Brouwer不动点定理的几种证明

Brouwer不动点定理的几种证明

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二○一一年五月

摘要

Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.

关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.

关键词：Brouwer；不动点.

ABSTRACT

Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.

About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.

Keywords: Brouwer; Fixed point.

目录

第一章引言 (1)

1.1 研究背景 (1)

1.2 本课题的研究内容 (1)

第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)

2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)

引理2.1.1（sperner，1982） (3)

定理2.1.2 (Brouwer) (3)

2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)

2.2.1 基本概念与引理 (5)

定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)

定理2.2.2.2(KKM定理) (5)

2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)

定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)

定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)

2.3 Brouwer不动点定理的nor分析证明 (9)

2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)

参考文献 (19)

致谢 (20)

第一章引言

1.1 研究背景

Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家nor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.

本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.

1.2 本课题的研究内容

整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.

详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.

1

2

第二章 Brouwer 不动点定理的证明

2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明

Brouwer 不动点定理：若2

∆表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f 是2

∆到自身的连续映射，则f 至少有一个不动点，即存在一点20p ∈∆，使得00()f p p =.

首先把2∆剖分成若干小三角形区域，即2

2

1

m i i δ=∆=

，2

21,n i

j i j

i j m

δ

δ≠≤≤的面积为零.

把2

∆的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2

i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2∆上的边上，且2∆的这条边端点之标号为k 与m ，2i δ的顶也标成k 与m ，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时，称2i δ为正常三角形，见图a.2∆的这种标志的剖分称为三角剖分.

1

图 2.1

v v 1v 5

9

v 10

v 11

图 2.2

3

引理2.1.1（sperner ，1982）

在2

∆的三角剖分中，正常三角形为奇数个.

证：记20δ为2∆的外部区域，22212,,...,m δδδ是2∆进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ，对于i 与j 接非零的情形，仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对20δ与2(0)i i δ≠的情形，仅当2i δ的0-1标志的边落在2∆的0-1标志的边上时，在顶20δ与2i δ间连一边，见图b.

由于上述图G 中奇次项的个数是偶数，如果20()d δ是奇数，则

22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项，又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中

的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时，2()1i d δ=，所以正常三角形有奇数个.

下证20()d δ是奇数.事实上，20()d δ是2∆上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i ）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1，则，（ii ）在2∆这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01，这里出现奇数个以0，1为端点的小区间，故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)

f 是2∆到自己的连续映射，则存在'20

p ∈∆，使''

00()f p p =. 证：012,,p p p 是2∆的三个顶点，则对任意2p ∈∆，可以写成

001122p a p a p a p =++，则0i a ≥，20

1i i a ==∑，其中的012,,,p p p p 是二维向量，且

012(,,)p a a a =，'

''012

()(,,)f p a a a =.令{}

2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈∆≥=. 如果能证出 0

1

2S S S φ≠，则存在0120

12(,,)a a a S S S ∈，且

',0,1,2i

i a a i ≤=；又2

2'0

1i i i i a a ====∑∑，故必有'''0

01122,,a a a a a a ===，即f 有不动点. 下证

2

i i S φ=≠.事实上，考虑2∆的正常标志的三角形剖分，使得标志i 的每个顶点属

于,0,1,2i S i =.2∆上任意一点'''

0120

12(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时，存在一个i S ，使i p S ∈，且0i a >；否则当每个0i a >时，'

i

i a a >.于是2

2

'00

i

i i i a a ==>∑∑，矛盾.若一个三