解三角形复习超好

合集下载

高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

高考数学（理）总复习：解三角形题型一利用正、余弦定理解三角形【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ，又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二正、余弦定理的实际应用【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)．故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．题型三三角函数与解三角形问题【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12，又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四转化与化归思想在解三角形中的应用【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四转化与化归思想在解三角形中的应用如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π，化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值．【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1；（3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC BDsin A sin c A ，cos b c A 12S ab =）结论：直角三角形斜边上的高）测底部不可到达物体的高度BP=xcot α 东西 2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题辅助线构造抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（）A.47B.12C ．13D ．09、若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。

(完整版)高三复习：解三角形-知识点、题型方法归纳,推荐文档

333绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习③ tan (A + B )= - tan C ；④sinA + BC = cos , ⑤cosA +B = sinC 《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角2 22 2 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1. 正弦定理及其变形在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）asin A = b sin B = c sin C= 2R (R 为三角形外接圆半径）变式：（1） a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A = a ,sin B =2Rb , sin C =c 2R 2R (角化边公式）（2）方位角（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C(4) a = sin A , a = sin A , b =sin B b sin B c sin C c sin C2. 正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3. 余弦定理及其推论从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Acos A =b 2 +c 2 - a 22bc②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45︒ .（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Ccos B =a 2 + c 2 -b 22ac a 2 + b 2 - c 2二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）4. 余弦定理适用情况：cos C =2ab1．在V ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝ ()（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5. 常用的三角形面积公式A.4B ．2C ．D ． 2 2．在V ABC 中， a 2 = b 2 + c 2 + 3bc ，则∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 底⨯高；2 （2） 1 1 1 abcS = ab sin C = ac sin B = bc sin A = (R 为∆A 接BC 圆半径 )（两边夹一角）；2 2 2 4R6. 三角形中常用结论（1） a + b > c , b + c > a , a + c > b (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）在∆A ，BC 即大边A 对> 大B ⇔角，a >大b 角⇔对s 大in 边A >）sin B ( （3）在∆ABC 中， A + B + C = ，所以①sin (A + B )= sin C ；② cos (A + B )= -cos C ；3. 设V ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C + c cos B = a sin A , 则V ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则△ABC ()3考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3 3 33 3 14 15 3 14 15考点四：利用正余弦定理求角2 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积A. 一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB 中，由正弦定理，得sin ∠DAB ＝sin ∠ADB ，cos A bAB ·sin ∠DAB 5(3＋\r(3))·sin 45°5. 在∆ABC 中，若cos B ＝a ，则△ABC 是()A. 等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. 在∆ABC 中， AB =, AC = 1 , ∠A = 30︒ ，则∆ABC 面积为() ∴DB ＝sin ∠ADB ＝ sin 105°5(3＋\r(3))·sin 45°＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝2＝10 3(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝20 3(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBCA.B.C.或 D ．或 12424 2＝300＋1 200－2×10 3×20 3×2＝900， 7. 已知∆ABC 的三边长a = 3, b = 5, c = 6 ，则∆ABC 的面积为() ∴CD ＝30(海里)，A ．B ． 2C ．D ． 2 30∴需要的时间 t ＝30＝1(小时)．故救援船到达 D 点需要 1 小时．8. 在锐角中∆ABC ,角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角等于 ()三、高考真题赏析A.B.C.D.1．（2016 年ft 东）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知tan A tan B126 4 3 2(tan A + tan B ) = + cos B .cos A9．在△ABC 中，若 a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求 cos C 的最小值.A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1【解析】(Ⅰ)由2(tanA + tanB) = tanA tanB+ 得10. 在∆ABC ,内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C + c sin B cos A = ∠B = ()b , 且a > b ,则2 2 ⨯ sinC =sinA cosB+ sinB cosA， A.B.C. 2D. 5cosAcosB cosAcosB cosAcosB 2sin C = sin B + sin C a + b = 2c633 6所以，由正弦定理，得．a 2 +b 2 -c 2 (a + b )2 - 2ab - c32c 3c 23 1（Ⅱ）由cos C == = - 1 ≥ - 1 = - 1 = ．11. 如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3 + 3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45︒ ，B 点2ab2ab2ab 2( a + b )2 2 2 2北偏西60︒ 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60︒ 且与 B 点相距20 船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解由题意知 AB ＝5(3＋ 3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，1海里的 C 点的救援所以cos C 的最小值为．22．（2016 年四川）在△ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,且cos A + cos B = sin C. a b c3 3 5 3(\r(3)＋1)3＋1 考点五：正余弦定理实际应用问题（I）证明：sin A sin B sin C ；3 3 Ctan tan tan 5（II ）若b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求tan B .5∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．a =b =c (Ⅰ) 求sin ∠B ；(Ⅱ)若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．【解析】（I ）证明：由正弦定理 sin A sin Bsin C 可知sin ∠C2cos A + cos B = sin C = 1原式可以化解为 sin A sin B sin C∵ A 和 B 为三角形s i 内n A 角sin , B ∴sin A sin B ≠ 0 则，两边同时乘以，可得sin B cos A + sin A cos B = sin A sin B 由和角公式可知， sin B cos A + sin A cos B = sin (A + B )= sin (- C )= sin C原式得证。

复习解三角形及其应用(学优)

解三角形及其应用1.正弦定理、余弦定理在△ABC2.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高).(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).3.图形表示例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：概念方法微思考1.若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?提示第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B.2.在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.提示a<b sin A b sin A<a<b a＝b sin A或a≥b利用正弦、余弦定理解三角形例1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为.跟踪训练1 (1)(全国Ⅱ)在△ABC中，cos C2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A.4 2B.30C.29D.25(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝.正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例2 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2b cos C，则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定本例(1)中，若将条件变为a＝b cos C，判断△ABC的形状.本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状.命题点2三角形面积的计算例3 (淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝a cos C.(1)求角A；(2)若a＝13，△ABC的面积为33，求△ABC的周长.命题点3求解平面图形问题例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝π3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长.跟踪训练2 (1)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形(2)(全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为.(3)(山东平度一中质检)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD ＝2，则cos A＝.一、测量距离问题例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠P AB＝90°，∠P AQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.二、测量高度问题例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为m.(2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314三角形中的建模问题典例如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB ＝5 千米，AC ＝3千米，BC ＝4 千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t )(单位：千米)．甲的路线是AB ，速度为5千米/时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/时．乙到达B 地后原地等待．设t ＝t 1时乙到达C 地．(1)求t 1与f (t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在[t 1,1]上的最大值是否超过3.说明理由．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( ) A.1 B.2 C.4 D.62.(沧州七校联考)已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A.2 5 B.5 C.25或 5 D.均不正确3.(合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B.3C.2 3D.24.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π65.(江西七校联考)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.不含60°角的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形6.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A.27B.4C.2 3D.337.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝ .8.(全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为 .9.如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.10.(·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝；ca的取值范围是 .11.(·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .12.(北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求角A ；(2)求AC 边上的高.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形14.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为 .15.在△ABC 中，C ＝60°，且asin A＝2，则△ABC 面积S 的最大值为 .16.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后，A ，C 同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度为1.5千米/秒.(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离.。

辅导解直角三角形概念及复习教案及习题附答案

解直角三角形一、知识点讲解：1．解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系为2．其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高）3．解直角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4．解直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5．解直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8例2、在△ABC中，求：a、b、c的值及∠A。

解：，由直角三角形的边角关系，得，即又∵a+b=3+例3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。

解三角形一轮复习

解三角形一、基本知识点1内角和定理：在错误！不能通过编辑域代码创建对象。

中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

面积公式:错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

=错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(解三角形的重要工具)形式二：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(边角转化的重要工具)3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(解三角形的重要工具)错误！不能通过编辑域代码创建对象。

形式二：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；错误！不能通过编辑域代码创建对象。

错误！不能通过编辑域代码创建对象。

；cosC=错误！不能通过编辑域代码创建对象。

二、基本考点及应用（一）：利用正弦余弦定理求未知量1在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.2在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于3在错误！不能通过编辑域代码创建对象。

中，A、B的对边分别是错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，且错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，求B4若错误！不能通过编辑域代码创建对象。

中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，求角C5在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cos A=a cos C，求cos A6在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CB sin sin 的值7在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积8在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

解三角形知识点总结

解三角形知识点总结一、正弦定理正弦定理是指在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。

正弦定理的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$c$，则可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理求出其他两边$a$和$b$。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

此时需要注意可能会出现一解、两解或无解的情况。

二、余弦定理余弦定理是对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

对于边$a$，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$；对于边$b$，有$b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$；对于边$c$，有$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。

余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。

可以直接代入余弦定理的公式求出角的余弦值，进而得到角的大小。

2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

三、面积公式三角形的面积公式有多种形式，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$2、＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A$3、＄S ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些公式可以根据已知条件的不同灵活选择使用。

四、三角形中的常见结论1、大边对大角，大角对大边。

即三角形中，较长的边所对的角较大，较大的角所对的边较长。

2、三角形内角和为$180^｛＼circ}＄。

3、在锐角三角形中，＄＼sin A ＞＼cos B$；在钝角三角形中，若$A$为钝角，＄B$为锐角，则$＼sin A ＜＼cos B$。

学生解三角形方法总结

学生解三角形方法总结学生解三角形方法总结解三角形的题目与三角函数一起，每年高考中大约会考23分左右，基本上答题会从中选择一个考场，作为第一道答题，题目简单，但是想拿满分也不是那么容易，下面就是小编为您收集整理的学生解三角形方法总结的相关文章，希望可以帮到您，如果你觉得不错的话可以分享给更多小伙伴哦！学生解三角形方法总结对于解三角形问题，一般如果题目里面的关键词中有边角之间的关系，那么一定要画图形，这样才能根据图形与题目条件，找到突破口。

重要的事说三遍：画图！画图！画图！接下来，寻找题目中的关键词：平分，2倍，以及所求中的，角的正弦比，我们可以回想，此题可能会用到正弦定理以及三角形的.面积公式，至于余弦定理是否能用到，目前还不好说！不过，下面跟小数老师一起回顾一下这3个定理吧！1、正弦定理对于这个公式，我相信绝大多数同学都会，关键是正弦定理的灵活运用（1）最常考察的就是，边角互化，即：若一个等式或者分式中是关于边的齐次式，或者是角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行转化；（2）已知两边一对角时，求解其他的边与角，一般用正弦定理；（3）已知两角和任一边，求解其他的边与角，一般用正弦定理2、余弦定理（其他的角可以采用轮换制）变形：应用：（1）已知三边，求解其他角；（2）已知两边与一夹角，求解其他的边与角；（3）边角互化，此种应用较少，因为计算量比较大，如果计算能力强，也可以使用。

3、三角形面积公式注意：在高中阶段的解三角形（斜三角形）运算中，用到面积的，基本都采用此公式。

4、其他关系（1）边的关系（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系总结解三角形的题目比较简单，同学们多注意细节就好，但是一定要注意速度！这道题最多用10分钟时间，如果你能6分钟做出来，那是最好的！加油吧！解三角形练习题一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，tanA=tanB=tanC，A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()A.152，+B.(10，+)C.(0,10)D.0，403答案 D解析∵csinC=asinA=403，c=403sinC.4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案 A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，sin(B+C)=2sin Bcos C，sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，sin(B-C)=0，B=C.5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于()A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案 B解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k (k0)，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A.1B.2C.12D.4答案 A解析设三角形外接圆半径为R，则由，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案 23解析∵cosC=13，sinC=223，12absinC=43，b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60，a=3，b=1，则c=________.答案 2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60=1sinB，sinB=12，故B=30或150.由ab，得AB，B=30，故C=90，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案 7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，asinA=bsinB=csinC=2R=2，asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案 12 6解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=126312sinC=183，sinC=12，csinC=asinA=12，c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanAa2sinBcosB=b2sinAcosA4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosAsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=A=B或A+B=2.△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()A.45B.60C.75D.90答案 C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120，sinCsinA=sin120-AsinA=sin120cosA-cos120sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，tanA=1，A=45，C=75.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=4，cosB2=255，求△ABC的面积S.解 cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sin(-B-C)=sin34-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12210745=87.1.在△AB C中，有以下结论：(1)A+B+C=(2)sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C;(3)A+B2+C2=(4)sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.。

月考复习1-解三角形

[变式训练变式训练] 变式训练
1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，哪个角的正弦值可求。
[变式训练变式训练] 变式训练
1．在测量、航海、机械设计、物理中的向量(如功、速度、合力等)计算中，在测量、航海、机械设计、物理中的向量(如功、速度、合力等)计算中，凡能转化为以三角形为基本模型的实际问题，常可综合运用正弦定理、凡能转化为以三角形为基本模型的实际问题，常可综合运用正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识进行探讨，并加以解决．及有关三角函数知识进行探讨，并加以解决． 2．解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．分析 (2)建模：根据已知条件与求解目标， (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关三角建模形中，建立一个解斜三角形的数学模型．形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解．求解 (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义．检验
[变式训练变式训练] 变式训练
[变式训练]已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. 变式训练]已知a 分别是△ABC中角A 中角的对边， (1)求角B的大小；(2)若 A的值的值． (1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tan A的值．求角 3a，
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等利用正得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三 (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，利用正角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．这个结论．

解三角形最全知识点总结

解三角形正弦定理要点1 正弦定理在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.要点2 解三角形三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题1.已知两角及一边解三角形，只有一解.2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.方法1:计算法.方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：要点3 正弦定理的变式CB A c b a sin :sin :sin ::)1(=RA aC B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )2(==++++=++=++=++A c C aB cC b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===B Cb A C ac A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===要点5 常用结论1．A ＋B ＋C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a<bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解个数无解一解两解一解一解无解（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===要点4 三角形的面积公式 Bac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆题型一解三角形例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝233，求B ；(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.题型二判断三角形解的个数(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围【解析】例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°sin30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×222＝32.又0°<A<180°，且a>b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝bsinAa＝233×322＝22.∵a ＝2＝323>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×323＝23>1.∴这样的角B 不存在．练习(1)A ． (2) B. (3)2<x<2 2题型三判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2tanA ，试判断△ABC 的形状．(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ；(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosCc.【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2sinAcosA.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2BsinAcosA.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由已知a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°，C ＝90°－B.由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝22(负值舍去)．∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．(3)由已知，得cosA sinA ＝cosBsinB.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．题型四正弦定理中的比例性质例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋csinA －2sinB ＋sinC.(2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ．【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3题型五三角形的面积公式例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长．(3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos .(4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝23.，∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解．①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2C ＝53，sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝16(5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×16(5＋23)＝5＋23；②当角C 为钝角时，cosC ＝－53，sinB ＝sin(150°－C)＝16(23－5)， ∴S △A B C ＝12acsinB ＝23－ 5.综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5.(2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.(3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.(4)因为cosB ＝2cos 2B2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45.所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余弦定理要点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=要点2 余弦定理的推论bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状是锐角三角形是锐角是钝角三角形是钝角是直角三角形是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A cb a∆⇒⇔+∆⇔⇔+>∆⇔⇔+=<222222222要点4 利用余弦定理可以解决的问题（1）已知两边和夹角解三角形（2）已知两边及一边的对角解三角形（3）已知三边解三角形题型一已知两边和夹角解三角形例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.【解析】方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3.∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A<180°，∴A ＝30°.题型二已知两边及一边的对角解三角形例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a.（2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形．【解析】（1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinBb＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二：由b<c ，B ＝30°，b>csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33×123＝32.∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.（2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2－22ccos45°， c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3.cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32.∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.题型三已知三边解三角形例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC.【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A<180°，∴A ＝120°.∴sinA ＝sin120°＝32. 由正弦定理，得sinC ＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314. 题型四判断三角形的形状例4 （1）在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．（2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC的形状．【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c.又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC，∴cosA ＝sinBsinC .∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC.∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．（2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝cb.由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc.即c 2＝b2＋c 2－a 2，∴a ＝b.又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)．又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B.又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab.即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12.而0°<C<180°，∴C ＝60°.又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．1．2 应用举例(第一课时)解三角形的实际应用举例要点1 基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．要点2 仰角和俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，要点3 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.要点4 方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°；正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．要点5 坡度坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值.要点6 测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinCsin（B＋C）①AC＝asin∠ADCsin（∠ACD＋∠ADC）②BC＝asin∠BDCsin（∠BCD＋∠BDC）③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB要点7测量高度的基本类型及方案类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝a1tan∠ACB－1tan∠ADBAB＝asin∠BDC×tan∠ACBsin（∠BCD＋∠BDC）题型一有关距离问题例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【解析】如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km.题型二测量高度例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m.题型三测量角度例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．【解析】如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.1．2 应用举例(第二课时)题型一有关面积问题三角形面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝12 ac sin B .(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )．(4),))()((c p b p a p p S ---=其中2cb a p ++=例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝12，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0<B<π2.∴sinB ＝55，cosB ＝255.又∵tanC ＝－2，∴π2<C<π.∴sinC ＝255，cosC ＝－55.则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵a sinA ＝b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35b 2·255＝1. 解得b ＝153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝2153. ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2＝25π12.（2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4. ①∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2－12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a.又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233题型二正余弦定理的综合问题例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.①求A 的大小；②求sinB ＋sinC 的最大值．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°.②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋12sinB ＝sin(60°＋B)．故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1.(2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理，得sinB ＝bc sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4.例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值；②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.(2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.题型三证明恒等式例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sinC.(2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2－b2c .(3)已知在△ABC 中，a 2＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B.【证明】 (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，两式相减，得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bccosA ＋2cacosB.∴a 2－b 2c 2＝acosB －bcosAc.由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ）sinC .(2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－b2c ＝右边．(3)方法一：∵a 2＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2A ＝sinB(sinB ＋sinC)，即sin 2A －sin 2B ＝sinBsinC. ∴cos2B －cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC.又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝b （c 2＋bc ）ac ＝b （b ＋c ）a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2＝b(b ＋c)，知a 2＝b 2＋c 2. ∴B ＝C ＝π4，A ＝π2，∴A ＝2B.。

完整版)解三角形知识点归纳总结

完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。

变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。

利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。

②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。

4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。

二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。

三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点学霸炼技法

坡度(坡
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
第16页
返回目录
专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
第25页
返回目录
专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
第26页
返回目录
专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
返回目录
专题十八

解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；

(完整版)最全解三角形知识点总结,推荐文档

解三角形知识点总结
一、正弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
（为的外接圆半径）推论：等角对等边，等边对等角；
大角对大边，等边对等角.
二、余弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
，变式：
三、三角形的解的数目、形状判断
在△ABC中，已知a、b、A（两边及其中一边所对的角）
A为锐角A为钝角或直角
a <
b sin A a = b sin A b sin A < a < b a≥b a >b A≤b
无解一解两解一解一解无解2. 判断形状：一看是否有解，二看最大的角，三看是否等腰、等边。

要注意：
（1）三角形中任意两边的边长之和大于第三边，任意两边的边长之差小于第三边；（2）注意角的取值范围及相应的三角函数的取值范围。

三、三角形的面积公式
1. 常用公式
（1）（、、分别表示、、上的高）；
（2）；
（3），为外接圆半径；
（4）；
（5），其中；
（6），是内切圆的半径.
四、综合问题
1. 与三角恒等变换综合
一般思路：将题目条件变形成两个三角函数相等的形式。

常用的技巧有：
①三角函数的诱导公式、和（差）角公式、倍角公式及图像。

②换边为角：题目条件结合正弦定理或余弦定理消去含有边的项。

③减元变换：题目条件中同时出现A、B、C或a、b、c，通过减元变换进行简化。

常用的减元变换关系：
；；
；；；
；；.
特别强调：注意角（及其相应三角函数）的取值范围！
2. 与向量综合——掌握向量的运算、向代数形式的转化、注意数形结合。

解三角形知识点总结及典型例题

课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 默写上述公式，检查上次的作业课本上的!解三角形知识点总结及典型例题2+=(A x c恒成立，所以其图像与x轴没有交点。

中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是=30A；︒B；=30︒S=ABC题型4 判断三角形形状5] 在【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

解三角形方法与技巧例题和知识点总结

解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。

解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。

三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。

解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。

二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。

正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。

首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。

然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。

同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。

例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。

由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。

最全面的解三角形讲义

解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.【例题2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】（14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. （1）求角A 的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cb Ca--︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为 .7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3π.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．巩固训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3 ，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ；（2）求a ，b 的值.13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案例题答案题型一正弦、余弦定理【例题1】解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2-=-21,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc（当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R, ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=C B C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1. 22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解（1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3，所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二判断三角形形状【例题】解方法一已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA -sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】解方法一 ∵2cos 2B-8cosB+5=0,∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π. ∵a，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴co sB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cosB+5=0，∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π, ∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π,∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三测量距离问题【例题】解在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四测量高度问题【例题】解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ，解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6巩固训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=ac b c a 2222-+=22223443bb b b -+=23, 所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53. 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB, 故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=C A AB sin sin ⨯=211.12. 解（1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b .∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab=40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解（1）∵A+B+C=180°,由4sin22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ，由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B 16.解析如图．答案 B17.解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C18.解析由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75.解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)。

解三角形复习超好

高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

(完整版)高三复习：解三角形-知识点、题型方法归纳,推荐文档

复习解三角形及其应用(学优)

辅导解直角三角形概念及复习教案及习题附答案

解三角形一轮复习

解三角形知识点总结

学生解三角形方法总结

月考复习1-解三角形

解三角形最全知识点总结

完整版)解三角形知识点归纳总结

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法

(完整版)最全解三角形知识点总结,推荐文档

解三角形知识点总结及典型例题

解三角形方法与技巧例题和知识点总结

最全面的解三角形讲义

2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点学霸炼技法