基本不等式知识点归纳
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基本不等式知识点总结
向量不等式:
【注意】: a b r r 、
同向或有0r ⇔||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u
r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ⇔||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u
r u r u r ; a b r r 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似)
代数不等式:
,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.
绝对值不等式:
123123a a a a a a ++++≤ 双向不等式:
a b a b a b -±+≤≤
(左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.)
放缩不等式:
①00a b a m >>>>,,则b m b b m
a m a a m
-+<<-+. 【说明】:
b b m a a m
+<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b
c R +
∈,
b d a
c <,则b b
d d
a a c c
+<<+; ③n N +∈
<
< ④,1n N n +∈>,211111
11n n n n n
-
<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x
e x +≥()x R ∈.
函数()(0)b
f x ax a b x
=+>、图象及性质
(1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图:
(2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质:
①值域:),2[]2
,(+∞--∞ab ab Y ;
②单调递增区间:(,-∞
,)+∞
;单调递减区间:(0,
,[0). 基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式:,a b R
∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”).
【变形】:①222()22
a b a b ab ++≤≤(当a = b 时,22
2()22a b a b ab ++==)
【注意】:
(,)2
a b a b R ++∈,2
()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式:
两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
*.若0x >,则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”); 若0x <,则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)
若0x ≠,则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)
*.若0>ab ,则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”)
若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数):
3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a );
*不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a
a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b
a -≥22
八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2
)2
(b a ab +≤; ③2)2(
222b a b a +≤+ ④)(22
2
b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b
a b a +≥+4
11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥
+; ⑧ 若0≠ab ,则2
22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。
最值定理
(积定和最小)
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值
(和定积最大)
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值21
4
s .
【推广】:已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(2
2+-=+.
(1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大;当||y x -最小时,||y x +最小. (2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小;当||y x -最小时,||xy 最大.