x
24
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(5)设f (1)
2, 则 lim x 1
f (3x 2) f (3 2x) x 1
10 __________ .
lim
f (3x 2)
f (3 2x) 令x
x1 lim
f (1 3x)
f (1 2x)
x1
x1
x0
x
f (1 3x) f (1) f (1) f (1 2x)
n
n
x0
x
x2 2
23
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高等数学复习题及答案.
中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案高等数学复习题一、填空题1．已知时，与是等价无穷小，则常数a 1232. 已知在处连续，则函数的可去间断点为函数在x0处连续.4．已知，则．若，则xlnx6.设函数F(x)是的一个原函数，则8.若，则10.x15.⎰x1-xxdx= .16.设f(x)是连续函数，且17.设f(x)=x+e2-x⎰ x3-1 0f(t)dt=x，则f(7)=⎰ 10f(x)dx,则f(x)= . 18.⎰π - πxecosx+x2sin3x+1dx= . 1+|x|19.曲线y=⎰ 2 xcost2dt在点(2,0)处的法线方程为 .20.在区间. [0,π]上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为21.设f(sinxx)=cosx+1，则f(cos)=2222.设f(x)=(1+cosx)x+1sin(x2-3x)，则f'(0)= .23.已知f(x)=x(x-a)3在x=1处取极值，则a=⎛0 024. 设A= 3⎝2003110002⎫⎪1⎪，则A–1，(A*)–1。
0⎪⎪0⎭⎛17-1⎫20-1 ⎪⎛⎫25. 已知A= ⎪，B= 423⎪，则AB= ，B'A'= 。
⎝132⎭⎪⎝201⎭⎛λ10⎫⎪26. 0λ1⎪。
⎪⎝00λ⎭27．若a31a2ka54a1ka43是5阶行列式中一项，则当k= ，l= 时，该项符号为正号。
n31x28. f(x)=x25是次多项式，其一次项的系数是。
14x29. 若n阶行列式零元素的个数超过n(n–1)个，则行列式为。
30. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .⎧sinx⎪31.设函数f(x)=⎨x⎪⎩0xx>0x≤0，则f(x)的间断点是。
⎛x+1⎫ 32. lim 。
⎪=x→∞⎝x⎭∂2z33.设z=xy+xy，则∂x∂y232dy34.设y=ln(1+x)，则2= 。
高等数学I(上)复习题共7套(答案)
x)
1 1 lim 1 x lim
x
lim 1 1
x0 2 x
x0 2x(1 x) x0 2(1 x) 2
12．
1
e
1 x dx .
0
解：设 1 x t, 则 x 1 t2, dx 2tdt, 且 x 0 时， t 1 ； x 1时， t 0 ，
1 e
1 x dx
证. 对任意 x ，由于 f ( x) 是连续函数，所以
F ( x x) F ( x)
lim
x 0
x
lim f ( ) x0
xx f t dt x f t dt
lim 0
0
x 0
x
2
xx f t dt
lim x
x 0
x
f ( )x lim
x0 x
其 中 介 于 x 与 x x 之 间 ， 由 lim f ( ) f ( x) ， 可 知 函 数 F( x) 在 x 处 可 导 ， 且 x0
所以
dy cos π π sin π 1 ． dx π 1 sin π π cos π 1 π
法二： dy cos (sin )d cos sin d ．
dx 1 sin (cos )d 1 sin cos d ．
5
dy
dy dx
d dx
cos sin ; 1 sin cos
0 ，驻点 x
f (0) .
在 t 0 两侧， dy 变号，故驻点是函数 y y( x)的极值点。 dx
1
（2）
d2 y dx 2
dt dt
1 dx
1 0 f (t)
dt
，曲线 y y( x)没有拐点.
高等数学(专科)复习题及答案(2020年10月整理).pdf
中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案《高等数学》（专科）一、填空题1．函数1142−+−=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+−−∞ 。
2．若函数52)1(2−+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62−x 3．________________sin lim =−∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=−=−=−=−∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=−−++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得42−−=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=−−++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2−==b a 5.已知∞=−−−→)1)((lim0x a x be x x ，则=a _____, =b _____。
∞=−−−→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=−=−−−→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+−→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(−∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7. 设()()()n x x x x y −⋅⋅−−= 21, 则()=+1n y(1)!n +8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
大专大一高数复习题
大专大一高数复习题一、选择题1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x = 1处的导数是：A. 8B. 10C. 12D. 142. 以下哪一项不是微分的基本性质？A. 线性B. 可加性C. 可逆性D. 可微性3. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 6在点(1, -6)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题4. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。
5. 函数y = ln(x)的导数是 y' = _______。
6. 函数y = x^2 + 3x + 2在x = -1处的导数是 _______。
三、计算题7. 计算定积分∫[0, 1] (2x - 1)dx。
8. 求函数f(x) = x^3 - x^2 + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
9. 证明：若f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f(c) = 0。
四、解答题10. 解不等式：x^2 - 4x + 3 > 0。
11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的极值点。
12. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在点(2, -2)处的切线方程。
五、证明题13. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)内单调递增。
14. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，则至少存在一点c ∈ [a, b]，使得f'(c) = 0。
15. 证明：函数f(x) = e^x在R上单调递增。
六、应用题16. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 50x + 300，其中x为生产数量。
求生产100件产品时的平均成本。
17. 某公司的利润函数为P(x) = -2x^2 + 120x - 500，其中x为销售数量。
成教高等数学(理工类本科)作业复习题-2014最新版 (1)
《高等数学》作业复习题（成教理工类本科）第六章 常微分方程一、选择题1、微分方程23d 2d 0y x x y +=的阶是[ ]．A 、 2,B 、 1,C 、0,D 、3．2、2'()()y x x y x x +=是[ ]．A 、一阶线性微分方程,B 、 可分离变量的微分方程,C 、齐次微分方程,D 、 二阶线性微分方程．3、下列微分方程中，[ ]是二阶线性微分方程. A 、2d sin d y y x x x +=， B 、222d d y y x x=， C 、d d 0x y y x -=， D 、2''3'2y y y x ++=．4、下列函数中, [ ]是方程7120y y y '''-+=的解.A 、3y x =，B 、1e x y +=，C 、3e x y =，D 、2y x =．5、 下列函数中，[ ]是方程'2y y -=-的通解.A 、e x y C =，B 、e 2x yC =+，C 、e x y =，D 、e 2x y =+．二、填空题1、若曲线上任意点(,)M x y 处切线的斜率为x 2,则y 满足的微分方程为 .2、微分方程e xy '=的通解为_________．3、微分方程d d 0x x y y +=的通解为________.4、已知二阶线性齐次方程的两个解为1e x y =，22e x y =，则该微分方程的特征根为 .5、设1e x y =，22e x y =都是微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的解，则该微分方程的通解为________.三、计算题1、求下列微分方程的通解：（1）d d y x x y=； dy/dx=x/yydy=xdx2ydy=2xdxd(y^2)=d(x^2)y^2=x^2+C（2）d 0d y y x-=；Dy/y=-P(x)dx=dx p(x)=-1两边积分 ∫Dy/y=∫dx得 ln 丨y 丨= -∫P(x)dx+c=∫d(x)+c=x+c即y=±e^(x+c)=±e^x * e^c=C*e^x（3）d20 dyyx+=；Dy/y=-P(x)dx=-2dx p(x)=2两边积分∫Dy/y=∫-2dx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=-∫2d(x)+c=-2x+c 即y=±e^(-2x+c)=±e^-2x * e^c=C*e^-2x（4）d30 dxxy y-=；（5）ddyxyx=；Dy/y=-P(x)dx=xdx p(x)=-x两边积分∫Dy/y=∫-xdx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=∫xd(x)+c=x^2/2+c即y=±e^(x^2/2+c)=±e^(x^2/2) * e^c=C*e^(x^2/2)（6）2d 2d y xy x =．2、求下列微分方程满足初始条件的特解: (1) d 1,(0)0d yy y x -==；Dy/dx=y+1 令t=y+1 则dt/dx=dy/dx=t dt/t=-P(x)dx=dx p(x)=-1 Ln 丨t 丨= -∫p(x)dx+c1=∫dx+c1=x+c1即 t=±e^(x+c1)=±e^c1*e^x=C*e^x=y+1Y=c*e^x-1由题得 y(0)=c*e^0-1=c-1=0 即c=1Y=e^x-1(2) d11,(1)1 dyy yx x-==；(3) d1,(1)0d2y xy yx x-=-=；(4) d22,(0)0dyxy x yx+==；（5）d 13,(1)0d yy y x x x -==．3、求下列微分方程的通解：(1) ''20y -=；(2) ''20y x -=；(3) ''sin y x =；（4）2''e x y =．4、求下列微分方程的通解：(1) ''4'30y y y -+=；(2) ''2'0y y y -+=；（3）''6'0y y -=．参考答案：一.选择题1-5 BADCB ．二、填空题1、'2y x =,2、e x y C =+，3、22x y C +=，4、121,2r r ==，5、2112=C e e x x y C +． 三、计算题1、（1）22y x C =+；（2）=Ce x y ；（3）2=Ce x y -；（4）3x Cy =；(5)212=Ce x y ；（6）21y x C=-+． 2、(1) e 1x y =-；(2) (1ln )y x x =+ ；(3)21122y x x =-；（4）2=1-e x y -；（5）33y x =-+． 3、(1) 2y x C =+；（2）31213y x C x C =++；（3）12sin y x C x C =-++e x ；（4）2121e 4x y C x C =++． 4、（1）1e x y C =+32e x C ；（2）()x C C y 21+=e x ；（3）1y C =+62e x C ．第八章 多元函数微分学一、选择题1、设函数(,)f x y xy =，则(,1)f y =[ ]．A 、,B 、xy ,C xy ,D y ．2、已知()22,f x y x y x y -+=+，则()1,1f -=[ ]. A 、 0, B 、 1-,C 、1,D 、2．3、设函数 u xyz =，则 []du =．A 、yzdx ，B 、xzdy ，C 、xydz ，D 、yzdx xzdy xydz ++．4、 点(0,0)是函数z xy =的[ ]．A 、极大值点，B 、驻点，C 、非驻点，D 、极小值点．5、设函数(,)f x y =则点(0,0)是函数(,)f x y 的[ ]. A 、最小值点，B 、最大值点，C 、驻点，D 、间断点．二、填空题1、函数z =的定义域是 ，其中r 为常数.2、()(),0,0lim x y →= .3、()()22,0,11lim x y xy x y →-=+ . 4、(,)(0,0)sin lim x y xy x →= . 5、函数z = .三、计算题1、求下列函数的定义域：（1）求函数x z y =的定义域；（2）求函数z =（3）求函数z =.（4）求函数z=的定义域.2、求下列函数的极限：（1）22 (,)(2,0)limx yx xy yx y→+++；（2）22 (,)(1,1)limx yx yx y→--；（3）(,)lim x y →（4）(,)(0,0)1lim sin()x y xy xy →；（5）(,)(,)1lim 1xyx y xy →+∞+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（6）(,)(,)1lim sin x y x xy →+∞+∞．3、求下列函数的一阶偏导数：（1）2z x y =+；（2）z xy =；(3) y z x= ；（4）e xy z =；（5）sin()z xy =；（6）()22ln z x y =+．4、已知2x z y =，求22z x ∂∂，22z y ∂∂，2z x y∂∂∂.5、求函数z xy =在点()0,0处，当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的全增量和全微分.6、求下列函数的全微分：（1）22z x y =+；（2）()sin z y x y =+；（3）221ln()2z x y =+；(4)求33z x y y x =-在点(1,1)处的全微分．7、求下列函数的极值：（1）22z x y =+；（2）221z x y =--；（3）222z x xy y x y =-+-+；（4）333z x xy y =-+.参考答案：一.选择题1-5 DCDBA ．二、填空题1、(){}222,|x y x y r +<,2、12y =，3、1，4、0，5、(0,0)． 三、计算题1、(1) {}(,)|0D x y y =≠；（2）{}{}(,)|0,0(,)|0,0D x y x y x y x y =>>⋃<<；（3）{}(,)|0D x y x y =+>；（4）{}22(,)|14D x y x y =≤+<．2、(1) 2 ；（2）2；(3)6；（4）1，（5）=e y ；（6）0．3、（1）2,1z z x x y ∂∂==∂∂；（2）,z z y x x y ∂∂==∂∂；（3）21,z y z x x y x∂∂=-=∂∂； (4) e ,e xy xy z z y x x y ∂∂==∂∂；（5）cos(),cos()z z y xy x xy x y∂∂==∂∂； （6）222222,z x z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+． 4、220z x ∂=∂,2246z x y y ∂=∂,232z x y y∂=-∂∂. 5、0.72z ∆=，0.7dz =.6、（1）22xdx ydy -；（2）()cos (sin()cos())dz y x y dx x y y x y dy =+++++，（3）22xdx ydy z x y+=+；（4）22dx dy -． 7、（1）极小值(0,0)1f =；（2）极大值(0,0)1f =；（3）极小值(1,0)1f =-；（4）极小值(1,1)1f =-．第九章 多元函数积分学一、选择题1、二重积分()22221x y x y dxdy +≤--⎰⎰的值[ ]．A 、小于零，B 、大于零，C 、等于零，D 、等于1-．2、 设D 是由2214x y ≤+≤围成，则Dd σ=⎰⎰[ ]．A 、π，B 、2π，C 、3π ，D 、4π．3、设积分曲线L ：,(01)y x x =≤≤，则对弧长的曲线积分()Lx y ds -=⎰[ ]． A 、0， B 、1， C 、－1， D 、3．4、设L 是圆周222x y +=，则对弧长的曲线积分22()L x y ds +=⎰ [ ]． A 、π4， B 、π24， C 、π28， D 、π8．5、下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为[ ]．A 、(2)d (2)d L x y x x y y -+-⎰，B 、(2)d (2)d Lx y x y x y ++-⎰， C 、(2)d (2)d L x y x x y y +++⎰， D 、(2)d (2)d Lx y x x y y ++-⎰．二、填空题1、设D 是由曲线224x y +=与两坐标轴所围成的第一象限部分的平面区域，则二重积分d d Dx y ⎰⎰= .2、设积分区域D 由,1,0y x x y ===所围成，将二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________．3、设平面曲线L 为半圆周y =22()d Lx y s +=⎰ ．4、已知曲线积分(,)d 2d Lf x y x x y +⎰与路径无关，则(,)f x y y ∂=∂__________． 5、若曲线积分d d L P x Q y +⎰在G 内与路径无关，则沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分d d CP x Q y +=⎰ __________．三、计算题1、在直角坐标系下计算下列二重积分：(1)D xd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 01x ≤≤，02y ≤≤；(2)Dyd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 11x -≤≤，01y ≤≤；(3) 2D y d x σ⎰⎰，其中D 是矩形闭区域: 12x ≤≤，01y ≤≤；（4）D yd ⎰⎰σ，其中D 是由直线,0,1y x y x ===所围成的闭区域；（5）()32D x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；（6）()22D x y y d σ+-⎰⎰，其中D 是由y x =，2x y =和2y =所围成的区域；（7）3Dxy d ⎰⎰σ，其中D 由曲线2y x =，1x =及0y =围成的区域；（8）计算二重积分2e x Dd -σ⎰⎰，其中积分区域D 是由直线,1y x x ==及x 轴所围成的区域．2、利用极坐标计算下列二重积分：（1）22(1)Dx y d +-⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（2）Dσ⎰⎰，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（3）()221d Dxy σ--⎰⎰，其中D 是由圆0y =，y x =和422=+y x 所围成的区域.（4）22e x y Dd +⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域224x y +≤；3、计算下列对弧长的曲线积分： （1）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（2）计算2d Ly s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（3）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =上点()0,0O 与点()1,1B 之间的线段；4、计算下列对坐标的曲线积分： （1）计算d Ly x ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（2）计算d Lx y ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（3）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（4）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2x y =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（5）利用格林公式计算2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-⎰ ，其中曲线L 为取正向的圆周229x y +=；（6）利用格林公式计算()()2222Lxy dx y x dy ++-⎰ ，其中L 是由0y =，1x =，y x =所围成的闭曲线的正向.（7）计算L ydx xdy+⎰，积分路径L：从点(),0R-沿上半圆周222x y R+=到点(),0R．（请用格林公式和与路径无关两种方法计算）参考答案： 一.选择题 1-5 ACABC ． 二、填空题1、π,2、10(,)xdx f x y dy ⎰⎰，3、π，4、2，5、0．三、计算题 1、（1）1； （2）1；(3) 14；（4）16；（5）203；（6）323；（7）140；（8）11(1-e )2-．2、（1）2-π；（2）23π；（3）16π；（4）4(e 1)π-．3、（1）12 ；（2）1；(3) 2． 4、（1）13；（2）23；（3）1；（4）1；（5）18-π，（6）1-；（7）0．第十章 无穷级数一、选择题1、对级数∑∞=1n na，“0lim =∞→n n a ”是它收敛的[ ]条件．A 、充分，B ．必要，C ．充要，D ．非充分且非必要．2、设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中一定发散的是[ ]．A 、11nn u∞=+∑， B 、11n n u∞+=∑，C 、1(3)nn u ∞=+∑， D 、16nn u∞=∑．3、若lim 1n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑[ ]．A 、发散，B 、不一定发散，C 、收敛，D 、绝对收敛．4、若级数∑∞=1n na条件收敛，则级数∑∞=1n na必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、条件收敛．5、 若级数∑∞=1n na收敛，级数∑∞=1n nb发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、敛散性不定．二、填空题1、已知无穷级数231123333n n u ∞==+++∑ ，则通项n u =__________.2、 若级数∑∞=+-1)1(n n n a收敛，则常数=a ．3、级数1n ∞=________.4、级数112nn ∞=∑的敛散性为________.5、 幂级数0nn x∞=∑的收敛半径为______.三、计算题1、用级数的性质判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=-1)1(n n；（2）21n n∞=∑；（3）21113n n n∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑； （4）21223n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（5）1112n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（6）1222n n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．2、用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1112n n ∞=+∑；(2) ()∑∞=-+1212n nn；(3) 2111n n ∞=+∑；(4) 12nn n∞=∑．3、用比值判别法判定下列级数的敛散性：（1）13n n n ∞=∑；（2）∑∞=+1212n n n ；（3） 212nn n ∞=∑；（4）1!3n n n ∞=∑．（5）12!nn n∞=∑4、判定下列交错级数的敛散性：（1）()111nn n ∞=-+∑；（2）11nn ∞=-；（3）()112nn n ∞=-∑；（4）()11n n n ∞=-∑．5、求下列级数的收敛半径:（1）1n n nx ∞=∑；（2）21(1)n n n x ∞=+∑；（3）1nn x n∞=∑；（4）212nn x n ∞=∑；（5）31(3)nn n x n ∞=-∑；（6）12nn n x n ∞=∑．参考答案：一.选择题1-5 BCABB ．二、填空题1、3nn , 2、0，3、发散，4、收敛，5、1R =． 三、计算题1、(1) 发散；（2）发散；（3）收敛；（4）收敛；（5）发散；（6）发散．2、（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．3、（1）收敛；(2) 收敛；（3）发散；（4）发散；（5）收敛．4、(1) 收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．5、（1）1R =；（2）1R =；（3）1R =；（4）1R =；（5）13R =；（6）2R =．。
《高等数学12》理工类试题与答案
《高等数学12》理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知函数(,)y f x y xe -=，它在点(1,0)P 处的梯度等于 ． 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）．（A ）11(1)n n n u ∞+=-∑； （B ）1n n u ∞=∑；（C ）11n nu ∞=∑ （D ）1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-，则直线l （ ）. （A ）过原点且垂直于x 轴； （B ）过原点且垂直于y 轴； （C ）过原点且垂直于z 轴； （D ）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) *2()x y Ax B e =+； (B) *22x y Ax e =； (C) *2()x y x Ax B e =+； (D) *22()x y x Ax B e =+．4、设(,)f x y 为连续函数，则二次积分420d (,)d x xx f x y y =⎰⎰（ ）（A ）2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； （B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰； （C ）41104d (,)d y f x y x ⎰⎰； （D ）20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则（ ）(A) 12I I =； (B) 12I I ≥；(C) 12I I ≤； (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分） 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ；2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定，求d z ；3、设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰， 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域；5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成，求22d x y V Ω+⎰⎰⎰.四、判断题（本题8分） 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_____i j →→-或{1,1}-_____. 2、______320x y +=______.3、_____221112x y z ---==-_____. 4、 ______1______. 5、___8或8f =最大 或(0,2)8f ±=最大______.二、选择题（每小题 3分，共 15分）1、A.2、B.3、D.4、A.5、C.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题每题10分，共40分） 1、解：（6分）cos a b a b θ→→→→⋅=⋅………2分1221cos 266a ba bθ→→→→⋅-++===⋅………3分3πθ=………1分.2、解：（8分）222z z z x zy x x e ∂∂-=∂∂， z z xx z ye∂=∂+ ………3分 222z z z z z y y y e e ∂∂-=+∂∂， z zz e y z ye ∂-=∂+ ………3分 d z z x dx z ye =+zze dy z ye-++ ………2分. 3、解：（8分）令f 对2x 的偏导数记为1f '，对2yx的偏导数记为2f '，1f '对2y x 的偏导数记为12f ''，2f '对2y x 的偏导数记为22f ''， ………1分2212122[2()]2z y y f x f f f xf f x x x∂''''=++-=+-∂ ………4分2221222222222[][]z y y y y yf x f f f x y x x x x x∂''''''=⋅+⋅--⋅∂∂ 31222224y yf f x''''=-. ………3分. 4、解：（8分）如图所示,211221()d d ()xDy x x y dx y x dy --=-⎰⎰⎰⎰ ………4分221121241111[][]222x y x y dx x x dx --=-=-+⎰⎰351111[]2310x x x -=-+ ……2分 815=. ……2分5、解：（10分）如图所示 , ……2分221422201d r x y V d r dr dz πθ-Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰……3分1223510012(3)2[]5r r dr r r ππ=+=+⎰ ………3分 125π=………2分 四、（本题8分）解：（8分）考察111(1)1sinsin 22n nnn n nnππππ-∞∞==-=∑∑，因为11sin 2nnn πππ≤(1)n ≥ ………4分 而11q π=<，所以几何级数11nn π∞=∑是收敛的，故11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑绝对收敛，原级数收敛.………4分五、（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，21()414x f x x =⋅+，又因为01(1),(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑， ………2分所以，()f x =221100(1)()(1)444n n n n n n n x x x +∞∞+==-=-∑∑. ………3分 222321121lim (1)/(1)lim 4444n n n n n n n n x x x x ρ+++++→∞→∞=--==. 当214xρ=<，即22x -<<时，级数绝对收敛；当2x =-时，级数111000(2)441(1)(1)(1)4242n n nn n n n n n n ∞∞∞+++===-⋅-=-=-⋅∑∑∑发散， 当2x =时，级数100241(1)(1)42n nn n n n ∞∞+==⋅-=-∑∑发散，级数收敛域为(22)x -<<.所以，()f x 2110(1)4n nn n x +∞+==-∑，(22)x -<< ………3分2、解：（7分）因为112(1)ln ln dy y dx x x x+=+是一阶线性微分方程，所以由 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ ………2分11ln ln 1[2(1)]ln dx dx x x x xy e e dx C x-⎰⎰=++⎰ln(ln )[(2ln 2)]x e x dx C -=++⎰ ……3分11[2ln 2][2(ln )2]ln ln xdx dx C x x x x C x x=++=-++⎰⎰ 2ln C x x =+.所以，通解为2ln Cy x x=+ ………2分 3、解：因为1xxe ydy dx e =+是变量可分离微分方程，所以由 1xx e ydy dx e =+⎰⎰ ………2分21ln(1)2x y e C =++ 22ln(1)x y e C =++ （其中12C C =） ……3分由00x y==，得002ln(1)e C =++2ln 2C =-特解为： 22ln(1)2ln 2xy e =+-. ……2分。
高等数学(专科)复习题及答案Word版
中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案《高等数学》一、填空题1．函数1142-+-=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62-x 3．________________sin lim =-∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)1)((lim0x a x be x x ，则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()=+1n y(1)!n +8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
高数复习题及答案
高数复习题及答案高数复习题及答案高等数学作为大学数学的基础课程，是数学系、理工科等专业的必修课。
它的内容涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个领域，对学生来说是一门相对较难的学科。
为了帮助同学们更好地复习高数知识，我整理了一些常见的高数复习题及答案，希望对大家有所帮助。
1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12的极值点。
解析：首先，我们需要求出该函数的导数f'(x)。
对f(x)进行求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x - 4。
然后，令f'(x) = 0，解得x = 2或x = -2/3。
将这两个解代入原函数f(x)中，可以得到f(2) = 4和f(-2/3) = 16/27。
因此，函数f(x)的极大值点为(-2/3, 16/27)，极小值点为(2, 4)。
2. 求曲线y = x^2 + 2x的弧长。
解析：根据弧长公式，曲线y = x^2 + 2x的弧长可以表示为∫√(1 +(dy/dx)^2)dx，其中dy/dx为曲线的导数。
对y = x^2 + 2x进行求导得到dy/dx = 2x + 2。
将dy/dx代入弧长公式中，我们可以得到∫√(1 + (2x + 2)^2)dx。
对该积分进行求解，可以得到曲线y = x^2 + 2x的弧长。
3. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的不定积分。
解析：对函数f(x)进行不定积分，可以得到∫(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)dx。
按照积分的线性性质，我们可以将该积分拆分为∫x^3dx - ∫6x^2dx + ∫11xdx -∫6dx。
对每个单项进行积分，我们可以得到(1/4)x^4 - 2x^3 + (11/2)x^2 - 6x + C，其中C为常数。
因此，函数f(x)的不定积分为(1/4)x^4 - 2x^3 + (11/2)x^2 - 6x + C。
4. 求曲线y = x^3 - 3x的旋转体的体积。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得l i 0x =. （10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x ．（也可用洛必达法则） （11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=． （12）30tan sin limx x xx→-． 解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为 ∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限． 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ，由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导. 答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导. （2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy 解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得=2)(22x y yy x +-'， 将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得：即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f xe e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即 当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数， 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值，,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表知，上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0，可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe xd 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x xx d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x, （12）⎰-24d x x . 解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. （10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .（6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x xxd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰．解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. （2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x x d e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.（4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]， 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）（2）分离变量得21d d xx y y -=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解.（3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n )(=， 故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy xy2d d =，x x y y d 2d =， 两边积分，得x x y y ⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ， )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x xx +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx 121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ，故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解：对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解：对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
高等数学复习题附答案)
高等数学复习题一、选择题1、已知函数)2arctan(2)(-+-=x x x f ，则函数)(x f 的定义域为 （ ） ①)2,1(-， ②]3,1(-， ③]2,1[， ④]2,(-∞.2、已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)2(x f -的定义域为 （ ）①]2,(-∞， ②(1,2)， ③[0，1], ④[1,2].3、已知函数|1|arcsin )(-=x x f ，则函数)(x f 的定义域为 （ ） ①]1,1[-， ②]1,1(-， ③)2,0(， ④]2,0[.4、=∞→xx x πsinlim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 0 5、下列函数中为奇函数的是( )①)1(log 2++x x a ， ②2x x e e -+， ③x cos ， ④x 2.6、下列函数中是相同函数的是（ ）① 1)(,)(==x g xx x f ② 33341)(,)(-=-=x x x g x x x f ③ 2)()(,)(x x g x x f == ④ x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 7、=→xxx 3sin lim（ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞8、()=+→xx x 1021lim( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞. 9、=→xx x arcsin 0lim( )①0， ②1， ③2， ④不存在.10、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x 21lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞. 11、=++--∞→103422lim 22x x x x x ( )①0， ②1， ③2， ④不存在.12、=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 2lim ( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞. 13、=∞→x x x arctan lim ( )① 0， ② 1， ③ 2， ④不存在. 14、()=+→xx x 1021lim( )①2-e ， ②2e ， ③2， ④+∞.15、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x x sin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+ 16、当xx 2t a n 0时，与→等价的无穷小量是( )①x -， ②x ， ③2x ， ④2x .17、下列函数在指定变化趋势下是无穷小量的是 ( )①1,ln →x x ， ②+→0,ln x x ， ③∞→x e x ,， ④+∞→x e x ,.18、下列函数在指定变化趋势下不是无穷小量的是 ( )①1,ln →x x ， ②0,cos →x x ， ③∞→x x ,sin 1， ④+∞→-x ex,. 19、当x x 2s in 0时，与→等价的无穷小量是( )①x -， ②x ， ③2x ， ④2x . 20、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x的 （ ） ①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 21、函数)(x f y =由参数方程0sin cos ≠⎩⎨⎧==a ta y ta x ，则=dxy d（ ）①t sin - ② t tan ③ t cot - ④t sec22、设==dy e y x 则,（ ）①dx e x x， ②dx e x， ③xdx e x 2， ④xdx e x23、设==-dy e y x则,1（ ）①dx e x1-， ②dx e xx 121--， ③dx e x x 121-， ④dx e x x 11--24、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin 25、设函数||)(x x f = 则在=x 点处（ ）①不连续， ②连续但左右导数均不存在， ③连续且可导， ④连续但不可导. 26、设函数||cos )(x x f = 则在=x 点处（ ）①不连续， ②连续但左右导数均不存在， ③连续且可导， ④连续但不可导.27、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微 28、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 29、函数xy sin =，则=)12(y（ ）①x cos ② x cos - ③ x sin ④x sin -30、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 0 31、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..…..( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x 32．设函数3)(x x f = ， 则在0=x 是函数的（ ）① 驻点与极值点; ②不是驻点与极值点; ③极值点; ④驻点. 33、设函数()f x 区间[0,1]满足罗尔定理的是（ ）①|5.0|)(-=x x f , ②⎩⎨⎧≥-<=5.0225.02)(x x x xx f , ③)sin()(x x f π=, ④ x x f =)(34、设函数()f x 在x 的()00f x '=，则()f x 在0x（ ）① 一定取极大值 ② 一定 取极小值 ③ 一定 不取极值 ④ 极值情况不确定35、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为 ① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值 36、⎰='])([dx x F d( )①dx x F )('， ②)(x F ， ③dx x F )(， ④. )(x F '37、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ） ①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin 38、⎰=-dx xx 212( )①C x +arcsin ， ②C x +-21， ③C x +--212， ④C x +2arcsin 21 39、⎰=+dx x x212( )①C x +arctan ， ②C x +2arctan 21， ③C x +2， ④C x ++)1ln(2 40、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+ 41、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln 42、=⎰badad dx x f )(（ ）① )()(a f b f - ②)(a f - ③ f(b ) ④ 0 43、=⎰21sin xdx x dx d( )① x sin x ②0 ③2 ④3 44、=⎰badbd dx x f )(（ ）① )()(a f b f -， ② f(b )， ③)(a f -， ④ 0. 二、填空题 1、 若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ； 2、已知函数291)(xx f -=，则函数)(x f 的定义域为 。
高数复习题
高数复习题### 高数复习题#### 一、极限与连续性1. 计算极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
2. 判断函数\(f(x) = x^2 - 4\)在\(x = 2\)处是否连续，并说明理由。
#### 二、导数与微分3. 求函数\(f(x) = e^x \ln x\)的导数。
4. 已知\(y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\)，求\(y'\)。
#### 三、积分5. 计算定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
6. 求不定积分：\(\int \frac{1}{x^2 - 1} dx\)。
#### 四、多元函数微分法7. 求函数\(z = x^2 + y^2\)在点\((1, 1)\)处的偏导数。
8. 计算函数\(u = x^2y + y^2z\)在\((1, 2, 3)\)处的全微分。
#### 五、无穷级数9. 判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)的收敛性。
10. 求级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\)的和。
#### 六、多元函数积分11. 计算二重积分：\(\iint_{D} x^2 + y^2 \, dA\)，其中\(D\)为区域\(x^2 + y^2 \leq 1\)。
12. 求曲线积分：\(\int_C x \, dy\)，其中\(C\)为圆\(x^2 + y^2= 1\)的上半圆。
#### 七、微分方程13. 解微分方程：\(y'' + 4y' + 4y = 0\)。
14. 求微分方程\(y' = y\)的通解。
#### 八、解析几何15. 求过点\((1, 2)\)且与直线\(2x - y + 3 = 0\)平行的直线方程。
16. 求过点\((2, 3)\)且垂直于直线\(3x + 4y - 5 = 0\)的直线方程。
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高等数学（理、专）复习题1.求极限：（1） （2）（3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）2.设 要使 在 内连续,应当怎样选择 ？3.设函数e , 0,(), 0.x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩为了使函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，a 应取什么值？4. 选择题（1）设函数 则 是 的（ ）.（A ）可去间断点； (B)跳跃间断点； (C)无穷间断点； (D)振荡间断点.（2）当 时，是 的（ ）. （A ）高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 等价无穷小； (D) 同阶但非等价无穷小.5.求函数 的间断点及其类型.6.求函数 的间断点及其类型. 22232lim ;2x x x x x →-+--0lim x x →0sin 5lim ;tan 3x x x→20tan sin lim ;sin x x x x x →-22lim ;3x x x x +→∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭01lim sin ;x x x →21sin 0,() 0,x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()f x (,)-∞+∞a sin xy x=1()arctan ,f x x x=+0x =()f x 21cos3 x x -0x →arctan lim x x x→∞201lim sin ;x x x →sin lim .x x x →∞tan x y x=7.填空题（1）设 则 （2）曲线 在点 处的切线方程和法线方程为______.8.设 求 9.设 在 内具有一阶连续导数， ，求10.求 的导数. 11.设函数 由方程 所确定，求12.设 求13.设函数的微分.14.设函数 求y '.15.求 为常数 的 阶导数. 16.求下列函数的导数： （1）23e;x y -= （2）2In(1);y x =+ （3）2in ;y s x = （4）2arctan ;y x =（5）2(arcsin );y x = （6）arctan(e );x y = （7）In cos ;y x = （8）y =17.设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且0()4,f x '=000()()lim ____.h f x h f x h h →+--=23y x =+0(,)M x y ()()()()12100,f x x x x x =---L ()0.f '()f x (),-∞+∞()()()2x x a f x ϕ=-().a ϕ''cos (0)xy x x=>()y y x =e e yxy +=0d .d x yx =2ln(1),arctan .x t y t t ⎧=+⎨=-⎩22d .d y x 1y x =+1arctan e ,xy =()e ( )ax f x a =n ()f x [0,1](0,1)，证明在 内存在点 ，使得18.求极限：（1） （2） （3）（4） （5） 为正整数 （6） 19.求极限20. 求极限26sin d lim .x x t t x→⎰21. 求极限 222000cos d lim .e d x xx t t tt→⎰⎰22.证明不等式当0x >时， 23. 证明不等式当 时 24. 确定函数曲线 的凹凸性与拐点.26.问函数 在何处取得最小值?27.试确定曲线32y ax bx cx d =+++中的,,,a b c d 使得2x =-为驻点，(1,10)-为拐点，且通过点(2,44).-28. 填空题(1)0f =ξ(0,1)30arctan lim ;ln(12)x x x x →-+121cos 0lim(1sin ) ;xx x -→+220ln(13)lim ;x x x →+lim arctan ;2x x x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ln lim ( ).n x x n x →+∞201sin lim.sin x x x x→21cos 2e d lim .t xx t x -→⎰sin 0(7) lim . xx x +→11.2x +>(0 ,1+In .x x x >+>31(1)y x =+-254(0)y x x x =-<29. 填空题设函数()f x 连续,则 30. 选择题设函数()f x 为可导函数，则（ ）( A ).(B) （C ） （D ） 31.求导数（1） （2）（3） （4） 32.求由方程 所确定的隐函数的导数d .d yx33.求由参数方程2020sin d ,cos d ,t tx x x y x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d .d y x 34.计算不定积分：（1）（2） （3）（4）.x ⎰（5）32d .9x x x +⎰ （6）e d .xx x -⎰ 35. 计算定积分：（3）1eeIn d ;x x ⎰323423sin d ____.21x xx x x -=++⎰0d ()d ___.d xxf t t x =⎰()d ();f x x f x '=⎰d ()();f x f x =⎰()()d ();f x x f x '=⎰()d ()d ().f x x f x =⎰22sin d sin d ;d x x t t x⎰22sin d [e d ];d t x t x ⎰2200e d cos d 0yxt t t t -+=⎰⎰20d sin d ;d 1x t tt x t+⎰1d sin d .d x t t x t ⎰⎰.x +⎰d .(12In )xx x arctan d .x x x ⎰22400(1)1d ; (2)tan d .x x x x π-⎰⎰36.设函数 计算37. 求曲线 与直线y x =及2x =所围成的图形的面积.38.计算阿基米德螺线上相应于θ由0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积.39.计算由椭圆 分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积.40.计算有 所围成的图形绕x 轴及y 轴旋转所得旋转 体的体积 .41.判定下列各反常积分的敛散性：（1）311d ;x x +∞⎰（2）1;x +∞⎰（3）11d ;x x +∞⎰（4）10d ;x ⎰ （5）1201d .(1)x x -⎰ （6）23101d ;(1)x x -⎰ （7）221d .(In )x x x +∞⎰ 42.计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.43.计算摆线(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-⎧⎨=-⎩的一拱(02)θπ≤≤的长度.44.求阿基米德螺线(0)r a a θ=>相应于θ从0到2π一段的弧长.2e , 0,()1, 10,1cos x x x f x x x-⎧≥⎪=⎨-<<⎪+⎩41(2)d .f x x -⎰1 y x=(0)r a a θ=>22221x y a b +=3,2,0y x x y ===45.求微分方程的通解：（1； （2）46. 求微分方程的通解： （1） （2） 47. 求微分方程的通解：（1） （2） 48.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2.x y +49.求微分方程满足初始条件的特解：50. 求微分方程的通解.（1） （2） （3） （4）2()0.yy y '''-= 51.求微分方程 满足初始条件的特解.52.求微分方程 满足初始条件1111,93x x yy =='== 的特解.53. 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解.（1） （2） （3） （4）(4)160.y y -= 54.求二阶常系数齐次线性微分方程 23x yy '=ln y x x y x+'=2cos cot 5e , 4.x y y x yπ'+==-2e cos .x y x '''=-2(1)2x y xy '''+=001,3x x y y =='==4290y y y '''++=23d (1)0.d y y x x++=222.xy y x y '=+d In .d y y x y x x=2(1)2cos 0x y xy x '-+-=21.1y x ''=+0.xy y '''+=2xy y x '''+=320.y y y '''-+=440y y y '''++=20;(0)0,(0)3y y y y y ''''+-===的通解及给定条件的特解..55. 求微分方程 的通解. 56.选择题方程 的特解形式为（ ）. (A) (B)(C)(D)57. 选择题方程的特解形式为（ ）. (A) (B)(C) (D)22e xy y y'''+-=25620e xy y y x '''++=2e ;x ax 2()e ;x ax b +2()e ;x x ax b +22()e .xx ax b +32e cos2xy y y x '''-+=e (cos2sin2);xx a x b x +e cos2;x a x e (cos2sin2);xa xb x +e sin2.x a x。