蒙特卡罗算法实验报告
第八章蒙特卡罗方法研究报告
(R) (R)dR
(R) | (R) |2
† (R ) (R )dR
(R) 1 H(R) (R )
用MC方法计算上述积分 优化 i 使 E[ i] 最小
简单应用：计算He的电子结构
两种极端情况： f1 (x)
f2 (x)
(a)
x
只需一个点，就可求得积分 的精确值
(b)
x0
x
即使在积分区间上取很多点， Leabharlann 难以求得积分的精确值第八章
蒙特卡罗方法
Monte-Carlo, Monaco
1.1 引 言
什么是Monte Carlo方法
Monte Car1o(MC)方法又称随机模拟 或统计试验方法。
源于：Metropolis提出的美国在第二 次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计 划”；研究与原子弹有关的中子输运过程。
该计划的主持人之一、数学家John von Neumann用驰名世界的赌城—摩纳哥 的Monte Carlo—来命名这种方法。
Metropolis 算法：
一种很普遍的产生具有任意形状的给定概率分布随机变量的方法。
算法的实现： 可以用各种不同的方法落实．其中最简单者： 假想有一个随机行走者在R空间中运动，这个随机行走过程
相继各步的终点产生出一个点的序列：R0，R1， ；随机行走 的路程越长，它连接的点就越接近所要求的分布．
这一随机行走在位形空间中进行的规则如下：
也可以理解为：
f (x)
f (x)
x
x
——重要抽样的MC方法
例：用重要抽样MC方法计算积分
I
1 dx 0 1 x2
解：选择分布函数
(x) 1(42x)
3
高性能计算实验报告
高性能计算实验报告引言高性能计算是计算机科学领域的一个重要研究领域，在许多科学和工程领域有着广泛的应用。
本实验旨在通过使用并行计算技术，在一个实际问题上展示高性能计算的能力和优势。
实验背景在本实验中，我们选择了一个经典的问题：计算圆周率（π）的近似值。
计算圆周率是计算机科学中的一个重要问题，也是高性能计算的一个经典案例。
我们将使用蒙特卡罗方法来近似计算圆周率。
实验步骤1.生成随机点：首先，我们需要生成大量的随机点。
我们选择使用伪随机数生成器来生成这些点。
在本实验中，我们将使用Python的random库来生成均匀分布的随机点。
2.判断点的位置：对于生成的每个随机点，我们需要判断它是否在一个圆内。
为了做到这一点，我们可以计算点到圆心的距离，并检查是否小于等于圆的半径。
如果是，则该点在圆内。
3.统计在圆内的点数：我们需要记录下在圆内的点的数量，以便进行进一步的计算。
在本实验中，我们使用一个计数器来实现这一功能。
4.计算圆周率的近似值：通过统计在圆内的点的数量和总生成的点数，我们可以计算圆周率的近似值。
根据蒙特卡罗方法的原理，圆的面积与正方形的面积的比例等于在圆内的点的数量与总生成的点数的比例。
根据圆的面积公式，我们可以得到一个近似的圆周率值。
5.重复实验：为了提高准确性，我们需要进行多次实验。
每次实验，我们都会使用不同的随机种子来生成随机点。
通过取多次实验的平均值，我们可以得到更接近真实圆周率的近似值。
实验结果与分析我们进行了10次实验，每次实验生成了1000000个随机点。
下表显示了每次实验的圆周率近似值：实验次数圆周率近似值1 3.1418742 3.1424813 3.1416224 3.1417865 3.1420406 3.1420127 3.1413368 3.1418329 3.14184410 3.141643通过计算上述结果的平均值，我们得到圆周率的近似值为3.141772。
结论本实验通过使用蒙特卡罗方法来计算圆周率的近似值，展示了高性能计算的能力。
蒙特卡罗算法实验报告
蒙特卡洛算法
开发者：
开发时间：
版本号：
蒙特卡洛算法可理解为通过大量实验，模拟实际行为，来收集统计数据。本例中，算法随机产生一系列点，模拟这些点落在如下图所示的正方形区域内的情况。其几何解释如下
图1
如图1所示，正方形边长为1，左下顶点与原点重合，两边分别与x，y轴重合。曲线为1/4圆弧，圆心位于原点，与正方形左下定点重合，半径为1。正方形面积S1=1，圆弧内面积S2= 。算法模拟大量点随机落在此正方形区域内，落在圆弧内的点的数量（n2）与点的总数（n1）的比例与面积成正比关系。即
40.696
40.706
40.695
40.694
表3
图5
如图4图5所示，对同一计算量，串行算法每次运行时间相差较小，而并行算法则相差明显。因此，通过分析源代码可得出以下结论：
程序所用的rand（）函数在同一时间只允许一个处理器调用，当两个处理器都需调用rand（）函数时，后调用的将被挂起，等待另一个处理器运行完毕。两线程在就绪和执行态之间不断变化，浪费了大量CPU时间，因此对同一运算量，并行程序运行时间反而比串行程序慢，而且线程状态转换次数范围为[0，n]，平均为 次，因此，相比于串行程序的无状态转换，并行算法的运行时间才会有如此大的波动。
示例见附件Serial.c
三、
3.1
算法步骤：
1、确定需要产生的点的个数n，参与运行的处理器数m；
2、对每一个处理器，生成两个随机数x，y，范围[0，1]；
3、判断两个随机数x，y是否满足 ；
4、若满足，则变量COUNTi++；
5、重复步骤2-4，直至每个处理器均生成n/m个随机点；
6、收集COUNTi的值，并累加至变量COUNT中，此即为随机点落在圆弧内的数量；
蒙特卡洛实验(一)报告
0 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
0 9 0 0 0
s
s
s s
2 计 算 结 果 2 . 1 3 2 0 0 . 0 实 验 误 差 1 5 8 0 . 0 0 5 0 . 1 3 5 2
2 . 1 4 4 4
2 . 1 2 9 2
0 . 0 0 2 2
0 . 0 0 1 4
请输入总投点个数: 150000
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三、实验报告编写
1、给出各题的抽样程序并解释语句的含义； 2、给出 2.1 和 2.2 抽样结果误差随抽样次数的关系图，并解释原因； 表 1 实验记录表 序 号 1 1 试 验 次 数 0
3
2 1 × 1 0
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2 2 z x y 2.2、计算 所围体积 2 2 z 1 1 x y
其中 {( x, y, z ) | 1 x 1, 1 y 1,0 z 2} 。 3、对以下已知分布进行随机抽样：
f x 2 x3
3 2 1 x , x 0,1 2
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实验八、蒙特卡洛方法应用
实验八蒙特卡罗方法应用1．实验目的（1）理解随机数的概念及其重要特性。
（2）了解蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的广泛应用。
（3）设计Raptor程序，使用蒙特卡罗方法求解问题。
2．实验准备（1）认真阅读第5.7节的内容，了解随机数和蒙特卡罗方法的基本概念。
（2）熟悉可视化计算工具Raptor的使用。
3．热身实验3.1基于蒙特卡罗方法对圆周率π的求解基于蒙特卡罗方法计算圆周率π（图8.1）。
Raptor求解程序如图8.2所示：图8.1蒙特卡罗方法计算π图8.2蒙特卡罗方法求π的程序示例问题1：Raptor程序中的随机数是如何生成的？问题2：在最后求圆周率的值的时候为什么要乘以4？根据上述的Raptor程序描述蒙特卡罗方法求圆周率的具体过程。
3.2基于蒙特卡罗方法对椭圆面积的求解已知一个椭圆的长轴长为12，短轴长为6(如图8.3)，设计Raptor程序求这个椭圆的面积。
Raptor程序如图8.4所示。
图8.3长轴长为12，短轴长为6的椭圆图8.4 蒙特卡罗方法求椭圆的面积的程序示例问题1：Raptor程序中的Random函数产生随机数的范围是多少？如何使用Random函数生成[-5,5)范围内的随机数？问题2：最后求椭圆的面积的依据是什么？对变量A ，Area ，num ，n 之间具有的关系进行解释说明。
问题3：随机点的个数是否会影响计算结果的精确性？4．进阶实验4.1基于蒙特卡罗方法对简单曲线下面积的求解计算0≤x≤π/2区间内曲线y = sinx 下的近似面积(该区间内曲线与x 轴、y 轴所围成的区域的面积)。
4.2基于蒙特卡罗方法对球体在第一卦限体积的求解计算球体x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2（图8.5）在第一卦限（x > 0,y > 0 ,z > 0）的体积。
图8.5 球体x 2 + y 2 + z 2 = 25．综合实验5.1基于蒙特卡罗方法对曲线下面积的求解 用蒙特卡罗方法求曲线()2f x x = (12)x ≤≤下的面积。
实验二-蒙特卡罗方法计算三维体积
(*1冰淇淋锥的体积*)
x=r*Sin[u]*Cos[v];
y=r*Sin[u]*Sin[v];
z=r*Cos[u]+1;
s=Integrate[r^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{u,0,Pi/4},{r,0,2Cos[u]}];
N[s]
3.14159
(*2体积*)
s1=ParametricPlot3D[{r*Sin[u],r*Cos[u],r},{u,0,2Pi},{r,0,1},DisplayFunctionIdentity];
AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
{0.864,0.824,1.072,0.96,0.992,0.896,1.12,1.048,0.928,0.904}
0.9608
(*2体积*)
s=Integrate[x^2+y^2+z^2,{y,-1,1},{x,-Sqrt[1-y^2],Sqrt[1-y^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],1}];
1、画出由锥面 上方与球面 内部区域围成的图形（简称冰淇淋锥），并计算也该冰淇淋锥的体积
2、画出积分区域并计算 ，其中积分区域是由 和 所围成。
3、画出积分区域并计算 ，其中D为y=x –2与y2=x所围，D的边界曲线交点为：(1，-1)，(4，2)。
实
验
结
果
︵
不
够
可
另
附
纸
︶
(*1冰淇淋锥的体积*)
AppendTo[p,N[192*m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
概率实验报告_蒙特卡洛积分
本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。
一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。
三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。
取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。
（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。
清华数学实验实验五蒙特卡罗方法
03 蒙特卡罗方法在清华数学 实验实验五中的应用
模拟随机过程
随机过程模拟
蒙特卡罗方法可以模拟各种随机 过程，如股票价格波动、气象变 化等，通过模拟这些过程，可以 更好地理解和预测实际现象。
概率分布模拟
蒙特卡罗方法可以生成符合特定 概率分布的随机数，用于模拟和 研究各种概率分布的性质和行为 。
求解数学问题
蒙特卡罗方法的优缺点
误差和不确定性
蒙特卡罗方法的精度取决于抽样次数，抽样次数越多，精 度越高，但计算成本也越高。同时，由于是随机模拟，结 果存在一定的不确定性。
对离散问题处理不佳
对于一些离散或非连续的问题，蒙特卡罗方法的精度可能 会受到影响。
对参数敏感
蒙特卡罗方法的参数选择对结果影响较大，需要谨慎选择。
02 清华数学实验实验五内容
实验目的
掌握蒙特卡罗方法的原理和应用。 学会使用蒙特卡罗方法解决实际问题。 培养数学建模和计算能力。
实验原理
蒙特卡罗方法是一种基于概率统 计的数值计算方法，通过随机抽
样和统计模拟来求解问题。
该方法适用于具有随机性和不确 定性的问题，通过大量模拟实验
来获得近似解。
蒙特卡罗方法的精度取决于模拟 实验的次数和随机抽样的质量。
金融工程
蒙特卡罗方法在金融工程中广泛应用于 风险评估、资产定价和衍生品定价等问
题。
工程设计
蒙特卡罗方法在工程设计中用于优化 设计参数、模拟系统性能和可靠性分
析等。
物理科学
在物理科学中，蒙特卡罗方法被用于 模拟分子运动、材料性质和量子力学 等领域。
社会科学
在社会科学中，蒙特卡罗方法被用于 模拟社会现象、预测人口变化和评估 政策效果等。
蒙特卡罗方法的优缺点
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告
本科生实验报告实验课程蒙特卡罗模拟学院名称核技术与自动化工程学院专业名称核技术及应用学生姓名王明学生学号**********指导教师邮箱****************实验成绩二〇一七年九月二〇一八年一月实验一、选择一种编程语言模拟出π的值一、实验目的1、理解并掌握蒙特卡罗模拟的基本原理；2、运用蒙特卡洛思想解决实际问题；3、分析总结蒙特卡洛解决问题的优缺点。
二、实验原理用蒙特卡洛思想计算π的值分为如下几部：第一步构建几何原理：构建单位圆外切正方形的几何图形。
单位圆的面积为S0=π，正方形的面积S1=4；第二步产生随机数进行打把：这里用MATLAB产生均匀随机数。
分别生产均匀随机数(x,y)二维坐标。
X,y的范围为-1到1.总共生成N个坐标(x,y).统计随机生成的坐标(x,y)在单位圆内的个数M。
第三步打把结构处理：根据S0/S1=M/N计算出π的值。
因此π=4*M/N。
第四步改变N的值分析π的收敛性：总数1000开始打把，依次增长10倍到1百万个计数。
三、实验内容1、用matlab编写的实验代码，总计数率为1000。
zfx_x=[1,-1,-1,1,1];zfx_y=[1,1,-1,-1,1];plot(zfx_x,zfx_y)axis([-3 3 -3 3]);hold on;r=1; theta=0:pi/100:2*pi;x=r*cos(theta); y=r*sin(theta);rho=r*sin(theta);figure(1)plot(x,y,'-')N=1000;mcnp_x=zeros(1,N);mcnp_y=zeros(1,N);M=0;for i=1:Nx=2*(rand(1,1)-0.5);y=2*(rand(1,1)-0.5);if((x^2+y^2)<1)M=M+1;mcnp_x(i)=x;mcnp_y(i)=y;endendplot(mcnp_x,mcnp_y,'.')PI1=4*M/N;2、用matlab绘制的图形四、实验结果1.当模拟总计数为1000时，某次计算结果： PI=3.128。
蒙特卡洛实验报告
其中 。
3、对以下已知分布进行随机抽样：
三、实验报告编写
1、给出各题的抽样程序并解释语句的含义；
2、给出和抽样结果误差随抽样次数的关系图，并解释原因；
表1实验记录表
序号
1
2
3
4
5
6
7
试验次数
103
1×104
5×104
×105
×105
×106
×107
试验时间
计算结果
实验误差
3、给出3题的抽样框图、试验累积频率与理论累积频率关系图，并给出抽样次数（>106）与抽样时间。
end
plot(x,'g.')
toc
clear M;
六、实验心得
通过本次实验后，让我发现这门课非常有趣，并没有想象的那么枯燥无味，是一门很有实用价值的一门学科。同时让我学习到MATLAB的基本操作和用法。
clear;
clc;
M=0;
N=5*10^4；
tic;
for i=1:N
x=2*rand()-1;
y=2*rand()-1;
z=2*rand();
t=x^2+y^2;
s=z^2;
if s>=t
if t<=-s+2*z
M=M+1;
end
end
end
toc
MIANJI=M/N*8
clear M N i x y;
蒙特卡洛实验报告
专业：核工程与核技术
实验一蒙特卡罗方法
一、实验目的
1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想；
2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法；
蒙特卡罗方法论仿真和2PSK调制(通信原理实验报告)
实验报告信息学院（院、系） 电子信息工程 专业 班 通信原理教程 课蒙特卡罗方法论仿真和2PSK 调制一、编写2PSK 调制程序，任意给定一组二进制数，计算经过这种调制方式的输出信号。
1、实验目的（1）熟悉2PSK 调制原理。
（2）学会运用Matlab 编写2PSK 调制程序。
（3）会画出原信号和调制信号的波形图。
（4）掌握数字通信的2PSK 的调制方式。
2、实验原理分析二进制相移键控，简记为2PSK 或BPSK 。
2PSK 信号码元的“0”和“1”分别用两个不同的初始相位0和π 来表示， 而其振幅和频率保持不变。
故2PSK 信号表示式可表示为：s(t)=Acos(w 0t+θ)式中，当发送“0”时，θ=0；当发送“1”时，θ=π。
或者写成：这种以载波的不同相位直接去表示相应二进制数字信号的调制方式，称为绝对相移方式。
2PSK 信号的典型波形如图1所示。
图1 2PSK信号波形图2PSK信号的的产生方法主要有两种：（1）相称法：用二进制基带不归零矩形脉冲信号与载波相乘，得到相位反相的两种码元，如图2(a)所示。
（2）选择法：用此基带信号控制一个开关电路，以选择输入信号，开关电路的输入信号是相位相差π的同频载波，如图2(b)所示。
这两种方法的复杂程度差不多，并且都可以用数字信号处理器实现。
解调部分只能用相干解调，不可以用包络检波法等非相干解调的方法，因为其频谱和抑制载波双边带的频谱一样，因此不能采用包络检波，而不可采用相干解调。
图3 2PSK解调原理图对原理图分析：从图3可以看出调制信号经过本地载波相乘得到直流分量，若发送的事“1”，则有正直流分量，若发送的事“-1”，则有负直流分量的存在，经过低通滤波器后，就只剩下这些直流分量，然后进行抽样判决即可，因为其上下直流分量的幅度一样，我们最佳的判决电平时0V是最好的，这样使得我们判决出来的信号时误码率最低的。
3、程序设计思想和流程图根据上述的2PSK信号原理，输入基带信号高低电位各表示不同的相位。
蒙特卡洛树_四子棋实验报告
四子棋详细实验报告实验算法：局部UCT算法对朴素的蒙特卡洛算法加速：更优化的算法，UCT算法。
以下是算法：给定一棵博弈树。
MCTNode nodes[MAXTREE];//蒙特卡洛树1) 从博弈树的根点开始向下搜索，执行2）。
2)遇到节点a(bestIndex)后，若a存在从未评估过的子节点，执行3），否则执行4）。
3) 通过蒙特卡洛方法imitate(int bestIndex) //模拟对局评估该子节点，得到收益值后更新该子节点至根节点路径上所有节点的平均收益值nodes[bestIndex].winRound++;//相应层的胜盘数加一nodes[bestIndex].totRound++;//总盘数加一，执行1）。
4)计算每个子节点的UCB值，将UCB值最高的子节点作为节点a，执行2）。
UCB=(double)nodes[index].winRound/((double)nodes[index].totRound +epsilon)+C*((double)log((double)nodes[fIndex].totRound+1)/((double )nodes[index].totRound+epsilon))+rand()*epsilon;5)算法可随时终止，达到给定时间后终止。
{int Best()//选择最佳落子点}根节点下平均收益值最高的子节点作为算法的输出。
（对于这个算法，有几点需要解释：1）博弈树的根节点指的是当前的局面。
2）评估过的节点及其平均收益值将在程序运行过程中保存及更新。
3）收益值设定合适的值。
做法是将其设为1（胜）或0（负）。
）详细说明蒙特卡洛算法：利用一维中的掷点法完成对围棋盘面的评估。
具体来讲,当我们给定某一个棋盘局面时,程序在当前局面的所有可下点中随机选择一个点摆上棋子,并不断重复这个随机选择可下点(掷点)的过程,直到双方都没有可下点(即对弈结束),再把这个最终状态的胜负结果反馈回去,作为评估当前局面的依据。
实验三：检测性能的蒙特卡罗仿真
实验三：检测性能的蒙特卡罗仿真背景检测性能是通信系统中非常重要的参数之一。
在通信系统中，数据传输的正确性和可靠性都需要检测性能的支持。
在实际应用过程中，我们需要对检测算法进行仿真，以了解该算法在实际场景下的性能表现。
本篇文档将介绍一种基于蒙特卡罗仿真的检测性能测试方法。
蒙特卡罗仿真蒙特卡罗仿真是一种基于统计学方法的仿真方法。
它通过一系列随机抽样得到一组样本，然后通过这组样本进行数值运算、模拟计算等操作，得出需要研究的系统的性能指标。
蒙特卡罗仿真是一种模拟实验方法，用于对复杂系统的性能进行评估。
检测性能的蒙特卡罗仿真通信系统中常见的检测算法有最大似然检测、线性解调检测、非线性检测等。
在进行检测算法性能测试时，我们需要对输入信号、噪声等参数进行随机取值，确保测试结果具有代表性。
考虑到实际数据往往很大，这样的测试不可能在实验室中进行。
因此，我们可以利用蒙特卡罗仿真来进行这样的测试。
具体来说，我们需要进行以下步骤：1.定义检测算法模型，包括输入信号、噪声、检测算法等。
2.通过蒙特卡罗方法，产生一组随机输入信号和噪声。
3.以这组输入信号和噪声为输入，进行检测算法的运算，得到输出结果。
4.对生成的输出结果进行分析和评估，得出系统的性能指标。
示例下面是一个简单的最大似然检测算法模型：import numpy as npdef maximum_likelihood_detection(signal, noise):SNR =10** (SNR_dB/10) # 把信噪比从分贝转化为线性值N = len(signal)noise_var =1/SNR # 计算噪声方差noise_sample = np.sqrt(noise_var)*np.random.randn(N) # 产生噪声样本received_signal = signal + noise_sample # 产生接收信号detection_result = np.sum(received_signal)/N # 最大似然检测结果return detection_result我们可以利用该函数进行最大似然检测算法的性能测试。
蒙特卡洛实验报告
plot(x,'g.')
toc
clear M;
六、实验心得
通过本次实验后，让我发现这门课非常有趣，并没有想象的那么枯燥无味，是一门很有实用价值的一门学科。同时让我学习到MATLAB的基本操作和用法。
计算结果：N=50000时面积为，计算时间约。
实验数据如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
试验次数
103
5×104
5×104
×105
×105
×106
×107
试验时间
计算结果
实验误差
程序代码编写如下：
clear;
clc;
M = input('输入所需产生随机变量的个数:\n');
x = zeros(M,1);
tic;
倘若待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。
程序代码编写如下：
N=10^6;%总投点个数
S=0;%记录投点在所围图形中的个数
SS=0;
for i=1:N
x=2*rand-1;%产生的随机变量x,y
y=2*rand;;%产生x和y的坐标
if((y<=2-x^2)&(y^3>=x^2))%判定是否落入所围图像中
S=S+1;%进入则加1
多核求PI实验报告
Monte Carlo方法计算Pi一、实验要求以OpenMP实现Monte Carlo计算Pi的并行程序注意：制导循环编译共享变量的处理编译运行比较修改测试点数，提高计算精度。
利用OpenMP实现积分法，比较。
二、实验原理通过蒙特卡罗算法计算圆周率的主导思想是：统计学（概率）1.一个正方形有一个内切圆，向这个正方形内随机的画点，则点落在圆内的概论为P=圆面积/正方形面积。
2. 在一个平面直角坐标系下，在点（1,1）处画一个半径为R=1的圆,以这个圆画一个外接正方形，其边长为R=1(R=1时，圆面积即Pi)。
3. 随机取一点（X，Y）使得0<=X<=2R并且0<=Y<=2R，即随机点在正方形内。
4. 判断点是否在圆内，通过公式(X-R)(X-R)+(Y-R)(Y-R)<R*R计算。
5. 设所有点的个数为N，落在圆内的点的个数为M，则P=M/N=4*R*R/Pi*R*R=4/PiPi=4*N/M▪当实验次数越多（N越大），所计算出的Pi也越准确。
▪但计算机上的随机数毕竟是伪随机数，当取值超过一定值，也会出现不随机现象，因为伪随机数是周期函数。
如果想提高精度，最好能用真正的随机数生成器(需要更深的知识)。
三、实验步骤1.利用蒙特卡洛方法实现求PI值（利用OpenMP）思路：根据所给的串行程序，只需根据OpenMp的用法将其转换。
源码：#include"stdafx.h"#include<stdio.h>#include<time.h>#include<omp.h>#include<iostream>using namespace std;int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){long max=1000000;long i,count=0;double x,y,bulk,starttime,endtime;time_t t;cout<<"请输入测试点的个数："<<endl;cin>>max;starttime=clock();// 产生以当前时间开始的随机种子srand((unsigned) time(&t));#pragma omp parallel for num_threads(8) default(shared) private(x,y) reduction(+:count)for(i=0;i<max;i++){x=rand();x=x/32767;y=rand();y=y/32767;if((x*x+y*y)<=1)count++;}bulk=4*(double(count)/max);endtime= clock();printf("所得PI的值如下：%f \n", bulk);printf("计算PI的过程共用时间: %f 秒\n",(endtime-starttime)/ CLOCKS_PER_SEC);return 0;}2.利用积分法实现求PI（利用OpenMP）思路：与上同样道理。
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告蒙特卡罗方法是一种通过随机过程来解决数学、物理和工程问题的数值方法。
在本实验中，我们将利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的的值。
以下是实验报告。
1.实验目的本实验的主要目的是利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的值，并分析蒙特卡罗方法的可靠性和准确性。
2.实验原理蒙特卡罗方法的基本原理是通过随机采样来估计未知参数的值。
对于圆周率π的计算，我们可以利用正方形和内切圆的关系来实现。
具体步骤如下：(1)在一个给定的单位正方形中，以原点为中心，半径为1的圆。
(2)在正方形中随机生成大量的点，然后计算这些点在圆内的个数。
(3)根据圆的面积与正方形的面积的关系，可以利用这个比例来估计圆周率π的值。
3.实验过程(1)创建一个给定边长的正方形，圆的半径为正方形边长的一半。
(2)随机生成大量坐标点，并计算这些点距离原点的距离。
(3)统计在圆内的点的个数。
(4)根据统计结果计算圆周率π的估计值。
4.实验结果我们进行了多次实验，每次实验生成了100万个点。
然后我们计算每次实验中在圆内的点的个数，并利用这些数据计算圆周率π的估计值。
实验结果如下：实验次数点个数估计π值通过这些实验数据，我们可以计算出平均圆周率π的估计值为3.14085.实验分析通过对多次实验数据的统计分析，我们可以看到蒙特卡罗方法在估计圆周率π的值上具有较高的准确性和可靠性。
实验结果的稳定性较好，不同实验的结果都接近真实值π，而且相对误差较小。
然而，虽然得到的结果接近真实值，但是实验结果的准确性仍然受到概率分布的随机性的限制。
如果我们增加实验次数，可以提高结果的准确性，但是计算的时间也会相应增加。
此外，在计算π的过程中，我们使用了随机生成的数据，因此需要进行大量的计算。
若在实际应用中需要计算更复杂的问题，计算资源和时间消耗将会更大。
6.实验总结本实验使用蒙特卡罗方法计算了圆周率π的估计值。
通过多次实验的数据统计和分析，我们可以得出蒙特卡罗方法在计算π值上的准确性和可靠性较高。
(实验5)标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟实验报告
陕西科技大学实验报告课 程： 数理金融 实验日期： 2015 年 6 月 11 日 班 级： 数学122交报告日期： 2015 年 6 月 12 日姓 名： 报告退发： （订正、重做） 学 号： 201212010119教 师： 刘利明实验名称：标准欧式看涨期权定价的蒙特卡洛模拟一、实验预习：1.标准欧式看涨期权的定价模型。
2.标的资产到期日价格的运动轨迹或分布.3.蒙特卡洛模拟的过程 二、实验的目的和要求：通过对标准的欧式期权进行定价模拟，掌握标的资产到期日价格的分布，会熟练运用蒙特卡洛模拟进行期权的定价模拟，并学会分析模拟次数、模拟精度之间的关系，最后和标准的欧式期权的解析解比较给出相对误差。
三、实验过程：（实验步骤、原理和实验数据记录等）参数：起初（或0时刻）S 取学号后3位除以10取整，然后加上学号最后一位（例如：201212010119，S=[119/10]+9=20）；X 取S 加3；r 取0.03；T 取0.25； σ取0.5。
(模拟100次取最后结果平均值) 注意：实验为标准的欧式看涨期权。
实验步骤、原理蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。
模型假定在期权到期的T 时刻。
标的股票价格的随机方程为： 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量YT 服从正态分布，其均值为()T u u T 25.0σ-=，方差为T T σσ=，u 为股票的收益率，σ为股票的波动率。
期权的收益依赖于ST 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率u 可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。
成绩()()T T T T u S Y S S εσ+==ex p ex p陕西科技大学理学院实验报告风险中性定价的随机方程为：()[]T T q r S S T εσσ+--=25.0ex p 其中ε服从标准正态分布。
实验数据记录 表1 期权基本信息股票现价期权执行价格无风险连续复利有效期年波动率（标准差度量）股票每年红利期权类型代码期权类型20.00 23.003.00%0.25 50.00% 3.00%1看涨期权表2 蒙特卡洛参数μτσSqrt(τ)Exp(-rT)Nsim-0.03130.25000.9925100表3 期权价格期权价格0.78表4 蒙特卡洛模拟表模拟次数均匀分布随机数标准正态随机变量值股票价格期权收益1 0.3650 -0.3451 17.7822 0.0000 2 0.4899 -0.0253 19.2623 0.0000 3 0.1557 -1.0124 15.0499 0.0000 4 0.4745 -0.0641 19.0767 0.0000 5 0.2573 -0.6518 16.4699 0.00006 0.6288 0.3285 21.0441 0.00007 0.5421 0.1057 19.9035 0.00008 0.1563 -1.0098 15.0600 0.00009 0.9385 1.5427 28.5070 5.5070 10 0.6545 0.3975 21.4100 0.0000 11 0.5061 0.0153 19.4588 0.0000 12 0.3905 -0.2781 18.0828 0.0000 13 0.1074 -1.2406 14.2155 0.0000 14 0.7840 0.7858 23.5923 0.5923 15 0.4596 -0.1013 18.8997 0.0000 16 0.75370.6861 23.01200.0120数理金融实验报告17 0.5961 0.2433 20.6001 0.000018 0.8327 0.9650 24.6736 1.673619 0.0188 -2.0801 11.5243 0.000020 0.2104 -0.8051 15.8504 0.000021 0.0740 -1.4470 13.5007 0.000022 0.1055 -1.2511 14.1783 0.000023 0.3317 -0.4352 17.3861 0.000024 0.1282 -1.1347 14.5969 0.000025 0.0002 -3.4903 8.1003 0.000026 0.5368 0.0924 19.8375 0.000027 0.6571 0.4044 21.4472 0.000028 0.5440 0.1106 19.9279 0.000029 0.8274 0.9440 24.5443 1.544330 0.0819 -1.3924 13.6860 0.000031 0.1919 -0.8708 15.5922 0.000032 0.6789 0.4647 21.7725 0.000033 0.4542 -0.1150 18.8351 0.000034 0.3570 -0.3664 17.6878 0.000035 0.1500 -1.0365 14.9596 0.000036 0.7044 0.5371 22.1703 0.000037 0.9288 1.4668 27.9715 4.971538 0.5302 0.0758 19.7555 0.000039 0.0896 -1.3430 13.8563 0.000040 0.7577 0.6990 23.0862 0.086241 0.4018 -0.2486 18.2167 0.000042 0.4619 -0.0957 18.9263 0.000043 0.4922 -0.0196 19.2897 0.000044 0.2076 -0.8147 15.8127 0.000045 0.3297 -0.4406 17.3627 0.000046 0.0954 -1.3080 13.9778 0.000047 0.5898 0.2270 20.5166 0.000048 0.1699 -0.9547 15.2689 0.000049 0.9276 1.4583 27.9118 4.9118陕西科技大学理学院实验报告50 0.0979 -1.2934 14.0289 0.000051 0.4439 -0.1412 18.7124 0.000052 0.2729 -0.6039 16.6682 0.000053 0.8725 1.1385 25.7674 2.767454 0.7507 0.6767 22.9575 0.000055 0.2729 -0.6039 16.6681 0.000056 0.6736 0.4500 21.6929 0.000057 0.2566 -0.6538 16.4617 0.000058 0.0899 -1.3414 13.8618 0.000059 0.0310 -1.8670 12.1549 0.000060 0.3227 -0.4601 17.2783 0.000061 0.7901 0.8069 23.7172 0.717262 0.2973 -0.5323 16.9693 0.000063 0.2353 -0.7216 16.1851 0.000064 0.4805 -0.0490 19.1488 0.000065 0.2546 -0.6601 16.4358 0.000066 0.3406 -0.4108 17.4926 0.000067 0.0449 -1.6961 12.6855 0.000068 0.4824 -0.0441 19.1723 0.000069 0.2060 -0.8203 15.7904 0.000070 0.8645 1.1009 25.5264 2.526471 0.5886 0.2240 20.5013 0.000072 0.7549 0.6900 23.0344 0.034473 0.9279 1.4602 27.9253 4.925374 0.3310 -0.4371 17.3780 0.000075 0.5429 0.1078 19.9144 0.000076 0.0807 -1.4004 13.6587 0.000077 0.6344 0.3435 21.1227 0.000078 0.4100 -0.2275 18.3132 0.000079 0.9604 1.7556 30.0657 7.065780 0.1146 -1.2023 14.3523 0.000081 0.9234 1.4286 27.7058 4.705882 0.6202 0.3060 20.9260 0.0000数理金融实验报告83 0.3477 -0.3915 17.5774 0.000084 0.1492 -1.0397 14.9478 0.000085 0.4800 -0.0502 19.1429 0.000086 0.2194 -0.7742 15.9736 0.000087 0.9937 2.4966 36.1850 13.185088 0.1304 -1.1244 14.6345 0.000089 0.0289 -1.8974 12.0628 0.000090 0.3454 -0.3978 17.5497 0.000091 0.5477 0.1198 19.9739 0.000092 0.9230 1.4252 27.6822 4.682293 0.5382 0.0960 19.8556 0.000094 0.4064 -0.2368 18.2706 0.000095 0.8472 1.0247 25.0445 2.044596 0.8262 0.9394 24.5159 1.515997 0.6724 0.4466 21.6746 0.000098 0.7219 0.5885 22.4570 0.000099 0.9968 2.7236 38.2975 15.2975100 0.3398 -0.4130 17.4831 0.0000由上表格可以求得模拟100次取最后结果平均值为19.312534，期权收益为0四、实验总结：（实验数据处理和实验结果讨论等）此次试验是通过对标准的欧式期权进行定价模拟，采用蒙特卡洛模拟标的资产到期日价格的分布，对期权的定价进行模拟，此次共模拟了100数、期权收益为0。
蒙特卡洛数值积分实验报告
蒙特卡洛数值积分实验报告杨韧121180143问题概述：概率论中，一切关于大量随机现象之平均结果的稳定性的定理，通称为“大数定理”。
大数定理可以用于定积分的近似求解。
考察下面的定积分：其中g(x)为连续函数。
为求解这个定积分，向区间[a,b]上均匀接连投n个随机点，它的坐标为n个独立均匀分布的随机变量，显然由大数定理当n很大时用计算机可模拟蒙特卡洛实验，进行积分的近似计算。
本实验程序采用C语言编写，实验代码如下：#include "stdafx.h"#include <stdlib.h>#include <stdio.h>#include <complex>#include <math.h>#include <time.h>int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){double a,b,result,x;unsigned int n,count;short int contrl = 'Y'; //进行流程控制的变量double g(double x); //声明被积函数g(x)srand( (unsigned)time( NULL ) );while(contrl == 'Y'){result = 0;contrl = 0;printf_s("请输入实验次数\n");scanf_s("%u",&n);printf_s("请输入积分范围(a,b)：a=?,b=?\n");scanf_s("%lf %lf",&a,&b);count = n;while(count){x = a + (b-a)*(double)rand() /(double)(RAND_MAX+1); //将unsigned int随机数转换成符合要求的xresult += g(x); //累加结果--count; //控制循环次数}result *= (b-a)/n; //乘上系数printf_s("积分结果为：%lf\n重新实验？Y/N\n",result);getchar(); //吸收多余的回车contrl = getchar();}return 0;}double g(double x){return (x*exp(x));}实验程序中将g(x)独立成为一个被调用子函数，便于根据各种需要将其修改为各种不同的其他函数，可以对任何复杂的定积分进行近似的数值求解。
概率论实验报告蒙特卡洛方法估计积分值参考模板
概率论实验报告——蒙特卡洛方法估计积分值姓名：学号：班级：实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值1用蒙特卡洛方法估计积分估计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分行估计。
要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；（2）熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；（3）能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
MATLAB代码：s=0;m=0;f=0;r=0;n=50;h(1:10)=0;for j=1:10for i=1:na=unifrnd(0,pi/2,n,1);x=sort(a); y=pi/2*mean(x.*sin(x)); s=s+y;endb=s./n;fprintf('b=%.4f\n',b);h(j)=b;s=0;m=m+b;endp=m./10z=1for j=1:10r=(h(j)-z).^2; f=f+r;endf=f./10;fprintf('f=%.6f\n',f)运行结果：b=1.0026b=1.0061b=1.0037b=1.0135b=0.9932b=0.9988b=1.0213b=1.0310b=0.9813b=1.0041p =1.0056z =1f=0.000207>> （运行截图）结果显示f=0.000207，表明估计结果与理论值非常接近。
实验二、估计2-0x e dx +∞⎰的值，并将估计值与真值进行比较。
I=dx e x ⎰+∞-02=1/2*pi dx epi e x x *2***2/1*2/2/22-+∞∞--⎰ =)(x f x 2/2**2/1x e pi - g(x)=e pi x *2*2/2-)(x f x 为标准正态分布的概率密度.分别取10个估计值h(j)，求得估计值的均值p，对照积分的真实值求得估计均方误差f。
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为了改进并行算法，得到更高的加速比，有两种途径可以尝试：减少线程状态转化次数和使用可并行的随机数产生算法。简介如下：
6.1
此方法具体为：在并行程序中使用互斥锁，当某一线程进入临界区后，一次性产生m个随机点，然后再退出临界区，开始对m个点进行计算；与此同时，若另一线程也要进入临界区，则被挂起，等待该线程退出。如此循环，直至两个线程均计算完所要求的点的个数，则计算输出 值，程序结束。
return (double)Y/(double)(d-1);
}
通过改变种子的值，算法可生成不同的伪随机数列并且可以满足多个处理器同时调用。但调用所需时间略大于调用系统库函数rand（）。(调用myrand()函数的串行算法，见附件Smyrand.c)
示例程序见附件Pmyrand.c
示例程序参见附件Pmutex.c。
6.2
生成随机数最常用的方法为线性同余法，其C语言源代码如下：
//myrand()用的种子
unsigned static Y =568731;
unsigned d=1<<31;
//生成伪随机数算法
double inline myrand()
{
Y=(15625*Y+22221)%d;
算法：
1、确定产生点n的个数和缓冲区m（m<=n）的值，声明互斥锁
2、某一线程进入临界区，上锁
3、该线程一次性生成m个数，其他线程若想进入则挂起等待
4、该线程退出临界区，解锁，开始对刚才生成的随机点进行计算
5、重复2-4步，直至每个线程均完成对所要求点的操作
6、统计COUNTi的值
7、计算 的值
在此算法中，每一线程因为争用rand（）函数而产生的状态转化次数范围为[0， ]，平均次数为 ，调整m的值，使生成m个随机点的时间与对m个随机点进行计算的时间相等时，则算法执行速度可达到最大值，即加速比最大。
多核软件设计——实验指导
蒙特卡洛算法
开发者：
开发时间：
版本号：
蒙特卡洛算法可理解为通过大量实验，模拟实际行为，来收集统计数据。本例中，算法随机产生一系列点，模拟这些点落在如下图所示的正方形区域内的情况。其几何解释如下
图1
如图1所示，正方形边长为1，左下顶点与原点重合，两边分别与x，y轴重合。曲线为1/4圆弧，圆心位于原点，与正方形左下定点重合，半径为1。正方形面积S1=1，圆弧内面积S2= 。算法模拟大量点随机落在此正方形区域内，落在圆弧内的点的数量（n2）与点的总数（n1）的比例与面积成正比关系。即
intrand(void);
此函数产生随机数列，每次调用时均返回0到RAND_MAX之间的一个整数。
voidsrand(unsignedintseed);
此函数为rand（）函数所生成的伪随机数序列设置起始点，使之产生不同的伪随机数。
算法：
产生2n个随机数据，范围[0，1]，对每个数据点计算其坐标是否满足 ，统计满足此关系的点的数量count，则
20
22.033
20.757
20.120
20.647
19.918
20.798
20.160
50
49.725
49.785
51.535
49.420
50.992
52.379
47.015
表2
图4
而对同样的运算量多次运行串行算法得到如下表3所示结果。（图5）
规模
1
2
3
4
5
6
7
1
0.814
0.814
0.814
0.813
0.8488
2.5
1.618
2.673
0.6053
5
4.024
5.716
0.7039
7.5
6.069
7.376
0.8228
10
8.089
10.001
0.8088
12.5
10.105
12.227
0.8264
15
12.115
14.842
0.8162
17.5
14.119
19.522
0.7232
20
16.121
对同一运算量多次运行并行算法得到如下表2所示结果。（图4）
规模
1
2
3
4
5
6
7
1
0.959
1.205
0.963
1.043
1.002
1.053
1.011
5
5.716
4.877
5.094
4.761
5.212
4.875
5.296
10
10.001
9.892
9.990
10.151
9.941
10.168
10.169
22.033
0.7316
30
24.183
32.592
0.7419
40
32.259
41.542
0.7765
50
40.726
49.725
0.8109
表1
[注]：N：算法生成随机点的个数
算法运行时间为某一次运行时间，非多次运行之平均时间
4.2并行、串行算法Fra bibliotek算量时间比、加速比如下图所示
图2
图3
五、
如表1、图3所示，加速比在（0.6,0.9）区间，与理论上的值2相去甚远。
7、通过（2）式计算 的值。
3.2
在这个实验中，采用Linux操作系统pthread接口来实现程序的并行化。这些接口函数和数据类型都在头文件<pthread.h>中声明。因为pthread并没有包含在C的标准库中，编译的时候需要加上-lpthread选项，使程序链接到libpthread，才能编译成功。
40.696
40.706
40.695
40.694
表3
图5
如图4图5所示，对同一计算量，串行算法每次运行时间相差较小，而并行算法则相差明显。因此，通过分析源代码可得出以下结论：
程序所用的rand（）函数在同一时间只允许一个处理器调用，当两个处理器都需调用rand（）函数时，后调用的将被挂起，等待另一个处理器运行完毕。两线程在就绪和执行态之间不断变化，浪费了大量CPU时间，因此对同一运算量，并行程序运行时间反而比串行程序慢，而且线程状态转换次数范围为[0，n]，平均为 次，因此，相比于串行程序的无状态转换，并行算法的运行时间才会有如此大的波动。
示例见附件Serial.c
三、
3.1
算法步骤：
1、确定需要产生的点的个数n，参与运行的处理器数m；
2、对每一个处理器，生成两个随机数x，y，范围[0，1]；
3、判断两个随机数x，y是否满足 ；
4、若满足，则变量COUNTi++；
5、重复步骤2-4，直至每个处理器均生成n/m个随机点；
6、收集COUNTi的值，并累加至变量COUNT中，此即为随机点落在圆弧内的数量；
例子程序参见附件Parallel.c。
3.3
本并行算法只是简单的把独立的任务进行分派，经多次试验测试，结果正确。
四、
硬件平台：惠普刀片集群
编译器：gcc&g++
操作系统：Linux
测试数据集合：由随机数函数产生的数据集合
4.1
N（千万）
串行算法运行时间（秒）
并行算法运行时间（秒）
加速比
1
0.814
0.959
0.810
0.815
0.813
5
4.024
4.053
4.062
4.057
4.044
4.090
4.053
10
8.089
8.152
8.153
8.134
8.160
8.095
8.108
20
16.121
16.289
16.290
16.318
16.288
16.245
16.292
50
40.726
40.721
40.701
（1）
由此可得
（2）
因此，只要计算出落在圆弧内的点的数量在点总数中所占的比例，就能求出 的值。
由图1可知，所有点均落在正方形范围内，因此点的x坐标满足 。又，当点落在圆弧范围内，则点的二维坐标关系满足 。检验每一个点是否满足此关系即可判定改点是否落在圆弧内。
二、
本项目中使用了标准C语言库中的产生随机数函数。该函数原型为：