波动方程

1

(t

x1 ) u


2π
(t T

x1 )


波程差
2

(t

x2 u
)


2π
(t T

x2

)

x21 x2 x1
12
1
2

2π
x2

x1

2π
x21

2π x
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
3 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
第十七章 机械波
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2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
B
A
2π
xB
xA

2π 5 10
π
B π yB (3102 m) cos[(4π s1)t π ]
y (3102 m) cos[2π ( t x ) π ] 0.5s 10m
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
点
C
的相位比点 A 超前
yC (3102 m) cos[(4 π s1)t
(3102 m) cos[(4 π s1)t
第十七章 机械波
1. 根据给定条件，写出某个已知点的振动方程；
2. 建立坐标，选定坐标原点。在坐标轴上任取一点， 求出该点相对于已知点的振动落后或超前的时间∆t。
3. 根据波的传播方向，从已知点的振动方程中 t 减去或加上∆t，即可得到波动方程。
关于波动方程的题型主要有两种： （1）已知波函数求各物理量； （2）已知各物理量求波函数。
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
如果波源是简谐振动，那么介质中各个质点也作
简谐振动，其频率和波源相同，振幅也和波源有关。 这种波称为简谐波。
简谐波是最简单、最基本的波。各种复杂的波都 可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。
平面简谐波：波面为平面的简谐波。
波动现象是介质中各质点运动状态的集体表现， 各质点在同一时刻的振动位移是不同的，
2 π AC

13

π]
]
点
D
的相位落后于点 A
5
yD (3102 m) cos[(4 π s1)t 2 π
(3102 m) cos[(4 π s1)t 9 π]
AD]

5
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
Tλ
y(x,t) Acos(t kx )
➢ 质点的振动速度，加速度
角波数 k 2π

v y Asin[(t x) ]
t
u
a

2 y t 2


2
A cos[ (t

x) u
]
17.2 平面简谐波的波函数 二 波函数的物理意义
第十七章 机械波
u
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
B
C
2π
xB
xC


2π
8 10

1.6π
C
D
2π
xC
xD

2π
22 10
4.4π
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y Acos2π ( t x )
A y u
t x P
O ux *
A

x
P处质点在 t 时刻 的位移应等
于
O处质点在 (t x )时刻的位移
yp ( x, t )

u
A cos[ ( t

x )] u
这就是沿 X 轴负向传播的平面简谐波动方程。
17.2 平面简谐波的波函数
y 如果原点的 A
u
初相位不为零
x 0, 0
第十七章 机械波
波线上各点的简谐运动图
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x].
解：方法一（比较系数法）.
y Acos2π ( t x )
T
把题中波动方程改写成
y (5cm) cos2π [(2.50s-1)t (0.01cm-1)x]
π [(2.50s -1)t1 (0.01cm-1)x1] π [(2.50s -1)t2 (0.01cm-1)x2 ]
x2 x1 200 cm u x2 x1 250 cm s1
T t2 t1 0.8 s
t2 t1
17.2 平面简谐波的波函数
O
y

A
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m)cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
2）求t 1.0s 波形图.
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
O
A
第十七章 机械波
x

点 O 振动方程 yO Acos(t )
波 y Acos[(t x) ] u 沿x 轴正向
函 数
u
y Acos[(t x) ] u 沿x 轴负向
u
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
➢ 波动方程的其它形式
y(x,t) Acos[2 π( t x) ]
解：方法二（由各物理量的定义解之）.
波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两
点间的距离.
π [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x1] π [(2.50s -1)t
(0.01cm-1)x2 ] 2π
x2 x1 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
如果能知道任一时刻，波线上任一质点的振动 方程，就掌握了所有质点的振动情况，也就达到了 描述波动的目的。
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
一 平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
为波函数.
y y(x,t)
向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
y Acos2π ( t x ) (t, x) (t t, x x)
T
2π ( t x) 2π (t t x x) t x x ut
T
T T
17.2 平面简谐波的波函数 波动方程的求解步骤
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3102 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[2π ( t x ) ] T
y (3102 m) cos2π ( t x ) 0.5s 10m
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
y Acos[2π ( t x ) ] T
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方
程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x 2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T )（波具有时间的周期性）
17.2 平面简谐波的波函数
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令
原点O 的初相为
零，其振动方程
yO Acost
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO Acost t-x/u时刻点O 的运动
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动
π
(
t

x)
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0 A y
u
t=T/4
求 O、a、b、c 各
点振动初相位.
b
Oa
c
x
(π ~ π )
A
A
O
y o π
点P 振动方程
yP

A c os (t

x) u
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
➢ 波函数
y Acos(t x)
u
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
讨论：1）若波沿 X 轴负向传播，
已知O点振动表达式，
yo Acos t
p点运动传到
O 点需用时间：
t

x u
A
O
y
a

π 2


O
A y
b 0
O A
y

c

π 2
T
(向x 轴正向传播,
y Acos (t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m) cos[(πs1)t π]
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
例3 一平面简谐波以速度u 20m / s 沿直线传播,波 线上点 A 的简谐运动方程 yA (3102 m) cos(4 π s1)t .
2
2
比较得
T 2 s 0.8 s 2cm 200 cm u 250 cms1
2.5
0.01
T
17.2 平面简谐波的波函数
第十七章 机械波
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x].