对称矩阵与反对称矩阵
关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
INTELLIGENCE 人 文 论 坛162关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质华北电力大学科技学院 朱亚茹摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。
本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。
关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。
教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。
本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。
一、对称矩阵定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==⋅⋅⋅，那么称A 为对称矩阵。
由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。
性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。
则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。
证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以TA A +也是对称矩阵。
性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A −也是对称矩阵。
证明：因为111()()T T A A A −−−==，所以1A −也是对称矩阵。
性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以TAA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
对称矩阵的性质
对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，
以下首先介绍一些基本概念.
1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为
对称矩阵.由定义知：
2. 212n n
n nn a a a a ⎪⎪⎪⎪⎭. 00l a ⎪⎪⎪⎭的矩阵，其中1,2,,)l ，通常称为对角矩阵.
若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称2. 2120n n n a a ⎪⎪ ⎪--⎝⎭
. 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.
2 对称矩阵的基本性质
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.
性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.
性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）.
性质4任一n n
矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.
X AX是对称矩阵.
性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T
性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.。
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵和反对称矩阵本文主要介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义、性质和应用。
1.定义对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相等，即矩阵的转置等于它本身。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于A本身，则称A为对称矩阵。
反对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相反，满足A=-AT。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于-A本身，则称A为反对称矩阵。
反对称矩阵中对角线元素都为0。
只有当n为奇数时，才有可能构造出反对称矩阵。
2.性质对称矩阵和反对称矩阵都是特殊的方阵，它们有以下性质：1）对称矩阵的特征值都是实数。
2）对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
3）对称矩阵的每个子矩阵都是对称矩阵。
4）反对称矩阵的行列式都是偶数次幂。
5）反对称矩阵的秩为偶数。
6）反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.应用对称矩阵和反对称矩阵在物理学、工程、数学等领域都有广泛应用。
下面介绍其中一些应用。
3.1 对称矩阵对称矩阵与二次型有密切关系。
二次型是由一个n维向量x和一个n阶矩阵A的乘积xTAx表示的。
如果A是对称矩阵，则称该二次型为正定二次型。
正定二次型的特征值都是正数，表现出对向量的正面影响，常用于优化问题中。
在物理学中，对称矩阵常用于表示物理系统的对称性，如空间对称性和内禀对称性。
此外，在计算机科学领域中，对称矩阵可以用于计算图像处理中的中值滤波和边缘检测。
3.2 反对称矩阵反对称矩阵在物理学中也很有用，可以表示无旋场，如电磁场和磁场等。
在机器学习算法中，反对称矩阵可以用于求解矩阵奇异值、特征值和特征向量等问题，具有很高的计算效率。
同时，反对称矩阵也能表示多种对称性和不变性，例如动量和角动量的守恒，以及物理系统中的对称映射。
此外，反对称矩阵还被广泛应用于控制论和自动化领域。
4.总结对称矩阵和反对称矩阵分别具有不同的特性和应用。
由于其广泛的应用性和重要性，对称矩阵和反对称矩阵成为数学、物理学、工程学等领域中不可或缺的基本工具。
对称矩阵与反对称矩阵
对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵是线性代数中两种特殊的矩阵形式。
它们在数学和物理领域中有广泛的应用，特别是在对称性和反对称性的研究中起着重要的作用。
让我们来看看对称矩阵。
一个n阶矩阵A称为对称矩阵，如果它的转置矩阵等于它本身，即A的每个元素aij等于aji。
换句话说，对称矩阵以主对角线为对称轴，对角线两侧的元素相等。
例如，下面是一个3阶对称矩阵的例子：\[A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\2 & 4 & 5 \\3 & 5 & 6 \\\end{bmatrix}\]对称矩阵在几何学、物理学和工程学中经常出现。
例如，在物理学中，对称矩阵可以用来描述刚体的惯性矩阵。
在几何学中，对称矩阵可以用来表示二次曲线的方程。
在工程学中，对称矩阵可以用来表示力学系统的刚度矩阵。
接下来，我们来了解一下反对称矩阵。
一个n阶矩阵A称为反对称矩阵，如果它的转置矩阵的相反数等于它本身的负数，即A的每个元素aij等于-aji。
换句话说，反对称矩阵以主对角线为对称轴，对角线上的元素为零，而对角线两侧的元素满足相反数关系。
以下是一个3阶反对称矩阵的例子：\[A = \begin{bmatrix}0 & 1 & -2 \\-1 & 0 & 3 \\2 & -3 & 0 \\\end{bmatrix}\]反对称矩阵在物理学、电路理论和几何学中有重要应用。
在物理学中，反对称矩阵可以用来描述刚体的角动量。
在电路理论中，反对称矩阵可以用来表示电感和电容之间的耦合。
在几何学中，反对称矩阵可以用来表示旋转和反射变换。
对称矩阵和反对称矩阵有一些共同的性质。
首先，它们的对角线上的元素都为零。
这是因为对称矩阵的对称轴是对角线，而反对称矩阵的对称轴是主对角线。
其次，对称矩阵和反对称矩阵的和仍然是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置矩阵与自身相等，而反对称矩阵的转置矩阵的相反数与自身相等。
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形在数学中是一个重要概念，尤其在线性代数和矩阵理论中。
首先，我们需要理解什么是对称矩阵和反对称矩阵，以及合同关系是什么。
1.对称矩阵：一个矩阵如果满足其转置等于它本身，即(A = A^T)，则该矩阵被称为对
称矩阵。
2.反对称矩阵：一个矩阵如果满足其转置等于它的负值，即(A = -A^T)，则该矩阵被称
为反对称矩阵。
3.合同关系：两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得(P^TAP = B)，则称A
和B是合同的。
对称矩阵和反对称矩阵的合同标准形通常是在某种变换下，使得这些矩阵具有更简单的形式或揭示其某些内在性质。
对于对称矩阵，通过合同变换，可以将其化为对角形矩阵或具有特定块结构的矩阵。
而对于反对称矩阵，其合同标准形可能与对称矩阵有所不同。
具体来说，对于实数域上的对称矩阵，总存在一个可逆矩阵P，使得(P^TAP)成为一个对角矩阵，其中对角线上的元素是A的特征值。
这是对称矩阵谱定理的一个重要结果。
对于反对称矩阵，其合同标准形可能依赖于具体的数域和矩阵的维数。
在某些情况下，反对称矩阵可以通过合同变换化为一种标准形，这种标准形可能包含一些零块
和/或特定的2x2块。
然而，需要注意的是，对于复数域上的对称矩阵和反对称矩阵，情况可能会有所不同。
此外，具体的合同标准形可能还依赖于矩阵的秩和其他性质。
总之，对称矩阵和反对称矩阵的合同标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它有助于我们更深入地理解这些矩阵的性质和结构。
然而，具体的合同标准形可能因数域、维数和其他因素而异。
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
实现 矩阵对称化和反对称化
C#实现将一个矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和的方法2016/1/3转自：/article/70996.htm作者：北风其凉字体：[增加减小] 类型：转载时间：2015-08-12我要评论这篇文章主要介绍了C#实现将一个矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和的方法,较为详细的分析了矩阵分解运算的原理与C#实现技巧,需要的朋友可以参考下本文实例讲述了C#实现将一个矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和的方法。
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具体如下：1.理论依据因为反对称矩阵满足 A^T = -A设A = (aij)则有 aii = -aii所以 aii = 0.即主对角线上元素全为0.对任意n阶方阵A，有 A=(A+T(A))/2+(A-T(A))/2，其中T(A)是A的转置，(A+T(A))/2是一个对称矩阵，(A-T(A))/2是一个反称矩阵。
2.求出对称矩阵部分的函数/// <summary>/// 把矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和：对称矩阵/// </summary>/// <param name="matrix">矩阵</param>/// <returns></returns>private static double[][] SymmetricPart(double[][] matrix) {//合法性校验：矩阵必须为方阵if ( MatrixCR(matrix)[0] != MatrixCR(matrix)[1]){throw new Exception("matrix 不是一个方阵");}//矩阵中没有元素的情况if (matrix.Length == 0){return new double[][] { };}//生成一个与matrix同型的空矩阵double[][] result = new double[matrix.Length][];for (inti = 0; i<result.Length; i++){result[i] = new double[matrix[i].Length];}//对称矩阵为 (A+T(A))/2 其中A为原矩阵，T(A)为A的转置矩阵for (inti = 0; i<result.Length; i++){for (int j = 0; j <result.Length; j++){result[i][j] = (matrix[i][j] + matrix[j][i]) / 2.0;}}return result;}3.求出反称矩阵部分的函数/// <summary>/// 把矩阵分解为对称矩阵与反称矩阵之和：反称矩阵/// </summary>/// <param name="matrix">矩阵</param>/// <returns></returns>private static double[][] SkewSymmetricPart(double[][] matrix){//合法性校验：矩阵必须为方阵if (MatrixCR(matrix)[0] != MatrixCR(matrix)[1]){throw new Exception("matrix 不是一个方阵");}//矩阵中没有元素的情况if (matrix.Length == 0){return new double[][] { };}//生成一个与matrix同型的空矩阵double[][] result = new double[matrix.Length][];for (inti = 0; i<result.Length; i++){result[i] = new double[matrix[i].Length];}//反称矩阵为 (A-T(A))/2 其中A为原矩阵，T(A)为A的转置矩阵for (inti = 0; i<result.Length; i++){for (int j = 0; j <result.Length; j++){result[i][j] = (matrix[i][j] - matrix[j][i]) / 2.0;}}return result;}4.其他函数/// <summary>/// 判断一个二维数组是否为矩阵/// </summary>/// <param name="matrix">二维数组</param>/// <returns>true:是矩阵 false:不是矩阵</returns>private static boolisMatrix(double[][] matrix){//空矩阵是矩阵if (matrix.Length< 1) return true;//不同行列数如果不相等，则不是矩阵int count = matrix[0].Length;for (inti = 1; i<matrix.Length; i++){if (matrix[i].Length != count){return false;}}//各行列数相等，则是矩阵return true;}/// <summary>/// 计算一个矩阵的行数和列数/// </summary>/// <param name="matrix">矩阵</param>/// <returns>数组：行数、列数</returns>private static int[] MatrixCR(double[][] matrix){//接收到的参数不是矩阵则报异常if (!isMatrix(matrix)){throw new Exception("接收到的参数不是矩阵");}//空矩阵行数列数都为0if (!isMatrix(matrix) || matrix.Length == 0){return new int[2] { 0, 0 };}return new int[2] { matrix.Length, matrix[0].Length }; }/// <summary>/// 打印矩阵/// </summary>/// <param name="matrix">待打印矩阵</param>private static void PrintMatrix(double[][] matrix) {for (inti = 0; i<matrix.Length; i++){for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++){Console.Write(matrix[i][j] + "\t");//注意不能写为：Console.Write(matrix[i][j] + '\t'); }Console.WriteLine();}}5.Main函数代码及程序运行示例static void Main(string[] args){double[][] matrix = new double[][]{new double[] { 1, 2, 3 },new double[] { 4, 5, 6 },new double[] { 7, 8, 9 }};Console.WriteLine("原矩阵");PrintMatrix(matrix);Console.WriteLine("对称矩阵");PrintMatrix(SymmetricPart(matrix));Console.WriteLine("反称矩阵");PrintMatrix(SkewSymmetricPart(matrix));Console.ReadLine();}运行效果如下图所示：希望本文所述对大家的C#程序设计有所帮助。
反对称矩阵空间的一组基
反对称矩阵空间的一组基
反对称矩阵的性质有设a,b为反对称矩阵，则a±b仍为反对称矩阵。
设a为反对称矩阵，则仍为反对称矩阵。
设a为反对称矩阵，b为对称矩阵，则ab-ba为对称矩阵。
设a为n维方阵，若有a'=-a，则称矩阵a为反对称矩阵。
对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号。
反对称矩阵具有很多良好的性质，如若a为反对称矩阵，则a'，λa均为反对称矩阵；若a,b均为反对称矩阵，则a±b也为反对称矩阵；设a为反对称矩阵，b为对称矩阵，则ab-ba为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。
反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。
注意事项
1、设a,b为反对称矩阵，ab不一定是反对称矩阵。
2、设a为反对表示矩阵，若a的阶数为奇数，则a的行列式为0；a的阶数为偶数，则根据具体情况排序。
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
性质 1 若是实对称矩阵，那么也是实对称矩阵. 证明：由于是实对称矩阵，所以.，故也是实对称矩阵. 性质 2 若是反对称矩阵，那么也是反对称矩阵.
3
证明：由于是反对称矩阵，所以.，故也是反对称矩阵.
性质 3 设为实对称矩阵，则的特征值均为实数. 证明：设是的特征值，于是有非零向量
满足
.
令
，
其中是的共轭复数，则 .
性质 4 任一复对称矩阵合同于规范形，其中 r； 任一实对称矩阵合同于规范形，其中 p 称为的正惯性指数，rp 称为的
负惯性指数，2pr 称为 A 的符号差. 2、反对称矩阵的特有性质
由于反对称矩阵的特殊性，使其有了与对称矩阵不同的性质. 性质 1 若，都是数域 P 上的 n 级反对称矩阵，则，k(k)亦都是反对称矩阵. 证明：,都是反对称矩阵，根据定义，，而，k.故，k(k)亦都是反对称矩阵. 性质 2 反对称矩阵的主对角元素全为 0. 证明：为反对称矩阵，,对于主对角线上的元素,所以 0,故结论成立. 性质 3 数域 P 上奇数级反对称矩阵的行列式等于 0. 证明：设是 n 级反对称矩阵，n 是奇数，则.从而，于是,由此得出，20,因此 0, 结论得证. 性质 4 设是反对称矩阵，则合同于 diag，其中 S,即反对称矩阵的秩一定是偶数. 证明：设是非零反对称矩阵（显然对于零矩阵，结论成立），用归纳法证明.n2， 反对称矩阵，明显地合同于，结论成立.
对称矩阵和反对称矩阵
反对称矩阵和反对称变换若干问题研究2011-05-09 23:30:07| 分类：论文资料|字号反对称矩阵和反对称变换若干问题的研究Some Studies on Anti-symmetric Matrix andSkew symmetric Transformation摘要反对称矩阵是矩阵论中的一类特殊矩阵，而反对称变换则是欧氏空间中基本的线性变换，它们在高等代数和线性代数中占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只给出了反对称矩阵和反对称变换的定义，而没有提及其性质.本文在通过阅读大量文献资料的基础上，给出了反对称矩阵和反对称变换的定义及相关性质，并对这些性质逐一加以证明，论述了反对称矩阵在行列式、秩、特征值和特征向量等方面的性质，证明了关于反对称矩阵的一些重要结论.文章最后还讨论了反对称矩阵与其相对应的反对称变换之间的关系.关键词：反对称矩阵，反对称变换，行列式，秩，性质AbstractMathematics and Applied Mathematics 2007-2Anti-symmetric matrix is a kind of specific matrix in matrix theory, and skew symmetric transformation is the basic linear transformation in Euclidean space, they occupy a very important position in higher algebra and linear algebra. Their definitions are only given in teaching materials of higher algebra and linear algebra, but their properties are not given. On the base of reading lots of literatures, this paper provides the definitions and related properties of anti-symmetric matrix and skew symmetric transformations, in addition, these properties are proved in detail. Some properties of anti-symmetric matrixare comprehensively discussed, for example, the properties are determinant, rank, characteristic value, and eigenvector，and some important conclusions are proved about anti-symmetric matrix. At the end of this paper, the relationships between anti-symmetric matrix and skew symmetric transformation, which correspond with anti-symmetric matrix are discussed.Key words: anti-symmetric matrix, skew symmetric transformation, determinant,rank, properties目录1 引言. 12 反对称矩阵的概念和反对称矩阵的若干性质. 12.1 反对称矩阵的概念. 12.2 反对称矩阵的基本性质. 12.3 行列式的性质. 52.4 秩的性质. 72.5 特征值与特征向量的性质. 93 关于反对称矩阵的一些结论. 114 反对称变换的概念和反对称变换的若干性质. 144.1 反对称变换的概念. 144.2 反对称变换的若干性质. 155 小结. 166 致谢. 177 参考文献. 171 引言反对称矩阵是矩阵论中经常用到的特殊矩阵，与其相对应的反对称变换是欧氏空间中一类重要的线性变换，它们在高等代数和线性代数中占有重要的地位.现行的高等代数和线性代数教材中没有太多专门介绍反对称矩阵和反对称变换的定义和性质，只在习题中有一些涉及，因此，很多学者在这方面做了比较深入的研究，如文献[4]详细介绍了反对称矩阵的特征值与特征向量、秩等各方面的性质.文献[5]不仅论述了反对称矩阵的性质，还证明了关于反对称矩阵的一些重要结论.文献[6]则介绍了反对称矩阵行列式的性质.文献[7-11]也分别综合论述了反对称矩阵的概念和若干性质，并加以证明.文献[13-15]则是对反对称变换的定义和某些性质做了比较详细的分析.本文在通过阅读大量文献的基础上，给出了反对称矩阵和反对称变换的定义及相关的性质，并对这些性质逐一加以证明.在此基础上，本文还讨论了反对称矩阵与其相对应的反对称变换之间的关系.2反对称矩阵的概念和反对称矩阵的若干性质2.1反对称矩阵的概念定义2.1 设是数域上的阶矩阵，如果，则称为一个阶反对称矩阵.对于设阶矩阵，如果，由定义，显然是一个反对称矩阵.2.2反对称矩阵的基本性质性质2.2.1 反对称矩阵的和、差、数乘矩阵仍为反对称矩阵.性质2.2.2 设为阶反对称矩阵，则的主对角线的元素都为零.性质2.2.3 任一阶矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和..性质2.2.4 设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则(1) 是反对称矩阵；(2) 是对称矩阵.性质2.2.5 设为阶可逆反对称矩阵，则也是反对称矩阵.推论2.2.5 若为阶可逆反对称矩阵，则也是反对称矩阵.性质2.2.6 设为任一阶矩阵，则为反对称矩阵.性质2.2.7 设为阶实矩阵，则为反对称矩阵的充要条件是对任意维向量均有 .性质2.2.8 设是阶反对称矩阵，则合同于矩阵.2.3行列式的性质性质2.3.1 奇数阶反对称矩阵的行列式值为零..性质2.3.2 若偶数阶反对称方阵的行列式的每一个元素都加上同一个数，行列式的值不变.2.4秩的性质性质2.4.1 设是阶反对称矩阵，中有一个阶主子式，且所有含的阶主子式均为零，则 .性质2.4.2 设是反对称矩阵，若的所有阶与阶主子式均为零，则 .性质2.4.3 设是秩为的反对称矩阵，则至少有一个阶主子式不为零.证因为，所以的所有阶子式全为0，当然的所有阶主子式也全为0，此时若的所有阶主子式全为0，则可知：，矛盾.因此至少有一个阶主子式不为0.性质2.4.4 设为阶实可逆反对称矩阵，为元实列向量，则秩.2.5特征值与特征向量的性质性质2.5.1 反对称实矩阵的特征值为零或纯虚数.性质2.5.3 反对称实矩阵的特征值全为零的充分必要条件是 ..性质2.5.4 设为反对称矩阵，则对应于的纯虚数特征值的特征向量，其实部与虚部模相等且相互正交.3关于反对称矩阵的一些结论命题3.1 设为阶反对称矩阵，为自然数，则(1) 若为奇数，则为阶反对称矩阵；(2) 若为偶数，则为阶对称矩阵.命题3.2 设为阶反对称矩阵，为的伴随矩阵，则(1) 当为奇数时，为对称矩阵；(2) 当为偶数时，为反对称矩阵.命题3.3 设为阶反对称矩阵，则是反对称矩阵.推论若矩阵是偶数阶反对称矩阵，则的任意次伴随矩阵均是反对称矩阵.命题3.4 设为反对称矩阵，则当可逆时，，且也是反对称矩阵.命题3.5 若为反对称矩阵，则非奇异.命题3.6 假定是一实反对称矩阵，则为正交矩阵.命题3.7 为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且这两个矩阵的乘积是可交换的，即 .若是非奇异的，则是正交矩阵.命题3.8 设为数域上的阶正定矩阵，证明：若是数域上的阶反对称矩阵，则 .证见文献[2].命题3.9 设、为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且，则 .4 反对称变换的概念和反对称变换的若干性质4.1反对称变换的概念定义设是欧氏空间上的线性变换，若对任意有，则称为上的反对称变换.4.2反对称变换的若干性质性质4.2.1 设是维欧氏空间上的反对称变换，当且仅当在标准正交基下的矩阵为实反对称矩阵.证设为的一组标准正交基，在此基下的矩阵为，即则有，(1)：若是反对称变换，则有从而有(2)所以为反对称矩阵.：若为反对称矩阵，则由(1)式和(2)式有，设，，则有所以是上的反对称变换.性质4.2.2 设是维欧氏空间上的反对称变换.(1) 若是的一个特征值，则；(2) 在中存在着一组标准正交基，使得在这组基下的矩阵为对角阵.证(1) 记是属于的特征向量，则.又由题设有由此知 .(2) 设在某组标准正交基下的矩阵为，则，且在此基下的矩阵为 .而是一实对称矩阵，存在一可逆阵使为对角阵，因此也是对角阵.这就说明中必有一组基，使得在这组基下的矩阵为对角阵.性质4.2.3 设是维欧氏空间上的一个反对称变换，则(1) 线性变换均为满秩的；(2) 线性变换为正交变换.证取的一组标准正交基,设和在这组基下的矩阵分别为、，则在这组基下的矩阵为 .(1) 因为为反对称变换，所以由性质4.2.1可知为反对称矩阵.由性质2.5.1知的特征值只能为零或纯虚数，所以 .即，于是是满秩的.又，故也为满秩矩阵，所以也为满秩的.综上所述，线性变换均为满秩的.(2) 因为在上述基下的矩阵为，由命题3.6，容易验证为正交矩阵，故为正交变换.5 小结反对称矩阵和反对称变换的相关问题在现行的高等代数和线性代数课本中没有专门的章节来介绍，只是在课后习题中有所提及，本文研究了反对称矩阵和反对称变换的若干问题，诸如讨论了反对称矩阵行列式的性质、秩的性质、特征值与特征向量的性质，还总结出了关于反对称矩阵的一些重要结论，并且对这些性质和结论加以证明.本文也给出了反对称变换的概念，并讨论和证明了其若干性质，同时探讨了反对称矩阵和反对称变换之间的关系.由于我所学知识有限，未能对反对称矩阵和反对称变换的若干问题作进一步的研究.由于反对称矩阵和反对称变换内容的广泛性，本文未能对其作更全面的探讨，不足和错漏之处，恳请老师们批评指正.6 致谢本文是在杨京开老师的悉心指导下完成的，在选题、问题讨论和论文撰写过程中，杨老师多次询问撰写进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨，热忱鼓励，从选题到完成论文的整个过程，杨京开老师倾注了大量心血，给予我极大的关心和帮助.杨老师严谨的治学态度、敏捷的学术思维、踏踏实实的精神，都给我留下了深刻的印象.恩师为人、治学之道，我将终生受益，值此论文完成之际，谨向敬爱的杨老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！也祝杨老师工作顺利，身体健康，万事如意！此外，我还要向在我学习和生活中给予关心、支持和鼓励的所有老师、同学们表示衷心的感谢！。
反对称矩阵交换律
反对称矩阵交换律【实用版】目录1.对称矩阵的定义与性质2.反对称矩阵的定义与性质3.反对称矩阵交换律的证明4.反对称矩阵交换律的应用正文一、对称矩阵的定义与性质对称矩阵是一种特殊的矩阵，其定义为：若一个 n 阶矩阵 A 满足A^T=A，则称矩阵 A 为对称矩阵。
其中，A^T 表示矩阵 A 的转置。
对称矩阵具有一些重要的性质，如：1.对称矩阵的元素关于主对角线对称；2.对称矩阵的行列式值为 0 或 1；3.对称矩阵的特征值均为实数；4.对称矩阵可以正交对角化。
二、反对称矩阵的定义与性质反对称矩阵是另一种特殊的矩阵，其定义为：若一个 n 阶矩阵 A 满足 A^T=-A，则称矩阵 A 为反对称矩阵。
反对称矩阵具有以下性质：1.反对称矩阵的元素关于主对角线对称，且关于原点中心对称；2.反对称矩阵的行列式值为 0；3.反对称矩阵的特征值均为虚数；4.反对称矩阵不能正交对角化。
三、反对称矩阵交换律的证明对于反对称矩阵 A，我们证明 A^2=I，其中 I 为单位矩阵。
证明：设 A 为反对称矩阵，则有 A^T=-A。
考虑 A^2，有：A^2 = (A^T)^T = (-A)^T = -A^T = -A又因为 A^T=-A，所以有：A^2 = -A^T = -(-A) = A因此，A^2=I。
四、反对称矩阵交换律的应用反对称矩阵交换律在物理学、线性代数、工程学等领域具有一定的应用价值。
例如，在量子力学中，反对称矩阵可以用来描述对称性和反对称性原理；在信号处理中，反对称矩阵可以用来构造线性变换，从而实现信号的能量守恒等。
反对称矩阵的特征值
反对称矩阵的特征值
反对称矩阵的性质有设a,b为反对称矩阵，则a±b仍为反对称矩阵。
设a为反对称矩阵，则仍为反对称矩阵。
设a为反对称矩阵，b为对称矩阵，则ab-ba为对称矩阵。
设a为n维方阵，若有a'=-a，则称矩阵a为反对称矩阵。
对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号。
反对称矩阵具有很多良好的性质，如若a为反对称矩阵，则a'，λa均为反对称矩阵；若a,b均为反对称矩阵，则a±b也为反对称矩阵；设a为反对称矩阵，b为对称矩阵，则ab-ba为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。
反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。
注意事项
1、设a,b为反对称矩阵，ab不一定是反对称矩阵。
2、设a为反对表示矩阵，若a的阶数为奇数，则a的行列式为0；a的阶数为偶数，则根据具体情况排序。
对称矩阵和反对称矩阵例子
对称矩阵和反对称矩阵例子
1. 嘿，你看那矩阵[1,2;2,1]，它就是个对称矩阵呀！就好像人的左右脸一样对称呢！
2. 哎呀，像[0,1;-1,0]这样的矩阵就是反对称矩阵呢，这感觉就像是有一边是正的，另一边就是反的，很神奇吧！
3. 哇塞，[3,4;4,3]这个矩阵，毫无疑问是对称矩阵呀！这就如同一件左右完全对称的艺术品！
4. 嘿哟，[0,-2;2,0]这不就是个典型的反对称矩阵嘛，就跟跷跷板似的，两边总是相反的呢！
5. 看呐，[2,5;5,2]，又是一个对称矩阵呢！可以想象成是镜子里的影像，完全对称呢。
6. 咦，[0,-3;3,0]，这不就是反对称矩阵嘛，就好像正负两极相互对应一样有意思。
7. 哈哈，再看看[4,6;6,4]，绝对的对称矩阵呀！感觉就像是工整的对仗，特别美妙！
我的观点结论就是：对称矩阵和反对称矩阵都有着它们独特的特点和魅力，在数学世界里有着重要的地位呢！。
对称、反对称、伴随、转置矩阵
一．转置矩阵二．对称矩阵1. 设A 为n 阶对称矩阵，则A k （k=1，2，…）为对称矩阵2. 设A 为n 阶方阵，则A+A T ，AA T ，A T A 是对称矩阵，从而（A+A T ）k ，（AA T ）k ,(A T A ）k （k=1，2，…）是对称矩阵。
3. 设A 为n 阶对称矩阵，若A 可逆，则A-1是对称矩阵，从而（A-1）k （k=1，2，…）也是对称矩阵4. 设A 为n 阶对称矩阵，则A 可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和5. 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，X T AX 是对称矩阵，从而（X T AX ）k 是对称矩阵6. 设A 为n 阶方阵，如果满足A 2=E ，AA T =E ，则A 是对称矩阵7. 设A ，B 为n 阶对称矩阵，则（AB+BA ）k （k=1，2，…）也是对称矩阵()()1 ;T T A A =()()3;T T A A P λλλ=∈()()2 ;TT T A B A B +=+()()4 .T T T AB B A =1212(5)( )T n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦8. 设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，B-1=B T，则（B-1AB）k （k=1，2，…）是对称矩阵9. （1）设A，B为n阶对称矩阵，则AB（或BA）是对称矩阵的充要条件是AB=BA，从而AB=BA时，（AB）k（k=1，2，…）（或（BA）k）是对称矩阵（2）A为对称矩阵，B为与A同阶的任意矩阵，则AB T=B T A的充要条件是AB=BA三．反对称矩阵1.任何一个n 阶矩阵A ,均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,即A= B + C ,其中B T = B , C T = - C.2.若A 是反对称矩阵,则其主对角线上的元素全为零.3.设A , B 为n 阶反对称矩阵, k 为常数, l 为正整数,则:(1) A ±B , kA , AB - BA 为反对称矩阵.(2) AB 为对称矩阵的充要条件为AB = BA .(3) 当l 为奇数时, A l 为反对称矩阵,当l 为偶数时, A l 为对称矩阵.4.设A 是任一n 阶矩阵,则A - A T必为反对称矩阵.5.设A 是奇数阶反对称矩阵,则| A | = 0.6.设A 是n 阶反对称矩阵, B 是n 阶对称矩阵,则AB + BA 是n 阶反对称矩阵.7.设B 为n 阶实矩阵,则B 为反对称矩阵的充要条件为对任意n 维列向量X ,均有X T B X = 0.证明 必要性:因为B 为反对称矩阵, 所以X T B X = X T ( - B T ) X = - ( X T B X) T = -X T B X ,从而X T B X = 0.充分性:令B = ( b ij ) n ×n ,取X = e i + e j ,其中e i 表示第i 个分量是1 ,其余分量为0 的n 元列向量. 则X T B X = ( e T i + e T j ) B ( e i + e j ) = e T i Be i + e T i Be j + e T j Be i + e T j Be j = e T i Be j + e T j Be i = b ij + b ji = 0. 所以b ij = - b ji , i , j = 1 ,2 , ⋯, n. 从而B 为反对称矩阵.8. 设A 为n 阶反对称矩阵, A*为其伴随矩阵,则n 为偶数时, A*为反对称矩阵;n 为奇数时,A*为对称矩阵.9. 设A 为n 阶可逆反对称矩阵,则n 为偶数,且A - 1也是反对称矩阵.四．伴随矩阵1. E A A A AA ==**()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA ==**可得()AA A =-1*； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA ==**可得1*-=A A A ； 2. 当A 为可逆矩阵时，有()()*11*--=A A3. ()*1*A k kA n -= （k 为常数）4. 设A 是n 阶矩阵()2≥n ,则秩()=*A ()()(),;1,1;0,1;n A n A n A n =⎧⎪=-⎨⎪<-⎩当秩时当秩时当秩时5. 1*-=n A A6. ()A A A n 2**-=7. ()***A B AB =8. ()()**T T A A =。
矩阵的转置、对称矩阵和可逆矩阵
不同.
称为矩阵 的伴随矩阵.
性质
证明
则
故 同理可得
逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ， 使得 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.
例设
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 的可逆矩阵， 则有
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
定理1 矩阵 可逆的充要条件是
，且
证明 若 可逆，
按逆矩阵的定义得 证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
推论 证明
逆矩阵的运算性质 证明
证明
逆矩阵的求法
例4 求方阵
的逆矩阵.
解
同理可得 故
例5 解
例6 设 解
于是
例7
例8
解 给方程两端左乘矩阵
给方程两端右乘矩阵 得
给方程两端左乘矩阵
给方程两端右乘矩阵 得
主要内容
1. 转置矩阵 2. 对称矩阵与反对称矩阵 3. 可逆矩阵
１、转置矩阵
例
转置矩阵的运算性质
例1 已知 解法1
解法2
2. 对称矩阵与反对称矩阵
对称阵: 设 A 为 n 阶方阵，如果满足
，即
那末 A 称为对称矩阵.
对称矩阵的元素以主对角线为对称轴.
反对称阵: 设 A 为 n 阶方阵，若满足 则称 A 为反对称矩阵.
，即
显然,反对称矩阵的主对角元都是零.
例2 注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.
例3 设列矩阵 证明
满足
思考题
成立的充要条件是什么?
答
故
成立的充要条件为
3. 可逆矩阵
定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或
对称矩阵和反对称矩阵
对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵是指一个$ntimesn$的矩阵$A$，满足$A=A^{mathrm{T}}$，其中$A^{mathrm{T}}$表示$A$的转置矩阵。
也就是说，对称矩阵的主对角线上的元素相等，且矩阵关于主对角线对称。
对称矩阵具有以下性质：1.对称矩阵的特征值都是实数。
2.对称矩阵的特征向量可以正交化。
3.对称矩阵可以对角化，即可以表示为$A=PDP^{-1}$，其中$P$是正交矩阵，$D$是对角矩阵。
对称矩阵的应用非常广泛，比如在物理学中，对称矩阵可以表示物理系统的对称性；在机器学习中，对称矩阵可以表示协方差矩阵，用于描述随机变量之间的关系。
二、反对称矩阵的定义和性质反对称矩阵是指一个$ntimes n$的矩阵$A$，满足$A=-A^{mathrm{T}}$，其中$A^{mathrm{T}}$表示$A$的转置矩阵。
也就是说，反对称矩阵的主对角线上的元素都为0，且矩阵关于主对角线反对称。
反对称矩阵具有以下性质：1.反对称矩阵的主对角线上的元素都为0。
2.反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.反对称矩阵的秩为偶数。
反对称矩阵在物理学中也有广泛的应用，比如在电磁学中，反对称矩阵可以表示磁场的旋度；在力学中，反对称矩阵可以表示刚体的角速度。
三、对称矩阵和反对称矩阵的运算对称矩阵和反对称矩阵之间的运算也有一些特殊的性质。
1.对称矩阵和反对称矩阵的和是一个一般的矩阵，不再具有对称性或反对称性。
2.对称矩阵和反对称矩阵的积是一个反对称矩阵。
3.对称矩阵和反对称矩阵的乘积是一个一般的矩阵，不再具有对称性或反对称性。
这些性质在矩阵运算中有广泛的应用，比如在物理学中，对称矩阵和反对称矩阵的运算可以用于描述物理系统的对称性和反对称性。
结语对称矩阵和反对称矩阵是线性代数中的两个重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文从定义、性质和应用三个方面来介绍对称矩阵和反对称矩阵，并讨论了它们之间的运算特性。
对称矩阵和反对称矩阵的若干性质
Ｖａ ｉｕ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｙ ｒｏ ｓｐ ｏ ｅ ｔ ｆｓ ｍｍｅｒｃ ｍａ ｒ ｎ ｎ ｉｓ ｎ ｎ ｔｉ ｔｉ ｅ ｔｉ ｔｉ ａ ｄ ａ ｔ ｙ ｎ ｅｒｃ ｍａ ｒｘ ｘ －
Ｚ ＯＵ ｅ － ｉｎ Ｂ ｎ ｑ ：０４ ２ｏ ２ｏ ）２ ０２ ０ １０ —４８ （ｏ７ ｏ —０ ９ — ３
对 称矩 阵 和 反对 称 矩 阵 的若 干 性 质
邹本 强
（ 海职业学院 ， 威 山东 威 海 ２４０ ） ６２０
摘要 ： 在高等代数 中矩阵是研究 问题很重要 的工具 ， 在讨论矩 阵转 置时给出了对称矩阵和反对称 矩阵 的定 义 ， 但对 它们 的性质研究很少 。对 称矩阵和反对称矩阵作为特殊矩 阵无论在矩 阵理论方面 ， 还是在 实际应用方 面都有重要 的意义 。我们在研究矩 阵及 学习有关数学知识时 ， 经常要讨论这两种特殊矩 阵的性质 。本 文先给 出对称 矩阵和反 对称矩 阵的定 义 ， 然后讨论 了它们 的若 干性 质。 关键 词 ： 对称矩阵 ； 反对称矩阵 ； 性质
Ｋｅ ｒ ｓ：ｙ ｕ ｅｒｅ ｍａｒ ａ ｔ—ｙ ｙ ｗｏ ｄ ｓ ｎ ｎ ｔｉ ｔｉ ｎ ｉｓ ｍｍｅｒｃ ｍ ｔｉ ｐ ｐ ｒｉｓ ｘ； ｔ ｒ ｉ ａ ｘ； ｒｅ ｔ ｅ ｏ
一
我们知道 ， 任何一个方 阵都可以唯一地分解为 个对称矩阵与一个反对称矩 阵之和。因此 ， 我们
设 Ａ 都是反对称矩阵， 、 ｋ为任意数 ， Ａ ＝ 则 Ｔ
一
Ａ， ＢＴ＝ 一 Ｂ
，
因此 ，
将对称矩阵与反对称矩 阵对 照起来讨论 它们 的性 质， 以供读者学习矩阵时提供参考 。 定义 １ 若 Ａ ＝Ａ， 矩阵 Ａ为对称矩 阵； Ｔ 称 若
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实对称矩阵 实数域内
<1> 定义：设A 为一n 阶实方阵，则A 称为是对称的如果A ˊ=A 。
<2> 性质：设A 为一n 阶实对称矩阵，令
A=(ij a )， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。
则有：
1) ;'A A =
2) ji ij a a =， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ；
推论：
1),'2
AA A =A 2的主对角线上的元素为∑==n
j ij n i a 12,...,2,1,全大于或等于0； 2)①若A 2的主对角线上的元素全为0，则A 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n A n ，则A 为一零方阵；
3)每一个n 阶实对称矩阵A 对应于唯一的二次型f(X)=X ˊAX ， '*1321),...,,,(n n x x x x X =其中；
4)存在一n 阶正交矩阵U(即UU ˊ=E)，使得
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛,..., ,0 0 0, 0,=-n AU U λλλ.................0,...,0,0,....,0,0,211，其中ιλ，i=1，2，···,n 为A 的全部特征根。
5)实对称矩阵的特征根都是实数；属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。
<3>对称矩阵的构造
1)常见的对称矩阵：
对角矩阵，单位矩阵，正定矩阵，半正定矩阵；
2)设A为一n阶对称方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数
k A，A k，A+k E，k A+E，
3)设A为任一n阶方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数
A+Aˊ；k(A+Aˊ)；AAˊ，k AAˊ，(A-Aˊ)2；
4)设B为任一反对称矩阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数
k
B2，
<4>相关例题
1、n阶实方阵A为对称方阵的充要条件是'
2AA
A 。
反对称矩阵 实数域内
<1> 定义：设B 为一n 阶方阵，则B 称为是反对称的如果B B -='。
<2> 性质：设B 为一n 阶实反对称矩阵，令
)(ij b B = i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。
则有：
1) B B -='；
2) ji ij b b -=，0=ii b ，i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ； 推论：
1)'2BB B -=，B 2的主对角线上的元素为∑==-n
j ij n i b 1
2,...,2,1,全小于或等于0；
2)①若B 2的主对角线上的元素全为0，则B 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n B n ，则B 为一零方阵；
3)当n 为奇数时，0||=B ，即B 是降秩的；
<3>反对称矩阵的构造
1)常见的反对称矩阵
零方阵；
2)设B 为任一n 阶反对称矩阵，则以下矩阵是对称的，k 为任意常数 12+k B ，
3)设B 为任一n 阶方阵，则以下矩阵是对称的，k 为任意常数 'B B -，。