惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

截面图形的几何性质

一.重点及难点：

(一).截面静矩和形心

1.静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即

ydA

dSx xdA

dS

y

== 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为

⎰

⎰=

=A

A

y ydA

Sx xdA

S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1

设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0

A

S y x =

， A

S x y =

（I-2）

推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为

∑∑

∑∑=====

=

==n

i n

i i

i xi

x n

i i

i n i yi

y y A S

S x A S

1

1

11S （I-3）

截面图形的形心坐标为

∑

∑

===

n

i i

n

i i

i A x A x 1

1 ， ∑∑===

n i i

n

i i

i

A

y A

y 1

1 （I-4）

4.静矩的特征

(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径

1. 惯性矩

定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为

⎰

=

A

p dA I 2

ρ （I-5）

图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为

⎰

=

A

y dA x I 2

， dA y I A

x ⎰

=

2

（I-6）

惯性矩的特征

（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐

标轴定义的。

（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。

（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原

点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

⎰

⎰

+=+=

=

A

x y A

p I I dA y x dA I )(2

22

ρ （I-7）

（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，

分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即

∑==

n

i i

I I 1

ρρ ，∑==

n

i yi

y

I

I

1

， ∑==

n

i xi

I

Ix 1

（I-8）

图I-2 图I-3

2. 惯性积

定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对y 轴和x 轴的惯性积定义为

⎰

=

A

xy xydA I （I-9）

惯性积的特征

（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。 （2） 惯性积的单位为4m 。

（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有

一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一

坐标轴的惯性积之和，即

∑==n

i xyi

xy I I 1

（I-10）

3. 惯性半径

定义： 任意形状的截面图形的面积为A （图I-3）,则图形对y 轴和x 轴的惯性半径分别定义为

A

I i y y =

， A

I i x x =

（I-11）

惯性半径的特征

（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。 （2） 惯性半径的单位为m 。 （3） 惯性半径的数值恒取证之。

（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

A

b I I A a I I yC y xC x 22

+=+= （I-12）

a b A I I x C y C xy += （I-13）

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为A （图（I-4）；C C y x ， 轴为图形的形心轴；x ，y 轴为分别与C C y x ，形心轴相距为a 和b 的平行轴。 （2）两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或形心C C y x ，为参考轴加以确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。