抽象函数的导数问题专题复习

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重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

2022届新高考数学抽象函数专题练习

专题8 抽象函数一、单选题1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（） A ．()[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．1,2D ．()1,42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（） A ．3B ．1C ．0D ．1−3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x xf k f ⋅+−−<恒成立，则k 的取值范围是（）A ．()1− B ．()1−∞C ．(1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12C ．12−D ．32−5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m << ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（）A ．2−B ．1−C ．0D ．17．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−B ．1−C ．0D ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为（） A ．()0,e B ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+−，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()201820212f f +=−C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =−+11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点三、填空题13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪=⎨−≤<⎪⎩，其中a ∈R .若5922f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.四、解答题17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.（1）求()()22f xg x −的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =．（1）求(0)f 与(2)f −的值；（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式(21)1()1f x f x +≥−．19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x Tf x 成立，则称()f x 为周期函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，证明：()f x 是周期函数.20．已知函数()()y f x x =∈R ．（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1(3)2g x +=x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=−．参考答案1．C【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.又已知()11f x +<，即()111f x −<+<，所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C2．A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=；故选：A. 3．B【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()3392(3392)0x x x x x xf k f f k ⋅+−−=⋅+−−<又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，所以(0)(0)(0)f f f =+，解得(0)0f =，由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，令30x t =>，即2(1)20k t t +−−<恒成立，即21k t t+<+，而2t t +≥，当且仅当2t t=，即t =所以1k +<1k <，故选：B 4．D【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−，所以()()()42f x f x f x +=−+=，所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32−.故选：D 5．A【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，即()22f mx x f −>()22m x m −，所以2222mx x m x m −<−，即()22220mx m x m −++<，即()()20mx x m −−<，又因为0m << 所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 6．D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=，又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=，即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D 7．D【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=，则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称，则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，则(2017)(2016)011f f +=+=，故选D ． 8．C【解析】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦，所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+−∞∞，上的单调递增，又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 9．CD【解析】由题设知：2221()ln(1)lnln(1)()1f x x x x x f x x x−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−，所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：当[]0,1x ∈时，()[]221922,024f x x x x ⎛−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点，由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确；对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，所以，()()()()()2244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC【解析】解：由导数的定义：()()()=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'选项A ：()()()()()()00=lim=lim=x x f x x f x f x f x x f x f x xx∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误，选项C ：()()()()()()00=lim=limx x f x T x f x T f x x f x f x T f x xx∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+即()f x '也是周期函数，故C 正确；选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误，故选：AC. 12．AB【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．πsin2x （答案不唯一）【解析】取()sin2f x x π=，下面为证明过程：显然，其定义域为R ；由()sin sin ()22f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin 2f x x π=为奇函数；又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫−=−=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故答案为：sin 2x π（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，∴1()()(21)12xxf x f x −=−−=−−=−， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=.故答案为：115．3【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．25− 【解析】因为()()2f x f x =+，所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =，所以()()()25315f a f f ==−=−. 故答案为：25− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.（2）由（1）知()()22001f g −=，∴()()220010g f =−=，即()00g =，∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，又因为()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数.18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−，解得：32x ≤−或12x >，故解集为31(,](,)22−∞−+∞ 19．证明见解析【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x −=−，∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，所以()()f a x f a x +=−，∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.∴()f x 是周期函数，且周期为4a .20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，所以(3)(5)2(5)f f f −+=，在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，所以(3)(5)0f f −+=；（2）因为11(3)22g x +=≥，所以1(6)2g x +=12=因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，因为()()()h x f x g x =+，所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a=−−，此时()()221222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以充分性满足；必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−+≠−，所以()12k x x =，即12b x x a −−=，也即12b x x a +=−，所以必要性满足．所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。

2025高考数学二轮复习导数应用中的函数构造技巧

函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 y=型函数.
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
() ()

常用的构造形式有 e f(x),e f(x), e , e ,这类形式一方面是对 y=uv,y=型函
x
nx
数形式的考查,另外一方面也是对(ex)'=ex,(enx)'=nenx 的考查.所以对于
f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以 F'(x)>0,即函数
由于
f
π
6
f
π
6
π
0<6
<
π
4
π
π
cos6<f 4
<
3
π
3
3
<
π
3
<
π
,所以
2
π
π
cos4<f 3
π
F(x)在区间(0,2)
π
4
<F
π
cos3,因此可得
π
6
,故选 AD.
F
π
6
<F
f
π
x∈(0,2)时,
π
3
<
内单调递增.
,即
锐角三角形,则( D )
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2B<f(sin B)sin2A
C.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2B<f(sin B)cos2A
解析因为
() '
2

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)

函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。

下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。

其中描述正确的个数有（。

）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。

当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。

当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。

当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。

因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。

第8讲抽象函数7种导函数构造(解析版)-2024高考数学常考题型

第8讲抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一：具体函数抽象化解不等式题型二：构造幂函数型解不等式题型三：构造指数函数型解不等式题型四：构造对数函数型解不等式题型五：构造三角函数型解不等式题型六：构造()kx x f +型函数解不等式题型七：复杂型：二次构造【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围.【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可.【详解】解：因为()ln e x x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e (4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=-又,()0x ∈+∞时，21111,(24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增；又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41>所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>.故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________.【答案】2x ≥-【解析】【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增，所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-.故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（）A ．（0，2022）B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x'-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】设()()2f x g x x=，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =，则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数，所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >；当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<；所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞ .故答案为：()()2,02,-+∞ .【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-，即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----，构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->，所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----，由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足；（3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>.综上，,()0x ∈+∞.故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D 【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解.【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-，即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-.故选：D .【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（）A ．()()2e 24ef f >B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得.【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解.【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=，所以()()221g g -==．对于不等式()1f x x>，当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<，所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞ ．故答案为：()()2,02,-+∞ 【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（）A ．()20192017--，B ． 20211()209--，C ．()20192018--，D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案.【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()23 2'xf x x f x x +<，即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =，则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()() 242F f -=-，即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x Q 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-.故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞ 上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<，∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞ 上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数，∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ，∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞- .故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案.【详解】设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x'-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g xg >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令()()xf xg x =e ，R x ∈，则()()()e xf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<，所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e e f g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eexf x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-.故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R上单调递减，再求出()01202e g =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可.【详解】设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2e ex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =，所以()()122020e 1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．()3,-+∞B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C【解析】【分析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解.【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=.令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-.令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+.所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()xf xg x =e，所以()()()exf x f xg x '-'=.因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e在R 上单调递减.不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <.所以0x >.故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e xf x <的解集为（）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可.【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【解析】【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时,()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞.故答案为:()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>e e【答案】D 【解析】【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x x g x f x =-，则()()()e 10xg x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>.故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决.【详解】设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=，由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->>则()()()10e xf x f xg x '-'=->，所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >．故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()1e x f x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.【详解】构造函数()()1e xf x F x +=，则()()()()()2e 1e1e ex xx xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e x f x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022exf x +>，又()02021f =，所以()()00102022ef F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-.故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________【答案】()0,∞+【解析】【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+.故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】【分析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x xF x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+，令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0x f x -<的解集为（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式.【详解】设()()ln F x f x x =-，0x >则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'，所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=，且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0x f x -<得：()()e 1xF F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >，故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0xf x +>的解集为___________.【答案】(ln 2,)+∞【解析】【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+>所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln 2,)+∞.故答案为：(ln 2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案.【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称．令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x '，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111(()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且 1e 1e >>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1(0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】由题意，设()()cosf xg xx=，利用导数求得()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()(4g x gπ<，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设()()cosf xg xx=，则2()cos()sin()cosf x x f x xg xx'+'=，当02xπ<<时，因为()cos()sin0f x x f x x'+<，则有()0g x'<，所以()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cosf x f xg x g xx x--===-，所以()g x是偶函数，由()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos4f xxπ<，即()()4cos cos4ππ<ff xx，即()(4g x gπ<又由()g x为偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4xπ>，解得24xππ-<<-或42xππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x.有()cos()sin0f x x f x x'+<，则关于x的不()2cos6x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．,63ππ⎛⎫--⎪⎝⎭D．,26ππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】令()()cos f x F x x =，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x =，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x +=<函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数．不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-U ，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '->，则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为A ．(,0)(,)66πππ-B ．(,0)(0,)66ππ-⋃C ．(,)(,)66ππππ--⋃D ．(,)(0,)66πππ--⋃【答案】D 【解析】【详解】根据题意，可构造函数()f x g x sinx=（），其导数()()2f x sinx f x cosxg x sin x'-'=（）当0x π∈（，）时，有’0f x sinx f x x -（）（）＞，其导数0g x g x '（）＞，（）在0π（，）上为增函数，又由f x （）为奇函数，即f x f x -=-（）（），则()()()()f x f xg x g x sin x sin x --===-（）（），即函数g x （）为偶函数，当0x π∈（，）时，0sinx ＞，不等式()12()6626f x f x f sinx fg x g sinx πππ⇒⇒（）＜（）＜（）＜（），又由函数g x （）为偶函数且在0π（，）上激增，则66g x g x ππ⇒（）＜（）＜，解得 66x ππ-＜＜此时x 的取值范围为06（，）π；当0x π∈-（，）时，0sinx ＜，不等式()()62162f f x f x f sinx sinx ππ⇒（）＜（＞6g x g π⇒（）＞（），同理解得此时x 的取值范围为6ππ--（，）；综合可得：不等式的解集为,0,66πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数()f x g x sinx=（），，并利用导数分析g x （）的单调性．题型六：构造()kx x f +型函数解不等式【例1】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A 【解析】【详解】构造函数法令2()()2F x f x x =-，则1()()402F x f x x ''=-<-<，函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，因为2()()()()40F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(,)-∞+∞上为减函数，而不等式3(1)()32f m f m m +≤-++可化为(1)()F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-.选A.【例2】设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增，∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数()f x 满足：R x ∀∈，()()2cos f x f x x +-=，且()sin 0f x x '+<．若角α满足不等式()()0f f παα++，则α的取值范围是（）A ．,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A。

高中数学抽象函数专题复习

抽象函数复习资料特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。

评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。

练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。

[]11log ,13评析：已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。

相当于求内函数()x ϕ的值域。

练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为。

(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

函数导数专题分析课件-2025届高三数学一轮复习

深度和广度。思维量加大，灵活，与其他知识的交汇，比如在不等式，数列，解析几何中的应
用，这就要求我们在复习中注重基础知识的理解和思维能力的培养。
（二）深入考查直观想象素养。（三）扎实考查数学运算素养。
二、创设自然真实情境助力应用能力考查 2023高考试题评价
（一）创设现实生活情境（二）设置科学研究情境（三）设计劳动生产情境
三、落实“四翼”考查要求助力“双减”政策落地
（一）突出基础性要求。（二）彰显综合性要求。
如新课标Ⅱ卷第22题和全国甲卷理科第21题，将导数和三角函数巧妙地结合起来，通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题，通过对导数、函数不等式等知识，深入考查分类讨论的思想、转化与化归的数学思想。
高考导数知识点梳理
2022全国乙卷理21（2）、2022全国乙卷文20 （2）、2021全国新高考Ⅱ22（2）、2020全国Ⅲ 理20（2）、2020全国Ⅲ文21（2）、2020全国Ⅰ 文20（2）、2019全国Ⅰ文20（1）、2019全国Ⅰ 理20（2）、2019全国Ⅱ文21（2）、2018全国 Ⅱ21（2）、2018全国Ⅱ理21（2）、2021全国甲理 21（2）、2021全国甲文21（2）共13次
2021新高考Ⅱ22（1）、2021甲卷文20（1）、 2021全国乙卷文21（1）、2019全国Ⅰ文20 （1）、2019全国Ⅲ理（20）、2020全国Ⅲ文20 （1）、2018全国Ⅰ理21（1）、2020全国Ⅱ文 21（2）共8次
2022全国乙卷文20（1）、2019全国Ⅱ文 21（1）、2018全国Ⅲ理21（2）、2018 全国Ⅰ文21（1）、2019全国Ⅲ文20 （2）、2019全国理20（2）共6次
单调性、不等式、构造函数构造函数或利用不等式比较大小

【导数专题】3.解带有导数抽象函数不等式的方法

【导数专题】3.解带有导数抽象函数不等式的方法
【导数专题】 3. 解带有导数抽象函数不等式的方法
解抽象函数不等式一直都是高考数学中小题部分的常
考题型，对于抽象函数不等式分为两类题型，一是未给出函
数的分析式，可是依据函数的性质解决带有 f(x) 的不等式，另一类是未给出函数的分析式，并且不等式中含有导函数的
不等式，两种题型方法不一样，第一类主要依据题目中给出
的性质，特值经过图像法做出来，另一类则是用结构法，建
立
新函数，求导来判断单一性从而解决不等式。

抽象函数与导函数来自曹老师的高中数学课00:00 27:24解决带有导数的抽象函数不等式的做法一般步骤
以下：依据不等式的形式设出原函数并设为新函数。

判断新
函数的单一性依据条件中给出的特值找出不等式右侧对应
的点。

写出解集。

需要注意的是，假如函数中对于未知数的
取值是全体实数，那么需要议论未知数的正负。

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附录36抽象函数与导数

附录36抽象函数与导数抽象函数具体化数形结合性质法辅助函数是关键增大减小是根本附录36抽象函数与导数(1)(2011年辽宁)函数f(x)的定义域为R，f（-1）=2对任意x∈R，f/(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为A.(-1.1)B.(-1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,+∞)法1：令f(x)=3x+5,即解3x+5＞2x+4……故f（x）＞2x+4等价于解g（x）＞g（-1）法2：令g（x）=f(x)-2x-4由题意得g/(x)=f/(x)-2＞0在R上恒成立即g(x)在R上↗因g（-1）=f（-1）+2-4=0解g （x）＞g（-1）得x＞-1(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为1,则该曲线在点斜率为_________处的切线的若原函数具有奇偶性，则导函数具有与其相反的奇偶性反之则不然法1：令,则,即法2：原函数与导函数奇偶性间的关联：因原函数是偶函数，故导函数是奇函数又因曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为故曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为若满足(x-1)f/(x)≥0,则必有(3)(2006年江西)对R上可导的任意函数f(x)f(0)+f(2)＜2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)＞2f(1)【C】法2：由(x-1)f/(x)≥0得所以f(x)在R上是常值函数或V型类二次函数也……当x＞1时，f/(x)≥0即f(x)在(1,+∞)上↗当x＜1时，f/(x)≤0即f(x)在(-∞,1)上↘法1：令,则……(4)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在(-∞，0)上有有xf/(x)＋f(x)＜0且f(-2)=0,则xf(x)＜0的解集为_____综上：{x|-2＜x ＜2且x≠0}析①：设辅助函数g(x)=xf(x),析②：因g(x)=xf/(x)＋f(x)＜0在(-∞,0)上恒成立即g(x)在(-∞,0)上↘析③：又因f(x)是奇函数，故g(x)是偶函数所以在(-∞,0)上解xf(x)＜0得-2＜x＜0所以在(0,+∞)解xf(x)＜0得0＜x＜2析④：易得g(0)=0在(-∞,0)上解xf(x)＜0等价于解g(x)＜g(-2)又因f(-2)=0,故g(-2)=0(5)(2004年湖南)设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f/(x)g(x)＋f(x)g/(x)＞0且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)析：设h(x)=f(x)g(x)因当x＜0时，h/(x)=f/(x)g(x)＋f(x)g/(x)＞0即h(x)在(-∞，0)上↗因h(x)是奇函数,当x＞0时，解h(x)＜h(3)得0＜x＜3,故f(x)g(x)＜0等价于h(x)＜h(±3)因g(-3)=0,故h(±3)=0因f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数故在(-∞，0)上解h(x)＜h(-3)得x＜-3，故h(x)是奇函数【D】(6)(2007年陕西)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数∴xf/(x)≤-f(x)≤0法1：设辅助函数,则……且满足xf/(x)＋f(x)≤0,对任意正数a,b;若a b)≤bf(a)(B)bf(a)≤af(b)(C)af(a)≤f(b)(D)bf(b)≤f(a)∵xf/(x)＋f(x)≤0，f(x)＞0,则故h(x)是(0,＋∞)上的常值函数或减函数又因b＞a＞0法2：设辅助函数,故将其与相乘可得【A】∴(7)(2013年辽宁)设A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.即有极大值也有极小值D.即无极大值也无极小值则x＞0时,f(x)【D】法1：辅助函数是关键增大减小是根本(7)(2013年辽宁)设A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.即有极大值也有极小值D.即无极大值也无极小值则x＞0时,f(x)法2：因即，故所以，故③①②常见的不定积分公式⑦④⑨⑤⑥⑩⑧,(7)(2013年辽宁)设则x＞0时,f(x)的极值……法2：由题意得,故设,故当x＞0时，解得g(x)在(0,2)上↘当x＞0时，解得g(x)在(2,＋∞)上↗故在(0,＋∞)上恒成立即f(x)在(0,＋∞)上↗所以f(x)在(0,＋∞)上无极大值也无极小值(7)(2013年辽宁)设A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值C.即有极大值也有极小值D.即无极大值也无极小值则x＞0时,f(x)法3：因即令x=2得故对两端求导得故x=2是非极值点，放胆得【D】1.(2009年江西)设函数,曲线在点(1,g(1))处的切线方程为,则曲线在点(1,f(1))处的切线的斜率为A.4 B．C．2D．附加作业：2.。

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.(一) 抽象函数的奇偶性及应用若()()f x f x -=两边求导得()()f x f x ¢¢--=，即()()f x f x ¢¢-=-，即若可导函数()f x 是偶函数，则()f x ¢是奇函数，同理可得：若可导函数()f x 是奇函数，则()f x ¢是偶函数.【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数()y f x =¢.(1)求函数()e e x xf x -=+在点()()0,0f 的切线方程；(2)已知()cos sin f x a x b x =+，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得()()f x kf x -=-¢恒成立？(3)若函数()y f x =是奇函数，且满足()()23f x f x +-=.试判断()()22f x f x +=¢-¢对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由.【解析】（1）由题可知，()e e x x f x -¢=-，所以切线的斜率为(0)0f ¢=，且(0)2f =，所以函数在点()()0,0f 的切线方程为()200y x -=-，即2y =；（2）由题可知()sin cos f x a x b x ¢=-+，又因为定义域上对任意的实数x 满足()()f x kf x ¢-=-，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x -=-，即b aka bk -=ìí=-î，当R k Î且0k ¹时，0a b ==，当1k =时，0a b +=，当1k =-时，0a b -=；（3）因为函数()y f x =在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()f x x f x ¢¢¢-×-=-，所以()()f x f x ¢¢-=，所以()y f x ¢=是偶函数，因为()()23f x f x +-=，所以()()()()223f x f x x ¢¢¢¢+-×-=，即()()20f x f x ¢¢--=，即()()2f x f x ¢¢=-，因为()()f x f x ¢¢-=，所以()()2f x f x ¢¢-=-，即()()2f x f x ¢¢=+，所以()y f x ¢=是周期为2的函数，所以()()()22f x f x f x ¢¢¢=+=-，所以()()()()22f x f x f x f x ¢¢¢¢-=-==+. (二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子()f x k ¢-,可构造函数()()y f x kx b =-+，给出式子()f x kx ¢-,可构造函数()212y f x x b =-+ ，一般地，若给出()()f x g x ¢¢±通常构造函数()()y f x g x c =±+.【例2】已知()()y f x x =ÎR 的导函数()f x ¢满足()3f x ¢>且(1)3f =，求不等式()3f x x >的解集．【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ¢¢=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30F f =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．(三)积型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢+的式子通常构造函数()()y f x g x c =+ ，如给出()()xf x nf x ¢+可构造函数()ny x f x =，如给出()()f x nf x ¢+，可构造函数()e nx y f x =，如给出()()tan f x f x x ¢+，可构造函数()sin y f x x =.【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数()f x 在[],a b 上满足()()()0g x f x f x ¢=³且不恒为0，则称函数()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，()g x 称为函数()f x 的特征函数，称任意的实数(),c a b Î为绝对增点（()f x ¢为函数()f x 的导函数）．(1)若1为函数()()e xf x a x =-的绝对增点，求a 的取值范围；(2)绝对增函数()f x 的特征函数()g x 的唯一零点为0x ．（ⅰ）证明：0x 是()f x ¢的极值点；（ⅱ）证明：()g x 不是绝对增函数．【解析】（1）因为函数()()e x f x a x =-，所以()()1e xf x a x =--¢，则()()()()21e xf x f x x a x a =--+¢．由()()0f x f x ¢³得()()10x a x a --+³，解得1x a £-或x a ³，所以()f x 为区间(],1a -∞-及区间[),a +∞上的绝对增函数．又1为函数()f x 的绝对增点，所以11a <-或1a >，解得2a >或1a <，所以a 的取值范围为()(),12,-∞+∞U ．（2）（ⅰ）设()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，由题意知()00g x =，当0x x ¹时，()()00,,g x x a b >Î．①若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递增，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x >¢<，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递减，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x ¢<>，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上不单调，则存在()'000Δ,x x x x Î-，且()00f x ¢¢=，此时()00g x ¢=与()g x 有唯一零点0x 矛盾．所以()00f x ¹．②若()00f x ¹，不妨设()00f x >，则()00f x ¢=，且存在1Δ0x >，使得当()0101Δ,Δx x x x x Î-+时，()0f x >，且当()()010001Δ,,Δx x x x x x x Î-+U 时，()0f x ¢>，即1Δ0x $>，使()f x ¢在()010Δ,x x x -上单调递减，在()001,Δx x x +上单调递增．所以0x 为()f x ¢的极值点．同理，当()00f x <时也成立．（ⅱ）若()g x 为绝对增函数，则()()0g x g x ×¢³在[],a b 上恒成立，又()0g x ³恒成立，所以()0g x ¢³恒成立．令()()e x x g x j =×，所以()0x j ³，且()()()()e 0xx g x g x j ¢¢=×+³，所以()x j 在(),a b 上单调递增．又()00x j =，所以当()0,x a x Î时，()0x j <，则()0g x <，与()0g x ³矛盾，所以假设不成立，所以()g x 不是绝对增函数．【例4】定义在π(0,2上的函数()f x ，其导函数是()f x ¢，且恒有()()tan f x f x x <¢×成立，比较π6æöç÷èø与π3f æöç÷èø的大小.【解析】因为π(0,)2x Î，所以sin 0x >，cos 0x >．由()()tan f x f x x <¢，得()cos ()sin f x x f x x <¢．即()sin ()cos 0f x x f x x ¢->．令()()sin f x g x x =，π(0,2x Î，则2()sin ()cos ()0f x x f x xg x sin x ¢-¢=>．所以函数()()sin f x g x x =在π(0,2xÎ上为增函数，则π()(6g g <π3，即ππ()()63ππsin sin63f f <，所以π()612f <ππ(()63f <．(四)商型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢-的式子通常构造函数()()f x y cg x =+ ，如给出()()xf x nf x ¢-可构造函数()n f x y x =，给出()()f x nf x ¢-，可构造函数()nx f x y e =，给出()()tan f x f x x ¢-，可构造函数()sin f xy x=.【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在[],a b 上是一条连续不断的曲线；②在(),a b 内可导;③对(),x a b "Î，()0g x ¢¹，则(),a b x $Î，使得()()()()()()f b f a fg b g a g x x --¢¢=.特别的，取()g x x =，则有：(),a b x $Î，使得()()()f b f a f b ax -¢=-，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x ¢在()0,+∞上单调递增，证明：函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数.(2)若(),0,e a b "Î且a b >，不等式ln ln 0a b b a m b a a b æö-+-£ç÷èø恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题()()()00f x f x f xx -=-，由柯西中值定理知：对0x ">，()0,x x $Î，使得()()()()001f x f f f x x x -==¢¢-，()()f x f xx =¢，又()f x ¢在()0,∞+上单调递增，则()()f x f x ¢>¢，则()()f x f x x¢>，即()()0xf x f x ->¢，故()f x y x=在()0,∞+上为增函数；（2）22ln ln ln ln 0a b b a a a b b m m b a a b a b -æö-+-£Û£ç÷-èø，取()ln f x x x =，()2g x x =，因为a b >，所以由柯西中值定理，(),b a x $Î，使得()()()()()()22ln ln 1ln 2f a f b f a a b b g a g b a b g x xx x--+===-¢-¢，由题则有：1ln 2m xx+£，设()()1ln 0e 2x G x x x+=<<，()2ln 2xG x x -¢=，当01x <<时，()0G x ¢>，当1e x <<时，()0G x ¢<，所以()G x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以()()max 112G x G ==，故12m ³，所以实数m 的取值范围是1,2éö+∞÷êëø.【例6】已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x ¢>，其中()f x ¢为函数()f x 的导数，若a ，b 为锐角三角形两个内角，比较22cos (sin ),sin (cos )f f b a a b 的大小.【解析】设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x ¢¢×-××-×¢==>所以函数()g x 在()0,1上单调递增.a ，b 为锐角三角形两个内角,则π2a b +>所以ππ022b a <-<<，由正弦函数sin y x =在π0,2æöç÷èø上单调递增.则π0cos sin sin 12b b a æö<=-<<ç÷èø所以()()cos sin g g b a <，即()()22cos sin cos sin f f b a b a<所以()()22sin cos cos sin f f a b b a ×<×.(五)根据()()()f x f x g x ±-=构造函数若给出形如()()()f x f x g x ¢±=的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R "Î,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --³-+-,求实数m 的取值范围.【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=-- 令3()()()()2x g x f x g x g x =-\=- 即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ¢¢=-> 即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --³-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+³即(2)()g m g m -³,所以2m m -³,解得1m £ ,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()1f x ¢£对任意x ÎR 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.(1)判断函数()sin f x x =和()e xg x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <£”的真假，并说明理由；(3)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.【解析】（1）()cos 1f x x =£¢，故()sin f x x =是“线性控制函数”；()1e 1g ¢=>，故()e x g x =不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中12x x <由于()f x 在R 上严格增，故()()12f x f x <，因此()()1212f x f x k x x -=>-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢£，即()10f x ¢-£令()()F x f x x =-，故()()10F x f x ¢¢=-£，因此()F x 在R 上为减函数()()()()()()()()112212121212121101f x x f x x f x f x F x F x k k x x x x x x ------=-==£Þ£---，综上所述，01k <£，即命题“01k <£”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意a b <都有()()1f a f b k a b-=£-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢³-，即()10f x ¢+³令()()G x f x x =+，故()()10G x f x ¢=+³¢，因此()F x 在R 上为增函数()()()()()()()()()()101f a a f b b f a f b G a G b f a f b a b a b a b a b+-+---+==³Þ³-----因此对任意a b <都有()()[]1,1f a f b a b-Î--，即()()1f a f b a b -£-当12x x =时，则()()120f x f x T -=£恒成立当12x x ¹时，若21x x T -£，则()()()()1212121f x f x f x f x x x T--³³-，故()()12f x f x T-£若21x x T ->时，则存在[)311,x x x T Î+使得()()32f x f x =故1()()()()131313f x f x f x f x x x T--³>-，因此()()()()1213f x f x f x f x T-=-<综上所述，对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.（事实上，对任意12,x x 都有()()122Tf x f x -£，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C 1和曲线C 2有公共点P ，且在P 处的切线相同，则称C 1与C 2在点P 处相切．(1)设()()221,8f x x g x x x m =-=-+．若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点P 处相切，求m 的值；(2)设()3h x x =，若圆M ：()()2220x y b r r +-=>与曲线()y h x =在点Q （Q 在第一象限）处相切，求b 的最小值；(3)若函数()y f x =是定义在R 上的连续可导函数，导函数为()y f x ¢=，且满足()()f x f x ¢³和()f x <都恒成立.是否存在点P ，使得曲线()sin y f x x =和曲线y =1在点P 处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点11(,)P x y ，由22()1,()8f x xg x x x m =-=-+，求导得()2,()28f x x g x x ¢¢=-=-，于是11228x x -=-，解得12x =，由11()()f x g x =，得2212282m -=-´+，解得9m =，所以m 的值为9.（2）设切点3222(,),0Q x x x >，由()3h x x =求导得2()3h x x ¢=，则切线的斜率为222()3h x x ¢=，又圆M ：222()x y b r +-=的圆心(0,)M b ，直线MQ 的斜率为322x bx -，则由3222213x x x b -×=-，得32213b x x =+，令31(),03x x x x j =+>，求导得221()33x x xj ¢=-，当0x <<()0x j ¢<，当x >()0x j ¢>，即函数()j x 在上递减，在)+∞上递增，因此当x =()x j ，所以当2x min b =（3）假设存在0(,1)P x 满足题意，则有00()sin 1f x x =，对函数()sin y f x x =求导得：()sin ()cos y f x x f x x ¢¢=+，于是0000()sin ()cos 0f x x f x x ¢+=，即0000()sin ()cos f x x f x x ¢=-，平方得222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x ¢==-，即有2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x ¢+=，因此2200201[()]1[()][()]fx f x f x ¢×+=，整理得224000[()][()][()]f x f x f x ¢+=，而恒有()()f x f x ¢³成立，则有2200[()][()]f x f x ¢³，从而4200[()]2[()]f x f x ³，显然0()0f x ¹，于是20[()]2f x ³，即0|()|f x ³与()f x <所以假设不成立，即不存在点P 满足条件.【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数()f x 与()g x 的图象在它们的公共定义域D 内有且仅有一个交点()()00,x f x ，对于1x D "Î且()10,x x Î-∞，2x D Î且()20,x x Î+∞，若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×-<ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互穿；若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互回.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，导函数分别为()f x ¢与()g x ¢，()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ，()f x ¢与()g x ¢的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ¢.(1)若()e xf x =，()1g x x =+，试判断函数()f x 与()g x 的位置关系.(2)若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互回，证明：()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.(3)研究表明：若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互穿，则()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互回且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.根据以上信息，证明：23e 126!ixx x x x i ³++++×××+（i为奇数）.【解析】（1）设()()()()e 1e 1x xH x f x g x x x =-=-+=--，则()e 1xH x ¢=-，当0x <时，()0H x ¢<，当0x >时，()0H x ¢>，()H x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00e 10H x H ³=-=，即()()f x g x ³，当且仅当0x =时取等号.又()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()0,1，\函数()f x 与()g x 关于点()0,1互回.（2）设1x m <，2x m >，则()()()()11220f x g x f x g x ¢¢¢¢éùéù-×->ëûëû，（互回的定义的应用）设()()()h x f x g x =-，则()()()h x f x g x ¢¢¢=-，故()()120h x h x ¢¢>.①若()()12,h x h x ¢¢均大于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，（提示：()f x ¢与()g x ¢的图象交于点()(),m f m ¢.所以()0h x ¢³，所以()h x 单调递增，又()()()0h m f m g m =-=，（提示：()f x 与()g x 的图象交于点()(),m f m ）所以()10h x <，()20h x >，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.②若()()12,h x h x ¢¢均小于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，所以()0h x ¢£，所以()h x 单调递减，又()()()0h m f m g m =-=，所以()10h x >，()20h x <，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.综上，()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.（3）设()e xi f x =，()23126!ii x x x g x x i =+++++L （N *i Î）则()()'1e xi i f x f x -==（2i ³），()()()231'11261!i i i x x x g x x g x i --=+++++=-L （2i ³）（关键：寻找()'i f x 与()1i f x -，()'i g x 与()1i g x -，2i ³之间的关系）易知()1e xf x =，()11g x x =+，由（1）可知()1f x 与()1g x 关于点()0,1互回.因为()()00e 10i i f g ===，所以*N i "Î，()i f x 与()i g x 的图象交于点()0,1.由（2）得()2f x 与()2g x 关于点()0,1互穿，（提示：()()21f x f x ¢=，()()21g x g x ¢=）由（3）得()3f x 与()3g x 关于点()0,1互回，易得当i 为奇数时，()i f x 与()i g x 关于点()0,1互回，所以()1,0x "Î-∞，()20,x Î+∞，有()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû（i 为奇数）.（提示：互回的定义的应用）由题意得()()()()2212120i i i i f x g x f x g x --éùéù-×->ëûëû对任意正整数i 恒成立，（提示：由本问信息可得）所以()()()()121222220i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû()()()()222232320i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû，L ，()()()()222212120f xg x f x g x éùéù-×->ëûëû累乘得()()()()()()222121212120i i i i f x g x f x g x f x g x --éùéùéù-×-->ëûëûëûL 所以()()()()2212120i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû易知()()12120f x g x ->，（点拨：()()11f x g x ³，当且仅当0x =时等号成立，又()20,x Î+∞，所以()()1212f x g x >.所以()()220i i f x g x ->.因为()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，（i 为奇数），所以()()110i i f x g x ->（i 为奇数），因为()()00i i f g =，所以()()i i f x g x ³（i 为奇数），即23e 126!ixx x x x i ³++++¼+（i 为奇数），得证.【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间I 上连续的可导函数()y f x =，在I 上任取两点()11(,)x f x ，()22(,)x f x ，如果对于任意的1x 与2x 的算术平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的算术平均值，则称该函数在I 上具有“M 性质”.如果对于任意的1x 与2x 的几何平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的几何平均值，则称()y f x =在I 上具有“L 性质”.(1)如果函数log a y x =在定义域内具有“M 性质”，求a 的取值范围.(2)对于函数ln y ax x =-，若该函数的一个驻点是1=x e ，求a ，并且证明该函数在2,x e éùÎ+∞ëû上具有“L 性质”.(3)设存在,m n I Î，使得()()f m f n =.①证明:取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-②若[,]I a b =，设命题p :函数()y f x =具有“M 性质”，命題:()q f x ¢为严格减函数，试证明p 是q 的必要条件.(可用结论:若函数()f x 在区间I 上可导，且在区间I 上连续，若有(,)a b I Í，且()()f a f b =，则()f x 在区间I 上存在驻点)【解析】（1）由函数()log a f x x =在(0,)+∞上具有“M 性质”，可得对任意()1212121,(0,),log log log log 22aa a a x x x x x x +Î+∞³+=又12x x +³1a >；（2）令1()ln ,()g x ax x g x a x ¢=-=-由10e g æö¢=ç÷èø，得ea =则()e ln g x x x =-，在10,e æöç÷èø上严格减:在1,e æö+∞ç÷èø上严格增.要证()g x 在)2e ,é+∞ë上具有“L 性质”.需证g³即证()()212gg x g x éù³×ëû，而(222212 e ln gx x éù==-ëû()()()()()2121122121221e ln e ln e e ln l n ln ln g x g x x x x x x x x x x x x x ×=--=-++×则()()2212121lnln 4x x x x =-()121221ln ln n e l ln x x x x x x +-³，需证()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x x x +-++³，由()212121ln ln ln ln 4x x x x+³，()()122112e ln ln x x x xx x +-12ln ln x x éù=××ëû2e==故只需证0³，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x -¢=，即在(e,)+∞上()0,()h x h x<¢递减，所以0hh éù-£ëû，即0³.综上，()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x p x x +-++成立，故g³，得证.（3）①令()(()())()()g x f m f n x f x m n =---，()()()()()g x f m f n f x m n ¢¢=---，由可用结论，令x x =为该函数的驻点，则0()()()()()g f m f n f m n x x ¢¢==---，即取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-，得证.②取12,(,)x x a b Î，设12,(0,1),{1,2}k x x u k <ÎÎ，记01220012,x x x h x x x x =+=-=-，则1020,x x h x x h =-=+，由①中的结论，则有:()()()0001f x h f x hf x u h ¢+-=+（1）()()()0002f x h f x hf x u h ¢--=-（2）由(1)-(2)，得()()()()()00001022f x h f x h f x h f x u h f x u h ¢¢éù-++-=+--ëû对()f x ¢在区间[]0201,x u h x u h -+使用①中的结论，则：()()()2120102()f u u h h f x u h f x u h x ¢¢¢¢éù+=+--ëû，其中，()0201,x u h x u h x Î-+.由于()f x ¢是严格减函数，则()0f x ¢¢£，即()()()0002f x h f x h f x ++-³，即()()121222f x f x x x f ++æö³ç÷èø.所以p 是q 的必要条件.【例3】已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，导函数为()f x ¢，若()()1f x f x x <¢+恒成立，求证：()()3210f f -<.【解析】设函数()()()01f xg x x x =³+，因为()()1f x f x x <¢+，0x ³，所以()()()10x f x f x ¢+-<，则()'g x ()()()()2101x f x f x x -=+¢+<，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，从而()()13g g >,即()()1324f f >，所以()()3210f f -<.【例4】已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=，且()01f =，判断函数()()()2132g x f x f x =-éùëû零点的个数.【解析】()()()()1''1x x x f x f x e f x e f x e +=Û+=()'1x e f x éùÛ=ëû，∴()xe f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=.()()()()213002g x f x f x f x =-=Þ=éùëû或()16f x =，()1001xx f x x e +=Þ=Þ=-；()()1116166x x x f x e x e +=Þ=Þ=+，如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例5】已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x ¢,且满足()()2sin f x f x x +-=,当0x ³时()sin cos f x x x x ¢>-- ,求不等式()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x <+的解集.【解析】设()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,所以()()g x g x --=()()f x f x --2sin 0x -=,所以()g x 是偶函数,设()()sin 0h x x x x =-³,则()1cos 0h x x ¢=-³,所以()()0h x h ¢³,即sin 0x x -³,所以0x ³时()sin cos cos f x x x x x ¢>--³- , 所以0x ³时()()cos 0g x f x x ¢¢=+>,()g x 在[)0,+∞上是增函数,所以()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x<+()2sin 2f x xÛ-ππsin 22f x x æöæö<---ç÷ç÷èøèø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èøπ22x x Û<-Û()22π22x x æö<-ç÷èøππ3022x x æöæöÛ+-<ç÷ç÷èøèøππ26x Û-<<,故选C.【例6】已知定义域为R 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ¢¢=，满足对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<.(1)若()sin 4xf x ax =+，求实数a 的取值范围；(2)若存在0M >，对任意x ÎR ，成立()f x M £，试判断函数()y f x x =-的零点个数，并说明理由；(3)若存在a 、()b a b <，使得()()f a f b =，证明：对任意的实数1x 、[]2,x a b Î，都有()()122b af x f x --<.【解析】（1）若()sin 4x f x ax =+，则cos ()4xf x a ¢=+，由题意，对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<，则1cos 4x a +<，即1cos 14xa <+<-，所以cos cos 1441x xa <---<，由于1cos 4x -的最小值为34，cos 14x --的最大值为34-，所以3344a -<<，即实数a 的取值范围为33,44æö-ç÷èø；（2）依题意，()10y f x ¢¢=-<，所以，()y f x x =-在R 上为减函数，所以至多一个零点；()f x M £Þ()M f x M -<<，，当1x M =--时，()()110y f x x f M M =-=--++>，当1x M =+时，()()110y f x x f M M =-=+--<，所以()y f x x =-存在零点，综上存在1个零点；（3）因为()1f x ¢<，由导数的定义得()()12121f x f x x x -<-，即()()1212f x f x x x -<-，不妨设12a x x b £££若122b ax x --£，则()()12122b a f x f x x x --<-£若122b a x x -->，则()()()()()()1212f x f x f x f b f a f x -=-+-()()()()12f x f b f a f x <-+-12b x x a<-+-()22b a b ab a --<--=.1.若定义域为D 的函数()y f x =使得()y f x ¢=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”．(1)分别判断()13=x f x ，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，证明：()()()()132g a g a g a g a +-<+-+；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增．2．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x ¢，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ÎR ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y ll l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>¹，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数x y x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ¢¢¢¢éù====+êúëû.(1)已知()10x xf x xx -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ¹，0x >.研究()112xxm g x æö+=ç÷èø的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2t s s a b æö+ç÷èø和2st t a b æö+ç÷èø大小关系.5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n ÎN 阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++¢¢×××+¢+×××．注：()f x ¢¢表示()f x 的2阶导数，即为()f x ¢的导数，()()()3n f x n ³表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+×××．当0x ³时，试比较cos x 与212x-的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设*n ÎN ，证明：()111142tannk n n n k n k=>-+++å.6. 函数()f x 满足22()(e )(2)ex f x f x -+=（e 为自然数的底数），且当1x £时，都有()()0f x f x ¢+>（()f x ¢为()f x 的导数），比较20202022(2022)(2020),e ef f 的大小 .7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ¢，且2()()0f x xf x ¢+>．求证： ()0f x ³.8.已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，()23f x +是偶函数，记()()g x f x ¢=，()2g x +也是偶函数，求()2023f ¢的值.9. 定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x ¢<<恒成立，其中()y f x ¢=为函数()y f x =的导函数，求证：()()2481f f <<.10．已知()f x ¢为定义域R 上函数()f x 的导函数，且()()20f x f x ¢¢+-=，1x ³， ()()()120x f x f x -+>¢且()31f =，求不等式()()241f x x >-的解集11.定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），求(2)(1)f f 的取值范围.12.设()y f x =是定义在R 上的奇函数.若()(0)f x y x x=>是严格减函数，则称()y f x =为“D 函数”.(1)分别判断y x x =-和sin y x =是否为D 函数，并说明理由；(2)若1112xy a =-+是D 函数，求正数a 的取值范围；(3)已知奇函数()y F x =及其导函数()y F x ¢=定义域均为R .判断“()y F x ¢=在()0,∞+上严格减”是“()y F x =为D 函数”的什么条件，并说明理由.13.设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x ¢满足0()1f x ¢<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n Î，使得等式()0()()()f n f m n m f x ¢-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R Î，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．14.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()2f x f x ¢+>，()02024f =，求不等式2022()2e xf x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集。

抽象函数练习题高三复习

抽象函数练习题高三复习抽象函数是高中数学中的一个重要概念，对于高三学生来说，熟练掌握抽象函数的相关知识是非常关键的。

本文将为大家介绍一些抽象函数的练习题，帮助大家巩固复习，提高解题能力。

题目1：已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x+1)$的解析式。

解析：首先，将$x+1$代入函数$f(x)$的解析式中，即可求得$f(x+1)$的解析式。

将$x+1$代入$f(x)$中的$x$，得到：$f(x+1)=(x+1)^2-2(x+1)+1$展开括号并化简，得到：$f(x+1)=x^2+2x+1-2x-2+1$合并同类项，得到最终的解析式：$f(x+1)=x^2+1$题目2：已知函数$g(x)=3x-2$，求$g(2x+1)$的解析式。

解析：类似地，将$2x+1$代入函数$g(x)$的解析式中，即可求得$g(2x+1)$的解析式。

将$2x+1$代入$g(x)$中的$x$，得到：$g(2x+1)=3(2x+1)-2$展开并化简，得到：$g(2x+1)=6x+3-2$合并同类项，得到最终的解析式：$g(2x+1)=6x+1$通过这两道题的练习，我们可以加深对于抽象函数的理解。

在解题过程中，将给定的表达式代入函数的解析式中，根据运算规则进行化简求解，最终得到新的解析式。

题目3：已知函数$h(x)=\frac{1}{x}$，求$h\left(\frac{1}{x}\right)$的解析式。

解析：将$\frac{1}{x}$代入函数$h(x)$的解析式中，即可求得$h\left(\frac{1}{x}\right)$的解析式。

将$\frac{1}{x}$代入$h(x)$中的$x$，得到：$h\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}$将分子分母取倒数，得到最终的解析式：$h\left(\frac{1}{x}\right)=x$在这道题中，我们使用了取倒数的运算规则，将原函数中的$x$的倒数代入得到新的解析式。

抽象函数导数问题的求解策略修改版

抽象函数导数问题的求解策略A.1.已知函数)(x f y =)(R x ∈，且2)1(=f ，其导函数1)('<x f ，则不等式1)(+<x x f 的解集为（）【策略一】构造特殊函数，令2)(=x f ，则0)('=x f 满足条件，令12+<x 解得1>x ，故选D.【策略二】构造一般函数，令1)()(--=x x f x g ，则01)()(''<-=x f x g ，所以上单调递减在R x g )(，1)(+<x x f 即0)(<x g ，又因为011)1()1(=--=f g ，所以当1>x 时满足0)(<x g 即1)(+<x x f 成立，故选D.2.已知函数)(x f y =)(R x ∈，且2)1(=-f ，其导函数2)('>x f 对于任意实数x 恒成立，【策略一】构造特殊函数，令53)(+=x x f ，则3)('=x f 满足条件，令4253+>+x x 解【策略二】构造一般函数，令42)()(--=x x f x g ，则02)()(''>-=x f x g ，所以上单调递增在R x g )(，42)(+>x x f 即0)(>x g ，又因为04)1(2)1()1(=----=-f g ，所以当1->x 时满足0)(<x g3.已知函数)(x f y =)(R x ∈，且b kx x f +=00)(，其导函数 ))0()()(0()(''<<><k k x f k k x f ，则不等式b kx x f +<)(的解集（）【策略一】构造特殊函数，令b kx x f +=0)(，则0)('=x f 满足条件，令b kx b kx +<+0解得x 的范围即可。

微专题6-含导数的抽象函数的构造(教案)

微专题6-含导数的抽象函数的构造一、构造和差函数对于()()0f x a a '≥≠，可构造()()F x f x ax =-，则()F x 单调递增．例1、已知()()y f x x =∈R 的导函数()f x '满足()3f x '>且(1)3f =，则不等式()3f x x >的解集是．【答案】(1,)+∞【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ''=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30Ff =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．二、构造积函数对于()()()()0f x g x g x f x ''+≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增．(特例：对于'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增．）例2、设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2019)(2019)4(2)0x f x f ++-->的解集为（）A．(2020,0)-B．(2021,0)-C．(,2020)-∞D．(,2021)-∞-【答案】D【解析】令2()()g x x f x =，2()()2()(()2())g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，∵当0x <时，22()()0f x xf x x '+>>，∴[()2()]0x xf x f x '+<，∴2()()g x x f x =在(,0)-∞上是减函数，∴2(2019)(2019)4(2)0x f x f ++-->可化为22(2019)(2019)4(2)(2)(2)x f x f f ++>-=--，∴201920x +<-<，故2021x <-．故选D．三、构造商函数对于'()()()'()0f x g x f x g x -≥，可构造()()()f x F xg x =，则()F x 单调递增．（特例：对于'()()0f x f x -≥，可构造()()x f x F x e=，则()F x 单调递增．）例3、设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解集为．【答案】(1,)+∞【解析】设()()xf x F x e =，则()()()x f x f x f x e '-'=，∵()()f x f x '>，∴()0F x '>，即函数()F x 在定义域上单调递增．∵1()(21)x ef x f x -<-，∴21()(21)x x f x f x e e--<，即()(21)F x F x <-，∴21x x <-，即1x >．∴不等式1()(21)x ef x f x -<-的解集为(1,)+∞．课堂自主练习1、已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()0f x f x '+<，(0)1f =，则不等式()1x e f x <的解集为．【答案】(0,)+∞【解析】令()()x g x e f x =，因为()()0f x f x '+<，所以()()()0x x e f x e f x ''+<，故()(())0x g x e f x ''=<，故()g x 在R 上单调递减，又(0)1f =，∴0(0)(0)1g e f ==．∴不等式()1xef x <可转化为()(0)g x g <，根据()g x 单调性可得x >，即()1x e f x <的解集为(0,)+∞．2、已知定义在[1,4]的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()2()0xf x f x '+>，且3223f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式232()0f x x ->的解集为．【答案】3,42⎛⎤⎥⎝⎦【解析】构造函数2()()F x x f x =，∴当[1,4]x ∈时，2'()2()()[2()()]0F x xf x x f x x f x xf x ''=+=+>，故函数()F x 在区间[1,4]上递增，且23333(()()2222F f =⋅=，∴原不等式232()0f x x ->可变为23()2x f x >，即3()(2F x F >，根据单调性有342x <≤，故原不等式的解集为3,42⎛⎤ ⎥⎝⎦．3、已知()()y f x x =∈R 的导函数为()f x '，若3()()2f x f x x --=且当0x ≥时2()3f x x '>，则不等式2()(1)331f x f x x x -->-+的解集是．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令3()()F x f x x =-，则由3()()2f x f x x --=，可得()()F x F x -=，故()F x 为偶函数，又当0x ≥时，2()3f x x '>即'()0F x >，所以()F x 在[0,)+∞上为增函数．不等式2()(1)331f x f x x x -->-+可转化为()(1)F x F x >-，∴根据()F x 单调性和奇偶性可得1x x >-，解得12x >．4、已知f′(x)是定义在R 上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)>0的解集为()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(－∞，0)D．(－1，＋∞)解：令g(x)＝f（x）e2x ，则g′(x)＝f′（x）－2f（x）e2x<0在R 上恒成立，所以g(x)在R 上单调递减，又因为g(－1)＝0，f(x)>0⇔g(x)>0，所以x<－1.故选A.。

抽象函数及其导函数的性质探究及应用

核心考点抽象函数及其导函数的性质探究及应用孙志鹏(山东省济南第七中学)㊀㊀由于近年高考数学真题以及模拟试题中出现了一类比较新颖的数学问题,即侧重考查抽象函数及其导函数性质的灵活运用,所以学生有必要认真探究有关抽象函数及其导函数的常用性质,以便在选择题或填空题中直接运用,同时也有利于提高解题的准确性,进而提升数学核心素养．１㊀性质探究问题１㊀已知函数f(x)是奇函数(或偶函数),试探究其导函数fᶄ(x)的奇偶性．探究１㊀若f(x)是奇函数,则f(－x)＝－f(x),两边求导可得－fᶄ(－x)＝－fᶄ(x),化简得fᶄ(－x)＝fᶄ(x),所以fᶄ(x)是偶函数．若f(x)是偶函数,则f(－x)＝f(x),两边求导可得－fᶄ(－x)＝fᶄ(x),化简得fᶄ(－x)＝－fᶄ(x),所以fᶄ(x)是奇函数．结论１㊀若f(x)是奇函数,则其导函数fᶄ(x)是偶函数;若f(x)是偶函数,则其导函数fᶄ(x)是奇函数．问题２㊀已知函数f(x)的图像关于点(a,０)对称(或关于直线x＝a对称),试探究其导函数fᶄ(x)图像的对称性．探究２㊀若f(x)的图像关于点(a,０)对称,则f(a＋x)＋f(a－x)＝０,两边求导可得fᶄ(a＋x)－fᶄ(a－x)＝０,即fᶄ(a＋x)＝fᶄ(a－x),所以fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称．若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则f(a＋x)＝f(a－x),两边求导得fᶄ(a＋x)＝－fᶄ(a－x),所以fᶄ(a＋x)＋fᶄ(a－x)＝０,故fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称．结论２㊀若f(x)的图像关于点(a,０)对称,则其导函数fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称;若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则其导函数fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称．问题３㊀已知fᶄ(x)是奇函数(或偶函数),试探究函数f(x)的奇偶性．探究３㊀若fᶄ(x)是奇函数,则因为[f(x)＋C]ᶄ＝fᶄ(x)(其中C为常数),所以f(x)＋C是偶函数,则f(－x)＋C＝f(x)＋C,即f(－x)＝f(x),故函数f(x)是偶函数．若fᶄ(x)是偶函数,则因为[f(x)＋C]ᶄ＝fᶄ(x) (其中C为常数),所以f(x)＋C是奇函数,故f(－x)＋C＝－f(x)－C,即f(－x)＋f(x)＝－２C,所以函数f(x)的图像关于点(０,－C)对称,显然只有当C＝０时,才能保证函数f(x)是奇函数,其他情况下不能得到函数f(x)是奇函数．结论３㊀若fᶄ(x)是奇函数,则函数f(x)是偶函数;若fᶄ(x)是偶函数,则函数f(x)的图像关于点(０,t)对称(其中t为常数),但f(x)不一定是奇函数．问题４㊀已知函数fᶄ(x＋a)是奇函数,即fᶄ(x)的图像关于点(a,０)对称(或函数fᶄ(x＋a)是偶函数,即fᶄ(x)的图像关于直线x＝a对称),试探究函数f(x)图像的对称性．探究４㊀若函数fᶄ(x＋a)是奇函数,则因为[f(x＋a)＋C]ᶄ＝fᶄ(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是偶函数,则f(－x＋a)＋C＝f(x＋a)＋C,即f(－x＋a)＝f(x＋a),故函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．若函数fᶄ(x＋a)是偶函数,则因为[f(x＋a)＋C]ᶄ＝fᶄ(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是奇函数,则f(－x＋a)＋C＝－f(x＋a)－C,即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝－２C,故函数f(x)的图像关于点(a,－C)对称,所以只有当C＝０时,才能保３４核心考点证函数f (x )的图像关于点(a ,０)对称,其他情况下不能得到函数f (x )的图像关于点(a ,０)对称．结论４㊀若f ᶄ(x )的图像关于点(a ,０)对称,则函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称;若f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝a 对称,则函数f (x )的图像关于点(a ,t )对称(其中t 为常数),但不一定关于点(a ,０)对称．２㊀应用举例例１㊀已知函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x －１)为奇函数,f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２,f ᶄ(－１)＝２,则ð２５i ＝１fᶄ(２i －１)＝(㊀㊀)．A．１３㊀㊀B ．１６㊀㊀C ．２５㊀㊀D．５１因为f (x －１)为奇函数,所以f (x )的图像关于点(－１,０)对称,故根据前述结论２可知f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝－１对称．因为f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２,所以f ᶄ(x )的图像关于点(１,１)对称．于是,函数f ᶄ(x )是以４ˑ|１－(－１)|＝８为周期的函数．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝１,化简可得fᶄ(１)＝１．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝３,可得fᶄ(－１)＋f ᶄ(３)＝２,又f ᶄ(－１)＝２,所以f ᶄ(３)＝０．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝５,可得fᶄ(－３)＋f ᶄ(５)＝２,所以f ᶄ(－３＋８)＋f ᶄ(５)＝２,化简可得f ᶄ(５)＝１．在f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２中,令x ＝７,可得fᶄ(－５)＋f ᶄ(７)＝２,所以fᶄ(－５＋８)＋f ᶄ(７)＝２,即f ᶄ(３)＋f ᶄ(７)＝２,又f ᶄ(３)＝０,所以f ᶄ(７)＝２．因为f ᶄ(x )是以８为周期的函数,所以数列{f ᶄ(n )}的周期为８,故数列{fᶄ(２n －１)}的周期为４．因此,有ð２５i ＝１fᶄ(２i －１)＝６[f ᶄ(１)＋f ᶄ(３)＋f ᶄ(５)＋fᶄ(７)]＋f ᶄ(１)＝６(１＋０＋１＋２)＋１＝２５,故选C ．求解本题的关键在于以下两点:一是通过分析f ᶄ(x )的周期性,可知数列{fᶄ(２n －１)}的周期性;二是对已知等式f ᶄ(２－x )＋f ᶄ(x )＝２赋值,求得f ᶄ(１),f ᶄ(３),f ᶄ(５),fᶄ(７)的值．例２㊀设定义在R 上的函数f (x )和g (x )的导函数分别是f ᶄ(x )和g ᶄ(x ),已知f (x )＝g (３－x )－１,fᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),且f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝１对称,那么下述结论不一定正确的是(㊀㊀)．A ．f (x )＋f (２－x )＝０B ．fᶄ(２)＝０C ．g (１－x )＝g (１＋x )D ．gᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０因为f ᶄ(x )的图像关于直线x ＝１对称,所以根据前述结论４可知f (x )的图像不一定关于点(１,０)对称,即不一定有f (x )＋f (２－x )＝０成立,故选项A 不一定正确．因为f (x )＝g (３－x )－１,所以两边求导得fᶄ(x )＝－g ᶄ(３－x ),令x ＝２,得f ᶄ(２)＝－g ᶄ(１)．因为f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),所以令x ＝１,得f ᶄ(２)＝gᶄ(１)．于是,可知f ᶄ(２)＋f ᶄ(２)＝－g ᶄ(１)＋g ᶄ(１)＝０,即f ᶄ(２)＝０,故选项B 一定正确．因为f ᶄ(x )＝－g ᶄ(３－x ),所以f ᶄ(x ＋１)＝－g ᶄ(２－x ),又因为f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x ),所以gᶄ(x )＝－g ᶄ(２－x ),即g ᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０,故选项D 一定正确．因为g ᶄ(x )＋g ᶄ(２－x )＝０,所以g ᶄ(x )的图像关于点(１,０)对称,所以根据前述结论４可知函数g (x )的图像关于直线x ＝１对称,即g (１－x )＝g (１＋x ),故选项C 一定正确．综上,选A．本题具有一定的难度,其中选项B ,C ,D 分析的切入点是对等式f (x )＝g (３－x )－１两边求导,使之能够与题设条件f ᶄ(x ＋１)＝g ᶄ(x )紧密联系起来,从而帮助我们顺利解决目标问题．对抽象函数及其导函数的常用性质(主要是奇偶性㊁对称性)进行深入探究,不仅能够帮助我们厘清其中存在的辩证关系,而且能够明白其中的具体缘由．显然,理解㊁掌握了上述关于抽象函数及其导函数性质的常用结论,有助于迅速求解相关选择题和填空题,既大大节约了分析㊁思考的时间,也避免了一些错误的产生,真可谓高效解题．(完)４４。

2.6.2 导数专题提升-抽象函数求导与求导逆运算(构造函数)

2.6.2导数专题提升2-抽象函数求导与求导逆运算（构造函数）类型一()0)(''>±x h x f 型，构造函数)()()(x h x f x g -= 特别的 ()k x f >'型，构造函数kx x f x g -=)()(例1 （1）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x R ∈，f （x ）＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（）A(-1,1) B(-1，+∞） C(-∞,-1) D(-∞,+∞)（2）设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞〖变式1〗（1）函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足()1'>x f ，且3)2(=f ，则不等式1)(+<x x f 的解集为；（2）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（） A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭类型二()()0'>+x f x xf 型，构造函数)()(x xf x g =例2（1）若奇函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足()()0'>+x f x xf ，0)3(=f ，则不等式0)(>x xf 的解集为；0)(>x f 的解集为。

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第11讲抽象函数课件理

f(1)＝f12＋12＝f12＋f12＝2f12， ff((x2))f＝(－f(x1)＋＝1－)＝[f(fx(1)])2＋≤0f(.1故)＝选2Df(1. )，∴f(1)＝12f(2)．
第十页，共24页。
考点(kǎo对di数ǎn函)数2(duìshùhán shù)型抽象函数
例 2：已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，对定义域内的任意(rènyì) x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1 时 f(x)>0， f(2)＝1.
f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数 f(x)是增函数．
第十九页，共24页。
【互动(hù dònɡ)探究】
3．对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③fxx11－－xf2x2>0； ④fx1＋2 x2<fx1＋2 fx2. 当 f(x)＝lgx 时，上述(shàngshù)结论中正确的序号是②___③_____．
第十五页，共24页。
考点(kǎo 指di数ǎn函) 数3 型抽象(chōuxiàng)函数
例 3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时， f(x)>1，且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
③
fx1－fx2 x1－x2
>0；
④
fx1－1
x1
<0(x1≠0)；
1
⑤f(－x1)＝ fx1.
当 f(x)＝2x 时，上述(shàngshù)结论中正确的序号是_______.

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抽象函数的导数问题
所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：
（1）根据条件设法确定函数的单调性；
（2）要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造
什么样的函数，一方面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数
【求导的四则运算】
法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±.
法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+g .
法则3 2()'()()()'()[]()()
f x f x
g x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有（）
A.(0)(2)2(1)f f f +<
B. (0)(2)2(1)f f f +≤
C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D . (0)(2)2(1)f f f +>
分析：这个题目的条件 (1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：
由(1)'()0x f x -≥得：
（1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增；
（2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减；
综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，
得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C
【典型构造】
若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增；
若条件是'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增；若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增；若条件是'()()0xf x nf x +≥，可构造()()n F x x f x =，则1'()['()()]0n F x x xf x nf x -=+≥，若10n x ->，则()F x 单调递增；例2、()f x 是R 上的可导函数，且'()+()0>f x f x ，21(0)1,(2)f f e
==，求(1)f 的值分析：构造()()x F x e f x =，则'()('()())0x F x e f x f x =+≥，所以()F x 单调递增或为常函数，而0(0)(0)1F e f ==，2(2)(2)1F e f ==，所以()1F x =，故1(1)(1)1F e f ==，得1(1)f e
=
例3、（07陕西理）()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（）
A ．()()af b bf a ≤
B ．()()bf a af b ≤
C ．()()af a bf b ≤
．()()bf b af a ≤ 分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，1()()f x g x x
=或
2()()g x xf x =，下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：
112()'()()()'()f x xf x f x g x g x x x -=⇒=，因为()0f x ≥，
()()0()()0xf x f x xf x f x ''+⇔≤-≤≤，得()0xf x '≤，则'()()0xf x f x -≤，故1'()0g x ≤，于是由a b <得()()f a f b a b
≥，即()()af b bf a ≤，选A
例3、定义在(0,)2π上的函数()f x ，导数为'()f x ，且()'()tan f x f x x <，则下式恒成立的是（）
A.
()()43ππ> B. (1)2()sin16f f π
< C.
()()64f ππ>
()()63f ππ
< 解：因为()'()tan f x f x x <，所以sin ()'()cos x
f x f x x <，即
'()sin ()cos 0f x x f x x ->，构造()()sin f x F x x
=，则2'()sin ()cos '()0sin ()f x x f x x F x x -=>，所以()F x 单调递增，因63ππ<，所以()()63F F ππ<，即()()63sin sin 63f f ππ
ππ<
()()63f ππ<，选D 练习
1、已知函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上，'()f x x >，则不等式(2)()22f a f a a --≥-的解集为（）
A. [1,)+∞
B. (,1]-∞
C. (,2]-∞
D. [2,)+∞
解析：构造21g()()2x f x x =-，则
2211g()()()()()022
x g x f x x f x x -+=---+-=，故g()x 为奇函数，且在(0,)+∞上，'()'()0g x f x x =->，故g()x 是增函数，而2211(2)()22(2)(2)[()]22
f a f a a f a a f a a ---+=-----g(2)()a
g a =--，故只需2a a -≥，得1a ≤，选B
2、设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（）
.()()A f x g x > .()()B f x g x <
.()()()()C f x g a g x f a +>+ .()()()()D f x g b g x f b +>+ 解析：构造函数，则易知单调递增，于是，，选C
3、
（2011高考辽宁）函数的定义域为R ,(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（）
A. (1,1)-
B.(1,)-+∞
C. (,1)-∞-
D. (,)-∞+∞ 解析：构造函数()()24F x f x x =--，则'()'()2220F x f x =->-=，所以()F x 在R 上单调递增，又因为(1)(1)2(1)40F f -=----=，则()24()240()0f x x f x x F x >+⇔-->⇔>，于是的1x >-，选B
4、已知函数()f x 满足(1)1f =，导函数1'()2f x <，则不等式2()1f x x <+的解集为（） ()()()F x f x g x =-()F x ()()()F a F x F b <<()()()()f x g x f a g a ->-。