对数函数习题课(1)
对数及对数运算(1)
知识探究（一）：对数函数的概念
思考1:在上面的问题中，若要使残留的 1 污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 64
4
思考2:在关系式 y log 1 x中，取 x a (a 0) 对应的y的值存在吗？怎样计算？
思考3:函数 y log 1 x 称为对数函数，
4
一般地，什么叫对数函数？
思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？
理论迁移
例1
用logax，logay，logaz表示下列 各式： 2 xy x y (1) log a ; (2) log a 3 . z z
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）； (2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
2.2.2 第一课时
对数函数及其性质 对数函数的概念与图象
问题提出
1 5730 p 2
t
1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的 衣服，若每次能洗去污垢的四分之三， 试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.
2. y log 1 x （x>0）是函数吗？若
4
是，这是什么类型的函数？
a N x 指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN
思考4:根据对数定义，logal和logaa和 logaan（a>0，a≠1）的值分别是多少？
设loga1=x, 则ax=1, 所以x=0,得loga1=0 设logaa=x, 则ax=a, 所以x=1,得logaa=1
作业： P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数1第二课时同步练习新人教B版必修1
3.2 对数与对数函数（1）第2课时1．对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是… ( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与③ B．②与④ C ．② D．①②③④2．log 28＋log 218等于( )A.103B.83C ．0D ．6 3．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y ，下列式子中正确的个数是( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)； ②log a x －log a y ＝log a (x －y)；③log a xy＝log a x÷log a y ；④log a xy ＝log a x·log a y. A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若a ＝log 32，则用a 表示log 38－2log 36为________． 5．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.1．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N *,则下列各式中：①(log a x)n ＝n·log a x ；②(log a x)n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x ；④log a x log a y ＝log a x y ；⑤n log a x ＝1n ·log a x ；⑥1n log a x ＝log a n x ；⑦log a x ＝loga n x n；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y.其中成立的有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．若y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910，则有( ) A ．y∈(0,1) B．y∈(1,2) C ．y∈(2,3) D．y ＝13．已知a 、b 、c 为非零实数，且3a ＝4b ＝6c，那么……( )A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b4．若lg(x －y)＋lg(x ＋2y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则xy＝________.5．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________.6．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45的值．7．已知log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)，求x.1．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5的值为( ) A ．4 B ．1 C ．6 D ．32．若lnx －lny ＝a ，则ln(x 2)3－ln(y 2)3等于( )A.a 2 B ．a C.3a2D ．3a 3．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lgx ＋lg2·lg3＝0的两根为lgx 1、lgx 2，那么x 1·x 2的值为… ( )A ．lg2·lg3 B．lg2＋lg3 C.16D ．－64.若x·log 34＝1，则4x ＋4－x等于( ) A.103 B ．6 C.83 D.1635．已知函数f(x)＝alog 2x ＋blog 3x ＋2且f(1200)＝4，则f(200)＝________.6．lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋lg 22＝________.7．a>1，b>1，p ＝log b (log b a)log b a ，则a p＝________.8．设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．9．如果lgx ＋lgy lgx ＋lgx ＋lgy lgy ＋[lg(x －y)]2lgx·lgy＝0，求x ，y 及log 2(xy)的值．10．设a>0，a≠1，x 、y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求出当x 为何值时，log a y 取得最小值．答案与解析课前预习1．C 在①中，当M ＝N≤0时，log a M 与log a N 无意义，故①不成立；在②中，当log a M＝log a N 时，必有M ＝N>0成立，故②成立；在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如：M ＝2，N ＝－2时，有log a M 2＝log a N 2，但M≠N，∴③不成立；在④中，若M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2均无意义，∴④不成立．2．C log 28＋log 218＝log 28×18＝log 21＝0.3．A4．a －2 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．9 log 34·log 48·log 8m ＝lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8＝lgmlg3，又log 416＝2，∴lgmlg3＝2.∴lgm＝2lg3＝lg32＝lg9.∴m＝9. 课堂巩固1．B 其中③⑥⑦⑧正确．①式中nlog a x ＝log a x n；②式中log a x n＝n·log a x ；④式中log a x y ＝log a x －log a y ；⑤式中1nlog a x ＝log a n x.2．B y ＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝1lg5，∵lg5≈0.699 0，∴y≈1.43∈(1,2)．3．B 设3a ＝4b ＝6c＝k ，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，得1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c＝log k 6.所以2c ＝2a ＋1b.4．2 由对数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x －y>0，x ＋2y>0，x>0，y>0，又由原式可得(x －y)(x ＋2y)＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，∴(x y )2－xy －2＝0， 解得x y ＝2或xy ＝－1(舍去)．5.2a ＋b 1－a log 512＝lg12lg5＝lg4＋lg3lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b 1－a. 6．解：方法一：lg 45＝12lg45＝12lg 902＝12(lg90－lg2) ＝12(lg9＋lg10－lg2) ＝12(2lg3＋1－lg2) ＝lg3＋12－12lg2＝0.477 1＋0.5－0.150 5 ＝0.826 6.方法二：lg 45＝12lg45＝12lg(5×9)＝12(lg5＋lg9) ＝12(lg5＋2lg3)＝12(1－lg2＋2lg3) ＝12－12lg2＋lg3 ＝0.826 6. 点评：运算过程中要注意对数运算法则的正确运用，体会lg2＋lg5＝1性质的灵活运用．7．解：原方程可化为log 9(x －1)2＝log 9(x ＋5)，∴(x－1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0.∴x＝－1或x ＝4.将x ＝－1，x ＝4分别代入方程检验知：x ＝－1不合题意，舍去，∴x＝4.点评：对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用log a N ＝loga n N n(N>0，n≠0)可得，计算过程中要注意等价变形，如本题中将log 3(x －1)化为log 9(x －1)2实质上是非等价变形，扩大了x 的取值范围，因此在解对数方程后要验根． 课后检测1．B 原式＝(lg2＋lg5)(lg 22－lg2·lg5＋lg 25)＋3lg2·lg5＝lg 22－lg2·lg5＋lg 25＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5＋3lg2·lg5 ＝1.2．D ln(x 2)3－ln(y 2)3＝3(ln x 2－ln y2)＝3(lnx －ln2－lny ＋ln2)＝3(lnx －lny)＝3a.3．C 由已知得lgx 1＝－lg2，lgx 2＝－lg3，∴x 1＝12，x 2＝13，∴x 1·x 2＝16.4．A ∵x·log 34＝1，∴x＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.5．0 由f(1200)＝a·log 21200＋blog 31200＋2＝－alog 2200－blog 3200＋2＝4得alog 2200＋blog 3200＝－2，∴f(200)＝a·log 2200＋blog 3200＋2＝0.6．3 原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg(10×2)＋lg 22＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋lg 22＝lg100＋lg 210－lg 22＋lg 22＝2＋1＝3.点评：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．7．log b a 由对数换底公式，得log b (log b a)log b a＝log a (log b a)，∴p＝log a (log b a)．∴a p＝log b a.8．解：由3x ＝4y＝36， 得x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝log 363，1y ＝1log 436＝log 364. ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 9．解：去分母得lgy(lgx ＋lgy)＋lgx(lgx ＋lgy)＋[lg(x －y)]2＝0，即(lgx ＋lgy)2＋[lg(x －y)]2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧lgx ＋lgy ＝0，lg(x －y)＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x －y ＝1. ∴x，－y 是方程t 2－t －1＝0的两个实根． 又x ，y>0，且x≠1，y≠1，x>y ，∴x＝5＋12，y ＝5－12.∴log 2(xy)＝log 21＝0.10．解：由换底公式得log a x ＋3·1log a x －log a y log a x ＝3，整理得log 2a x ＋3－log a y ＝3log a x ，∴log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34.∴当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取最小值34.。
高中数学新人教A版必修1课件：第二章基本初等函数(Ⅰ)对数运算及对数函数习题课
2
(2)y=|log1 | =
其图象如图②所示,
2
log2 , > 1,
其定义域为(0,+∞),值域为[0,+∞),在区间(0,1]上是减函数,在区间
(1,+∞)内是增函数.
图①
图②
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为正实数)的图象可由函数
由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),
且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)= -[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,
所以由f(x)>0,得loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x),即
y=f(x)的图象变换得到.
将y=f(x)的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y=f(x±a)
的图象,再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y=f(x±a)±b的
图象(记忆口诀:左加右减,上加下减).
2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换,一般地,y=
f(|x-a|)的图象是关于x=a对称的轴对称图形,也可以由y=f(x)的图象
题型二
题型三
题型四
4
【变式训练 1】 计算:(log43+log83)(log32+log92)-log1 32.
2
解:原式 =
5
6
3
1
2
1
课时作业1：习题课 对数函数
一、基础过关1．函数f (x )＝3x 1－x＋lg(2x －1)的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(0，＋∞) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，2x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞0.故选C. 2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为( ) A.10 B ．10C ．20D ．100答案 A解析 由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，由1a ＋1b ＝2，得1log 2m ＋1log 5m＝2. 即log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10， 又因为m ＞0，所以m ＝10.3．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0<a <1，－1<－b <0，故0<b <1.因为0<a <1，所以g (x )＝a x ＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.因为0<b <1，函数g (x )＝a x ＋b 的值域为(b ，＋∞)，所以g (x )＝a x ＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C.4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋1 答案 D解析 函数y ＝2|x |和y ＝2x ＋2－x 显然为偶函数，对于函数y ＝lg(x ＋x 2＋1)，由于f (－x )＝lg(－x ＋x 2＋1)＝lg(x 2＋1－x )＝lg1x 2＋1＋x ＝－f (x )， 所以为奇函数，故选D.5．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)满足f (9)＝2，则a ＝________.答案 3解析 由f (9)＝2得a 2＝9，所以a ＝3.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ， x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝______. 答案 2或－1解析 当a ＞0时，log 2a ＝12，则a ＝2；当a ≤0时，2a ＝12，则a ＝－1. 7．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．二、能力提升8．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f (12 015)＝5，则f (2 015)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 015答案 A9．已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f (lg 1x)，则x 的取值范围为____________________．答案 0<x <110或x >10 解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，所以不等式f (1)>f (lg 1x)可化为 lg 1x >1或lg 1x<－1， 所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110， 所以1x >10或0<1x <110， 所以0<x <110或x >10. 10．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.11．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132-， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)-- ＝2∉[2,8]，舍去． 若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝321()2-＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12. 12．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点(x 3，y 2)在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式；(2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．解 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )＝log 2(x ＋1)，y 2＝g (x 3)，则g (x 3)＝12log 2(x ＋1)，故g (x )＝12log 2(3x ＋1)． (2)由f (x )－g (x )＝0得，log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，3x ＋1>0，3x ＋1＝(x ＋1)2，解得，x ＝0或x ＝1.三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)．(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明f (x )是增函数；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．(1)解 由a x －b x ＞0，得(a b )x ＞1，且a ＞1＞b ＞0，得a b＞1，所以x ＞0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)证明 任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则1x a ＞2x a ＞0，1x b ＜2x b ，所以1x a －1x b ＞2x a －2x b ＞0，即lg(1x a －1x a )＞lg(2x a －2x a )．故f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(3)解 因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)，这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．。
高中数学沪教版 1 对数函数的定义与图像 课后练习、课时练习
一、单选题1. 已知函数，则下列选项哪一个图象为函数的图象（）A．B．C．D．2. 已知，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．3. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=x a(x>0)，g(x)=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．4. 已知函数恒过定点，则的最小值为（）．A．B．C．3 D．5. 函数是上的奇函数，满足，当时，有，则（）A．0 B．1 C．D．6. 设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图像可能为（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若，则D．若，则.8. 已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（）A．-1 B．0 C．2 D．3三、填空题9. 如图，函数的图像为折线，则不等式的解集为__________.10. 给出下列结论：①，的值域是；②幂函数图象一定不过第四象限；③函数的图象过定点；④若，则的取值范围是；⑤若,则.其中正确的序号是_______________.11. 若函数，且在区间上的最大值为6，则a的一个取值为______.12. 已知对数函数过点，则的解析式为____________.四、解答题13. 已知函数.(1)在给定的坐标系中作出在上的图象；(2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围.14. 判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（常数）．15. 已知对数函数求的值.16. 画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质 习题课课件 新人教A必修1
D．[1，＋∞)
❖ [答案] A
❖ [解析] 3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21 ＝0，选A.
4．设函数f(x)＝
21－x－1
lgx
(x<1) (x≥1)
，若f(x0)>1，则x0
的取值范围是
()
❖ A．(－∞，0)∪(10，＋∞) ❖ B．(－1，＋∞) ❖ C．(－∞，－2)∪(－1,10) ❖ D．(0,10) ❖ [答案] A
运算法则)和对数恒等式求解；(2)运用对 数的运算法则求解．
[解析] (1)解法一：原式＝
＝75.
解法二：原式＝
＝75.
(2) 原 式 ＝[(log66 － log63)2 ＋ log62·log6(2×32)]÷log64 ＝
log6632＋log62(log62＋log632)÷log622 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62 ＝log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.
ax的图象，再通过关于直线y＝x对称来得
到其反函数的图象．③可以通过特殊点和
单调性来选择．
❖ 4．对数函数的图象与性质是核心内容， 应重点落实图象的分布特征和单调性应 用．时刻牢记定义域的限制．
❖ [例4] 解不等式2loga(x－4)>loga(x－2)． ❖ [分析] 这是对数不等式，可利用对数函
❖ [解析] (1)因为9x＝32x,4x＝22x,6x＝2x·3x， ❖ 所以原方程可化为2·32x－5·3x·2x＋2·22x＝0，
❖1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ❖5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ❖6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 ❖7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 ❖8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
对数函数及性质-习题课课件
目录
• 对数函数的基本性质 • 对数函数的习题解析 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 总结与回顾
01 对数函数的基本性质
定义与性质
01
02
03
定义
对数函数是指数函数的反 函数，记作y=logₐx （a>0，a≠1）。
性质
对数函数在其定义域内是 单调递增或递减的，其值 域为全体实数R。
运算性质
01
换底公式
logₐb=log₰b/log₰a（a>0，a≠1，b>0）。
02 03
性质
对数函数具有加减乘除运算性质，即logₐm+logₐn=logₐmn、logₐmlogₐn=logₐm/n、logₐm×logₐn=logₐm+logₐn、logₐm/n=logₐmlogₐn（m>0，n>0）。
鼓励学生在实际生活中运用对数知识，通过解决实际问题提高自己 的应用能力。
拓展知识面和视野
建议学生阅读相关资料和文献，了解对数函数在其他领域的应用和 发展趋势，拓展自己的知识面和视野。
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对数不等式的求解
掌握如何求解对数不等式，以及对数 不等式的性质。
综合习题
实际应用问题
结合实际问题，例如增长率、复利等，来求解对数方程或不 等式。
与其他知识点的综合
例如与指数函数、幂函数的综合应用，以及对数在实际问题 中的应用。
03 对数函数的应用
在数学中的应用
求解对数方程
概率论与统计学
对数函数在数学中常用于求解对数方 程，如求解$log_b(x) = c$的形式。
精品【苏教版】高一数学必修一：3.2.2《对数函数第一课时》同步练习(含答案)
苏教版数学精品资料2.3.2 对数函数 第一课时1．函数y ＝1－x ＋lgx 的定义域为__________．2．函数f(x)＝log (a －1)x 是减函数，则a 的取值范围是__________． 3．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b ，则f(－a)＝__________.4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________． ①y ＝5x ②y ＝lgx ＋2 ③y ＝(12)x ④y ＝x 2＋1⑤y ＝log 12x5．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M ∩N ＝__________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a ＞0且a ≠1)恒过定点P ，则P 点的坐标为__________．7.下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 的值依次是__________．8．下列不等式成立的序号是__________．①log 32＜log 23＜log 25 ②log 32＜log 25＜log 23 ③log 23＜log 32＜log 25 ④log 23＜log 25＜log 329．(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ，x ≤0.若f(a)＝12，则a ＝__________；(2)若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝__________. 10．记函数f(x)＝(12)－x 的反函数为f －1(x)，则函数y ＝f －1(x －1)的图象可由函数y ＝log 2x经过向__________平移__________个单位而得到．11．(1)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是__________；(2)已知log a 25<1，则a 的取值范围是__________．12．画出函数f(x)＝|log 2x|的图象．13．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(3x－2)x－3；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．14．已知函数y＝lg(x2＋1－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．15．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的大致图象的序号是__________．16．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值是__________．17．三个数a ＝30.7，b ＝log 30.7，c ＝0.73按从大到小的顺序排列为__________． 18．若函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.19．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≤0，log 2(x ＋2)，x ＞0，若f(x 0)≥2，则x 0的取值范围是__________．20．设a ＝log 34，b ＝log 43，c ＝log 3(log 43)，则a 、b 、c 的大小关系是__________．21．(1)已知函数f(x)＝log a x 满足f(9)＝2，则a ＝__________；(2)如果函数f(x)＝(3－a)x ，g(x)＝log a x 的单调性相同，则a 的取值范围是__________． 劲草敢做疾风，险峰只迎闯将。
对数函数及其性质应用1
例1 比较下列各组数中的两个值的大小： （1）log23.4，log28.5 ； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1);
（4）log75，log67.
(5) log 0.3 0.1, log 0.2 0.1
练 1 ：课本73页练习3题
练习： 若函数f(x)＝logax (0＜a＜1)在 区间[a, 2a]上的最大值是最小值的 3倍，求a的值.
课堂小结 函数单调性的应用 (1)比较两个对数值的大小. (2)解对数不等式. (3)求函数值域.
课后作业
1.课本习题2.2---A组8题
2.课本习题2.2---B组2题
3.优化设计---对数函数及其性质 第2课时----例1，例3
的增减性判断两对数值的大小．
2. 分类讨论的思想．
小结
3.当底数真数都不同时，先比较与 中间变量1或0的大小，再间接比较 两个对数的大小．
4.当底数不同真数相同时，借 助对数函数的图像比较大小
例2 解下列关于x 的不等式:
(1) log0.5x > log0.5(1-x)
(2) log2(x+3) < 0 小结：
复Байду номын сангаас回顾
1. 对数函数的定义：
函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做 对数函数
3. 对数函数的图像及性质：
y
图 象O
a＞1
x
y 0＜a＜1
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0. 质 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
对数函数及性质-习题课课件
【解析】（2）由log0.5(4x-3)≥0
4x-3>0得0<4x-3≤1,
∴ 3 <x≤1.
4
∴函数的定义域是
3 4
,1
.
【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并
解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的 取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.
【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6 =(log3x+3)2-3. ∵函数f(x)的定义域为［1,9］, ∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须
1≤x2≤9 1≤x≤9. ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1. 令u=log3x，则0≤u≤1. 又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为 13.
∴
<0或
≥.
∴
1
≥
1
∴函数- x的2 值2域x1是2
log2 -x2 2x2
- x2 2x
1,
log
log2
1 3
,23
2
1 3
学点四 求最值
已2+知f(xf(2x)的)=最2+大lo值g及3x当,xy∈取［最1大,9］值,时求xy的=值［.f(x)］
对数函数(第1课时)同步练习高一上学期数学人教A版(2019)必修一
《4.4 对数函数》同步练习（第1课时 对数函数的概念与图象）一、基础巩固1.已知函数f (x )=log a (x+2),若图象经过点(6,3),则f (2)的值为( )A.12B.-12C.-2D.2 2.已知f (x )=log 5x ,则f (5)=( )A.5B.25C.0D.13.函数y=√log 2x 的定义域是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,+∞)4.已知点(m ,n )在函数y=lg x 的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是( )A.(m+10,n+1)B.m 10,n+1C.(m 2,2n )D.(10m ,10n ) 5.若函数f (x )=a x-1的图象经过点(2,4),则函数g (x )=log a 1x+1的图象是( )6.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=lo g √2f (x )的定义域是 .7.已知函数f (x )=log 2x+2,则f (1)的值为 .8.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x (-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.9.求下列函数的定义域:(1)y=√log 12(2-x ).(2)y=1lg (x+1)-3;二、能力提升1.设a ,b ,c 均为正数,且e a =-ln a ,e -b =-ln b ,e -c =ln c ,则( )A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a 2.若|log a 14|=log a 14,且|log b a|=-log b a ,则a ,b 满足的关系式是( )A.a>1,且b>1B.a>1,且0<b<1C.0<a<1,且b>1D.0<a<1,且0<b<13.若函数f (x )=lg(x 2-2ax+a )的值域是R ,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)4.已知2x ≤256且log 2x ≥12,则函数f (x )=log 2x 2·lo g √2√x 2的最大值为 ,最小值为 .5.设函数f (x )=log a x (a>0,且a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 022)=8,则f (x 12)+f (x 22)+…+f (x 2 0222)= . 6.当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,则称函数f (x )是“严格下凸函数”,下列函数是“严格下凸函数”的是 (填序号).①y=x ;②y=|x|;③y=x 2;④y=log 2x.7.已知f (x )=log a 1+x 1-x (a>0,且a ≠1),(1)求f (x )的定义域;(2)若f (12)=1,求a 的值.8.设全集U=R ,函数f (x )=√x -a +lg(a+3-x )的定义域为集合A ,集合B={x |14≤2x ≤32}.命题p :若 ,则A ∩B ≠⌀.从①a=-5;②a=-3;③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p 中,使命题p 为真命题,说明理由,并求A ∩(∁U B ).参考答案一、基础巩固1.D 将点(6,3)的坐标代入函数f (x )的解析式,得3=log a (6+2)=log a 8,即a 3=8,∴a=2. ∴f (x )=log 2(x+2),∴f (2)=log 2(2+2)=2.2.D f (5)=log 55=1.3.B 由{log 2x ≥0,x >0,得{log 2x ≥log 21,x >0,解得x ≥1. 4.C ∵点(m ,n )在函数y=lg x 的图象上,∴lg m=n.当x=m 2时,lg x=lg m 2=2lg m=2n , ∴点(m 2,2n )也在该函数的图象上,故A 符合题意;当x=10m 时,lg x=lg(10m )=1+lg m=n+1,故B 不符合题意;当x=m+10时,lg x=lg(m+10)≠n+1,故C 不符合题意;当x=m 10时,lg x=lg m 10=lg m-1=n-1,故D 不符合题意.故选C .5.B 依题意,f (x )=a x-1的图象经过点(2,4),所以4=a 2-1,故a=4,所以g (x )=log 41x+1.当x=0时,g (0)=0,所以g (x )的图象过原点,排除A,B;又函数y=1x+1在区间(-1,+∞)内单调递减,y=log 4x 在区间(0,+∞)内单调递增,根据复合函数的单调性可知,g (x )为减函数,排除C,故选D .6.{x|2<x ≤8} 由题意知,g (x )的定义域为f (x )>0时的解集,由题中图象可知f (x )>0的解集为{x|2<x ≤8}.7.28.解 (1)由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2. ∴A={x|x ≥2}.∵-1≤x ≤0,∴1≤g (x )≤2,∴B=[1,2].∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B=[1,2],要使B ⊆C ,则有a-1≥2,∴a ≥3.故a 的取值范围为[3,+∞).9.解 (1)由题意可知,{log 12(2-x )≥0,2-x >0,∴{log 12(2-x )≥log 121,2-x >0,∴{2-x ≤1,2-x >0,解得1≤x<2. 故函数的定义域为{x|1≤x<2}.(2)由{lg (x +1)-3≠0,x +1>0,得{x +1≠103,x >-1, 解得x>-1,且x ≠999,故函数的定义域为{x|x>-1,且x ≠999}.二、能力提升1.C 函数y=e x ,y=e -x ,y=ln x ,y=-ln x 的图象如图所示,a 是y=e x 与y=-ln x 的图象交点的横坐标,b 是y=e -x 与y=-ln x 的图象交点的横坐标,c 是y=e -x 与y=ln x 的图象交点的横坐标,由图可得a<b<c.故选C .2.C 依题意有log a 14≥0,∴0<a<1.又log b a<0,∴b>1.3.D 由题意得,二次函数y=x 2-2ax+a 有零点,因此Δ=4a 2-4a ≥0,解得a ≤0或a ≥1.故选D .4.2 -14 由2x ≤256得x ≤8,所以log 2x ≤3.又log 2x ≥12,所以12≤log 2x ≤3.又f (x )=log 2x 2·lo g √2√x 2=(log 2x-1)·(log 2x-2)=log 2x-322-14, ∴当log 2x=32时,f (x )min =-14,当log 2x=3时,f (x )max =2.5.16 f (x 12)+f (x 22)+f (x 32)+…+f (x 2 0222)=log a x 12+log a x 22+log a x 32+…+log a x 2 0222 =log a (x 1x 2x 3…x 2 022)2=2log a (x 1x 2x 3…x 2 022)=2f (x 1x 2x 3…x 2 022),∵f (x 1x 2…x 2 022)=8,∴原式=2×8=16.6.③ 对于①②,y=x 为线性函数,故不满足f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,故①②不是“严格下凸函数”;对于③,函数y=f (x )=x 2,当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)=(x 1+x 2)24=x 12+x 22+2x 1x 24,f (x 1)+f (x 2)2=x 12+x 222,显然满足f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2,故③是“严格下凸函数”; 对于④,当x 1≠x 2时,有f (x 1+x 22)=log 2x 1+x 22,f (x 1)+f (x 2)2=12(log 2x 1+log 2x 2)=12log 2(x 1x 2)=log 2√x 1x 2,所以f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2,故④不是“严格下凸函数”.故答案为③.7.解 (1)∵f (x )=log a 1+x 1-x ,∴1+x1-x >0, ∴-1<x<1.∴函数f (x )的定义域为(-1,1).(2)∵f (12)=log a 1+121-12=log a 3, ∴log a 3=1,∴a=3.8.解 要使函数f (x )有意义,只需{x -a ≥0,a +3-x >0,解得a ≤x<a+3,即A=[a ,a+3). 由14≤2x≤32,得-2≤x ≤5,即B=[-2,5].选择第①个条件:当a=-5时,A=[-5,-2), ∴A ∩B=⌀,不满足条件.选择第②个条件:当a=-3时,A=[-3,0),∴A ∩B=[-2,0),满足条件.∵∁U B=(-∞,-2)∪(5,+∞), ∴A∩(∁U B)=[-3,-2).选择第③个条件:当a=2时,A=[2,5),∴A∩B=[2,5),满足条件.∵∁U B=(-∞,-2)∪(5,+∞), ∴A∩(∁U B)=⌀。
《对数和对数函数习题课》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
y log2 x 符合．将表中数据代入 验证，数据基本相符．所以选D．
习题讲解
12．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远 的角度看，更为有前途的生意的序号是_____①_______．
① y 3 1.04x ；
③ y 40 lg x 1 ；
② y 20 x10 ； ④ y 80．
解：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．
习题讲解
13．
解：A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与（4）对应；B容 器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都 是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗， 故溶液高度的变化为C容器快，与（3）对应，D容器慢，与（2）对 应．
am
2 an 32 9 ．
2．已知 log2 log4 log3 x log3 log4 log2 y 0 ，则x y __9_7___．
解：由题意可知 log4 log3 x 1 ，所以 log3 x 4 ，所以 x 34 81 ；
同理可得 y 24 16 ，所以 x y 97 ．
loga (x
1) 2
为增函数，
没有符合的选项．所以答案为D．
习题讲解
9．
解：因为对数函数 y log6 x 在其定义域上是增函数，所以 a log6 5 log6 1 0且 a log6 5 log6 6 1 ．因为指数函数 y x 在其定义域上是增函数，所以 b 0.3 0 1．因为 在其定义域上是 增函数，所以 c ln 1 ln1 0 ．综上，c＜0＜a＜1＜b，即c＜a＜b ，
则x，y最合适的函数是（ ）
A．y 2x
B．y x2 1
比赛课：对数函数的图像与性质 (一)
2、我动手我发现 用描点法在同一直角坐标系中作出
与
的图像
作图步骤:
①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。
y 2
1
0
11 42
y log2 x
1 2
4
x
-1 -2
y l og1 x
2
3、我合作我深化：观察两个图像，讨论以下问题
（1）y=logax图像的两种形状如何？ （2）y=logax性质（定义 域、值域、定点、单调性、 函数值变化如何？ y
复 习 引入
1. 指数与对数的相互转化 ab＝N logaN＝b. 注意：底数大于0且不等于1，真数大于0 2、loga1=0，logaa=1
3、某种细胞分裂时，第一次由1个分 裂成2个，第二次由2个分裂成4个 ……，第三次由4个分裂为8个，…… 那么分裂次数y与细胞个数x的函数关 系式为 y=log x
y
x =1
y loga x (a 1)
0＜a＜1
y
X
x =1
图 象 性
O
(1,0)
(1,0)
O
y loga x (0 a 1)
X
定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R
质 定 点: (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是：
回顾指数函数的图像及其性质
（3）我锻炼我升华：练习 ① log76 < 1 ② log0.53 < 1 ③ log67 > 1 ④ log0.60.1 > 1
<
例3（4）log35.1 （5）log76
解: (4) ∵ log35.1＞0
第二章 对数函数 习题课
学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题.知识点一 对数概念及其运算1.由指数式对数式互化可得恒等式：⎭⎪⎬⎪⎫a b ＝Nlog a N ＝b ⇒log a N a ＝N (a >0，且a ≠1). 2.对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N >0； (2)log a 1＝0； (3)log a a ＝1. 3.运算公式已知a >0，且a ≠1，M 、N >0. (1)log a M ＋log a N ＝log a (MN )； (2)log a M －log a N ＝log a MN ；(3)log a n M m ＝mnlog a M ；(4)log a M ＝log c Mlog c a ＝1log Ma(c >0，且c ≠1).知识点二 对数函数及其图象、性质 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数.(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R ； (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,0)； (3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为(a,1). (5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于y ＝x 对称. y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于x 轴对称.类型一 对数式的化简与求值 例1 (1)计算：(2log (2－3)；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y，求(3log -xy .解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解： log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(2)由已知得lg(x －y2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(xy )＋1＝0. ∴xy ＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴xy＝3＋22，∴log (3－22)xy ＝log (3－22)(3＋22)＝log (3－22)13－22＝－1.反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化.跟踪训练1 (1)(lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 答案 (1)－32 (2)2解析 (1)∵(lg 3)2－lg 9＋1＝(lg 3)2－2lg 3＋1＝1－lg 3，lg 27＋lg 8－lg 1 000＝32lg 3＋3lg 2－32＝32(lg 3－1)＋3lg 2＝32(lg 3＋2lg 2－1)， lg 0.3·lg 1.2＝lg310·lg 1210＝(lg 3－1)(lg 12－1) ＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)， ∴原式＝－32.(2)∵f (ab )＝lg(ab )＝1.∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2. 类型二 对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围.解 f (x )的图象如图：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ， 不妨设a <b <c ，则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ， 由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2， ∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，f (b )＝|ln b |＝ln b .∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e ，e 2).反思与感悟 函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化.跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围.解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图.由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞).类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上. (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围. 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x ). (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x )，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求.跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0. (1)验证函数g (x )＝ln 1－x1＋x，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件；(2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明.解 (1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y1＋y＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy1＋x ＋y ＋xy ， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－x ＋y1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝ln 1－x －y ＋xy1＋x ＋y ＋xy ，所以g (x )＋g (y )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立.又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0，所以1－x1＋x ＞1，所以g (x )＝ln 1－x1＋x ＞0成立，综上g (x )＝ln 1－x1＋x满足这些条件.(2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数. 因为x ＝y ＝0代入条件，得f (0)＋f (0)＝f (0)， 所以f (0)＝0.将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数. 又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数.因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当－1＜x ＜y ＜1时，x －y1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ＞0，即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数.1.若log x 7y ＝z ，则( ) A.y 7＝x z B.y ＝x 7z C.y ＝7x z D.y ＝z 7x答案 B解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，即y ＝x 7z .2.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C.(1，2)D.(2，2)答案 B解析 a >1时，当0<x ≤12时，log a x <0，不合题意.0<a <1时，只需124<log a 12，即log a a 2<log a 12，解得a >22，又a ∈(0,1)，∴a ∈⎝⎛⎭⎫22，1.3.已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A.[－1,1] B.[12，2] C.[1,2] D.[2，4]答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]，即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.4.函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C.2 D.4 答案 B解析 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上， y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减. 因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0) ＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.5.已知23a ＝49(a >0)，则23log a ＝________.答案 3解析 设23log a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x，又23a ＝49，∴2323x⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝⎝⎛⎭⎫232，即2323x ⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3.1.指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式log a m b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a 在解题中的灵活应用.4.在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数).5.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.课时作业一、选择题1.已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a答案 B解析 ∵y ＝log 0.6x 在(0，＋∞)上为减函数. ∴log 0.60.6<log 0.60.5，即a >1. 同理，ln 0.5<ln 1＝0，即b <0.0<0.60.5<0.60，即0<c <1. ∴a >c >b .2.已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( ) A.160 B.60 C.2003 D.3200答案 B解析 由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，即log z m ＝60.3.函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案 A解析 ∵a >1时，y ＝log a u ，u ＝(a －1)x ＋1都是增函数. 0<a <1时，y ＝log a u ，u ＝(a －1)x ＋1都是减函数. ∴f (x )在定义域上为增函数.4.函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知f (x )＝f (－x )，即函数为偶函数，排除C ；由函数过(0,0)点，排除B 、D.5.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A.[－1,2]B.[0,2]C.[1，＋∞)D.[0，＋∞)答案 D解析 f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，解得0≤x ≤1或x >1. ∴x 的取值范围是[0，＋∞).6.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数： f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )， 则是“同形”函数的是( ) A.f 2(x )与f 4(x ) B.f 1(x )与f 3(x ) C.f 1(x )与f 4(x ) D.f 3(x )与f 4(x )答案 A解析 因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”函数的定义，f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数.f 3(x )＝log 2x 2＝2log 2|x |与f 1(x )＝2log 2(x ＋1)不“同形”，故选A. 二、填空题7.函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________. 答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时，x ＝1，当f (x )＝1时，x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23.8.(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 答案 2解析 原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2. 9.已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，下列五个关系式：①a >b >1；②0<b <a <1；③b >a >1；④0<a <b <1；⑤a ＝b . 其中可能成立的关系式序号为________. 答案 ②③⑤解析 由图易知，12log a ＝13log b 有且仅有3种情形：0<b <a <1或1<a <b 或a ＝b ＝1.10.已知0<a <1,0<b <1，若a log b (x －3)<1，则x 的取值范围是__________.答案 (3,4)解析 ∵0<a <1，∴a log b (x －3)<1＝a 0等价于log b (x －3)>0＝log b 1.∵0<b <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<1，解得3<x <4. 三、解答题11.已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f (lg 1x)，求x 的取值范围.解 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在区间(－∞，0)上是单调增函数，所以不等式f (1)>f (lg 1x)可化为 lg 1x >1或lg 1x<－1， 所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110， 所以1x >10或0<1x <110， 所以0<x <110或x >10. 所以x 的取值范围为(0，110)∪(10，＋∞). 12.已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,4].(1)求函数f (x )的值域；(2)设g (x )＝[f (x )]2－f (x 2)，求g (x )的最值及相应的x 的值.解 (1)∵f (x )＝2＋log 2x 在[1,4]上是增函数，又f (1)＝2＋log 21＝2，f (4)＝2＋log 24＝2＋2＝4.∴函数f (x )的值域是[2,4].(2)g (x )＝[f (x )]2－f (x 2)＝4＋4log 2x ＋(log 2x )2－(2＋log 2x 2)＝(log 2x )2＋2log 2x ＋2＝(log 2x ＋1)2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤x 2≤4，得1≤x ≤2， ∴g (x )的定义域是[1,2].∴0≤log 2x ≤1.∴当log 2x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝2；当log 2x ＝1，即x ＝2时，g (x )有最大值g (2)＝5.13.已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0).(1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.解 (1)由a x －b x ＞0，得(a b)x ＞1，且a ＞1＞b ＞0， 得a b＞1，所以x ＞0， 即f (x )的定义域为(0，＋∞).(2)任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则ax 1＞ax 2＞1,0<bx 1＜bx 2<1，所以ax 1－bx 1＞ax 2－bx 2＞0，即lg(ax 1－bx 1)＞lg(ax 2－bx 2).故f (x 1)＞f (x 2).所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数.假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾.故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴.(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)，这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.四、探究与拓展14.函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________.答案 －14解析 由题意得x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 15.已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1).(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围.(1)证明 因为函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1， 因为x 1<x 2，所以0<2x 1＋12x 2＋1<1， 所以log 22x 1＋12x 2＋1<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增.(2)解 g (x )＝m ＋f (x )，即g (x )－f (x )＝m .设h (x )＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1. 设1≤x 1<x 2≤2.则3≤2x 1＋1<2x 2＋1≤5， 13≥12x 1＋1>12x 2＋1≥15， －23≤－22x 1＋1<－22x 2＋1≤－25， ∴13≤1－22x 1＋1<1－22x 2＋1≤35， ∴log 213≤h (x 1)<h (x 2)≤log 235， 即h (x )在[1,2]上为增函数且值域为[log 213，log 235]. 要使g (x )－f (x )＝m 有解，需m ∈[log 213，log 235].。
对数函数 高中数学例题课后习题详解
第四章指数函数与对数函数4．4对数函数4.4例1求下列函数的定义域：（1）23log y x =；（2）log (4)a y x =-（0a >，且1a ≠）.解：（1）因为20x >，即0x ≠，所以函数23log y x =的定义域是{}|0x x ≠.（2）因为40x ->，即4x <，所以函数log (4)a y x =-的定义域是{}|4x x <.例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y 年后的物价为x .（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.物价x 12345678910年数y解：（1）由题意可知，经过y 年后物价x 为(15%)y x =+，即 1.05y x =（[0,)y ∈+∞）.由对数与指数间的关系，可得 1.05log y x =，[1,)x ∈+∞.由计算工具可得，当2x =时，14y ≈.所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.（2）根据函数 1.05log y x =，[1,)x ∈+∞，利用计算工具，可得下表：物价x 12345678910年数y142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.例3比较下列各题中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5；（2）0.3log 1.8，0.3log 2.7；（3）log 5.1a ，log 5.9a （0a >，且1a ≠）.解：（1）2log 3.4和2log 8.5可看作函数2log y x =的两个函数值.因为底数21>，对数函数2log y x =是增函数，且3.48.5<，所以22log 3.4log 8.5<.（2）0.3log 1.8和0.3log 2.7可看作函数0.3log y x =的两个函数值.因为底数0.31<，对数函数0.3log y x =是减函数，且1.8 2.7<，所以0.30.3log 1.8log 2.7>.（3）log 5.1a 和log 5.9a 可看作函数log a x 的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论.当1a >时，因为函数log a y x =是增函数，且5.1 5.9<，所以log 5.1log 5.9a a <；当01a <<时，因为函数log a y x =是减函数，且5.1 5.9<，所以log 5.1log 5.9a a >.例4溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH 计量的.pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为7H 10+-⎡⎤=⎣⎦摩尔/升，计算纯净水的pH .解：（1）根据对数的运算性质，有11pH lg H lg H lgH -+++⎡⎤⎡⎤=-==⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎣⎦.在(0,)+∞上，随着H +⎡⎤⎣⎦的增大，1H +⎡⎤⎣⎦减小，相应地，1lg H +⎡⎤⎣⎦也减小，即pH 减小.所以，随着H +⎡⎤⎣⎦的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.（2）当7H 10+-⎡⎤=⎣⎦时，7pH lg107-=-=.所以，纯净水的pH 是7.练习1.求下列函数的定义域：（1）()ln 1y x =-；（2）1lg y x=；（3）71log 13y x=-；（4）()log 0,1a y a x a =>≠．【答案】（1）(),1-∞（2）()()0,11,+∞ （3）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（4）()(),00,-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；（2）利用对数的真数大于零、分母不为零可求得原函数的定义域；（3）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域；（4）利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【小问1详解】解：对于函数()ln 1y x =-，有10x ->，解得1x <，故函数()ln 1y x =-的定义域为(),1-∞.【小问2详解】解：对于函数1lg y x =，有0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，故函数1lg y x=的定义域为()()0,11,+∞ .【小问3详解】解：对于函数71log 13y x=-，有1013x >-，解得13x <，故函数71log 13y x =-的定义域为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【小问4详解】解：对于函数()log 0,1a y a x a =>≠，有0x >，解得0x ≠，故函数()log 0,1a y a x a =>≠的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.2.画出下列函数的图象：（1）lg10x y =；（2）lg 10x y =.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）化简为y x =，x ∈R ，再作图．（2）化简为y x =，0x >，再作图．【详解】（1）lg10x y x ==，图象如图（2）()lg 010xy x x =>=，图象如图.【点睛】本题考查作函数图象，解题时需先化简函数解析式，同时要注意函数的定义域．3.已知集合{1,2,3,4,}A = ，集合{2,4,8,16,}B = ，下列函数能体现集合A 与集合B 一一对应关系的是__________.①2x y =；②2y x =；③2log y x =；④2y x =.【答案】①③【解析】【分析】验证按照这个函数关系A 是定义域，B 是值域，或B 是定义域，A 是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同．【详解】①当x A ∈时，2x y =的值域为B.②当3x =时，3A ∈，但29x B =∉.③当x B ∈时，2log y x =的值域为A.④当3x =时，26y x B ==∉.∴能体现A ，B 对应关系的是①③.故答案为：①③【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题．4．4．2对数函数的图象和性质练习4.在同一直角坐标系中画出函数3log y x =和13log y x =的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】由x 取同一个值时，对应的y 值是相反数说明两函数图象关于x 轴对称．【详解】图象如图.相同点：两图象都位于y 轴的右侧，都经过点()1,0，这说明两函数的定义域都是(0,)+∞；两函数的值域都是R .不同点：3log y x =的图象是上升曲线，13log y x =的图象是下降曲线，这说明前者在定义域(0,)+∞上是增函数，后者在定义域(0,)+∞上是减函数.由于133log log x x =-，所以两函数图象关于x 轴对称．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质．属于基础题．5.比较下列各题中两个值的大小：（1）lg 0.6,lg 0.8；（2）0.50.5log 6,log 4；（3）log 5,log 7m m .【答案】（1）lg 0.6lg 0.8<；（2）0.50.5log 6log 4<；（3）当1m >时，log 5log 7m m <，当01m <<时，log 5log 7m m >．【解析】【分析】（1）由函数lg y x =的单调性确定；（2）由函数0.5log y x =的单调性确定；（3）分类讨论，分1m >和01m <<．【详解】（1）lg y x =为增函数，0.60.8,lg 0.6lg 0.8<∴< .（2）0.5log y x =为减函数，0.50.564,log 6log 4>∴< .（3）当1m >时，log m y x =为增函数.57,log 5log 7m m <∴< .当01m <<时，log m y x =为减函数.57,log 5log 7m m <∴> .【点睛】本题考查对数函数的单调性，掌握对数函数单调性是解题基础．6.某地去年的GDP （国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.（1）设经过x 年达到的年GDP 为y 亿元，试写出未来5年内，y 关于x 的函数解析式；（2）经过几年该地GDP 能达到3900亿元人民币？【答案】（1）3000(1 6.8%)(05)x y x =+≤≤；（2）约经过4年该地GDP 能达到3900亿元人民币.【解析】【分析】（1）根据平均增长率问题得函数解析式，注意定义域；（2）由3900y =，求x ，可取对数计算．【详解】（1）由题意3000(1 6.8%)(05)x y x =+ .（2）令3900y =，得39003000 1.068,1.068 1.3x x =⨯=，lg1.34lg1.068x =≈∴约经过4年该地GDP 能达到3900亿元人民币.【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算．4．4．3不同函数增长的差异练习7.三个变量123,,y y y 随变量x 变化的数据如下表：x0510152025301y 513050511302005313045052y 59016202916052488094478401700611203y 5305580105130155其中关于x 呈指数增长的变量是_____【答案】2y 【解析】【分析】根据指数函数的性质得到答案.【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长.从表格中可以看出，三个变量，1y ，2y ，3y 的值随着x 的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量2y 的增长速度最快，可知变量2y 关于x 呈指数型函数变化.故答案为：2y 8.（1）（2）（3）分别是函数3x y =和5y x =在不同范围的图象，借助计算工具估算出使35x x >的x 的取值范围（精确到0.01）.（1）（2）（3）【答案】(,0.27)(2.19,)-∞+∞ 【解析】【分析】从图象可以看出，350x x -=有两个解，一个在(0,0.3)上，一个在(2,3)上，可用二分法求解．【详解】记()35x f x x =-，计算(0)10=>f ，(0.3)0.110f =-<，(0.15)0.4290f =>，(0.225)0.1550f =>，(0.263)0.020f =>，(0.282)0.0470f =-<，(0.272)0.0110f =-<，0.2720.2630.090.1-=<，近似解取0.27，(2)10,(3)120,f f =-<=>(2.5) 3.0880f =>，(2.25)0.5950f =>，(2.125)0.3000f =-<，(2.188)0.1250f =>，2.125 2.1880.0070.01-=<，近似解取2.19，故估算范围是(,0.27)(2.19,)-∞+∞ 【点睛】本题考查指数函数的图象，考查二分法求近似解．属于基础题．9.如图，对数函数lg y x =的图象与一次函数()y f x =的图象有A ，B 两个公共点，求一次函数()y f x =的解析式.【答案】()(lg 2)(1)f x x =-【解析】【分析】由对数函数求出,A B 两点的坐标，然后设()f x ax b =+，代入,A B 两点的坐标，可得()f x ．【详解】由题意(1,0),(2,lg 2)A B .设()f x ax b =+，则0lg 2lg 22lg 2a ba ab b ⎧=+=⎧⇒⎨⎨=+=-⎩⎩.()(lg 2)lg 2(lg 2)(1)f x x x ∴=-=-【点睛】本题考查对数函数，考查待定系数法求函数解析式．属于基础题．10.函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =可能是（）A.11,(0,)y x x -=-∈+∞B.31,(0,)22xy x ⎛⎫=-∈+∞ ⎪⎝⎭C.ln y x=D.1,(0,)y x x =-∈+∞【答案】C 【解析】【分析】用排除法，由函数值如(1)0f =，排除B ，(3)1f >排除A ，D 是一次函数也排除，只有C 符合．【详解】由图象过()1,0知B 不正确，由()31f >知A 不正确，由图象为曲线知D 不正确，所以应选C.故答案为：C【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除．习题4．4复习巩固11.求下列函数的定义域:(1)y =;(2)y =.【答案】(1)(0,)+∞.(2)3,14⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】(1)根据对数中真数大于0求解即可.(2)根据根号下大于等于0与对数的定义域求解即可.【详解】解:(1)由条件知0x >,故定义域为(0,)+∞.(2)由条件知0.51log (43)0,431,34304304x x x x x x ⎧⎧⎧--⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨->->>⎪⎪⎪⎩⎩⎩ ,即314x < .故此函数的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了定义域的运算与对数不等式的求解,属于基础题.12.比较满足下列条件的两个正数m ,n 的大小:(1)33log log m n <;(2)0.30.3log log m n <;(3)log log (01)a a m n a <<<;(4)log log (1)a a m n a >>.【答案】(1)m n <;(2)m n >;(3)m n >;(4)m n >.【解析】【分析】(1)根据3log y x =为增函数判定即可.(2)根据0.3log y x =为减函数判定即可.(3)根据()log ,01a y x a =<<为减函数判定即可.(4)根据()log ,1a y x a =>为增函数判定即可.【详解】(1)因为3log y x =为增函数,故m n <；(2)因为0.3log y x =为减函数,故m n >；(3)因为()log ,01a y x a =<<为减函数,故m n >；(4)因为()log ,1a y x a =>为增函数,故m n >；【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性判断大小关系的方法,属于基础题.13.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：m /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系表达式为2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12km /s 【答案】61e -【解析】【分析】由12000v =即可解出．【详解】令2000ln 112000Mv m ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以61M e m =-，即燃料质量是火箭质量的61e -倍．14.函数2log y x =，5log y x =，lg y x =的图象如图所示，（1）试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；（2）以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出12log y x =，15log y x =，110log y x =的图象；（3）从（2）的图中你发现了什么？【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据当底数大于1时，在直线1x =的右侧，底数越大，函数图象越靠近x 轴判断即可；（2）根据122log log x x y =-=可知12log y x =与2log y x =关于x 轴对称，同理画出11510log ,log y x y x ==的图象即可；（3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可.【小问1详解】当底数大于1时，在直线1x =的右侧，底数越大，函数图象越靠近x 轴，所以①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =.【小问2详解】.【小问3详解】从（2）的图中发现25log ,log ,lg y x y x y x ===的图象分别与1112510log ,log ,log y x y x y x ===的图象关于x 轴对称.15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m ,游回产地产卵,研究链鱼的科学家发现链鱼的游速,(单位:/m s )可以表示为31log 2100O v =,其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.【答案】(1)3/2m s (2)100【解析】【分析】(1)代入2700O =计算即可.(2)静止时0v =,再代入公式计算即可.【详解】解:(1)当2700O =时,331270013log log 27(/)210022v m s ===.(2)当0v =时,331log 0,log 01,1002100100100O O OO =∴=∴=∴=.【点睛】本题主要考查了对数函数的实际模型与计算等,属于基础题.16.在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据在2h 内，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【详解】解：在在2h 内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A ，D ，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C ．能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是B ．故选：B ．综合运用17.判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:(1)ln ,x y x y e ==;(2)1log ,xa y x y a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【答案】(1)互为反函数.ln y x =的定义域为(0)+∞，,值域为R .x y e =的定义域为R ,值域为(0)+∞，.(2)互为反函数.log y x =-的定义域为(0,)+∞,值域为R .1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ,值域为(0,)+∞.【解析】【分析】根据反函数的求解方法判断分析即可.【详解】(1)求ln y x =的反函数有ln x x y y e =⇒=.故ln ,x y x y e ==,且互为反函数.ln y x =的定义域为(0)+∞，,值域为R .x y e =的定义域为R ,值域为(0)+∞，.(2)求log a y x =-的反函数有1log x x a x y y a a -⎛⎫=-⇒== ⎪⎝⎭.故1log ,xa y x y a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭互为反函数.log y x =-的定义域为(0,)+∞,值域为R .1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ,值域为(0,)+∞.【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题.18.设()y f x =表示某学校男生身高为x cm 时平均体重为y kg ,(1)如果函数()y f x =的反函数是()y g x =,那么()y g x =表示什么?(2)如果(170)55f =,那么求(55)g ,并说明其实际意义.【答案】(1)()y g x =表示该校男生体重为x kg 时,平均身高为y cm .(2)(55)170g =.(170)55f =说明该校某男生身高为170cm 时,体重为55kg .(55)170g =说明该校某男生体重为55kg 时,身高为170cm .【解析】【分析】(1)根据()y f x =表示某学校男生身高为x cm 时平均体重为y kg ,反过来判定反函数表达的意义即可.(2)根据(1)中的函数意义辨析即可.【详解】(1)因为()y f x =表示某学校男生身高为x cm 时平均体重为y kg ,则其反函数自变量与因变量交换,即()y g x =表示该校男生体重为x kg 时,平均身高为y cm .(2)由(1)可得(55)170g =.且(170)55f =说明该校某男生身高为170cm 时,体重为55kg .(55)170g =说明该校某男生体重为55kg 时,身高为170cm .【点睛】本题主要考查了反函数的实际意义辨析,属于基础题.19.某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年?【答案】4年【解析】【分析】根据题意设今年的患病率为a ,经x 年后的患病率为当前的一半.则1(115%)2x a a -=,再求解即可.【详解】解:设今年的患病率为a ,经x 年后的患病率为当前的一半.则1(115%)2xa a -=,即0.85lg 0.50.850.5,log 0.54lg 0.85xx ===≈.∴大约需要4年.【点睛】本题主要考查了指数函数的模型运用与对数的运算,属于基础题.20.声强级1L (单位:dB )由公式11210lg 10IL -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出,其中I 为声强(单位:2/W m ).(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为21/W m ,能听到的最低声强为12210/W m -.求人听觉的声强级范围.(2)平时常人交谈时的声强约为6210/W m -,求其声强级.【答案】(1)0120dB dB -(2)60dB 【解析】【分析】(1)分别代入1I =与1210I -=求解即可.(2)代入610I -=求解即可.【详解】解:(1)1212110lg 10lg10120()10dB -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.12121010lg 10lg10()10dB --⎛⎫== ⎪⎝⎭.因此人听觉的声强级范围为0120dB dB -.(2)661121010lg 10lg1010660()10L dB --==⨯=⨯=.【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.21.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中1P 是按直线上升的房价，2P 是按指数增长的房价，t 是2002年以来经过的年数.t 051015201/P 万元20402/P 万元2040（1）求函数1()P f t =的解析式;（2）求函数2()P f t =的解析式；（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.【答案】（1）1220,0P t t =+≥（2）1120202,0t P t =⨯≥（3）详见解析【解析】【分析】（1）因为1P 是按直线上升的房价,设(),0f t kt b t =+≥,由表格可知()020f =,()1040f =,进而求解即可；（2）因为2P 是按指数增长的房价,设0(),0tg t a a t =≥,由表格可知()020g =,()1040g =,进而求解即可；（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可【详解】（1）因为1P 是按直线上升的房价,设(),0f t kt b t =+≥,由(0)020f k b =⨯+=,(10)1040f k b =⨯+=,可得2,2k b ==,即1220,0P t t =+≥.（2）因为2P 是按指数增长的房价,设0(),0tg t a a t =≥,由01000(0)20,(10)40g a a g a a ====,可得110020,2a a ==,即1120202,0tP t =⨯≥.（3）由（1）和（2）,当5t =时,1230,P P ==；当15t =时,1250,P P ==20t =时,1260,80P P ==,则表格如下:则图像为:根据表格和图像可知:房价按函数1()P f t =呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数2()P g t =呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力拓广探索22.已知1log 12a<，112a⎛⎫< ⎪⎝⎭，121a <求实数a 的取值范围.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．【详解】解:11log 1log log 22a a a a <⇔< ,当1a >时1log log 2aa a <成立；②当01a <<时，解得102a <<．又011110222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121101a a <⇔<⇔≤<∴a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．23.比较下列各题中三个值的大小:(1)0.20.30.4log 6,log 6,log 6;(2)234log 3,log 4,log 5.【答案】(1)0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)234log 3log 4log 5>>【解析】【分析】(1)利用换底公式分析即可.(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.【详解】解:(1)因为0.20.30.4lg 6lg 6lg 6log 6,log 6,log 6lg 0.2lg 0.3lg 0.4===,lg 60>且lg 0.2lg 0.3lg 0.40<<<,故0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)223lg3lg 4(lg3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg3lg 2lg3--=-= 222222lg 2lg 4lg8lg 9(lg 3)(lg 3)(lg 3)2220lg 2lg 3lg 2lg 3lg 2lg 3+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭>=>=,23log 3log 4∴>同理可证35234log 4log 5,log 3log 4log 5>∴>>.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题.。
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崂山一中2012--13学年度第一学期高一数学
对数函数习题课（1） 2013-10-29
一、
复习：1.对数函数的图象和性质
2.比较下列各组数中两个数的大小
(1) log 0.31.8, ______ log 0.32.7 (2) log 0.34, ______log 0.60.5;
(3)log a 5.1______,log a 5.9. (4)log 56, ______log 76
3. 已知112
2
log log 0m n << 则 ( )
（A ）n ＜m ＜1 （B ）m ＜n ＜1 （C ）1＜m ＜n （D ）1＜n ＜m 二、 常见题型 1、方程与不等式：
（1）解关于x 的不等式<-)23(log 2x )2(log 2+x
（2）已知3log a <1求a 的取值范围。
a ＞1 0＜a ＜1
图 象
性 质
(1)定义域：_______ (2)值域：____________
(3)过点__________，即x =___时，y =______
(4)在_____上是单调____函数 (4)在______上是单调____函数
练习：已知3
2
log a <1求a 的取值范围.
2、求定义域 （1）2
21
log (3)
y x =- （2）)34(log 2-=x y
（3）24log =-y x
3、单调性
例1：求函数的单调递增.减区间。
（1）22()log (2)f x x =+ （2）)2(log )(22-+=x x x f
（3）2()|log |f x x =
练习：求下列函数及的单调区间：
（1）)2(log )(22
1x x x f -=
（2）2()log ||f x x =
三、课后练习：
1. 如图，函数1log a y x =，2log b y x =，3log c y x =，
4log d y x =所表示的图象分别为4321,,,c c c c ，
则a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )
A ．d c b a <<<<1
B ．d c b a >>>>1
C ．c d a b >>>>1
D ．d c a b >>>>1
2.函数()|lg |f x x =的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3.若2
log 13
a >，则实数a 的取值范围是_________________.
4.已知3
2
log 9=a ，3log 8=b ，则a 、b 的大小关系是_______________.
5.函数()()log (8)90,1=-+>≠a f x x a a 图像横过定点____________
6.设,0.
()ln ,0.
x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则g[g(0.5)]=____________
7.计算：21log 6
3
28110.25lg162lg 52722--⎛⎫
⎛⎫+--+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭。