2018届高三查漏补缺数学试题 含答案
福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)理科数学答案
2018年泉州市高三毕业班3月质检理科数学 答题卡姓名：______________________________ 准考证号 2 0 5 3 6第I 卷（请规范书写ABCD ）题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C A B C 题号 7 8 9 10 11 12 答案BCCDBD第II 卷(请在各试题的答题区内作答)成绩（13）5 ； （14）6； （15）4； （16）43． 17. （本小题满分12分解：（Ⅰ）由已知1，n a ，n S 成等差数列，得21n n a S =+…①, 1分当1n = 时，1121a S =+，所以11a =； 2分当2n ≥时，1121n n a S --=+…②， 3分①②两式相减得122n n n a a a --=，所以12n n aa-=， 4分 则数列{}n a 是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列， 5分所以1111122n n n n a a q ---==⨯=． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()()()()11122 112121nn n n nn n a b a a ++++==----7分 1112121n n +=---， 9分所以，12n b b b +++ 2231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--11分因为1221213n +-≥-=，1110213n +<≤-， 所以12111321n +≤-<-，即证得12213n b b b ≤+++<． 12分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）连结CE ．在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，23AB ，4BC ，6AD ，13AE AD ， ∴12A E AE ==，4BE DE ==， 1分∴四边形BCDE 为菱形，且BCE ∆为等边三角形．又∵P 为BE 的中点，∴CP BE ⊥. 2分∵1122A P BE ==，23CP =，14AC ， 满足22211A P CP A C +=，∴1CP A P ⊥， 3分又∵1A P BE P =，∴CP ⊥平面1A BE . 4分∵CP ⊂平面1A CP ，∴平面1A CP 平面1A BE ． 5分 （Ⅱ）以P 为原点，向量,PB PC 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系P xyz -（如图）， 6分 则()0,0,0P (0,23,0)C ，(4,23,0)D -，()11,0,3A -，所以()11,0,3PA =-，(4,23,0)PD =-， 7分 设(),,x y z =n 是平面1A PD 的一个法向量， 则10,0,PA PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,4230,x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩8分 取1z =，得(3,2,1)=n ． 9分取平面1A BE 的一个法向量()0,1,0=m ． 10分 ∵22cos ,222===n m n m n m ， 11分 又二面角1B A P D --的平面角为钝角，所以二面角1B A P D --的余弦值为22-． 12分 z yx A1P DE CB请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15. 1分 记X 为树苗的高度，结合图19-1可得： 2(1.20 1.30)(1.70 1.80)0.02100f X f X <≤=<≤==， 2分 13(1.30 1.40)(1.60 1.70)0.13100f X f X <≤=<≤==， 3分 1(1.40 1.50)(1.50 1.60)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，4分 又由于组距为0.1，所以0.2, 1.3, 3.5a b c ===． 5分（Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在[1.40,1.60]的概率为：(1.40 1.60)(1.40 1.50)(1.50 1.60)0.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=6分 因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ， 7分故ξ的分布列为：33()C 0.30.7(0,1,2,3)n n n P n n ξ-==⋅⋅=， 8分即： ξ 0 1 2 3 ()P ξ 0.027 0.189 0.441 0.343 ()00.02710.18920.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （或()30.7 2.1E ξ=⨯=）. 9分（III ）由(1.5,0.01)N ，取 1.50μ=，0.1σ=， 由（Ⅱ）可知，()P X μσμσ-<≤+=(1.40 1.60)0.7>0.6826P X <≤=，10分又结合（Ⅰ），可得：(22)P X μσμσ-<≤+=(1.30 1.70)P X <≤ 2(1.60 1.70)(1.40 1.60)f X P X =⨯<≤+<≤ 0.96>0.9544=， 11分所以这批树苗的高度满足近似于正态分布(1.5,0.01)N 的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收． 12分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效由32NP NM=可得y⎧⎪⎨所以点P的轨迹E的方程为11a-≤或≥，1][1,)+∞．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。
2018理科数学——查漏补缺试题及其答案
2018年高考查漏补缺针对性练习题—理科数学一、三角部分1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B ·cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc . (1)若sin B ＝2cos C ，求tan C 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 的面积S ＝22，且b >c ，求b ，c .4．已知函数g ()x ＝34－12sin x cos x －32sin 2x ，将其图象向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f ()x ＝a cos 2()x ＋φ＋b （a>0,b ∈R,2πϕ≤ ）的图象．(Ⅰ)求实数a ，b ，φ的值；(Ⅱ)设函数φ()x ＝g ()x －3f ()x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数φ()x 的单调递增区间和最值．参考答案：1[解] (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ，..............3分 化简得sin A ＝32，故A ＝π3或A ＝2π3.......................5分 (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，................7分故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6..................................9分因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2，所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)…………… 12分2解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋(52)2－(72)22×2×52＝－15………….4分(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3……… 12分3解：(Ⅰ)∵3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc ，∴3(b 2＋c 2－a 2)＝2bc ，由余弦定理可得cos A ＝13，sin A ＝223，………..3分又sin B ＝2cos C ，∴sin(A ＋C )＝2cos C ， 223cos C ＋13sin C ＝2cos C ∴2cos C ＝sin C ，tan C ＝2，……………….7分(Ⅱ)由12bc sin A ＝22，又sin A ＝223∴bc ＝32，……………………..10分又3(b 2＋c 2)＝12＋2bc ⇒b 2＋c 2＝5，又b >c ，故b ＝322，c ＝22………………..12分4解：(Ⅰ)依题意化简得g ()x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，平移g (x )得 f ()x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋12 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π6＋12 ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋12＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∴a ＝1，b ＝0，φ＝π36分(Ⅱ)φ(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－32由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π()k ∈Z得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，因为x ∈[0，π2]，所以当k ＝0时，在⎣⎡⎦⎤0，π12上单调增， ∴φ(x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π12， 值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.故φ()x 的最小值为－3，最大值为1－32. 12分二、数列部分1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,且S n =ta n -12,其中n ∈N *.(1)求实数t 的值和数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =log 3a 2n ,求数列的前n 项和T n .2．已知数列{a n }满足a 1=6,a n+1=4-(n 为正整数). (1)求证:数列为等差数列;(2)若b n =,求数列{b n }的前n 项和S n .3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 4=24,S 7=63. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =+(-1)n ·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案：1解：（1）当n=1时,a 1=S 1=ta 1-,得t=, 从而S n =a n -, 则n ≥2时,a n =S n -S n-1=得a n =3a n-1,又a 1≠0得=3,故数列{a n }为等比数列,公比为3,首项为1.∴a n =3n-1.（2）由①得a 2n =32n-1得b n =2n-1, ∴,得T n ==.2解析：(1)证明: ∵===2,∴数列为等差数列. (2)解: a 1=6,=2,则=2+2(n-1)=2n ,则a n =,b n ==,则S n =b 1+b 2+…+b n =+…+.3解: (1)因为{a n }为等差数列, 所以⇒a n =2n+1.(2)∵b n =+(-1)n ·a n =22n+1+(-1)n ·(2n+1)=2×4n +(-1)n ·(2n+1),∴T n =2(41+42+…+4n )+[-3+5-7+9-…+(-1)n (2n+1)]=+G n ,当n=2k (k ∈N *)时,G n =2×=n ,∴T n =+n.当n=2k-1(k ∈N *)时,G n =2×-(2n+1)=-n-2,∴T n =-n-2,∴T n =三、极坐标参数方程部分1． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是13,3αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩x cos y sin （α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线l 的极坐标方程()03πθρ=≥，且l 分别交曲线12C C 、于A B 、两点，求AB .2．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）后得到曲线3C ，射线（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ．3．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，的直线l 的参数方程为：(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值.参考答案：1解析：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=，∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=. 将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. （2代入1:C22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=，解得12ρ=，即∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆，()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即2解析：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， 所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．，所以||||||1AB OA OB =-=．3解析：(1)由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得： ()2sin 2cos a ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为： 22y ax = (a > 0) ……………2分t 得直线l 的普通方程为2y x =-……………4分 (2)解：将直线l 代入22y ax =中得：6分设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2..8分，∴()()22121212124=t t t t t t t t -=+-即()()284404a a +=+，解得1a =．…………..10分四、概率统计部分1.某厂生产不同规格的一种零件，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸x （mm ）之间近似满足关系式by ax =（a , b 为大于0的常数）．现随机抽取6件合格零件，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：（Ⅰ）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；（Ⅱ）按照某项指标测定，当零件质量与尺寸的比值在区间,97e e ⎛⎫⎪⎝⎭内时为优等品，现从抽取的6件合格零件中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n νμνμνμ ，其回归直线=+μαβν的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,.ni ii n i i n n νμνμβαμβννν==-⋅==--∑∑2.某公司监管部门推出了针对职员服务态度与办事效率的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，顾客可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位顾客的信息，发现对办事效率满意的占60%，对服务态度满意的占75%，其中对办事效率与服务态度都满意的为80人.（Ⅰ）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为办事效率与服务态度有关？ （Ⅱ）为了改进工作作风，从抽取的200位顾客中对服务态度不满意的再抽取3位征求意见，用ξ表示3人中对办事效率与服务态度都不满意的人数，求ξ的分布列与期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.3.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一（Ⅰ）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5－7分钟，乙每次解答一 道几何题所用的时间在6－8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答 完的概率．（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究， 记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++4.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .5.在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数Y 受（Ⅱ）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元．为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？参考答案：1解：(Ⅰ)对(,0)b y ax a b =>两边取自然对数得ln ln ln y b x a =+，令ln i i v x =，ln i i u y =，得ln u bv a =+，由122112ni i i ni i v u nvubv nv==-==-∑∑ ， ln 1a =， a e =，故所求回归方程为12y ex =. （Ⅱ）由1212(,)498197y ex e e e x x x x ==∈⇒<<，58,68,78x =即优等品有3件， ξ的可能取值是0,1,2,3，且0333361(0)20C C p C ξ⋅===，1233369(1)20C C p C ξ⋅===， 2133369(2)20C C p C ξ⋅===，3033361(3)20C C p C ξ⋅=== 其分布列为0123202020202E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2解：（Ⅰ）对办事效率满意的为20060%120⨯=人，对服务态度满意的为20075%150⨯=人，对办事效率与服务态度都满意的为80人，列出22⨯列联表如下：所以()222008010407010010.82815050120809K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为办事效率与服务态度有关． （Ⅱ）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()()312401040335050247390;149098C C C P P C C ξξ======；()()213104010335050932;398490C C C P P C C ξξ======， ∴ξ的分布列为()24739933012349098984905E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．3解：(1)由表中数据得2K 的观测值()2250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关(2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟， 则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为y x >∴ 11112()228P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为18. (3) 由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C = 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2， 15(0)28P X ==， 123(1)287P X ===， 1(2)28P X == X 的分布列为：X 0 1 2 P2815 73 281 yx11O151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=4解：(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”， B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=，2()0.003500.15P A =⨯=，()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=（Ⅱ）X 可能取的值为0,1,2,3，(3,0.6)X B ，相应的概率分别为033(0)(10.6)0.064P X C ==-=， 123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==-= 223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==-=， 333(3)0.60.216P X C ===X 的分布列为因为(3,0.6)X B ，所以期望()30.6 1.8E X =⨯=，方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=.5解：（Ⅰ）依题意，.2.05010)8040(1==<<=X p p 7.05035)12080(2==≤≤=X p p 35(120)0.1.50p p X =>==随机变量的数学期望为（Ⅱ）记水电站总利润为Z （单位：万元） ① 安装1台发电机的情形.水库年流入量总大于40，故一台发电机运行概率为1，对应的年利润.500015000)(,5000=⨯==Z E Z ② 安装2台发电机的情形. 依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时,42008005000=-=Z 2.0)8040()4200(=<<==X P Z P ；当80≥X 时，两台发电机运行，此时,1000025000=⨯=Z 8.0)80()10000(=≥==X P Z P . 由此Z)(Z E安装3台发电机的情形. 依题意，当8040<<X ，一台发电机运行，,340016005000=-=Z 2.0)8040()3400(=<<==X P Z P ；当12080≤≤X ，两台发电机运行，,920080025000=-⨯=Z 7.0)12080()9200(=≤≤==X P Z P .当120>X ，三台发电机运行，,1500035000=⨯=Z 因此1.0)120()15000(=>==X P Z P ． 由此Z)(Z E综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台．五、立体几何部分1.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =．（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的正弦值．2.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥,//AB CD ,222AB AD CD ===,E 是PB 上的一点. （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角P AC E --的余弦值为3PA 与平面EAC 所成角的正弦值．3.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且1 2.AA AB ==（Ⅰ）求证：AB BC ⊥;（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π，请问在线段1AC 上是否存在点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π，请说明理由.4.如图所示，圆柱底面的直径AB 长度为O 为底面圆心，正三角形ABP 的一个顶点P 在上底面的圆周上，PC 为圆柱的母线，CO 的延PCBAOFE长线交O 于点E ，BP 的中点为F . （Ⅰ）求证：平面ABP ⊥平面ACF ； （Ⅱ）求二面角F CE B --的正切值.5.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD AB ==，60ABC ∠=︒，将三角形ABD沿BD 折起，使点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上. （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABD ； （Ⅱ）求二面G AC D --的平面角的余弦值.参考答案：1解：（Ⅰ）证明：连1AC ，1CB ，则1ACC ∆和1BCC ∆皆为正三角形．取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，11CC OB ⊥，则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1OA OB =1AB所以1OA OB ⊥．如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA为正方向建立空间直角坐标系，则(0,1,0)C -，1B，A ，设平面1CAB 的法向量为111(,,)m x y z =，因为1AB =，(0,1,AC =-，所以11111100010x y z x y z +⨯=⨯-⨯=⎪⎩，取(1,m = .设平面11A AB 的法向量为222(,,)n x y z =，因为1AB = ，1(0,2,0)AA =，所以222111000200x y z x y z +⨯=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取(1,0,1)n = ．则cos ,||||m n m n m n ⋅<>===，所以二面角C-AB 1-A 1的正弦值为515．2解析：（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴AC PC ⊥，∵=2AB ，1AD CD ==，∴AC BC == ∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥， 又BC PC C = ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 中点F ，,,CF CD CP分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(1,1,0)A ，(1,1,0)B -．设(0,0,)P a (0)a >，则11(,,)222aE -，(1,1,0)CA = ，(0,0,)CP a = ，11(,,)222a CE =-取(1,1,0)m =-，则0m CA m CP ⋅=⋅= ，m 为面PAC 的法向量.（或几何法证明BC ⊥面PAC ）设(,,)n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取,,2x a y a z ==-=-，则(,,2)n a a =--依题意，|cos ,|||||||m n m n m n ⋅<>===，则2a = 于是，(2,2,2)n =-- ，(1,1,2)PA =-.设直线PA 与平面EAC 所成夹角为θ，则sin |cos ,|3||||PA n PA n PA n θ⋅=<>==即直线PA 与平面EAC3.（Ⅰ）证明：连接1AB 交1AB 于点D ，因1AA AB =，则1AD A B ⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1ABC 侧面11A ABB 1A B =， 得1AD A BC 平面⊥，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥. 三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱，则1AA ABC ⊥底面，所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. （Ⅱ）由（Ⅰ）1AD A BC 平面⊥，则ACD ∠直线AC 与平面1A BC 所成的角所以6ACD π∠=，又AD=AC =假设在线段1AC 上存在一点E ，使得二面角A BE C --的大小为23π. 由111ABC A B C -是直三棱柱，所以以点A 为原点，以1AC AA 、所在直线分别为,x z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，且设11(01)A E AC λλ=≤≤，则由1(0,0,2)A，C ，得,0,22)E λ-，所以,0,22)AE λ=-，AB=设平面EAB 的一个法向量1(,,)n x y z = ，由1AE n ⊥， 1AB n⊥ 得：(22)0x z λ+=+-=⎪⎩，取1(1,1,)1n λ=-- 由（1）知11AB A BC 平面⊥，所以平面CEB的一个法向量1AB=，所以111121cos 32AB n AB nπ∙===，解得12λ=.∴点E 为线段1AC 中点时，二面角A BE C --的大小为23π.4解：（Ⅰ）证明：正三角形ABP 中，F 为BP 的中点， ∴AF ⊥PB ∵PC 为圆柱的母线， ∴PC ⊥平面ABC ， 而AC 在平面ABC 内 ∴PC ⊥AC∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=°即 AC ⊥BCPC =BC C ，∴AC ⊥平面PBC ，而PB 在平面PBC 内, ∴AC ⊥PB AC =AF A ，∴PB ⊥平面ACF ，而PB 在平面ABP 内，∴平面ABP ⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，PC ⊥AC ，同理PC ⊥BC ， 而PA PB AB ===Rt PAC ∆≌Rt PBC ∆， ∴2AC BC PC ===……8分以C 为原点，,,CA CB CP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系PCBAOFE则(0,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,2)C F O P∵PC ⊥平面ABC ，∴(0,0,2)CP =为平面CEB 的一个法向量 设(,,)n x y z = 平面CEF 的一个法向量，(0,1,1),(1,1,0)CF CO ==则0CF n CO n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z x y +=⎧⎨+=⎩ ，令1y =-则(1,1,1)n =- 设二面角F CE B --的平面角为θ，∴cos ||||CP n CP n θ⋅===⋅∴sin 3θ==， 所以二面角F CE B --的正切值sin tan cos θθθ==5解析：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出BD =，4BC =，在BCD △中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上，∴AG ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥， 又BD DC ⊥，AG BD G = ，∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD DC ⊥，AG BD ⊥，G 为BD 中点，建立如图所示的空间坐标系，设2AD CD AB ===， 结合（Ⅰ）中的计算可得：()0,0,0D ，()0,2,0C，)G，)1A，，()0,0,1GA =，()GC =，设()1111,,n x y z = 是平面AGC的法向量，则11120z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()1n = .()0,2,0DC =，)DA = ，设()2222,,n x y z = 是平面ACD的法向量，则2220y z =⎧⎪+=，取(21,0,n =.设二面角G AC D --的平面角为θ，则12cos cos ,n n θ=<>=.六、圆锥曲线部分1.如图，已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点A ，B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数2λ的取值范围．2.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆过点F ，若圆M 的面积最小值为π.(1)求p 的值；(2)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA 、MB ，且满足AM F BM F ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.3．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ．若四边形ADBC 的面积为4，且恰与圆224:5O x y +=相切．（1）求椭圆M 的方程； （2） 已知直线l 与圆O 相切，交椭圆M 于点,P Q ，且点,A B 在直线l 的两侧．设APQ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，求12S S -的取值范围．4．如图，()10N ,是圆M ：()22116x y ++=内一个定点，P 是圆上任意一点．线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹E 是什么曲线？并求出其轨迹方程； （2）过点()01G ,作直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △的面积S 的最大值．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，其离心率3e =，过点()2,0B 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（异于1A ，2A ），当直线l 的斜率不存在时，PQ =． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：点S 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由．参考答案：1.解：（1）由题意得1(0,1)F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知15||13M MF y =+=，得23M y =，于是易知2()33M -，从而27||3MF ==，由椭圆定义知，122||||a MF MF =+4=，得2a =，故23b =，从而椭圆1C 的方程为22134x y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则由OA OB OP λ+=知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=，①又直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）与圆22(1)1x y ++=1=，由0k ≠，可得221tk t=-（1t ≠±，0t ≠），② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立， 且2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -=+，所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+，所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++，代入①式，得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++，所以2222443k t k λ=+，又将②式代入得，2222411()1t tλ=++，0t ≠，1t ≠±，易知22211()11t t ++>，且22211()13t t ++≠，所以244(0,)(,4)33λ∈ ．2.解：(1)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(2)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2.由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AM F BM F ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=.设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y kk+==-，. 将k 换成k -，得42B y k=--，∴22441444A B A B AB A B A B A By y y y k x x y y y y --=====--+--. 设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=.由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-……………………12分3解法一：（1）根据题意，可得：1224,21122a b ab ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,ab =⎧=………………………………2分 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩……………………………………………4分∴椭圆M 的方程为2214x y +=．………………………………………………5分（2）设:l x my n =+，(2,2)n ∈-，直线l 与圆O 相切，得，即224(1)5m n +=，………………………………6分 从而[)20,4m ∈.又1121(2)2S n y y =+-，2121(2)2S n y y =--，∴1212121(2)(2)2S S n n y y n y y -=⨯--+⋅-=⋅-.………………………7分将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(4)240m y mny n +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得12224mny y m +=-+，212244n y y m-=+． (8)∴12y y -=.∴12S S n -===85， 当20m =时，1285S S -=；………………………………10分当2(0,4)m ∈时，122S S -=<， (11)分且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．………………………12分解法二：（1）同解法一；（2）当直线l 的斜率不存在时，由对称性，不妨设:l x =，此时直线l 与椭圆的交点为，12182)(225S S ⎡⎤-=+--=⎢⎥⎣⎦. 直线l 的斜率存在时，设:l y kx b =+，由直线l 与圆O 相切，得=，即224(1)5k b +=. 又点,A B 在直线l 的两侧，∴(2)(2)0k b k b +-+<，2240b k -<，∴224(1)405k k +-<，解得12k >或12k <-.点,A B 分别到直线l 的距离为1d =2d =.将直线l 的方程与椭圆方程联立得222(14)8440k x kbx b +++-=，显然0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得122814kbx x k +=-+，21224414b x x k-⋅=+．………………………7分∴12PQ x =-= (8)分∴121212S S d d AB -=-⋅=b =b ====2<， 且1285S S ->.综上，128,25S S ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭．……………………………12分4【解析】（1）由题意得42QM QN QM QP MP MN +=+==>=， 根据椭圆的定义得点Q 的轨迹E 是以M 、N 为焦点的椭圆，·········2分2a ∴=，c =1b ∴=，∴轨迹方程为22143x y +=．·········4分（2）由题意知1222ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△（d 为点O 到直线l 的距离），设l 的方程为1y kx =+，联立方程得221 143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11A x y ,，()22B x y ,，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+，·········6分则234AB k ==+，·········8分又d =，·········9分ABDS d AB ∴==△ (10)分t =，由20k ≥，得1t ≥，2ABD S t t∴==+△，1t ≥，易证12y t t =+在()1+∞,递增，123t t ∴+≥，ABD S ≤△，ABD ∴△面积S．·········12分5【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为c ，···········2分32a b c ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为：22194x y +=．···········4分（2）设直线l 的方程为2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由1y ，2y···········6分()121245my y y y ⇒⋅=+，···········7分 直线1A P 的方程为：()1133y y x x =++， 直线2A Q 的方程为：()2233y y x x =--， 得：()()()()21123333x y x x y x -+=+-()()2112215325y y x my y y y ⇒+=⋅+-，···········9分把()121245my y y y ⋅=+代入得：()()211221215595355222y y x y y y y y y ⎛⎫+=++-=+⎪⎝⎭，即92x =，···········11分 故点S 恒在定直线92x =上．···········12分七、函数与导数部分1.已知函数()ln f x x =，21()2g x ax bx =+，0a ≠． （1）若2b =，且()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M ，N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行．2．已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<3．已知函数221()()ln ()2f x x x x ax a =++∈R ，曲线()y f x =在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直．（1）求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若λ是整数，当0x >时，总有2211()(3)ln 24f x x x x x λλ-+->+，求λ的最大值．4．设函数()()21e 2x k f x x x =--（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0k >时，讨论函数()f x 的零点个数．5．已知函数()()e ln 1x m f x x x m x -=---；（1）若1m =，求证：()f x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()=g x f x '，试讨论()g x 零点的个数．参考答案：1解：（1）2b =时，21()ln 22h x x ax x =--，则1'()2h x ax x =--221ax x x+-=-，因为函数()h x 存在单调递减区间，所以'()0h x <有解， 又因为0x >，则2210ax x +->有0x >的解， 所以22121(1)11a x x x>-=--≥-， 所以a 的取值范围为(1,0)(0,)-+∞ ．（2）设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，120x x <<， 则点M ，N 的横坐标为122x x x +=，1C 在点M 处的切线斜率为12112212|x x x k x x x +===+，2C 在点N 处的切线斜率为121222()|2x x x a x x k ax b b +=+=+=+， 假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行，则12k k =，即1212()22a x xb x x +=++，则222221212122112121122()()()()()ln ln 222x x a a ax x b x x x bx x bx y y x x x x -=-+-=+-+=-=-+，所以2212112(1)ln 1x x x x x x -=+，设21x t x =，则2(1)ln 1t t t -=+，1t >，①令2(1)()ln 1t r t t t -=-+，1t >，则22214(1)'()(1)(1)t r t t t t t -=-=++， 因为1t >时，'()0r t >，所以()r t 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0r t r >=， 则2(1)ln 1t t t->+，这与①矛盾，假设不成立， 故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行．2解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==，①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1x a=时，()0f x '=； 当1x a<时，()0f x '<； 当 1x a >时，()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増；③若0a <时，当12x a=-时，()0f x '=； 当12x a <-时，()0f x '<；当12x a >-时，()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増.（2）若0a =且()0,1x ∈， 欲证()211xf x x ex+-<， 只需证21ln 11xx x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-. 当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以()1(1)g x g <=. 设函数()31()x h x x x e =+-，则()23()23x h x x x x e '=+--. 设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--. 当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<， 故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减.当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-<⋅ 故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x < 从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减. 因为()()01,1h h e ==，故当()0,1x ∈时，()()01h x h >= 所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈， 即()()211,0,1xf x x x e x+-<∈. 解法二：（1）同解法一. （2）若0a =且()0,1x ∈， 欲证()211xf x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以()1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈，因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->， 又1x e e <<，所以()1h x >， 所以()()1h g x x <<， 即原不等式成立.解法三：（1）同解法一. （2）若0a =且()0,1x ∈， 欲证()211xf x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明211ln 1x x x-+-<， 只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈，则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<，则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=， 所以201ln x x x-+>成立， 即原不等式成立.3．解法一: （1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()(1)ln (2)12f x x x a x '=++++，……………………………………………………………1分依题意可得， (1)1f '=， 12122a ∴++=，14a ∴= .……………………………………………………………………2分()(1)ln (1)f x x x x '∴=+++=(1)(ln 1)x x ++令()0f x '=，即(1)(ln 1)0x x ++=，10,ex x >∴= ，……………………………………3分()f x ∴的单调递增区间是1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e .………………………………5分（2）由（Ⅰ）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++，2211()(3)ln 24f x x x x x λλ∴-+->+ln 31x x x x λ-⇔>+，………………………………6分 设ln 3()1x x xh x x -=+， ∴只要min ()h x λ>，……………………………………………7分2(1ln 3)(1)(ln 3)()(1)+-+--'=+x x x x x h x x22ln (1)x xx -+=+，…………………………………………………………………8分令()2ln u x x x =-+， 1()10u x x'∴=+> ()u x ∴在(0,)+∞上为单调递增函数，(1)10u =-< ， (2)ln 20=>u∴存在0(1,2)x ∈，使0()0u x =，……………………………………………………9分当0(,)x x ∈+∞时，()0u x >，即()0h x '>， 当0(0,)x x ∈时，()0u x <，即()0h x '<， ()h x ∴在0x x =时取最小值，且000min 0ln 3()1-=+x x x h x x ，………………………………10分又0()0u x = ， 00ln 2x x ∴=-， 000min 00(2)3()1--∴==-+x x x h x x x ，……………………………………………………11分00(1,2),(2,1)x x ∈∴-∈--又min ()h x λ< ，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分解法二：（1）同解法一.（2）由（1）可知， 2211()()ln 24f x x x x x =++2211()(3)ln 24f x x x x λλ∴-+->+ln 30x x x x λλ⇔--->.…………………………6分 设()ln 3g x x x x x λλ=---，∴只要min ()0g x >，………………………………………7分则()1ln 3g x x λ'=+--ln 2x λ=--令()0g x '=，则ln 2x λ=+，2x e λ+∴=.…………………………………………………8分 当2(0,)x e λ+∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2(,)x e λ+∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，2min ()()g x g e λ+∴=222(2)3e e e λλλλλλ+++=+---2e λλ+=--.…………………………9分设2()h e λλλ+=--，则()h λ在R 上单调递减，………………………………………10分 (1)10,(2)120h e h -=-+<-=-+> ，………………………………………………11分 0(2,1)λ∴∃∈--，使0()0h λ=，max 2Z λλ∈∴=- . …………………………………………………………………12分4【解析】（1）函数()f x 的定义域为()-∞+∞,，()()()e 1e e e x x x x f x x kx x kx x k '=+--=-=-，·········1分①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，，单调递增区间是[)0+∞,；·········2分 ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >．∴()f x 在()ln k -∞,和()0+∞,上单调递增，在[]ln 0k ,上单调递减；·········3分 ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在()-∞+∞,上单调递增；·········4分④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在()0-∞，和()ln k +∞,上单调递增，在[]0ln k ,上单调递减．·········5分 （2）()01f =-， ①当01k <≤时，由（1）知，当()0x ∈-∞,时，()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，此时()f x 无零点，·········6分当[)0x ∈+∞,时，()222e 2e 20f k =-≥->．又∵()f x 在[)0+∞,上单调递增，∴()f x 在[)0+∞,上有唯一的零点， ∴函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点；·········7分②当1k >时，由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；·········8分 当[)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，()()()2211111e e 22k k k k k f k k k ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 令()21e 2t g t t =-，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-， ∵2t >，()0g t ''>，()g t '在()2+∞,上单调递增，()()22e 20g t g ''>=->， ∴()g t 在()2+∞,上单调递增，得()()22e 20g t g >=->，即()10f k +>． ∴()f x 在[)ln k +∞,上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点．·········11分综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点．·········12分5【解析】（1）1m =时，()1e ln x f x x x -=-，()1'e ln 1x f x x -=--，········1分 要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()0f x '≥对0x >恒成立， 令()1e x i x x -=-，则()1e 1x i x -'=-，当1x >时，()0i x '>，···········2分当1x <时，()0i x '<，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 所以()()10i x i =≥，···········3分 即1e x x -≥（当且仅当1x =时等号成立），令()()1ln 0j x x x x =-->当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j =≥，即ln 1x x +≥（当且仅当1x =时取等号）， ()1e ln 1x f x x -'=--()ln 10x x -+≥≥（当且仅当1x =时等号成立）， ()f x 在()0+∞，上单调递增．···········5分 （2）由()e ln x m g x x m -=--有，显然()g x '是增函数， 令()00g x '=，得，00e e x m x =，00ln m x x =+， 则(]00,x x ∈时，()0g x '≤，[)0,x x ∈+∞时，()0g x '≥，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x ···········7分 ①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；···········8分②当1m <时，001x <<因02ln 0x <，001x <<，所以()0g x >0，()g x 没有零点；···········9分③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()e e e e e 0m m m m m g m m -----=+-=>，又对于函数e 1x y x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥， ∴当0x >时，1010y >--=，即e 1x x >+，∴()23e ln3m g m m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--， 令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m-=-=， ∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >， 又0e 1m x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，。
2018高考文科数学——查漏补缺试题及其答案
2018年高考查漏补缺针对性练习题—文科数学一、数列部分1．设n S 是正项递减等比数列}{n a 的前n 项和，3S ，710S ，5S 成等差数列，且11=a ， （1）求证：2a ，610a ，4a 成等差数列； （2）若)(,2*N n a nb n n ∈=+，求数列}{n b 的前n 项和n T .2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，521,,a a a 成等比数列，164=S ， （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若}{n a 是递增数列，且n n n S b )1(-=，求数列}{n b 的前n 2项和n T 2.3．已知数列}{n a 是各项均为正数的等差数列，n S 为其前n 项和，且对任意正整数n 都有122-=n n S a .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{nna b 是首项为1，公比为31的等比数列，求数列}{n b 的前n 项和n T .参考答案：1解析：（1）由已知得：53720S S S +=，即qq a q q a q q a --+--=--1)1(1)1(1)1(20513171， 化简得：53720q q q +=，3520q q q +=，所以3115120q a q a q a +=， 即42620a a a +=，所以2a ，610a ，4a 成等差数列. （2）由（1）可得，012024=--q q ，解得412=q 或512-=q （舍去），又0>q ，所以21=q ， 11)21(--==n n n aq a ，1)21(2-=+n n n b ，得2)21(1nb n n -=-，]2)21[()2221()211(1321nb b b b T n n n -⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅+++=-4)1()21(2)22221(])21(211[11+--=+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=--n n n n n .2解析：（1）由已知得：5122a a a =，即)4()(1121d a a d a +=+，得：12a d =或0=d ， 又166414=+=d a S ，当12a d =时，解得11=a ，2=d ，当0=d 时，解得41=a ，所以12-=n a n 或4=n a .（2）}{n a 是递增数列，所以12-=n a n ，22)121(n n n S n =-+=，2)1(n b n n -=，22224)2()1(n n b n n =-=，144)12()1(221212-+-=--=--n n n b n n ，所以14414422212-=+-+-=+=-n n n n b b c n n n ，是公差为4，首项为3的等比数列，)()()(21243212n n n b b b b b b T ++⋅⋅⋅++++=-n c c c +⋅⋅⋅++=21n n n n n +=-+=-+⋅⋅⋅++=222)143()14(73.3解析：（1）当1=n 时，1121a S a ==，得11=a 或01=a （舍去）， 当2=n 时，23213223a a a a S a =++==，得32=a 或02=a （舍去），212=-=a a d ，12-=n a n ，（2）1)31(-=n n n a b ，1)31()12(-⨯-=n n n b ，110)31()12()31(3)31(1-⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n T ，n n n n n T )31()12()31()32()31(3)31(131121⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=-，相减，得：n n n n n T T )31()12()31(2)31(2)31(2131121⨯--⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=--，即n n n n n n n T )31()12()31(2)31()12(311))31(1(31213211⨯---=⨯----⨯+=--，化简得，1)31()1(3-⨯+-=n n n T .二、三角部分1．在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列. （1）若a ，b ，c 成等比数列，求C A sin sin 的值； （2）若2=-c a ，且ABC ∆的面积为433，求ABC ∆的周长。
重庆市2018届高三下学期第三次诊断性考试数学(理)试卷(精编含解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知，结合子集的概念，可以确定参数的取值范围.详解：因为，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关子集的概念，以及根据包含关系，确定有关参数的取值范围的问题，可以借助数轴来完成.2. 已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得复数的值.详解：由，得，解得，即，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的运算问题，在求解的过程中，需要先用加减法合并，之后用除法运算法则求得结果.3. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果.详解：因为为：，故选C.点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.4. 已知随机变量，若，则实数（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：根据正太分布对称性确定，进而解得.详解：因为，所以,因为，所以选C.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.5. 山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B【解析】分析：先确定两型号的种子种法，再对剩下3型号全排列，即得结果.详解：因为两型号的种子试种方法数为种，所以一共有,选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6. 已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：首先根据题的条件，四边形为矩形，可以得到对边是平行且相等的，所以得到两条边是关于圆心对称的，从而可以求得圆心到直线的距离，从而求得其横坐标，代入抛物线的方程，可以求得点M和点N的坐标，从而求得矩形的边长，之后应用矩形的面积公式求得结果.详解：根据题意，四边形为矩形，可得，从而得到圆心到准线的距离与到的距离是相等的，所以有M点的横坐标为3，代入抛物线方程，从而求得，所以，从而求得四边形的面积为.点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN和PQ关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点M的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.7. 已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的2倍，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，结合目标函数的形式，结合其几何意义，能够判断出最优解的位置，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由最大值是最小值的2倍列式求得结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：作出直线，平移直线，由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最大值，由，可得，所以的最大值是1，当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，由，可得，所以的最小值是，因为的最大值是最小值的2倍，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要先画出约束条件对应的可行域，之后结合目标函数的形式得到其对应的几何意义，从而判断出其最优解，联立方程组求得最值，根据2倍关系找出其满足的等量关系式，最后求得结果.8. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入，则输出的值是（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】分析：首先需要分清该框图所要解决的问题是关于对应量的求和问题，在求和时需要分析项之间的关系，从而可以发现其为等差数列求和问题，理清等差数列的首项与公差，利用求和公式求得结果，得到关于n的不等式，求解即可得结果.详解：输入，运行过程中，，此时向右走，，接着向右走，，依次运行，可以发现，其为以204为首项，以12.5为公差的等差数列的求和问题，，令，结合n的取值情况，解得，故选B.点睛：该题表面上是解决的程序框图运行之后的输出结果的问题，实际上是解决的等差数列的求和问题，在解题的过程中，需要明确对应的等差数列的首项与公差，以及等差数列的求和公式，解对应的不等式即可得结果.9. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为（）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先通过观察几何体的三视图，还原几何体，得知其为一个正三棱柱，结合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心连线的中点处，利用外接球的表面积，得到底面边长所满足的关系式，求得其边长，再根据侧视图中对应的边长与底面边长的关系，求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是一个正三棱柱，设其底面边长为，则底面正三角形的外接圆的半径为，设该三棱锥的外接球的半径为R，结合正三棱锥的外接球的球心在上下底面的外心连线的中点处，则有，因为该三棱柱的外接球的表面积为，则有，从而解得，因为侧视图中对应的边为底面三角形的边的中线，求得，故选C.点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，以及与外接球相关的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的表面积公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半径与棱柱的高以及底面三角形的外接圆的半径的关系，将其整合，得到x所满足的等量关系式，求得结果.10. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的最大值为（）A. 3B.C.D. 6【答案】B【解析】分析：首先应用向量的数量积的定义式，得到，利用圆的切线的性质，结合勾股定理，得到，从而得到，之后利用基本不等式的变形求得结果，注意等号成立的条件.详解：根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得，所以可求得，即，结合基本不等式，可得，当且仅当时取等号，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的定义式、勾股定理、基本不等式，在求解的过程中，利用向量的数量积的定义式求得是解决该题的突破口，之后求得，下一步就是应用基本不等式的变形求得结果，对于小题，也可以直接凭经验当两者相等的时候取得最值.11. 已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线相交于两点，其中为坐标原点，若与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件，确定出圆的半径的大小，根据数轴上的点的坐标，求得，根据直线与圆相切，求得相关的线段长，在直角三角形中，求得，利用诱导公式，结合余弦定理，求得，最后利用离心率的公式求得结果.详解：根据题意，有，因为若与圆相切，所以，所以由勾股定理可得，所以，所以，由余弦定理可求得，所以，，故选C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要借助于双曲线的定义，结合题中所涉及的焦点三角形，利用直线与圆的有关性质，利用余弦定理求得相关的量，求得结果.12. 已知函数，等差数列满足：，则下列可以作为的通项公式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据导数研究三次函数对称点，再结合等差数列等距性性质判断与验证满足条件的数列.详解：因为，所以，因此函数关于对称，而时，，因此，满足题意，选A.点睛：三次函数的一阶导数得函数极值点，三次函数的二阶导数得函数拐点，即对称中心.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 函数的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.详解：因为，所以即最大值是.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．14. 已知，且的展开式中常数项为5，则__________．【答案】【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求常数项是哪一项，再根据常数项为5解a.详解：因为，所以因此.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15. 在如图所示的矩形中，点分别在边上，以为折痕将翻折为，点恰好落在边上，若，则折痕__________．【答案】【解析】分析：首先设出，根据题中的条件，得到，结合诱导公式得到，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得，从而求得其值，最后在中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设，根据，得到，同时可得，从而得到，根据翻折的问题，可得在直角三角形中，有，解得，所以折痕.点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果.16. 已知点为的内心，，若，则__________．【答案】【解析】分析：先根据三角形内心向量性质得，再根据向量表示唯一性确定x,y值，即得结果.详解：因为点为的内心，所以,其中O为任一点，a,b,c为三角形三边.因此,所以点睛:三角形中有关“心”的向量表示：内心I：；重心G：，外心P：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为.（1）求的值；（2）若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）,（2）见解析【解析】分析：(1)先根据小长方形的面积等于对应区间概率得b，再根据所有小长方形面积和为1求区间[0.9,1.1]概率，除以组距即得a,(2)先根据分层抽样得确定视力在的人数为3，再确定随机变量的取法，分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：（1）；（2）的可能取值为0，1，2，3，概率为：，，所以其分布列如下：0123则.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.19. 如图，三棱柱中，.（1）求证：为等腰三角形；（2）若平面平面，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)设中点为，根据计算得，再根据由线面垂直判定定理得面，即得，最后改好等腰三角形性质得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求解两平面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定结果.详解：解：（1）设中点为，连接，又设，则，又因为，所以，又因为，所以面，所以，又因为为中线，所以为等腰三角形；（2）设以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，则，故，设面的法向量，则有，同理得：面的法向量，设所求二面角为，则，故.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的的方程；（2）设点为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：(1)根据条件列方程组，解得a,b，（2）先设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径得，联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理计算为零，进而确定以为直径的圆经过原点.详解：解：（1）由题意有：；（2）由对称性，猜测该定点为，设该切线方程为，则有，联立方程有：，，所以，即原点以在为直径的圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据导数几何意义得，再根据切点既在曲线上，也在切线上得，最后利用导数确定函数单调性进而得，解得，（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即求最小值非负，根据隐零点化简得最小值，再根据导数研究最小值函数单调性，根据单调性确定最小值函数非负时的条件，即得的取值范围.详解：解：（1），则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；（2）令，则原命题等价于恒成立，又，设，则在上单减，在上单增，故只需，令，所以在上单调递增，在上单调递减，又，∴，即.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果.详解：（1）；（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），代入曲线方程有：，则有.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】分析：第一问首先利用绝对值的意义，先将绝对值符号去掉，将函数化为分段函数的形式，之后结合图像找出不等式的解集；第二问结合不等式解集的形式，端点值往往都是不等式对应方程的根，求出之后验证即可.详解：（1）结合函数图像有：；（2）由题意知或，经检验，两种情况均符合题意，所以或.点睛：该题考查的是有关含绝对值的不等式的解法问题，再者就是已知不等式的解集求有关参数值的问题，在求解的过程中，注意应用绝对值的意义去掉绝对值符号，再者就是注意不等式的解集的端点值是对应方程的根的应用.。
2018届高三查漏补缺数学试题
15-1．已知函数2()cos 2sin f x x x =-. （I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值. 解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分 （II ）2222()cos2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分15-2．已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-． （Ⅰ）求()3f π=的值；（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值． 解：（I ）2239()2cossin 4cos 1333344f ππππ=+-=-+=- （II ）解：22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--=23cos 4cos 1x x -- =2273(cos )33x --,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73-16-1．已知：四棱锥P-ABCD,ABCD PA 平面⊥,底面ABCD 是直角梯形，︒=∠90A ，且AB ∥CD,CD AB 21=, 点F 在线段PC 上运动，(1) 当F 为PC 的中点时，求证：BF ∥平面PAD ； (2) 设λ=||||FC PF ，求当λ为何值时有CD BF ⊥。
【高三数学试题精选】2018年高三理科数学查缺补漏试题(含答案海淀区)
2018年高三理科数学查缺补漏试题(含答案海淀区)
5 2018年高三数学查漏补缺题
理科 2018年5月
1函数图象的两条相邻对称轴间的距离为
A B c D
2下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A． B． c． D．
3若向量满足，且，则向量的夹角为
A．30° B．45° c．60°D．90°
4已知函数，则，，的大小关系为A． B．
c． D．
5某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,
体积为_____________
6设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题
① 若则②若，，则
③ 若，则④若，则
其中所有真命题的序号是_____
7设不等式组表示的平面区域为D，若直线上存在区域D上的点，则的取值范围是_____
8已知不等式组所表示的平面区域为，则的面积是_____；
设点，当最小时，点坐标为_____．
9 的展开式中的常数项为
10 计算
11若直线的参数方程为其中为参数，则直线的斜率为_______。
【高三数学试题精选】2018年海淀区高考数学查漏补缺试题(文理)
2018年海淀区高考数学查漏补缺试题（文理）
5
海淀区高三年级第二学期查漏补缺题
数学 20185
【容易题】{要重视基础性题目的知识覆盖度，决不能有疏漏，不能满足四套试题的题目，而是要全面温习每一个知识条目下的各个知识点}
1已知集合，，若，则的取值范围（）
A B c D
2已知，是虚数的充分必要条是（）
A B c D 且
3极坐标方程表示的曲线是（）
A圆 B直线 c圆和直线 D 圆和射线
4参数方程（为参数）表示的曲线是（）
A圆 B直线 c线段 D射线
【中等题】{本组试题主要是针对四套试题考点题目，补充一些可能呈现的方式，或者是缺少的知识条目考查，请学生注意关注} 5已知，其中，若三点共线，则
6已知点，点在圆（为参数）上，则圆的半径为，
最小值为
7如图，圆与圆相交于两点，与分别是圆与
圆的点处的切线若，则 ,
若，则
8 如图，是的高，且相交于点若，
且，则，
9已知盒子里有大小质地相同的红、黄、白球各一个，从中有放回的抽取9次，每次抽一个球，则抽到黄球的次数的期望 = ，估计抽到黄球次数恰好为次的概率 50%（填大于或小于）。
最新-江苏省通州区2018届高三下学期查漏补缺专项检测数学试题及答案 精品
通州区2018届高三查漏补缺专项检测数学试题参考公式： 样本数据11,,,nx x x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，标准差s =，其中11nii x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1． 设集合{1,2,3,5},{2,3,6}A B ==，则AB2． 若复数z 满足i 1i z =+，则z 3． 已知一组数据3,5,4,7,6， 4． 5． 袋中有形状、大小都相同的5球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6． 底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 ▲ ． 7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B两点，且AB =p 的值为 ▲ ．8． 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>），如果存在实数0x ，使得对任意（第4题图）的实数x ，都有00()()(2016π)f x f x f x +≤≤成立，则ω的最小值为▲ ．9． 在正项等比数列{}na 中，若1321322a a a ，，成等差数列，则2014201520162017aa aa -=-▲ ． 10．若点(cos sin )P αα，在直线2y x=-上，则πcos(2)3α+的值等于▲ ．11．已知函数2(0)()ln (0)kx x f x x x +⎧=⎨>⎩≤(k ∈R )，若函数|()|y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知直角△AOB 的面积为1，O 为直角顶点．设向量OA OA =a ，OB OB=b ，2OP =+a b ，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ． 13．已知实数x y，满足，则2222()2x y y x y +++的最小值为▲ ．14．已知函数2()ln f x ax xx =--， 若函数()f x 存在极值，且所有极值之和小于5ln 2+，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在△ABC中，内角A B C，，的对边分别为a，b，c，向量m，(tan tan=+A Cn，，且//m n．=-(tan tan11)A C（1）求角B；（2）若2b=，求△ABC的面积的最大值．16．(本小题满分14分)在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点．（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点E为AC 的中点；（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．17．(本小题满分14分)如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处.P处, 记=∠，PBCα求sinα的值；（2）游客甲沿CA从景点C出发前往目的地景点A，游客乙沿AB从景点A出发前往目的地景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时. 若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.13.9）AB（第17题图）18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的上顶点M 与左、右焦点12F F 、构成三角形12MF F C（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 的下顶点为N ，过点()(),20T t t ≠的直线TM ，TN 分别与椭圆C 交于E ，F 两点. 若△TMN 的面积是△TEF 的面积的k 倍，求k 的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数2()1(1)ln f x x a x x =----（a ∈R ）.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1g x f x x =-+既有一个极小值和又有一个极大值，求a 的取值范围；（3）若存在(1,2)b ∈，使得当(0,]x b ∈时，()f x 的值域是[(),)f b +∞，求a 的取值范围.注：自然对数的底数e 2.71828=.20．(本小题满分16分)数列{}na 的前n 项和记为nS ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得nm Sa =，则称{}na 是“G 数列”．（1）若数列{}na 的通项公式2n na=，判断{}n a 是否为“G数列”；（2）等差数列{}na ，公差0d ≠，12a d =，求证：{}na 是“G 数列”； （3）设nS 与n a 满足()11nn q Sa r +-+=，其中120a t =>，0q ≠．若{}na 是“G 数列”，求,q r 满足的条件．通州区2018届高三查漏补缺专项检测数学附加题21．本题包括高考A ，B ，C ，D 四个选题中的B ，C 两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.C ．选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且 曲线C上的点M 对应的参数πϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若12π(,)(,)A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场，那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案?23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知抛物线C的方程为22(0)=>，点(1,2)y px pR在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR,BR分别交直线:22l y x=+于M,N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．2018届高三查漏补缺专项检测 数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{1,2,3,5,6} 2．1i + 3 4．6 5．356．47．48．120169．1910． 10．2k -≤ 12．1 13．5314．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为//m n ，所以tan tan tan 1)A C A C +-，所以tan tan1tan tan A CA C+=-，即tan()A C +=………………………………4分 所以tan tan()B A C =-+又(0,)B π∈，所以3B π=． ………………………………7分（2）在ABC Δ中，由余弦定理有，2221cos 22a cb B ac +-==， 所以224a c ac +=+，由基本不等式，222a c ac +≥，可得4ac ≤，当且仅当2a c ==时，取等，…12分所以ABC Δ的面积1sin 42S ac B == 故ABC Δ的面积的最大值为………………………………14分 16．（1）解：平面PDE 交AC 于点E ，即平面PDE ∩平面ABC ＝DE ，而BC ∥平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ∥DE . ……………………………3分在△ABC 中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点．…………………………6分（2）证明: 因为PA ＝PB ，D 为AB 的中点，所以AB ⊥PD ，……………………8分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD ∩平面ABC ＝CD ， 在锐角△PCD 所在平面内作PO ⊥CD 于点O ，则PO ⊥平面ABC . ………………11分因为AB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥AB ，又PO ∩PD ＝P ，PO ，PD ⊂平面PCD ，则AB ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AB ⊥PC . ……………………14分17．解:（1）在Rt ABC ∆中，2,AB BC ==，∴=30C ∠在PBC ∆中，由余弦定理得222+2cos30=BC PC BC PC BP -⋅⋅，即212+2PCPC -⨯ 化简，得26+5=0PC PC -，解得=1PC 或5PC =（舍去）在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin30PC PBα=，即1sin 2α=，∴sin α=……………………6分（2）Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M，4AM t =-①当01t ≤≤时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t = 在AMQ ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得t <或t >∴ 0t ≤<……………………9分 ②当14t <≤时，乙在景点B 处在ABM ∆中，由余弦定理得，()()22244224cos60612MB t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3BM >即29BM >，得2630t t -+>，解得3t <t >，不合题意……………………12分综上，当0t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.又0.6≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时. ……………………14分18．解：（1）椭圆离心率2322=-==a b a ac e ，又bc ，222a b c =+，解得1,2==b a ，所以椭圆方程：22 1.4x y += ……………………4分（2）错误！未找到引用源。
高三数学-2018北京市海淀区高三数学查漏补缺参考题 精
2018北京市海淀区高三数学查漏补缺参考题 2018．51、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边， 0cos )cos(=++B c B A b （Ⅰ）判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）若5,224C b π==，求ABC ∆的面积2、已知02<<-x π，51cos sin =+x x . 求(Ⅰ) sin x -cos x 的值； (II) (文)sin2x +2sin 2x1 – tan x 的值； (理)xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.3．如图，边长为2的正方形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，AB=AD ，AB AD ⊥，AC =AC BD ⊥，垂足为M ，N 为BF 的中点，N 为 BF 的中点，（Ⅰ）求证：MN ∥ADEF 平面；（Ⅱ）求：异面直线BD 与CF 所成角的大小； （III ）求二面角A CF D --的大小.4．（文科）甲、乙、丙三名学生进行投篮测试，投中两次记为合格并停止投篮，每人最多可投4次.已知每位同学每次投中的概率均为21，且各次投篮投中与否互不影响 求:(Ⅰ)同学甲合格的概率；(Ⅱ)恰有两位同学合格的概率； （III ）至少有一位同学合格的概率.（理科）甲、乙、丙三名学生进行投篮测试，投中两次记为合格并停止投篮，每人最多可投4次.已知每位同学每次投中的概率均为21，且各次投篮投中与否互不影响. (Ⅰ) 求同学甲合格的概率；（Ⅱ）记这三位同学中合格的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望.5．（文科）若实数1≥a ，解关于x 的不等式ax x ax <--122. （理科） 已知关于x 的不等式ax x ax <--122的解集为A ，且)1,(-∞⊆A ， 求实数a 的取值范围.6．已知等差数列}{n a )N n (*∈，公差0≠d ，满足：1a 、2a 、4a 成等比数列，且853=+a a .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若),2(02 1*11N n n b b b n n ∈≥=-=-，.设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T ； （III ）是否存在整数m 、M ，使得M T m n <<(n ∈N *)恒成立，且M-m 的最小值为4.7．（文科）已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB 、CD ，已知直线AB 的斜率为2，设弦AB 、CD 的中点分别为M 、N. ( I ) 求直线MN 的方程；(Ⅱ) 分别以弦AB 和CD 为直径作圆，求两圆相交弦所在的直线方程. (理).已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB 、CD ， 设弦AB 、CD 的中点分别为M 、N. ( I )求证：直线MN 必过定点；( II )分别以弦AB 和CD 为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点.8、已知椭圆C:)0,0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为B （1，0），右准线与x 轴的交点为A （5，0），过点A 作直线l 交椭圆C 于两个不同的点P 、Q ．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 斜率的取值范围；（III ）是否存在直线l ，使得BQ BP =，若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.9、已知函数b ax x x x f ++-=234)(在1x =处有极大值2-.求：（Ⅰ）()f x 解析式；（Ⅱ）)(x f 在区间]3,0[上的最大值；（III ）过点()2,2P -的曲线y =()f x 的切线方程.10、（理科）已知函数21()ln 2f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方； （III ）求证：[()]()n n f x f x ''-≥22(nn -∈N *）.查漏补缺参考答案1．解：（Ⅰ） 法一：0cos )cos(=++B c B A b ，sin cos cos sin 0B C B C ∴-=，()sin 0B C ∴-=0,0B C ππ<<<<，B C ππ∴-<-<，0B C ∴-=，B C =，∴ABC ∆是等腰三角形 法二：0cos )cos(=++B c B A b ，∴cos cos B bC c=， 222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，22222222a c b bac a b c cab+-∴=+- 22b c ∴= b c ∴=∴ABC ∆是等腰三角形（Ⅱ）B C =，524C π=，710512A B C ππ=--==，()6sin105sin 6045+=+=1sin 2ABC S bc A ∆∴==2．解：(Ⅰ)由已知平方,得2sin x cos x =－2425 ，∵(sin x －cos x )2=1－2sin x cos x =4925,又∵－π2 <x <0,∴sin x <0,cos x >0,sin x －cos x <0，∴sin x －cos x =－75(Ⅱ)( 文) .1752457512524sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1)sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2-=⨯-=-+=-+=-+x x x x x x xx x x x x x x （理）3sin 2 x 2 －2sin x 2 cos x 2 +cos 2 x 2 tanx +cotx = 2sin 2 x 2 －sinx +1sinx cosx +cosx sinx=sin x ·cos x ( 2－cos x －sin x )=－1081253．方法一：（Ⅰ）AB AD =，AC ⊥BD ，垂足为M ，M BD ∴为的中点，∵N 为BF 中点，//MN DF ∴ ∵MN ADEF ⊄面，DF ADEF ⊂面，∴ MN ∥ADEF 平面 （Ⅱ）平面ADEF ⊥平面ABCD ，又FA AD ⊥ FA ABCD ∴⊥面，AC 是FC 在平面ABCD 内的射影，BD AC ⊥，BD CF ∴⊥，∴异面直线BD 与CF 所成角的大小为900.（III ）在平面ACF 内过M 作CF MH ⊥于H ，连DH BD AC ⊥，BD CF ⊥，AC CF C = BD ACF ∴⊥面，斜线MH ACF DH 内的射影是在平面，又C F M H ⊥，CF DH ∴⊥，∴是二面角MHD ∠A CF D --的平面角在等腰Rt ABD ∆中，DM =AM =AC =CM ∴=，CF =，CMH ∆∽CFA ∆，∴CM MHCF FA=，MH ∴=∴422tan =MHD ，∴二面角A CF D --的大小为422arctan .方法二：（Ⅰ）同法一；（Ⅱ）平面ADEF ⊥平面ABCD ，又FA AD ⊥，FA ABCD ∴⊥面，∴平面⊥FAC 平面ABCD ，在平面FAC 内作⊥MG AC 交FC 于点如图，建立空间直角坐标系xyz M -，则)0,0,22(C ，)0,2,0(-B ，)0,2,0(D ，)2,0,2(-F ，∴)0,22,0(=BD ，)2,0,23(-=FC ，∴0=⋅FC BD ∴∴异面直线BD 与CF 所成角的大小为900.（III ）设()=n x,y,z 是平面CFD 的法向量， )2,0,23(-=FC 由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n FC n FD ，∴⎩⎨⎧=-+=-02220223z y x z x ，令3=z ，则2=x ，∴=n ， AC MD ⊥，∴⊥MD 平面ACF ∴平面ACF 的法向量)0,2,0(=MD .，则cos ,1919⋅<>===n MD n MD n MD. ∴二面角A CF D --的大小为19382arccos . 4．（文科）解：(Ⅰ)设同学甲合格为事件A, 同学甲投2次合格为事件A 1,同学甲投3次合格为事件A 2,同学甲投4次合格为事件A 3,则A= A 1+ A 2+ A 3，A 1，A 2，A 3为互斥事件.123()()()()234112311111C C 22216P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(Ⅱ) 设恰有两位同学合格的概率为P 1， 11P 22311111815C 16164096⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （III ）设至少有一位同学合格的概率P 2， 4096397140961251)16111(132=-=--=P（理科）解：(Ⅰ) 设同学甲合格为事件A, 同学甲投2次合格为事件A 1,同学甲投3次合格为事件A 2,同学甲投4次合格为事件A 3,则A= A 1+ A 2+ A 3，A 1，A 2，A 3为互斥事件.123()()()()234112311111C C 22216P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，()()()()1,11,P ξP C P C P ξξξ32132323111251111825⎛⎫⎛⎫⎛⎫=0=-= =1=-=⎪ ⎪⎪16409616164096⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111815111331⎛⎫⎛⎫⎛⎫=2=-==3== ⎪ ⎪ ⎪16164096164096⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ ξ∴ ()E ξ＝0×1254096 ＋１×8254096 ＋２×18154096 ＋３×13314096 ＝33165．（文科）解：由ax x ax <--122，得：0122<---ax x ax ∴012<--x ax 012 1<--∴≥x a x a 0)1)(2(<--∴x a x当2>a 时，有12<a ，故不等式的解集为}12|{<<x ax ， 当2=a 时，不等式为0)1(2<-x ,故不等式的解集为∅，当21<≤a 时，有221≤<a ,故不等式的解集为}21|{ax x <<.综上，当2>a 时，原不等式的解集为}12|{<<x ax ；当2=a 时，原不等式的解集为∅；当21<≤a 时，原不等式的解集为}21|{ax x <<.（理科）解：由ax x ax <--122，得：0122<---ax x ax ，∴012<--x ax ，∴0)1)(2(<--x ax 当0=a 时，原不等式的解集}1|{>=x x A 不是)1,(-∞的子集当0≠a 时，∵a aa -=-212（1）当2>a 时，02<-a a ，则12<a ，此时，不等式的解集)1,(}12|{-∞⊆<<=x ax A ； （2）当2=a 时，0)1(2<-x ,故)1,(-∞⊆∅=A ；（3）当20<<a 时，02>-a a ，则12>a此时，不等式的解集}21|{a x x A <<=不是)1,(-∞的子集；（4）当0<a 时，12<a，此时，不等式的解集}12|{><=x a x x A 或不是)1,(-∞的子集.综上，),2[+∞∈a .6．解：（Ⅰ）由题设知：4122a a a ⋅=，即：)3()(1121d a a d a +⋅=+， 化简得：d a =1（0≠d ）又由853=+a a ，得到：44=a ，nn a a n =-+=∴=∴)1(111( II ）1102n n n b b b -≠∴= ，121-⎪⎭⎫⎝⎛=∴n n b 121-⎪⎭⎫⎝⎛=∴n n n c1112111111111112, 1222222221111111111, 4[1]444(24)222222222n nn n n nnn n n nn n T n T n T n T n n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++-=--=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(III)由(II)可得：4<n T21)42(421)62(4 11nn n n n n T T ⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++ 1(1)02nn ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭{}n T ∴是递增数列， 11=>∴T T n ， 故存在整数0 4==m M ，满足题目要求. 7．（文科）解：( I )由题设知 F (1,0) ，设),1(2:-=x y l AB 代入x y 42=，得 0132=+-x x 故 1)1(2,232=-==+=M M B A M x y x x x ) 1 , 23 (M 故AB CD ⊥因为，所以21-=CD k ，同理可)4 , 9(-N 得 )9(923414:--+=+x y l MN 则0632=-+y x 即，∴直线MN 的方程为0632=-+y x (Ⅱ)由抛物线定义可知，圆M 、圆N 都与抛物线的准线x = - 1相切， 所以，圆M 、圆N 的半径分别为 251=+M x ，101=+N x 从而， ⊙222)25()1()23(:=-+-y x M ……………………………○1 ⊙22210)4()9(:=++-y x N ……………………………○2 由○1－○2 得 两圆相交弦所在的直线方程为：023=-y x . （理科）解：( I )由题设知F (1,0)且直线ＡＢ的斜率存在，设:(1)(0),AB l y k x k =-≠代入x y 42=，得0)2(22222=++-k x k x k 得kx k y k k x x x M M B A M 2)1(,2222=-=+=+= ) 2 , 2 (22k k k M +故，AB CD ⊥因为，所以kk CD 1-= ， 同理可)2 , 12(2k k N -+得222222:(21)(2)(2)(21)MN k l k y k k x k k k++-+=----，)3()1(2-=-x k y k 即 故不论k 为何值，直线MN 恒过定点T(3,0)(II)由抛物线定义可知，圆M 、圆N 都与抛物线的准线x = －1 相切，所以圆M 、圆N 的半径分别为1+M x 、1+N x ，从而，⊙222)1()()(:+=-+-M M M x y y x x M …………………………○1 ⊙222)1()()(:+=-+-N N N x y y x x N ……………………○2 由○1－○2，得公共弦所在直线方程为： )()(21)()(22N M N M N M N M x x y y y y y x x x ---=-+-，2222221142()()(4)(2)022M N M N y y x x k k k k ---=---=又，故：两圆相交弦所在的直线经过原点.8．解：( I ). 2,1,55122222===⇒⎪⎩⎪⎨⎧+===b c a cb aca c ，即 所求椭圆方程为14522=+y x ． （II ）点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点， 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为 )5(-=x k y ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)5(,14522x k y y x 得02012550)45(2222=-+-+k x k x k 依题意0)8016(202>-=∆k ，得5555<<-k ． ()()0M N M N x x x y y y ∴-+-=（III ）方法一：设点P 、Q 到准线的距离分别为P d 、Q d .若存在直线l ，使得BQ BP =e d BP P=，e d BQ Q=，∴ P d =Q d ，又 P 、Q 是椭圆上不同的两点∴PQ 平行于准线. 这与PQ 过点A 矛盾. ∴不存在直线l ，使得BQ BP =.方法二：设交点),(),,(2211y x Q y x P ，PQ 的中点为R ),(00y x ，则45502221+=+k k x x ， 4525222210+=+=k k x x x4520)54525()5(22200+-=-+=-=k kk k k x k y ，又BQ BP =⇔BR ⊥l ⇔1-=⋅BR k k420201204204525145202222222-=⇔-=-=+-+⋅=⋅k k k k k k k k k k k BR ，但40-=不可能成立， 所以不存在直线 l 使得 BQ BP =．9．解：（Ⅰ）()'238f x x x a =-+，且)(x f 在1x =处有极大值2-∴()()'1012f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 即380142a a b -+=⎧⎨-++=-⎩ 54a b =⎧∴⎨=-⎩，()32454f x x x x ∴=-+- （Ⅱ ）()'2385f x x x =-+，令()'0f x =得15x =，21x =()f x ∴在[]3,0上最大值为2.（III ）()32454f x x x x =-+-，知点()2,2P -在曲线y =()f x 上，又()'2385f x x x =-+①当点P 为切点时，()'21k f ==，切线l 的方程：4y x =-②当点P 不是切点时，设切点为()00,Q x y ()02x ≠，切线l 的斜率()'2000385k fx x x ==-+()()2000385∴-+-l y y x x x x 0方程:-=，又点()2,2P -在切线l 上 ()()2000023852y x x x ∴--=-+-，320000454y x x x =-+-代入上式得01x =∴当0012x y ==-时，此时切线方程：2y =-，∴切线方程为4y x =-或2y =-10．解 （Ⅰ）∵f ' (x )=x +1x ∴当x ∈[1,e]时，f ' (x )>0， ∴()f x 在[1,e]上是增函数故min 1()(1)2f x f ==，2max 1()(e)e 12f x f ==+. （Ⅱ）设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x-++'=+-=，∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数.又1(1)06F =-<，故在[1,)+∞上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， ∴函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方.（III ）∵x >0，∴11[()]()nnnn n f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫''-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，不等式显然成立；当n ≥2时，有1122121111[()]()n n n n n n n n n f x f x C x C x C x x x x----''-=⋅+⋅++⋅12241212241224211111[()()()]2n n n n n nn n n n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x x x x -----------=+++=++++++≥()1-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++ 22n-= ∴[()]()n n f x f x ''-≥22(n n -∈N *）。
北京市东城区2018届高三查缺补漏数学试卷 Word版含解析
2018年北京市东城区高三查缺补漏数学试卷一、选择题1．已知向量=（﹣3，4），向量与方向相反，且=λ，||=1，则实数λ的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．2．若双曲线﹣=1的离心率是椭圆+=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．点P（tan2015°，cos2016°）位于的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知函数f（x）=sin（ϖx+φ）是偶函数，其图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，则（）A．ϖ=2，φ=B．ϖ=2，φ=πC．ϖ=，φ=D．ϖ=，φ=5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．已知O是△ABC内一点， ++2=，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：27．已知函数y=sinωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin（x+）的图象，则需将函数y=sinωx的图象（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移8．已知命题（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β；上述命题正确的序号是（）A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）二.填空题9．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，且圆C与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的方程为．10．如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，，则PA= ， = ．11．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、G分别为BC、DC中点，点F为EC中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC为轴旋转一周所得的几何体的体积是．12．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．13．一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P离地面的距离为h（m），P的初始位置在最低点．风车转动的时间为t（min），当t=8（min）时，h= （m）； h与t的函数关系为．三.解答题14．已知函数f （x ）=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是x=．（Ⅰ）求出a 的值；（Ⅱ）若g （x ）=asinx+cosx ，求出函数g （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．15．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA=DA=AB=2CB ，EA ⊥AB ，M 是EC 的中点． （Ⅰ）求证：DM ⊥EB ；（Ⅱ）求二面角M ﹣BD ﹣A 的余弦值．250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A ）； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η． 17．已知函数f （x ）=ax ﹣2lnx ．（Ⅰ）当a=1时，函数y=x•f（x ）有几个极值点？（Ⅱ）若f （x ）≤0对于x ∈（，e ）的解集非空，求实数a 的取值范围．18．已知椭圆D 与y 轴交于上A 、下B 两点，椭圆的两个焦点F 1（0，1）、F 2（0，﹣1），直线y=4是椭圆的一条准线．（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A 为焦点的抛物线为C ，若过点F 1的直线与C 相交于不同M 、N 的两点，求线段MN 的中点Q 的轨迹方程．19．设有穷数列a 0，a 1，a 2，…，a m 的各项均为整数，若对每一个k ∈{1，2，3，…，m}，均有|a k ﹣a k ﹣1|=k 2，则称数列{a n }为“m 阶优数列”．（1）判断数列1，2，﹣2，7，﹣9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；（3）对任意两个整数s ，t ，是否存在一个“r 阶优数列”，其首项为s 且末项为t ． 20．如图，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、…、P n （x n ，y n ）（0＜y 1＜y 2＜…＜y n ）是曲线C ：y 2=3x （y ≥0）上的n 个点，点A i （a i ，0）（i=1，2，3，…，n ）在x 轴的正半轴上，且△A i ﹣1A i P i 是正三角形（A 0是坐标原点）． （1）写出a 1，a 2，a 3； （2）求出点A n （a n ，0）（n ∈N *）的横坐标a n 关于n 的表达式；（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．2018年北京市东城区高三查缺补漏数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知向量=（﹣3，4），向量与方向相反，且=λ，||=1，则实数λ的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】相等向量与相反向量．【分析】求出，利用||=1，求解即可．【解答】解：向量=（﹣3，4），向量与方向相反，且=λ=（﹣3λ，4λ），λ＜0，||=1，可得： =1，解得．故选：B．2．若双曲线﹣=1的离心率是椭圆+=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆和双曲线的离心率关系，结合双曲线渐近线的方程进行转化求解即可．【解答】解：由椭圆的方程+=1得a2=16，b2=7，则c2=16﹣7=9，即a=4，c=3，则离心率e==，∵双曲线﹣=1的离心率是椭圆+=1的二倍，∴双曲线的离心率e=2×=，即=，则====，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：A．3．点P（tan2015°，cos2016°）位于的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【分析】利用诱导公式可得：tan2015°=tan35°，cos2016°=cos216°，即可判断出结论． 【解答】解：∵tan2015°=tan（11×180°+35°）=tan35°＞0， cos2016°=cos=cos216°＜0，∴点P （tan2015°，cos2016°）位于第四象限． 故选：D ．4．已知函数f （x ）=sin （ϖx+φ）是偶函数，其图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，则（ ）A ．ϖ=2，φ=B ．ϖ=2，φ=πC ．ϖ=，φ=D ．ϖ=，φ=【考点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由题意函数y=sin （ωx+φ）为偶函数，求出φ，通过图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，求出函数的周期，然后求出ω即可．【解答】解：函数y=sin （ωx+φ）为偶函数，所以φ=+k π（k ∈Z ），因为函数图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，所以函数的周期为：π，所以=π，所以ω=2，故选：A ．5．函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4） 【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反． 【解答】解：∵f （1）=ln （1+1）﹣2=ln2﹣2＜0， 而f （2）=ln3﹣1＞lne ﹣1=0，∴函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），故选B ．6．已知O 是△ABC 内一点， ++2=，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1：4 B ．2：3 C ．1：3 D ．1：2 【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的几何意义可得O 为三角形AB 边的中线CD 的中点，即可得出三角形的面积关系． 【解答】解：以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAEB ，OE ，AB 交于点D ，则D 为OE ，AB 的中点．∴=2．∵++2=，∴，∴O 为CD 的中点．∴S △AOB =S ABC ．∴=．故选：D．7．已知函数y=sinωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin（x+）的图象，则需将函数y=sinωx的图象（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据图象可知函数y=sinωx的周期，进而求得ω．再根据ω进行图象的伸缩即可．【解答】解：由图可知函数的周期为4π，∴ω==∴要得到函数y=sin（x+）的图象只需将y=sinωx的图象向左平移故选D8．已知命题（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β；上述命题正确的序号是（）A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据面面垂直的判定定理以及线面平行，直线垂直的性质分别进行判断即可【解答】解：（1）若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂平面α，若l⊥m，m⊥β，则l∥β或l⊂平面β，∵l⊥m，∴α⊥β成立；故（1）正确，（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β不一定成立；故（2）错误，（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β成立，故（3）正确，；（4）若l∥m，l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β，∴α⊥β成立；故（4）正确，故选：C二.填空题9．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，且圆C与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】圆的标准方程；参数方程化成普通方程．【分析】求出直线（t为参数）与y轴的交点即为圆心C坐标，求出点C到直线x+y﹣3=0的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可．【解答】解：圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，得到圆心C（0，1），∵圆心C（0，1）到直线x+y﹣3=0的距离d==，∴圆C半径r=，则圆C方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．10．如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，，则PA= ， = ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由图形知，线段PA的长度可以用切割线定理建立方程来求，由PT2=PB×PA即可求解；观察发现TE与AD分别在两个三角形PTE与三角形PDA中，而此两个三角形可以证出是相似的，由此可求得．【解答】解：由题意，如图可得PT2=PB×PA又由已知PT=2，，故可得PA=又TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，可得∠TPE=∠APD又由弦切角定理知∠PTE=∠PAD故有△PET≈△PDA故有TE：AD=PT：PA=：2故答案为，11．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、G分别为BC、DC中点，点F为EC中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC为轴旋转一周所得的几何体的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】几何体为圆柱减去一个半球和一个小圆柱后剩余部分，使用作差法求出几何体体积．【解答】解：几何体为大圆柱减去一个半球和一个小圆柱后剩余部分．∵AB=2，BC=4，CF=，CG=，∴大圆柱的底面半径为2，高为4，半球的半径为2，小圆柱的底面半径和高均为1．∴．故答案为：．12．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）=f（）=﹣1，min②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2， 而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以≤a ＜1，若函数h （x ）=2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．13．一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P 离地面的距离为h （m ），P 的初始位置在最低点．风车转动的时间为t （min ），当t=8（min ）时，h= 14 （m ）； h 与t 的函数关系为．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由实际问题设出P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Acos （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A ，B ，及周期T ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，从而得解．【解答】解：由题意，T=12，∴ω=，设h （t ）=Acos （ωt+φ）+B ，（A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），则，∴A=8，B=10，可得：h （t ）=8cos （t+φ）+10，∵P 的初始位置在最低点，t=0时，有：h （t ）=2，即：8cos φ+10=2，解得：φ=2k π+π，k ∈Z ， ∴φ=π，∴h 与t 的函数关系为：h （t ）=8cos （t+π）+10=10﹣8cost ，（t ≥0），当t=8时，h （8）=10﹣8cos（×8）=14，故答案为：14，（t≥0）．三.解答题14．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=．（Ⅰ）求出a的值；（Ⅱ）若g（x）=asinx+cosx，求出函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由已知函数f（x）的一条对称轴是，可得，利用特殊角的三角函数值即可计算得解a的值．（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由，可求，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是，所以，所以，所以．（Ⅱ），因为，所以．g（x）的最大值为，g（x）的最小值为0．15．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．（Ⅰ）求证：DM⊥EB；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣A的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，借助于数量积为0，从而可证DM⊥EB；（Ⅱ）先求平面的法向量，利用法向量的夹角，求面面角．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA=DA=AB=2CB=2，则（Ⅰ），，所以，从而得DM⊥EB；（Ⅱ）设是平面BDM的法向量，则由，及，得可以取．显然，为平面ABD的法向量．设二面角M﹣BD﹣A的平面角为θ，则此二面角的余弦值．250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．（元）．17．已知函数f（x）=ax﹣2lnx．（Ⅰ）当a=1时，函数y=x•f（x）有几个极值点？（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（，e）的解集非空，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，设F（x）=x•f（x）=x2﹣2xlnx，利用导数法分析函数的单调性，进而可得答案；（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（，e）的解集非空，则存在使成立．进而得到实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣2lnx，设F（x）=x•f（x）=x2﹣2xlnx，则F'（x）=2x﹣2lnx﹣2=2[（x﹣1）﹣lnx]（x＞0）．令h（x）=x﹣1﹣lnx，则，所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；所以当x=1时h（x）=h（1）=0，min所以当x＞0时F'（x）≥0恒成立，所以函数y=x•f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．（Ⅱ）因为f（x）≤0，即ax﹣2lnx≤0．问题等价于存在使成立．令，则．因为，所以﹣1＜lnx ＜1，所以g'（x ）＞0在上恒成立，所以g （x ）在上单调递增，所以，即，所以．18．已知椭圆D 与y 轴交于上A 、下B 两点，椭圆的两个焦点F 1（0，1）、F 2（0，﹣1），直线y=4是椭圆的一条准线．（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A 为焦点的抛物线为C ，若过点F 1的直线与C 相交于不同M 、N 的两点，求线段MN 的中点Q 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的两个焦点，椭圆的一条准线方程．求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程；（Ⅱ）由，化简，设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），推出x 1+x 2=8k ，y 1+，y 2，得到中点坐标，设中点Q 为（x ，y ），消去参数k ，即可求轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的两个焦点F 1（0，1）、F 2（0，﹣1），直线y=4是椭圆的一条准线．可得c=1，，解得a=2，则b=，椭圆的焦点坐标在y 轴上．椭圆的方程；（Ⅱ）由得x 2﹣8kx ﹣8=0，（这里△≥0恒成立），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由韦达定理，得x 1+x 2=8k ，，所以中点坐标为（4k ，4k 2+1），设中点Q 为（x ，y ），令，消去参数k ，得到x 2=4（y ﹣1）为所求轨迹方程．19．设有穷数列a 0，a 1，a 2，…，a m 的各项均为整数，若对每一个k ∈{1，2，3，…，m}，均有|a k ﹣a k ﹣1|=k 2，则称数列{a n }为“m 阶优数列”．（1）判断数列1，2，﹣2，7，﹣9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；（3）对任意两个整数s ，t ，是否存在一个“r 阶优数列”，其首项为s 且末项为t ． 【考点】数列的应用． 【分析】（1）根据题目中的定义，判断数列1，2，﹣2，7，﹣9是“4阶优数列”，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；再求出以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）根据新定义，写出满足条件的一个“8阶优数列”；（3）根据新定义，说明对任意两个整数s ，t ，都存在以s 为首项，t 为末项的“r 阶优数列”． 【解答】解：（1）因为|2﹣1|=12，|﹣2﹣2|=22，|7﹣（﹣2）|=32，|﹣9﹣7|=42， 所以，数列：1，2，﹣2，7，﹣9是“4阶优数列”；因为10﹣6≠32，所以，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；对a 0=1，满足条件的a 1都有两种取法，对每一个a 1，满足条件的a 2都有两种取法， 对每一个a 2，满足条件的a 3都有两种取法，对每一个a 3，满足条件的a 4都有两种取法， 所以，以1为首项的所有“4阶优数列”的个数为16；（2）因为，所以，k ∈{1，2，3，…，m}；所以a 8﹣a 0=（a 1﹣a 0）+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a 8﹣a 7）=±12±22±32±…±72±82 取2015﹣2015=12﹣22﹣32+42﹣52+62+72﹣82即a 1﹣a 0=1，a 2﹣a 1=﹣4，a 3﹣a 2=﹣9，a 4﹣a 3=16，a 5﹣a 4=﹣25，a 6﹣a 5=36，a 7﹣a 6=49，a 8﹣a 7=﹣64， 所以a 0=2015，a 1=2016，a 2=2012，a 3=2003，a 4=2019，a 5=1994，a 6=2030，a 7=2079，a 7=2015； 或取2015﹣2015=﹣12+22+32﹣42+52﹣62﹣72+82即a 1﹣a 0=﹣1，a 2﹣a 1=4，a 3﹣a 2=9，a 4﹣a 3=﹣16，a 5﹣a 4=25，a 6﹣a 5=﹣36，a 7﹣a 6=﹣49，a 8﹣a 7=64， 所以a 0=2015，a 1=2014，a 2=2018a 3=2027，a 4=2011，a 5=2036，a 6=2000，a 7=1951，a 7=2015；（3）因为，所以，k ∈{1，2，3，…，m}；a m ﹣a 0=（a 1﹣a 0）+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a m ﹣a m ﹣1）=±12±22±32±…±（m ﹣1）2±m 2 因为n 2﹣（n+1）2﹣（n+2）2+（n+3）2=4，﹣n 2+（n+1）2+（n+2）2﹣（n+3）2=﹣4，所以，当t ﹣s=4p （p ∈Z ）时，取r=|t ﹣s|+8，使前8项和取12﹣22﹣32+42﹣52+62+72﹣82=4﹣4=0，后面的|t ﹣s|项的和为4p ，存在“r 阶优数列”； 当t ﹣s=4p+1（p ∈Z ），即t ﹣s ﹣1=4p （p ∈Z ）时，取r=1+|t ﹣s ﹣1|，第一项取12，使后面的|t ﹣s ﹣1|项的和为4p ，存在“r 阶优数列”； 当t ﹣s=4p+2（p ∈Z ），即t ﹣s ﹣2=4p （p ∈Z ）时，取r=4+|t ﹣s ﹣2|，使前4项和取﹣12﹣22﹣32+42=2，使后面的|t ﹣s ﹣2|项的和为4p ，存在“r 阶优数列”； 当t ﹣s=4p+3（p ∈Z ），即t ﹣s+1=4（p+1）（p ∈Z ）时，取r=1+|t ﹣s+1|，第一项取﹣12，使后面的|t ﹣s+1|项的和为4（p+1），存在“r 阶优数列”；综上，对任意两个整数s ，t ，都存在以s 为首项，t 为末项的“r 阶优数列”．20．如图，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、…、P n （x n ，y n ）（0＜y 1＜y 2＜…＜y n ）是曲线C ：y 2=3x （y ≥0）上的n 个点，点A i （a i ，0）（i=1，2，3，…，n ）在x 轴的正半轴上，且△A i ﹣1A i P i 是正三角形（A 0是坐标原点）． （1）写出a 1，a 2，a 3； （2）求出点A n （a n ，0）（n ∈N *）的横坐标a n 关于n 的表达式；（3）设，若对任意的正整数n ，当m ∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，求实数t 的取值范围．【考点】数列递推式；数学归纳法．【分析】（1）由题意可知直线A 0P 1为y=x ，然后与y 2=3x 联立可得到P 1的坐标，再由△A 0A 1P 1是正三角形可得到A 1的坐标得到a 1的值，同理可得到a 2、a 3．（2）先根据题意可得到关系，，然后根据y n 2=3x n 得（a n ﹣a n ﹣1）2=2（a n ﹣1+a n ），从而可猜想数列通项公式a n =n （n+1），再由数学归纳法证明即可．（3）先根据（2）中a n 的表达式可得到b n 的关系式b n =，再由函数的单调性可判断当n=1是b n的最大值，故为使得不等式恒成立只要即可，即只要t 2﹣2mt ＞0对于∀m ∈[﹣1，1]恒成立即可，再由二次函数的性质即可得到t 的范围． 【解答】解（1）a 1=2，a 2=6，a 3=12；（2）依题意，得，，由此及y n 2=3x n 得，即（a n ﹣a n ﹣1）2=2（a n ﹣1+a n ）．由（1）可猜想：a n =n （n+1）n ∈N *下面用数学归纳法予以证明： （1）当n=1时，命题显然成立；（2）假定当n=k 时命题成立，即有a n =k （k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（a k+1﹣a k ）2=2（a k +a k+1）得[a k+1﹣k （k+1）]2=2[k （k+1）+a k+1]，即（a k+1）2﹣2（k 2+k+1）a k+1+[k （k ﹣1）]•[（k+1）（k+2）]=0， 解之得a k+1=（k+1）（k+2）（a k+1=k （k ﹣1）＜a k 不合题意，舍去）， 即当n=k+1时，命题成立． 由（1）、（2）知：命题成立．（3）==．令（x≥1），则，所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）取得最小值3，即当n=1时，．（（∀n∈N，∀m∈[﹣1，1]），即t2﹣2mt＞0（∀m∈[﹣1，1]）解之得，实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。
北京市海淀区2018届高三查漏补缺题数学试卷（含答案）
北京市海淀区2018届⾼三查漏补缺题数学试卷（含答案）海淀区⾼三数学查漏补缺题【集合与简易逻辑】1．已知集合{}lg(1)0M x x =∈-Z ≤，{}2N x x =∈A ．?B ．(1,2)C ．(2,2]-D ．{}1,0,1,2-答案：D2.给出下列命题：①若命题p ：x R ?∈，使得210,x x +-<则:,p x R ??∈均有210;x x +-≥②命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320,2x x x -+=≠则”；③若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则命题,p q ⼀真⼀假，其中正确命题的序号是（） A. ①② B.②③ C.①③ D. ①②③答案：C3.下列条件中是“22530x x --<”的必要不充分条件的是（）A. 132x -<< B. 142x -<< C. 132x -<<D. 102x -<< 答案：B 【复数】1. 如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数的值为A. B. C. D. 或答案：C2．在复平⾯内，复数12+对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90?后得到点Z '，则Z '对应的复数是A ．12-+B ．12C ．1i 2+ D 1i 2- 答案：C3.设a b ∈R ，，11712ia bi i-+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为_______．答案：8【极坐标系与参数⽅程（理科）】 1．已知直线(t 为参数)与曲线交于P,Q 两点，则=( )A ．1B ．C ．2D ．答案：C2.在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是等边三⾓形，则a 的值为___________. 答案：3【不等式与线性规划】1. 已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的⼤⼩关系为（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<答案：C2. 设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成⽴的⼀个必要不充分条件是（） A ．2m ≠ B ．0m >且2m ≠ C ．2m >D ．2m ≥答案：A3. 若441x y+=，则x y +的取值范围是________.答案：(,1]-∞-4. 设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+表⽰的平⾯区域，对于区域D 内除原点外的任⼀点(,)A x y ，则：(1)z=2x －y 的最⼩值为_______；的取值范围是．答案：(1)92-；(2)[.【数列】1. 设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）.A.若120a a +>，则230a a +>B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->答案：C2. 若等差数列{}n a 满⾜7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最⼤.答案：83. 已知数列{}n a 的前n 项和13n n S a =+，则数列的通项公式为_______.答案：132n n n a -=-4.已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则135a a a ++=_______.答案：125.已知数列{}n a 满⾜：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等⽐数列，则m =_______. 答案：13【平⾯向量】1．设向量a,b 不平⾏，向量+λa b 与+2a b 平⾏，则实数λ=．答案：12 2. 设π02θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b ，则=θtan _______.答案：123. 设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.答案：±34.如下图所⽰，已知平⾯四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则（） A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<答案：C【程序框图】1.如图所⽰的程序框图是为了求出满⾜3n ?2n >1000的最⼩偶数n ，那么在和两个空⽩框中，可以分别填⼊（）A ．A >1 000和n =n +1B ．A>1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +2 答案：D【三⾓函数】1．已知⾓α的终边经过点(),3P m -，且4cos 5α=-，则m 等于__________．答案：4-2. 函数()()cos f x x ω?=+的部分图像如图所⽰，则()f x 的单调递减区间为（）.A ．13,44k k ??π-π+，k ∈Z B ．132,244k k ??π-π+，k ∈Z C ．13,44k k ?-+，k ∈ZD ．132,244k k ??-+，k ∈Z 答案：D3.已知函数.()cos22sin 4xf x x x π=+?+（Ⅰ）求函数()f x 的最⼩正周期及其单调增区间; （Ⅱ）当2,23x ππ??∈时,对任意,t ∈R 不等式()22mt mt f x -+≥恒成⽴,求实数m 的取值范围.解答：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|,}4x x k k ππ≠-+∈Z ，因为()22sin c cos2cos sin 2sin 2sin o 4s x x xf x x x x x x π-=+=+?++?sin cos 4x x x π?=+=+所以，最⼩正周期222,1T πππω=== 因为sin y x =的单调递增区间为2[2,2]()2k k k ππππ-++∈Z ，令22242k x k πππππ-+≤+≤+，得32244k x k ππππ-+≤≤+．⼜因为()f x 的定义域为{|,}4x x k k ππ≠-+∈Z ，所以()f x 的递增区间为()32,2,2,2.4444k k k k k ππππππππ-+-+-++∈? ??????Z（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间2,23ππ上单调递增，所以，当2x π=时，max ()()12f x f π==，所以，221mt mt -+≥恒成⽴，即210mt mt -+≥恒成⽴．①当m =0时，上式变为1≥0，恒成⽴；②当0m ≠时，若上式对于t ∈R 恒成⽴，。
2018届高三查漏补缺数学试题含答案
2018届高三查漏补缺数学试题含答案2018年北京市海淀区高三数学查漏补缺题说明：个别题目有难度，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。
2、教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。
3、后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。
4、因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。
简易逻辑部分：1.已知实数a ，直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +++=，则“1a =”是“1l //2l ”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2.已知曲线C 的方程为221x y a b+=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3.设集合*{},,241n A n n ∈?≥=N ，，，若,X A ?且2()2Card X n≤≤-，（Card （X ）表示集合X 中的元素个数）令X a 表示X 中最大数与最小数之和，则（1）当n=5时，集合X 的个数为 20 （2）所有X a 的平均值为 n+1 解答（2）,对所有的X 进行配对，当()2Card X =时，令12{,}X x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈，必有/X A ?不妨设12x x <，则12X a x x =+，/12121122()X a n x n x n x x =+-++-=+-+.如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。
同理，当()(22)Card X k k n =<≤-时令12{,,...}k X x x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈必有/X A ?,不妨设12...k x x x <<<，则1X k a x x =+，/122()k X a n x x =+-+。
2018年北京市西城区高三查缺补漏数学试题及答案
北京市西城区高三数学查缺补漏试题
一、选择题
1.已知23log log 1x y ，那么（）
（A ）3
x
y
（B ）3y x （C ）3y
x
（D ）3x
y
2.（理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
2,12x t y
t
（t 为参数），
设直线l 的倾斜角为，则tan （
）
（A ）2
（B ）2
（C ）5（D ）5
3.“0,0a b ”是“曲线2
2
1ax by
为椭圆”的（）
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
4.设函数()sin f x x 的导函数为()f x ，那么要得到函数()f x 的图象，只需将()f x 的图象（
）
（A ）向左平移π4
个单位（B ）向右平移π4个单位（C ）向左平移
π2
个单位
（D ）向右平移
π2
个单位
5.已知函数()log (2)1m f x x （0m ，且1m ）的图象恒过点
P ，且点
P 在直线
1(0,0)
ax
by
a
b
上，那么ab 的（）
（A ）最大值为14（B ）最小值
（C ）最大值为12
（D ）最小值为
12。
河北省学2018届高三下学期数学(文)试题)+含答案
n(ad bc ) 2 (a b)(c d )(a c)(b d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
P( K 2 k0 ) k0
19. 如图， 三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 平面 AA1C1C ， AA1 AC .过 AA1 的平面交 B1C1 于点 E ，交 BC 于点 F . (I)求证： A1C 平面 ABC1 ； (Ⅱ)求证： AA1 //EF ； (Ⅲ)记四棱锥 B1 AA1 EF 的体积为 V1 ，三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为 V .若
13. 已知向量 a ， | b | 3 ，向量 a 与向量 b 的夹角为 120 ，则 a ( a b) = （1, 3） 14.在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 4 : 6 ，则 cos B ．
.
x y 1 0 15. 已知实数 x ， y 满足 x 2 y 2 0 ，则 z x 2 y 的最小值是 x y 2 0
x y
i 1 i i
m
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）
17. 在等差数列 an 中，公差 d 4, a2 a5 22 ，记数列 an 的前 n 项和为 S n .
-2-
(Ⅰ)求 S n ； (Ⅱ)设数列
0
S 0, i 1 1 2 S S (1)i 1 i 2 i i 1
是
3 2
C.-1
8. 执行右面的程序框图，则输出的 S 的值是 A. 55 B. 55 C. 110 D. 110
高三数学二轮复习查漏补缺课时练习：专题突破训练(一)导数与不等式
专题突破训练(一)导数与不等式时间/45分钟分值/72分基础热身1.(12分)[2019·安徽皖中模拟]已知f(x)=-x2-3,g(x)=2xln x-ax.(1)若函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,求函数g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线方程;(2)当x∈(0,+∞)时,若g(x)-f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.2.(12分)[2019·唐山摸底]设f(x)=2xln x+1.(1)求f(x)的最小值;+2ln x.(2)证明:f(x)≤x2-x+1??能力提升3.(12分)[2018·马鞍山二模]已知函数f(x)=e ??-????,a ∈R .(1)若f(x)在定义域内无极值点,求实数a 的取值范围;(2)求证:当0<a<1,x>0时,f(x)>1恒成立.4.(12分)[2018·河南新乡二模]已知函数f(x)=3e x +x 2,g(x)=9x-1.(1)求函数φ(x)=x e x+4x-f(x)的单调区间;(2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明.5.(12分)[2018·东北三省三校二模]已知函数f(x)=x-a ln x-1,曲线y=f (x)在点(1,0)处的切线经过点(e,0).(1)证明:f(x)≥0;(2)若当x ∈[1,+∞)时,f(1??)≥(ln??)2??+ln??,求p 的取值范围.难点突破6.(12分)[2018·江淮十校三联]已知函数f(x)=????ln??.(1)当a=2时求函数f(x)的单调递减区间;(2)若方程f(x)=1有两个不相等的实数根x 1,x 2,证明:x 1+x 2>2e.专题突破训练(一)1.解:(1)f'(x)=-2x,g'(x)=2ln x+2-a,因为函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,所以f'(1)=g'(1),解得a=4,所以g(1)=-4,g'(1)=-2,所以函数g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线方程为2x+y+2=0.(2)当x ∈(0,+∞)时,由g(x)-f(x)≥0恒成立得,2xln x-ax+x 2+3≥0恒成立,即a ≤2ln x+x+3??恒成立.设h(x)=2ln x+x+3??,则h'(x)=??2+2??-3??2=(??+3)(??-1)??2(x>0),当x ∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x ∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min =h (1)=4,所以a ≤4,即a 的取值范围为(-∞,4].2.解:(1)f'(x)=2(ln x+1).当x ∈(0,1e )时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x ∈(1e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=1e 时,f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为f(1e )=1-2e .(2)证明:令F(x)=x 2-x+1??+2ln x-f(x)=x (x-1)-??-1??-2(x-1)ln x=(x-1)(??-1??-2ln??).令g(x)=x-1??-2ln x,则g'(x)=1+1??2-2??=(??-1)2??2≥0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<0,F(x)>0,当x>1时,g(x)>0,F(x)>0,当x=1时,F(x)=0,所以F(x)=(x-1)(??-1??-2ln??)≥0,即f(x)≤x 2-x+1??+2ln x.3.解:(1)f(x)的定义域为{x|x ≠0},对函数f(x)=e ??-????求导,得f'(x)=e ??(??-1)+????2.令g(x)=e x (x-1)+a ,则g'(x)=x ·e x ,当x<0时,g'(x)<0,则g(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,g'(x)>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为g(0)=a-1,且f(x)在定义域内无极值点,所以a ≥1.(2)证明:f'(x)=e ??(??-1)+????2,由(1)可知g(x)=e x (x-1)+a 在(0,+∞)上单调递增,又当0<a<1时,{??(0)=??-1<0,??(1)=??>0,所以存在x 0∈(0,1),使得g(x 0)=0,即f'(x 0)=0,且当0<x<x 0时,f'(x)<0,当x>x 0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(x 0).由g(x 0)=e ??0(x 0-1)+a=0知f(x 0)=e ??0>1,所以当0<a<1,x>0时,f(x)>1恒成立.4.解:(1)φ＇(x)=(x-2)(e x -2),令φ＇(x)=0,得x 1=ln 2,x 2=2.令φ＇(x)>0,得x<ln 2或x>2;令φ＇(x)<0,得ln 2<x<2.故φ(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)f(x)>g (x).证明如下:设h(x)=f (x)-g(x)=3e x +x 2-9x+1,因为h'(x)=3e x+2x-9为增函数,且h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,所以存在x 0∈(0,1),使得h'(x 0)=0.当x>x 0时,h'(x)>0;当x<x 0时,h'(x)<0.所以h(x)min =h (x 0)=3e ??0+??02-9x 0+1,又h'(x 0)=3e ??0+2x 0-9=0,所以3e ??0=-2x 0+9,所以h(x)min =-2x 0+9+??02-9x 0+1=??02-11x 0+10=(x 0-1)(x 0-10).因为x 0∈(0,1),所以(x 0-1)(x 0-10)>0,所以h(x)min >0,所以f(x)>g (x).5.解:(1)证明:f'(x)=1-????(x>0),由题知曲线y=f (x)在点(1,0)处的切线方程为y=f'(1)(x-1),即y=(1-a)(x-1),又切线经过点(e ,0),所以0=(1-a)(e-1),解得a=1.所以f(x)=x-ln x-1,从而f'(x)=1-1??=??-1??(x>0).因为当x ∈(0,1)时,f'(x)<0,当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数,从而f(x)≥f(1)=0.(2)由题意知,当x ∈[1,+∞)时,p+ln x ≠0,所以p>0,从而当x ∈[1,+∞)时,p+ln x>0,由题意知1??+ln x-1≥(ln??)2??+ln??,即[(p-1)x+1]ln x-px+p ≥0,其中x ∈[1,+∞).设g(x)=[(p-1)x+1]ln x-px+p,其中x ∈[1,+∞),设h(x)=g'(x),即h(x)=(p-1)ln x+1??-1,其中x ∈[1,+∞),则h'(x)=(??-1)??-1??2,其中x ∈[1,+∞).①当p ≥2时,因为当x ∈[1,+∞)时,h'(x)≥0,所以h(x)是增函数,从而当x ∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0,所以g(x)是增函数,从而g(x)≥g(1)=0.故当p ≥2时符合题意.②当1<p<2时,因为当x ∈[1,1??-1)时,h'(x)<0,所以h(x)在区间[1,1??-1)上是减函数,从而当x ∈[1,1??-1)时,h(x)≤h(1)=0,所以g(x)在[1,1??-1)上是减函数,从而g(1??-1)<g(1)=0,故当1<p<2时不符合题意.③当0<p ≤1时,因为当x ∈[1,+∞)时,h'(x)<0,所以h(x)是减函数,从而当x ∈[1,+∞)时,h(x)≤h(1)=0,所以g(x)是减函数,从而g(x)≤g(1)=0,故当0<p ≤1时不符合题意.综上,p 的取值范围是[2,+∞).6.解:(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),当a=2时,f'(x)=2(ln??-1)(ln??)2,由f'(x)<0得x ∈(0,1)∪(1,e),所以f(x)的单调递减区间是(0,1)和(1,e).(2)证明:由{ln ??2=????2,ln ??1=????1,得{ln ??1-ln ??2=??(??1-??2),ln ??1+ln ??2=??(??1+??2),得a=ln ??1-ln ??2??1-??2.因为x 1+x 2>2√??1??2,所以要证x 1+x 2>2e,只需证x 1x 2>e 2,即证ln x 1+ln x 2>2,即证ln x 1+ln x 2=a (x 1+x 2)=(x 1+x 2)·ln ??1-ln ??2??1-??2>2,不妨设x 1>x 2,则只需证ln??1??2>2(??1-??2)??1+??2,令??1??2=t>1,则只需证ln t>2(??-1)??+1.令g(t)=ln t-2(??-1)??+1=ln t+4??+1-2(t>1),则易知g'(t)=1??-4(??+1)2>0在(1,+∞)上恒成立,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,g(t)>g(1)=0,所以ln t>2(??-1)??+1,即x 1+x 2>2e.。
河北省石家庄2018届高三教学质量检测数学(理)试题(二)含答案
河北省石家庄2018届高三教学质量检测数学(理)试题（二）含答案河北省石家庄2018届高三教学质量检测（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则下列结论正确的是( ) A.(){}12R C A B x x =-<≤B.{}10A B x x =-<<C.(){}0R AC B x x =≥D.{}0A B x x =<2.已知复数z 满足()zi i m m R =+∈，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在等比数列{}n a 中，2a =2，516a =，则6a =( ) A.28B.32C.64D.144.设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件5.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为( )(参考数据：sin150.2588=°，sin 7.50.1305=°，sin 3.750.0654=°)A.24B.36C.48D.126.若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A.3πB.23πC.56πD.6π 7.在()()5121x x -+的展开式中，含4x 项的系数为( ) A.5-B.15-C.25-D.258.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.83B.3C.8D.539.某学校A 、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于B 班的平均成绩 ②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于A 班的平均成绩 ③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于B 班成绩的标准差 ④B 班数学兴趣小组成绩的标准差小于A 班成绩的标准差 其中正确结论的编号为( ) A.①④B.②③C.②④D.①③10.已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，已知点(3A ，,06B π⎛⎫⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为( )A.4x π=B.3x π=C.23x π=D.12x π=11.倾斜角为4π的直线经过椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为( )B.233 12.已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<(()'f x 为函数的导函数)，若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是( ) A.()()()1f a a f b >+B.()()()1f b a f a >-C.()()af a bf b >D.()()af b bf a >二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用1a ，2a ，3a ，4a ，5a 分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现12345a a a a a <<>>特征的五位数的概率为_____________. 14.设变量,x y 满足约束条件30320x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1y x +的最大值为_____________.15.已知数列{}n a 的前n 项和12nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，如果存在正整数n ，使得()()10n n m a m a +--<成立，则实数m 的取值范围是_____________.16.在内切圆圆心为M 的ABC △中，3AB =，4BC =，5AC =，在平面ABC 内，过点M 作动直线l ，现将ABC △沿动直线l 翻折，使翻折后的点C 在平面ABM 上的射影E 落在直线AB 上，点C 在直线l 上的射影为F ，则EF CF的最小值为_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC △的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c 3tan tan cA B =+.(1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，3a =AD 的范围.18.随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：(1) 根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+(系数精确到0.01)；(2) 已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z (单位：件)表示日销量，[)1800,2000z ∈，则每位员工每日奖励100元；[)2000,2100z ∈，则每位员工每日奖励150元；[)2100,z ∈+∞，则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量z 服从正态分布()0.2,0.0001N ，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位).参考数据：81338.5i i i x y ==∑，8211308i i x ==∑，其中i x ，i y 分别为第i 个月的促销费用和产品销量，1,2,3,...8i =.参考公式：(1) 对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-.(2) 若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+=，()2,20.9545P μσμσ-+=. 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为160CBB =∠°的菱形，1AB AC =.(1)证明：平面1AB C ⊥平面11BB C C .(2)若1AB B C ⊥，直线AB 与平面11BB C C 所成的角为30°，求直线1AB 与平面11A B C 所成角的正弦值. 20.已知圆()()229:4C x a y b -+-=的圆心C 在抛物线()220x py p =>上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别在点,A B 处作抛物线的两条切线交于P 点，求三角形PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程.21.已知函数()ln f x x ax x =+.()a ∈R (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，且极大值为1，证明：()2x f x e x -≤+.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(其中ϕ为参数)，曲线222:184x y C +=.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C 、2C 的极坐标方程；(2)射线():0l θαρ=≥与曲线1C 、2C 分别交于点,A B (且,A B 均异于原点O )当02πα<<时，求22OBOA-的最小值.23.已知函数()221f x x a x =-++.(1)当1a=时，求()2f x≤的解集；(2)若()243g x x ax=+-，当1a>-，且1,22ax⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()f xg x≥，求实数a的取值范围.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次质量检测试题理科数学答案一、选择题1-5BABCC 6-10DBAAD 11-12AC二、填空题13．14． 315．3(,)24-16. 81025三、解答题17.解：（1）在△ABC中33sin sin sin tan tancos cos c C ABA BA B=+∴=+sin cos+sin cossin cos cos cos1tan=3cos3C A B B AA B A BA AAπ==即：则：＝（2）22211sin,2212123cos=22203=32ABCS AD BC bc AAD bcb c a bcAbc bcbc b cAD∆=⋅=∴=+--=≥∴<≤∴<≤由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）18（1）由题可知11,3x y==，将数据代入1221ˆni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑得338.5811374.5ˆ0.219130********b-⨯⨯==≈-⨯ˆˆ30.219110.59a y bx=-=-⨯≈所以y关于x的回归方程ˆ0.220.59y x=+（2）由题6月份日销量z 服从正态分布()0.2,0.0001N ，则日销量在[1800,2000)的概率为0.95450.477252=， 日销量在[2000,2100)的概率为0.68270.341352=， 日销量[2100,)+∞的概率为10.68270.158652-=， 所以每位员工当月的奖励金额总数为(1000.477251500.341352000.15865)30⨯+⨯+⨯⨯3919.7253919.73=≈元.19.证明：（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO 侧面11BB C C 为菱形，∴ 11B C BC ⊥1AB AC =， O 为1BC 的中点，∴1AO BC ⊥又1BC AO O ⋂=，∴1BC ⊥平面1AB C 1BC ⊂平面11BB C C ∴平面1AB C ⊥平面11BB C C .（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，AB BO B ⋂=， ∴1B C ⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO∴1AO B C ⊥从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -直线AB 与平面11BB C C 所成的角为030，∴030ABO ∠=设1AO =，则3BO =，又0160CBB ∠=，∴△1CBB 是边长为2的等边三角形∴1(0,0,1),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0)A B B C -，1111(0,1,1),(0,2,0),(3,0,1)AB BC AB AB =-=-==- 设(,,)n x y z =是平面11A B C 的法向量，则11100n A B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3000200x y z x y z +⋅-=⋅-+⋅=⎪⎩令1x =则(1,0,3)n =设直线1AB 与平面11A B C 所成的角为θ 则1116sin |cos ,|||||||AB n AB n AB n θ⋅=<>==⋅∴直线1AB 与平面11A B C 620.解：（1）由已知可得圆心),(:b a C ，半径23=r ，焦点)2,0(pF ，准线2p y -=因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所以223pb -=， 且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即4p b =所以4223pp b =-=，即2=p ，抛物线F 的方程为y x 42=（2）易得焦点)1,0(F ，直线L 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为1+=kx y 设),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=+=yx kx y 412得0442=--kx x ，0>∆，4,42121-==+x x k x x 对42x y =求导得2'x y =，即21x k AP =直线AP 的方程为)(2111x x x y y -=-，即211412x x x y -=， 同理直线BP 方程为222412x x x y -=设),(00y x P ，联立AP 与BP 直线方程解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===+=1422210210x x y k x x x ，即)1,2(-k P所以)1(412212k x x k AB +=-+=，点P 到直线AB 的距离22212122k k k d +=++=所以三角形PAB 面积4)1(412)1(42123222≥+=+⋅+⋅=k k k S ，当仅当0=k 时取等号综上：三角形PAB 面积最小值为4，此时直线L 的方程为1=y . 21．解:（Ⅰ）由题意0x >，()1ln f x a a x '=++① 当0a =时，()f x x =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；② 当0a >时，函数()1ln f x a a x '=++单调递增，11()1ln 00af x a a x x e --'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；③ 当0a <时，函数()1ln f x a a x '=++单调递减，11()1ln 00af x a a x x e--'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，则0a <，且111ae--=，解得1a =-， 故此时()ln f x x x x =-，要证2()xf x e x -≤+，只须证2ln x x x x e x --≤+，及证2ln 0x e x x x x -+-+≥即可，设()2ln x h x ex x x x -=+-+，0x >．()2ln x h x e x x -'=-++，令()()g x h x '=()120x g x e x-'=++>，所以函数()2ln x h x e x x -'=-++单调递增， 又11210e h e e e -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，()1120h e '=-+>，故()2ln xh x ex x -'=-++在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，即0002ln 0x e x x --++=．所以当()00,x x ∈，()0h x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x x ∈上单调递减，函数()h x 在()0,x x ∈+∞上单调递增， 故()()0200000ln x h x h x ex x x x -≥=+-+，所以只须证()0200000ln 0x h x e x x x x -=+-+≥即可，由0002ln 0x ex x --++=，得0002ln x e x x -=+，所以()()()00001ln h x x x x =++，又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可， 当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x x x x e e x --<-⇒<⇒-+< 所以00x e x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x e x x --++=矛盾，故00ln 0x x +≥，得证． （另证）当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x x x x e e x --<-⇒<⇒-+< 所以00x e x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x ex x --++=矛盾；当00ln 0x x +>时，000000ln 0x x x x x e e x -->-⇒>⇒-+> 所以00x e x --++00ln 0x x +>与0002ln 0x ex x --++=矛盾；当00ln 0x x +=时，000000ln 0x x x x x e e x --=-⇒=⇒-+=得0002ln 0x ex x --++=，故 00ln 0x x +=成立，得()()()00001ln 0h x x x x =++=，所以()0h x ≥，即2()xf x e x -≤+．22.解：（1）曲线1C 的普通方程为1)122=+-y x （，1C 的极坐标方程为,cos 2θρ=2C 的极坐标方程为αρ22sin 18+=（2）联立)0(≥=ραθ与1C 的极坐标方程得α22cos 4=OA，联立)0(≥=ραθ与2C 的极坐标方程得ααα2222sin 18sin 2cos 8+=+=OB ，则22OA OB -= αα224cos -sin 18+=)sin -14-sin 1822αα（+ =8-)sin 14sin 1822αα+++（.8288)sin 1(4)sin 18(222-=-+⨯+≥αα（当且仅当12sin -=α时取等号）.所以22OA OB -的最小值为.828- 23.解：)1(当1=a 时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=.21,4,2121,2,21,4)(x x x x x x f当21-<x 时，2)(≤x f 无解； 当2121≤≤-x 时，2)(≤x f 的解为2121≤≤-x ；当21->x 时，2)(≤x f 无解；综上所述，2)(≤x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-2121x x )2(当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,21a x 时，1)12()2()(+=++-=a x x a x f所以)()(x g x f ≥可化为)(1x g a ≥+又34)(2-+=ax x x g 的最大值必为)21-(g 、)2a (g 之一…………………9分即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥2342a a 即.234≤≤-a 11()21()2a g a a g ⎧+≥-⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩又,1->a 所以.21≤<-a 所以a 取值范围为(]2,1-石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次质量检测试题理科数学答案一、选择题1-5BABCC 6-10DBAAD 11-12AC 二、填空题13．14． 315． 3(,)24-16. 81025三、解答题17.解：（1）在△ABC 中33sin sin sin tan tan 2cos cos c C A BA B A B=+∴=+分……………6分（2）22211sin ,22182123cos =22203=1030122ABC S AD BC bc A AD bc b c a bc A bc bcbc b c AD ∆=⋅=∴=+--=≥∴<≤∴<≤分由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）分分18（1）由题可知11,3x y ==， ………… 1分3sin sin cos +sin cos 4cos cos 31tan =3cos 3C A B B AA B A A A π==即：分则：＝将数据代入1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-=-∑∑得338.5811374.5ˆ0.219130********b-⨯⨯==≈-⨯………3分ˆˆ30.219110.59ay bx =-=-⨯≈ …………4分 所以y 关于x 的回归方程ˆ0.220.59yx =+ ……………… 5分 （说明：如果ˆ0.22,b≈ ˆ0.58a ≈ ，ˆ0.220.58yx =+，第一问总体得分扣1分）（2）由题6月份日销量z 服从正态分布()0.2,0.0001N ，则日销量在[1800,2000)的概率为0.95450.477252=， 日销量在[2000,2100)的概率为0.68270.341352=， 日销量[2100,)+∞的概率为10.68270.158652-=， ……………… 8分 所以每位员工当月的奖励金额总数为(1000.477251500.341352000.15865)30⨯+⨯+⨯⨯....10分3919.7253919.73=≈元.………………… 12分19.证明：（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO 侧面11BB C C 为菱形，∴ 11B C BC ⊥1AB AC =， O 为1BC 的中点，∴1AO BC ⊥ …………2分又1BC AO O ⋂=，∴1BC ⊥平面1AB C 1BC ⊂平面11BB C C ∴平面1AB C ⊥平面11BB C C .…………4分（2）由1AB B C ⊥，1BO B C ⊥，AB BO B ⋂=， ∴1B C ⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO∴1AO B C ⊥…………………6分从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -直线AB 与平面11BB C C 所成的角为030，∴030ABO ∠=设1AO =，则3BO =，又0160CBB ∠=，∴△1CBB 是边长为2的等边三角形∴1(0,0,1),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0)A B B C -，………………………8分1111(0,1,1),(0,2,0),(3,0,1)AB BC AB AB =-=-==- 设(,,)n x y z =是平面11A B C 的法向量，则11100n A B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3000200x y z x y z +⋅-=⋅-+⋅=⎪⎩令1x =则(1,0,3)n = …………10分 设直线1AB 与平面11A B C 所成的角为θ 则1116sin |cos ,|||||||AB n AB n AB n θ⋅=<>==⋅∴直线1AB 与平面11A B C 6分 20.解：（1）由已知可得圆心),(:b a C ，半径23=r ，焦点)2,0(pF ，准线2p y -=因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所以223pb -=，……………………2分 且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上， 即4p b =………………………4分所以4223pp b =-=，即2=p ，抛物线F 的方程为y x 42= …………………5分 （2）易得焦点)1,0(F ，直线L 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为1+=kx y 设),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=+=yx kx y 412得0442=--kx x ，0>∆，4,42121-==+x x k x x ………… 6分 对42x y =求导得2'x y =，即21x k AP =直线AP 的方程为)(2111x x x y y -=-，即211412x x x y -=， 同理直线BP 方程为222412x x x y -= 设),(00y x P ，联立AP 与BP 直线方程解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===+=1422210210x x y k x x x ，即)1,2(-k P ……………… 8分所以)1(412212k x x k AB +=-+=，点P 到直线AB 的距离22212122k k k d +=++=……………………10分所以三角形PAB 面积4)1(412)1(42123222≥+=+⋅+⋅=k k k S ，当仅当0=k 时取等号综上：三角形PAB 面积最小值为4，此时直线L 的方程为1=y . ………………12分 21．解:（Ⅰ）由题意0x >，()1ln f x a a x '=++④ 当0a =时，()f x x =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；………1分⑤ 当0a >时，函数()1ln f x a a x '=++单调递增，11()1ln 00af x a a x x e --'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ………3分⑥ 当0a <时，函数()1ln f x a a x '=++单调递减，11()1ln 00af x a a x x e --'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在110,ax e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，则0a <，且111ae--=，解得1a =-， 故此时()ln f x x x x =-，………6分要证2()x f x e x -≤+，只须证2ln x x x x e x --≤+，及证2ln 0x e x x x x -+-+≥即可， 设()2ln xh x ex x x x -=+-+，0x >．()2ln x h x e x x -'=-++，令()()g x h x '=()120x g x e x-'=++>，所以函数()2ln x h x e x x -'=-++单调递增， 又11210e h e e e -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，()1120h e '=-+>，故()2ln xh x ex x -'=-++在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，即0002ln 0x e x x --++=．………………8分所以当()00,x x ∈，()0h x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x x ∈上单调递减，函数()h x 在()0,x x ∈+∞上单调递增， 故()()0200000ln x h x h x ex x x x -≥=+-+，所以只须证()0200000ln 0x h x e x x x x -=+-+≥即可，由0002ln 0x ex x --++=，得0002ln x e x x -=+，所以()()()00001ln h x x x x =++，又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可， ………10分当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x x x x e e x --<-⇒<⇒-+< 所以00x e x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x ex x --++=矛盾，故00ln 0x x +≥，得证．………12分 （另证）当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x x x x e e x --<-⇒<⇒-+<所以00x ex --++00ln 0x x +<与0002ln 0x e x x --++=矛盾；当00ln 0x x +>时，000000ln 0x x x x x ee x -->-⇒>⇒-+>所以00x e x --++00ln 0x x +>与0002ln 0x ex x --++=矛盾；当00ln 0x x +=时，000000ln 0x x x x x e e x --=-⇒=⇒-+= 得0002ln 0x ex x --++=，故 00ln 0x x +=成立，得()()()00001ln 0h x x x x =++=，所以()0h x ≥，即2()x f x e x -≤+．22.解：（1）曲线1C 的普通方程为1)122=+-y x （，1C 的极坐标方程为,cos 2θρ=….3分2C 的极坐标方程为αρ22sin 18+=………5分（2）联立)0(≥=ραθ与1C 的极坐标方程得α22cos 4=OA，联立)0(≥=ραθ与2C 的极坐标方程得ααα2222sin 18sin 2cos 8+=+=OB ，……7分则22OA OB -= αα224cos -sin 18+=)sin -14-sin 1822αα（+ =8-)sin 14sin 1822αα+++（ ………………………9分.8288)sin 1(4)sin 18(222-=-+⨯+≥αα（当且仅当12sin -=α时取等号）.所以22OA OB -的最小值为.828-…….10分 23.解：)1(当1=a 时，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=.21,4,2121,2,21,4)(x x x x x x f ………………………2分当21-<x 时，2)(≤x f 无解； 当2121≤≤-x 时，2)(≤x f 的解为2121≤≤-x ；当21->x 时，2)(≤x f 无解；综上所述，2)(≤x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-2121x x ………….5分)2(当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,21a x 时，1)12()2()(+=++-=a x x a x f ,…….6分所以)()(x g x f ≥可化为)(1x g a ≥+………….7分 又34)(2-+=ax x x g 的最大值必为)21-(g 、)2a (g 之一…………………9分即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥2342a a 即.234≤≤-a又,1->a 所以.21≤<-a 所以a 取值范围为(]2,1-………10分11()21()2a g a a g ⎧+≥-⎪⎪∴⎨⎪+≥⎪⎩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年北京市海淀区高三数学查漏补缺题说明： 个别题目有难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。
2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。
3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。
4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。
简易逻辑部分 ：1.已知实数a ，直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +++=，则“1a =”是“1l //2l ”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B2.已知曲线C 的方程为221x y a b+=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3.设集合*{},,241n A n n ∈⋯≥=N ，，，若,X A ⊆且2()2Card X n ≤≤-，（Card （X ）表示集合X 中的元素个数）令X a 表示X 中最大数与最小数之和，则 （1）当n=5时，集合X 的个数为 20 （2）所有X a 的平均值为 n+1 解答（2）,对所有的X 进行配对， 当()2Card X =时，令12{,}X x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈，必有/X A ⊆不妨设12x x <，则12X a x x =+，/12121122()X a n x n x n x x =+-++-=+-+.如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。
同理，当()(22)Card X k k n =<≤-时令12{,,...}k X x x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈必有/X A ⊆,不妨设12...k x x x <<<，则1X k a x x =+，/122()k X a n x x =+-+。
如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。
所以，在每一组元素个数相同的子集中，X a 的平均值为n+1. 综上，所有X a 的算术平均值为n+1三角函数部分1.若角α的终边过点(1,2)-，则sin 2_____α=45-解：1,2,x y r ==-==sinαα∴== 4sin 22sin cos 2(5ααα∴==⨯=-2.把函数sin(2)4y x π=-向右平移8π个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为________________ 解：函数sin(2)4y x π=-向右平移8π个单位，得sin[2()]cos248y x x ππ=--=，把横坐标变为原来的2倍，得cos y x =3.设函数()sin()cos(),(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ><＝＋＋＋的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则：A ．()f x 在(0,)2π上单调递减 B.()f x 在3(,)44ππ上单调递减C ．()f x 在(0,)2π上单调递增 D.()f x 在3(,)44ππ上单调递增解：()sin()cos())4f x x x x πωϕωϕωϕ++＝＋＋＋，由最小正周期得2ω=，又由于()()f x f x -=，可知函数为偶函数，因此()42k k ππϕπ∈Z ＋＝＋，又因为2πϕ<，可得4πϕ=，所以()f x x ，在(0,)2π上单调递减。
所以选A4. 已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，现有如下几个命题： ①该函数为偶函数； ②该函数最小正周期为π；③该函数值域为[1； ④该函数单调递增区间为[,]242k k πππ+k Z ∈. 其中正确命题为. 解：答案：①③④先分析函数奇偶性为偶函数，从而只用考虑y 轴一侧的图像，如右侧.然后由诱导公式或者π（I ）求角B 的取值范围； （II ）若3A C π-=，求sin B ；解：（I ）22222222()3322cos 228a c a c a c ba c ac B acac ac++-+-+-===62182ac ac ac -≥=又0B π<<, (0,]3B π∴∈（II ）（2）2a c b +=sin sin 2sin A C B ∴+=1111sin sin sin sin()sin sin()2223226B AC C C C ππ∴=+=++=+sin sin[()]sin()sin(2)3B AC A C C ππ∴=-+=+=+sin(2))326C C ππ∴+=+2sin()cos())666C C C πππ∴++=+cos()6C π∴+=sin()6C π∴+=sin )26248B C π∴=+== 6. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4cos sin 22)(πx x x f 。
(I) 若在B A f AB BC ABC 的角，求使，中，△0)4(22=-==π.(II)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2417,2ππ上的取值范围；解：（I ）()cos 044f A A A ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ sin 0cos 04A A π⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭或，.42A ππ∴=在三角形中，得或;24A B ππ∴==当时，时，由正弦定理得，（II）2()2sin cos2sinf x x x x x x x⎫==-⎪⎝⎭sin2cos211214x x x x xπ⎫⎛⎫=+-=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎭1755,2,224443x xπππππ≤≤∴≤+≤21,4xπ⎛⎫+≤-⎪⎝⎭由正弦函数的性质可知，352()1428x x f xπππ+==当，即时，取最小值；52() 2.442x x f xπππ+==-当，即时，取最大值所以)(xf在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2417,2ππ上的取值范围是12⎡⎤-⎣⎦，.7.如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线(0)y x≥交于点Q，与x轴交于点M．记MOPα∠=，且ππ(,)22α∈-．（Ⅰ）若1sin3α=，求cos POQ∠；（Ⅱ）求OPQ∆面积的最大值.M解：﹙Ⅰ﹚因为1sin 3α=，且ππ(,)22α∈-，所以cos α=所以πππcos cos()cos cos sin sin 333POQ ααα∠=-=+=．（Ⅱ）由三角函数定义，得(cos ,sin )P αα，从而(cos )Q αα所以 1|cos sin |2POQ S ααα∆=-21sin cos |2ααα=-111πsin 2|sin(2)|2223αα=-=+-111|22≤=+ 因为ππ(,)22α∈-，所以当π12α=-时，等号成立所以OPQ ∆12 .立体几何部分：1. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β,直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（）A ．//αβ，且//l β B ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l答案D2.(理科) 已知正方体1111D C B A ABCD -中，P 为直线1BC 上的动点，Q 为直线11B A 上的动点，则PQ 与面11B BCC 所成角中最大角的正弦值为_________. 解：点P 在1BC 中点，点Q 在1A 时成角最大，最大成角的正弦值为363. 如图所示几何体中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面A B C D ，BE //PD ,22AB PD BE ===,F 为AD 的中点.（I ）证明：BF // 平面PAE ；(II) 线段PE 上是否存在一点N ，使PE ⊥平面NAC ？若存在，求PN 的长；若不存在，说明理由.解：（I ）取PA 中点Q ，连QF 、QE .则QF //PD //BE ，112QF PD BE ===, 所以四边形QFBE 是平行四边形，所以//BF EQ ， 又因为QE ⊂平面PAE ，BF ⊄平面PAE ，所以BF // 平面PAE .（取PD 中点M ，连ＦＭ，ＢＭ，通过面面平行证明也可）(II) 线段PE 上存在一点N ，使PE ⊥平面NAC ，2PN =．过A 做AN PE ⊥于N ，连CN ，因为PD ⊥平面ABCD ，AD,CD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥，2AD CD PD ===，所以AP CP == 因为BE //PD ,所以BE ⊥平面ABCD ，AB,CB ⊂平面ABCD ，所以BE AB ⊥，BE CB ⊥，2,1AB CB BE ===，所以AE CE == 所以PAE 与PCE 全等，因为AN PE ⊥，所以CN PE ⊥，又因为ANCN N =，AN,CN ⊂平面NAC ，所以PE ⊥平面NAC因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD DC ⊥，BE //PD ， 所以3PE =，在PAE 中222cos 2PA PE AE APE PA PE +-∠===⋅所以22222cos =⨯=∠=APE PA PN4.如图，已知三棱锥BCD A -中，2===BA DC DB ，DC BD ⊥，⊥AB 平面BCD ，E 为BC 的中点.(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角D AC B --的大小；(3)在棱AC 上是否存在点F ，使得AD EF ⊥？ 解答：(1).证明：⊥AB 平面BCD ，⊂DE 平面BCD ，DE AB ⊥∴ 又BCD ∆ 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，DE BC ⊥∴B BC AB = ，⊥∴DE 平面ABC⊂AC 平面ABC ， 故DE AC ⊥(2).在平面ABD 内，过点D 作BA 的平行线DP 故⊥DP 平面BCD 所以DP DC DB ,,两两垂直， 以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系)0,0,0(D )2,0,2(A ，)0,0,2(B ，)0,2,0(C因为⊥DE 平面ABC ，所以)0,1,1(=为平面ABC 的一个法向量，设),,(z y x =为平面ACD 的一个法向量，)2,0,2(),0,2,0(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0⇒⎩⎨⎧==+02022y z x 不妨设1=x ，则0,1=-=y z ，故)1,0,1(-=所以21,cos =>=<，所以二面角D AC B --的大小为3π.(3)假设存在点),,(c b a F 在棱AC 上，则λ=，]1,0[∈λ 即)2,2,2()2,,2(λλλ--=--c b a所以)22,2,22(λλλ--F ，则)22,21,21(λλλ-+--=，)2,0,2(=，有04442=-+-=⋅λλ，即43=λ， 即存在点)21,23,21(F 为AC 的靠近点C 的四等分点使得AD EF ⊥5. 已知一几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为___ ； 表面积为____.参考答案：4,12V S ==+ 概率：1. 在一个盒中放置6张分别标有号码1，2，…，6的卡片,现从盒中随机抽出一张，设卡片编号为a .调整盒中卡片，保留所有号码大于a 的卡片，然后第二次从盒中再次抽出一张，则第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率值为. 解：设“第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片”为事件A.则()13121132171(1)6563665345P A =⋅+⋅+⋅=++=. 所以第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率为1745.２.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A ，摸出一球得白球的概率为25， 摸出一球得黑球的概率为35，所以P （A ）＝25×35＋35×25＝12.25答：两球颜色不同的概率是12.25（Ⅱ）由题知ξ可取0，1，2，依题意得323(0),5410P ξ==⨯=32233(1),54545P ξ==⨯+⨯=211(2)5410P ξ==⨯=则3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=，22243434190125105551025.D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答： 摸出白球个数ξ的期望和方差分别是45，925.解析几何1．已知圆C ：22(2)1x y ++=，若椭圆M 以圆心C 及（2，0）为左、右焦点，且圆C 与椭圆M 没有公共点，则椭圆M 的离心率的取值范围是. 解： 203e <<2. 双曲线E ：22221yx a b-=的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是线段OA 2的中垂线与双曲线E的渐近线的交点（O 为双曲线中心），若PA 1⊥PA 2，则双曲线E 的离心率e ＝_________. 解：23. 曲线C 是平面内与三个定点12(10)F F (-1,0)，，和3(0,1)F ，的距离的和等于轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称②曲线C 上存在一点P ,使得3||3PF =③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积最大值是1○4三角形23PF F 其中所有真命题的序号是3,命题意图：定义一个新曲线，考察学生即时学习的能力，培养学生创新意识。