经典几何模型之“阿氏圆”

经典几何模型之“阿氏圆”

————段廉洁

一.模型名称由来

【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k

值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗

尼斯发现，故称“阿氏圆”。

二.模型建立

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3

三.“阿氏圆”模型破解策略

【破解策略详细步骤解析】

第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连

接OB 、OP ；

第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OB

OP =第三步：在OB 上取点C ，使得

OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】

回顾图2，在OB 上取点C 构建OB

OP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。

将图2中△BPO 单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO ∽△BPO ，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO 与△BPO 有公共角∠O ，且OB OP OP OC =某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O 、∠B =∠OPC ）

（构造出△PCO ∽△BPO 后可以得到OB

OP OP OC =，进而推出OC OB OP ∙=2，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定C 的位置后，连接AC ，求出AC 长度“阿氏圆”即可破解）

四.“阿氏圆”典型例题讲解

例1：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +BP 2

1的最小值.

解答：如图2，连接CP ，因为CP =2，AC =6，BC =4，简单推算得31=AC CP ，2

1=CB CP ，而题目中是求“AP +BP 21”其中的“k =21”，故舍弃在AC 上取点，应用“2

1=CB CP ”，所以在CB 上取一点D ，使CD =1，则有

21===BP PD CB CP CP CD ，无论P 如何移动，，△PCD 与△BCP 始终相似，故PD =BP 21始终成立，所以AP +BP 2

1=AP +PD ，其中A 、D 为定点，故A 、P 、D 三点共线时最小，AP +

BP 21=AP +PD =AD =22CD AC +=37（思考：若求13BP PA +呢？）（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2PA +PB 的最小值.

解答：首先连接OP ，因为OP =6，OA =3，OB =5，所以

21=OP AO 、65=OP BC ，题目求的是“2PA +PB ”，其中的“k =2”与之相关的是2

1=OP AO ，故在OA 上取点，考虑到是2PA ，故在OC 上取点H ，

使OH =12，则有2

1===PH AP OH OP OP OA ，无论P 如何移动，△PAO 与△HPO 始终相似，故PH =2PA 始终成立，所以2PA +PB =PH +PB ，其中H 、B 为定点，故H 、P 、B 三点共线时最

小，2PA +PB =PH +PB =22OB OH +=13.（思考：若求65

AP PB +呢？）

例3：如图1，已知AC =6，BC =8，AB =10，⊙C 的半径为4，点D 是⊙C 上的动点，连接AD 、BD ，则AD +BD 2

1的最小值为？

解答：首先连接CD ，因为CD =4，CB =8，CA =6，所以

21=CB CD 、32=CA CD ，题目求的是“AD +BD 21”，其中的“k =21”与之相关的是2

1=CB CD ，故在CB 上取点，故在CB 上取点H ，使CH =2，则有

21===BD HD CB CD CD CH ，无论P 如何移动，△DHO 与△BDC 始终相似，故HD =BD 21始终成立，所以AD +BD 2

1=AD +DH ，其中H 、A 为定点，故H 、D 、A 三点共线时最小，AD +BD 21=AD +DH =10222=+AC CH .（思考：若求23

BD AD +呢？）例4：如图1，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为△ABC 内一动点，且满足CD =2，则AD +

BD 32的最小值？