(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交

AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP

=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点

N 是△P ′PC 的外心.有

∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2

1

∠BAC .

∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .

从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .

例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，

△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，

△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外

心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .

∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+

∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°

将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可

得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.

∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2

1

∠O 2O 1K

=21

(∠O 2O 1S +∠SO 1K )

=21

(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)

=2

1

∠PO 1S =∠A ；

同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .

A B C P P M

N 'A B C K P O O O ....S 123

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△

PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)

分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB

，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .

两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成

的新三角形相似.其逆亦真.

分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G

为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有

CF =2222221

c b a -+，

BE =2222221

b a

c -+，

AD =222222

1

a c

b -+.

将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =

a 23，BE =

b 23，AD =

c 2

3. ∴CF :BE :AD =

a 23:

b 23:

c 2

3

=a :b :c .

故有△∽△′.

(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴

∆∆S S '＝(a

CF )2

. A

A 'F F 'G

E E '

D 'C 'P C B D

据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

4

3

”，有∆∆S S '=4

3. ∴22a

CF =43

⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2

⇒a 2+c 2=2b 2.

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.

例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为

△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径

为R .由△A 2A 3A 4知

1

321

2sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得

A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.

但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.

易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2

， 故得H 1H 2 A 2A 1

.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点

成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.

故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.

例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆

心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外

接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2

=r 2+(AM 2-MH 2)， ①

又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -2

1

AH 1)2

∥=∥=.

O

A A A A 1

2

34

H H

1

2

H H H

M A B B

A A

B

C C

C F

1

2111

222

D E