高中绝对值不等式

绝对值不等式

绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5

即函数的最小值是-5，最大值是5

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5

［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x

［思路］利用｜f(x)｜

f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )

解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12

} (2)原不等式等价于－3x <2

x －2x －6<3x 即

222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或

2

所以原不等式的解集是{x |2

1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2

-3x-4；（2）234x x -≤1

解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.

原不等式等价于：

x-x 2-2>x 2-3x-4 ①

或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②

解①得：1-2

解②得：x>-3

故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝

分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜

而x 2-x+2＝(x-14

)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4

解得：x>-3

∴ 原不等式解集为｛x>-3｝

（2）分析 不等式可转化为-1≤234

x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234

x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2

234

x x -≤1

⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0

⇒x 2≤1或x 2≥16

⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4

注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式

［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.

［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜

f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：

|x －1|2<|x +a |2

即有2

x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a

当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >1

2(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；

当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2

a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.

解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3.

当-35⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.

［请你试试4—2］

1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)

解析：易知－1

-+> ∴22

|lg(1)||lg(1)|x x ->+

于是

22lg (1)lg (1)0x x --+>

∴

[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴2

1lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1

∴0<1－2x <1

∴lg (1－2x )<0 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x

-<<+ 解得0

2．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。

解： |x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当21≥x 时124+<-x x ∴x>2

当-3

23-<<-x 当3-≤x 时124+<-x x ∴3-≤x