六年级奥数-数列与数表(教师版)
六年级奥数优胜教育第2讲：数列与数表含答案
第二讲数列与数表例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 第10讲-数列与数表
【9】
下图是1911年到1926年的公元纪年不干支纪年的对照表．请问： (1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年， 请问公元2049年是干支纪年的什么年? (2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年? (3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?
下节课见！
【6】
如图，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问： (1)123应该排在第几列? (2)第2行第20列的数是多少?
第1列 第2列 第3列 …
5
10
15
…
6
11
16
…
7
12
17
…
8
13
18
…
9
14
19
…
【7】
如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： (1)500在第几行，第几列? (2)第100行第2列是多少?
123456
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16
17
18
…
…
997
998
999
【Hale Waihona Puke 】如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个 数字是多少?
12345678 91011121 31415161 71819202 ………………………………………….
【9】
中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的 基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、 己、庚、辛、壬、癸； 地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、 酉、戌、亥． 以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一 年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次． 公元纪年则是国际通行的纪年方式．
六年级奥数第4-6讲 数列
知识导航：把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的差（常数）记为d ，则有d a a +=12；d a d a a 2123+=+=；d a d a d a a 321234+=+=+=；……d n a a n )1(1-+=2)1(2)(11321÷-⨯+⨯=÷+⨯=+⋅⋅⋅+++=d n n a n a a n a a a a s n n n1、在⋅⋅⋅、、、、、145114835221这一列数中的第8个数是2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、 、 。
3、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。
4、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？5、梯子的最高一级宽32cm ，最低一级宽110cm ，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算当中一级的宽。
知识导航：把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的比记为q ，则有q a a 12=；2123q a q a a ==；3134q a q a a ==；……11-=n n q a aqq a q a q a a a a a s n n n n --=-⨯-=+⋅⋅⋅+++=1)1(111321 1、根据规律填空：3、5、9、17、 、65。
2、观察算式，填入括号内19=1×9+（1+9）；29=2×9+（2+9）；39=3×9+（3+9）；那么1289==N ×9+（N+9）3、在一列数2，2，4，8，2，…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。
按这个规律，这列数中的第2004个数是 。
4、根据下列数字排列规律写出第6个数：2，3，29，427，…。
找规律填数知识导航：1、利用等差数列求数。
2、利用等比数列求数。
3、利用周期性的特点找规律。
六年级奥数-数列与数表(学生版)
第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
六年级奥数-数列与数表
六年级奥数－数列与数表1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196)2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那么他最后一天读了多少页？3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。
那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 1418 19 20 2125 24 23 2226 27 28 29…… ……5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第2008个算式的结果应该是多少？六年级奥数－数列与数表答案1.解析：2，5，8，……，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+……+194=（2+194）×64÷2=98×64。
4，7，10，……，196中每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。
因此原式=98÷100=0.98。
2.解析：设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。
3.解析：这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。
余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。
4.解析：观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。
六年级下册数学试题-奥数专题训练：特殊数列人教版
特殊数列等比数列:是指一串数字中前后两个数相除得到的商相等的数列.例如：1，2，4，8，16，32，64，128，...兔子数列（斐波那契数列）:是指一数列中每相邻的3个数为一组，前面两个数的和等于第三个数.例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，...青蛙数列（分组数列）:是指把数列分为奇数项和偶数项，分别寻找数列规律.例如：1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，...周期数列:是指数列中的数字反复重复出现.例如：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，...规律差数列:是指数列本身规律不明显，但是相邻两个数的差构成的数列规律非常明显.例如：1，3，7，15，31，63，127，255，511，...成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推．愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头．如果愚公是第1代，那么到了第______代，这座大山可以搬完．（已知10个2连乘之积等于1024）1. 1.数列1，3，9，27，81，243，...，问该数列第11项等于多少？2. 2.细胞的增长方式,就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？3. 3.一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”（填“够”或“不够”）下面是一串有规律的数：9，20，33，48，65，84，....，问这串数中的第41个数是_____.1. 1.下面是一串有规律的数：9，22，39，60，85，114，....，问这串数中的第30个数是_______.2. 2.已知六个数按以下顺序排列：2，3，5，9，17，33，…如此继续排下去，问第七、八个数的和是什么？数列2，9，17，24，32，39，47，54，62，...，问第2010项是多少？1. 1.分析数列0，1，3，6，10，15，21，28，...的规律，问：数列第39项是多少？2. 2.数列1，10，13，22，25，34，37，46，49，...，问数列第1000项是多少？3. 3.数列1，3，4，6，8，9，11，13，14，16...，问数列第199项是多少？一列由两个数组成的数组：（1，1），（1，2），（2，2），（1，3），（2，3），（3，3），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（1，5），…，请问：（1）第100组内的两数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？1. 1.下面这个数列的规律很特别，填出其中的数.1，121，2，61，3，41，4，31，_____，_____，6，21注：最后答案用减号“-”隔开，比如：3-19（从前向后排列）2. 2.下面的算式是按规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17…第______算式中的得数是2008.3. 3.下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）...问：第100个数组内3个数的和是多少？有一组算式：1+1+1，2+3+4，3+5+7，4+7+10，5+9+13，6+11+16，7+13+19，...，那么第2005个算式中三个数的和是________.1. 1.下下面的数组是按一定顺序排列的：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），…．请问：（1）其中第70个括号内的数字之和是多少？（2）前50个括号内各数之和是多少？注：最后答案用减号“-”隔开，比如：3-8（从前向后排列）2. 2.找规律填数：179，278，377，476，______,______,773,872.问空白处数字之和为多少？3. 3.下面的算式是按规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17…，问：第______算式中的得数是1992．一个数列，从第3项起，每一项都等于其前面两项的和.这个数列的第2项为39，第10项为2009，那么，前8项的和是______.1.开始有三个数为1，1，1，每次操作把其中的一个数换成其他两数的和．问经过10次操作后所得的三个数中，最大数的最大可能值是多少？对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，依此类推直到得到1时停止操作。
第10讲 数列与数表-完整版
第10讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。
注意数表形式的多样性，许算时常常考虑周期性，或进行合理估算．典型例题兴趣篇1．观察数组(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…的规律，求：(l)第10组中三个数的和；(2)前10组中所有数的和．答案：(1) 33 (2) 195解析：发现每组都有三个数，而且这三个数是连续的．第1组三个数中，中间的那个数是2，第2组中间的数是3，第3组中间的数是4……第几组中间那个数就是几加1．又每组三个数是连续的，所以这三个数的平均数就是中间那个数，这三个数的和就是中间那个数的3倍．(1)第10组的三个数中，中间那个数是10+1= 11．所以第10组就是(1O，11，12)，那么这三个数的和为11×3=33．(2)可以分析出每组三个数的和是这组中间数的3倍，那么前：O组的所有数的和是2×3+3×3+4×3+…+1l×3=3×(2+3+…+11)=195．2．请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3, 10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？答案:(1)67项(2) 1783解析:观察发现数列中两种规律交替出现，也就是说，题中数列的第2项、第4项、第6项……即偶数项是：1，2，3，1，2，3，…，以“1，2，3”为一个周期，循环出现，周期的长度为3．再来看奇数项，把第1、3、5、7……项列出来是：1，4，7，10，13，16，…，显然，这是一个首项为1、公差为3的等差数列．(1)数列最后一项是100，这肯定不是“1，2，3”周期数列中的一项，而是等差数列中的一项．等差数列的项数是（100-1）÷3+1= 34，由于是等差开头，等差结尾，所以周期数列的项数比等差数列的步1，原数列的项数是34×2-1= 67.因此这个数列一共有67项．(2)在这个数列的67项中，周期数列有33项，每个周期内3个数的和是1+2+3=6，共有33÷3=11个周期，所以周期数列的总和就是11×6=66.等差数列有34项，首项为1，末项为100，项数是34，各项的和为(1+ 100)×34÷2=1717．综上，题中数列各项的总和是66+1717=1783.3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(l)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？答案:(1)8 (2) 975解析:(1)根据题意写出数列：1，2，4，8，16，12，4,8, 16, 12,4,8,16, 12,4,…可以看出，此数列是从第3项起，以“4，8，16，12”这4个数为一个周期的周期数列．前100项中，除去前2项还有98项，98÷4=24……2，这意味着98项里有24个周期，最后还多出来2项，如图所示：所以数列的第100项是8．(2)前100项的和是1+2+(4+8T16+12)×24+4+8=975.4．如图10-1，方格表中的数是按照一定规律填入的．请观察方格表，并填出“？”处的数．答案:105解析:观察表中的数，发现最小的数是1，其次是3，6，10，15，…，把这些数从小到大连接起来，可以看出，这些数从小到大按照螺旋的形状排列．“？”处的数就是91之后，120之前的数，这些数从小到大依次是1，3，6，10，15，21，28，36，…，可以看出：每两个数的差依次加1．从图上的“66”开始看，从小到大，按照“螺旋”的排列规律，由于所以“？”就是105.5．如图10 -2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第3列的数是多少？答案:(1)第25行，第6列(2) 79解析:每一个奇数行都有4个数，在右面的第3、4、5、6列；每一个偶数行也有4个数，在左面的第1、2、3、4列．所有的数从1开始，由小到大按自然数的顺序从左向右排列．可以看到，如果把每一个奇数行和它下面的偶数行看作一个“奇偶组”，那么一个“奇偶组”有8个数，每个“奇偶组”中8个数对应的排列方式是相同的．(1)首先，100就是从小到大的第100个数，每个“奇偶组”有8个数，100÷8=12……4，于是100之前有12个“奇倡组”，100是这12个“奇偶组”后的第4个数．12个“奇偶组”就占24行，第24行为偶数行，100就在从第25行开始数第4个数的位置，如图1所示：所以100在第25行，第6列．(2) 20行有2C÷2—10个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数就是80，它是隽20行最后一个数．第20行为偶数行，偶数行都有4个数，在左面的第1、2、3、4列．如图2所示：所以第20行第3列的数就是79.6．如图10 -3，从4开始的自然数是按某种规律排列的．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第5行第20列的数是多少？答案:(1)第1行，第25列(2) 81解析:数阵中的数是从4开始，由小到大排列的．从左边第一列开始，奇数列都有5个数，是从上到下排列的；偶数列都有3个数，是从下到上排列的，每个奇数列和它后面相邻的偶数列组成一个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数．(1)方法一：100是数列中第100-3=97个数，每个“奇偶组”有8个数，97÷8=12……1．所以前100个数中有12个“奇偶组”，还多出1个数．每个“奇偶组”包含一奇一偶两列，12个“奇偶组”有12×2=24列．于是第97个数就是第25列的第1个数，也就是说100在第1行，第25列．方法二：第1列第1行的数是4，第3列第1行的数是12，第5列第1行是20……可以发现，第奇数列第1行的数是这个奇数的4倍．因为100÷4=25，所以100就是第25列第1行上的数．(2)方法一：前20列有20÷2=10个“奇偶组”．每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数是前20列最后一个数．20是偶数，第20列最后一个数在第1衍．因此第20列第5行上的数是第80-2=78个数．第78个数就是78+3=81.方法二：找规律，第2列第5行是9，2×4+1=9．第4列第5行是17，4×4+1=17.第6列第5行是25，6×4+1=25．于是第20列第5行是20×4+1=81．7．如图10 -4所示，把偶数2，4，6，8，…排成5列，各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第2列的数是多少？答案:(1)第15行，第2列(2) 138解析:先观察数阵中数的排列规律，发现数阵中的数是从2开始的连续的偶数，奇数行有4个数，在右面的第2、3、4、5列，从左向右排列；偶数行有3个数，在左面的第1、2、3列，从右向左排列，把一个奇数行和它相邻的偶数行看作一个周期，那么一个周期包含7个数．(1) 100是从2开始的第100÷2=50个数．每7个数为一个周期，50÷7=7……1. 50个数包含7个周期，并多出来一个数．7个周期就占据7×2—14行．所以数100是第15行的第！个数．第：5行是奇数行，奇数行第1个数是在第2列．因此100在第15行，第2列．(2)两行为一个周期，前20行有20÷2=10个周期，每个周期7个数，前20行共有10×7=70个数．所以第20行最后一个数就是第70个数，即第20行第1列是第70个数，那么第20行第2列的数是第69个数，第69个数是69×2=138.8．如图10 -5，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来，请问：(l)第10行左起3个数是多少？(2) 99在第几行左起第几个数？答案:(1)167(2)第8行左起第1个数解析:(1)前9行有1+3+5+…+17=81个数，因此第10行第3个数是表中的第81+3=84个数，表中的数都是奇数，第84个奇数是84×2-1=167.(2) 99是第50个奇数，前7行有1+3+5+-+13=49个数，因此表中第50个数是第8行左起第1个数.9．如图10 -6，从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？(2)第25行左起第5个数是多少？答案:(1)第14行，左起第9个数(2) 321解析:从图中可看出，自然数排成了“S”形，且第1行有1个数，第2行有2个数……第几行就有几个数；奇数行是从右向左排列，偶数行则是从左向右排列．(1)数100是第100个数，因为1+2+3+…+13=91，前13行有91个数；1+2+3+…+14=105，前14行有105个数，所以100在第14行，第14行是偶数行，是从左向右排列的，100是第14行的第100-91=9个数．于是，100在第14行，是这一行左起第9个数．(2)前25行有1-l-2+3+-+25=(1+20)×25÷2=325个数，奇数行是从右向左排列的，所以第25行最后一个数即是左起第1个数，为325．那么第25行左起第5个数就是325-4=321.10．如图10-7，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997; (2)2016; (3)2349.如果可以，请写出方框中最大的数．答案:只有2349是可以的，最大的数为269解析:可以看到，数阵中的行和列为等差数列，数列排列非常规律．然后可以观察到方框中9个数的平均数就是正中间的数，因此方框中的9个数之和必为正中间数字的9倍．1997÷9=221……8（不符合题意）；2016÷9=224（暂时符合题意）；2349÷9=261（暂时符合题意）．又由于每行都是7个数，而224÷7=32, 261÷7=37……2.于是224是第32行最后一个数，224不可能是方框正中间的数．而261是第38行的第2个数，261可以作为方框正中间的数．因此只有2349是可能的，其中方框中的最大数比中间数大8，是261+8=269．拓展篇1．请观察下列数列的规律：1, 100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84, 0请问：(l)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少？答案:(l) 26项(2) 2652解析:题中的数列是由两个数列合成的，它的奇数项是以“1，2，3，2”为周期的周期数列，偶数项是首项为100、公差为2的递减的等差数列！数列最后一项为O，因周期数列中没有O，所以它是等差数列中的一项．(1)只要分别找出奇数项和偶数项中的2，把它们的项数相加就是数列中2的项数．在从100递减到O的等差数列中，项数为(100 -O)÷2+1= 51.由于是周期开始，等差结束，所以周期数列的项数也是51.由51÷4=12…3可知，51项里共有12个完整的周期，除此以外还剩3项：1，2，3．每个周期有两项是2，所以周期数列里有2×12+1= 25项是2，等差数列中只有一项是2，所以数列里一共有25+1=26项是2．(2)可以分别算出奇数项之和与偶数项之和，把它们相加就是数列所有项的总和．周期数列51项之和为(1+2+3+2)×12+1+2+3 =102，等差数列51项之和为(O +100)×51÷2=2550.所以数列的所有项之和为2550+102=2652.2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(j，6，7)，(7，8，9)，…的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．答案:(1) 120 (2) 1260解析:(1)笫20组的三个数中，中间那个数是20×2=40.所以第20组就是(39，40，41)，三个数的和为40×3=120．(2)可以分析出每组三个数的和是组数的6倍，那么前20组的所有数的和是6×1+6×2+6×3+…+6×20=6×(1+2+3+…+20)=6×(1+20)×20÷2 = 1260．3．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少？(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？答案:(l) 23 (2) 11次解析:观察数组可以发现，如果有某些组括号里的第2个数相同，那这些组都紧挨着．如果按从左到右的顺序，把各组括号里的第2个数写成一行：1，2，2，3，3，3，…，可发现各组的第2个数排列得很有规律，从1开始逐渐变大，所以可以把数组按括号中的第2个数分成若干大组：观察这些大组可发现，第1大组有1个括号，第2大组有2个括号……第几大组就有几个括号，在每一组里，括号中的第1个数排成了从1开始递增的连续自然数数列．(1)1+2+3+…+13=91<100,1+2+…+14=105>100，所以第100个括号在第14大组．前13大组有91个括号，由100-91=9知，第100个括号是第14大组中的第9个．根据组的特点可知，第100个括号内的数为(9，14)，它们的和是14+9=23．(2)方法一：因为1+2+-+10=55，所以前55个括号恰好被分为l0大组．前4大组没有出现5，从第5大组起，括号中的第1个数出现5的次数是每大组1次，所以第1个数中出现5的次数为104=6次．因为只有在第5组里，括号里的第2个数才能是5，所以括号中的第2个数出现5的次数是5次．综上，前55个括号中出现5的次数为6+5=11（次）．方法二：观察前3个括号（也就是前2个大组）可发现，括号里正好一共有3个1，3个2．再看前6个括号（也就是前3个大组），类似地列出1、2、3，可发现正好一共有4个1，4个2，4个3．如图所示：也就是说，在前咒个完整的大组中，每个数都出现了n+l次，那么按照这种写法依次写下去可发现，前10个完整的大组中1，2，…，10出现的次数相同，都是10+1=11次，所以5出现的次数也是11次．4．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？答案:257；2510解析:根据题意，把数列的前面若干项写出来就是：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,…容易发现这是一个周期数列，每连续12个数为一个周期，每个周期的和是60．50÷12=4……2，即取4个周期和连续的2个数．连续4个周期的数，无论从数列中哪个数开始，它们的和是一定的：60×4=240．让多出来的2个连续的数的和尽量大就可以了．数列中，连续2个数的和最大是8+9=17，取法如图1：和最大就是60×4+17=257.500÷12=41……8，取41个周期和连续的8个数．要选8个连续的数，让它们的和最大．因为每连续12个数的和是一定的，所以选4个连续的数,使他们的和最小，剩下的8个数的和一定最大．如果取连续的4个数，使其和最小，很明显是“2，1，3，4”这4个，余下的8个数的和一定最大，是60-3-4-2-1=50.取法如图2：这样连续的500个数，其和就是最大的，是60×41+50=2510.5．如图10-8，把从l开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG 上，8在射线OH上，9又回到射线OA上……如此循环下去．问：78在哪条射线上？射线OE上的第30个数是多少？答案:射线OF上；237解析:如图所示标出了自然数从1开始在射线上排列的规律：可以发现，排成的是从里到外逆时针的螺旋形．从射线OA开始，排8个数之后，第9个数又排到OA上，所以我们可以把8个数看做一个周期，而且在同一条射线上，相邻的两数相差8，也就是说落在同一条射线上昀数形成一个以8为公差的等差数列．(l)由78÷8=9……6可知，78落在从OA开始4逆时针数的第6条射线OF 上．(2)射线OE上的数形成了以8为公差的等差数列，第1个数是5，第30个数和第1个数相差29个公差，所以0E上第30个数是5+8×29=237.6．如图10 -9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1) 123应该排在第几列？(2)第2行第20列的数是多少？答案:(1)第24列(2) 101解析:数列5，6，7，8，9，10，…是从5开始的自然数数列，按从小到大的顺序观察这个数阵中的自然数，可以发现它们是竖着排的，每一列的顺序都是从上至下，如果把每一列看作1个周期，一个周期里有5个数．(1)方法一：数阵中的数构成一个以5为首项的果把数阵中的一列看作一周期，那窟泣该是以5个数为一个周期．由119÷5=23……4可知，119个数包含23个周期，还多出4个数来. 23个周期就占据23列，所以数列的第119个数在第24列，也即123在第24列．方法二：注意到每一列第1行的数都是5的倍数，在第几列就是5的几倍．和123最接近的5的倍数是5×25=125，它在第25列第1行，123比它少2．所以在它的前一列，也就是第24列．(2)方法一：一个周期包含5个数，所以前19个周期共有19×5=95个数，第20列第2行的数也就是数列的第95+2=97个数．所以这个数是97+4=101．方法二：第20列第1行的数是5的20倍，也就是5×20=100．所以第2行的数是100+1=101.7．如图10 - 10所示，将自然数有规律地填入方格表中．请问：(1) 500在第几行第几列？(2)第100行第2列是多少？答案: (l)第111行，第5列(2) 448解析:(1)数表中的数构成一个从1～999的自然数数列，500是这个数列的第500个数，每一个奇数行和它下面的偶数行可看成一个周期．由500÷9=55……5可知，前500个数里包含了55个周期，还余下5个数．因为每个周期有2行，所以55个周期共占据55×2=110行，所以第500个数在数表的第11O+1=111衍，500在第111行的第5列．(2)方法一：前100行共有100÷2=50个周期，所以排到第100行第2列时，已经排了49个周期，还多出了7个数，所以，第100行第2列的数是数列的第49×9+7=448个数，也就是448.方法二：经仔细观察，每个周期的最后一个数都是9的倍数，在第几个周期就是9的几倍，前100行一共有100÷2=50个周期，那么第100行的最后一个数为9×50=450.450是第100行第6列的数，所以第100行第2列的数是450-2=448.8．如图10-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？答案:9解析:横着看数阵，数阵的第1行是从1开始排到8，的连续自然数，第2行排了9后，接下来的数字是“1”，“0”，“1”，“1”，“1”，“2”，…．观察发现，是把从1开始连续的自然数的各位数字依次排到了数阵中．在数阵中，自然数的每位数字都占一个位置．一位数每个占1个位置，两位数每个占2个位置，三位数每个占3个位置，所以我们先要确定排到第60行数列的第48餐59+4=476个数字，因为在自然数中，一位数有9个，两位数有90个，所以一位数和两位数共有9+90×2=189个数字．那么肯定是排到三位数了．由(476-189)÷3=95…2可知，数阵排到60行第4个数字时，已经排了95个三位数，并且还多排了2个数字．于是第63行第4个数字属于隽96个三位数，也就是195，并且是195的第2位数字，所以它是9．9．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图10 - 12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表，请问： (l)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是于支纪年的辛亥年，公元2049年是干支纪年的什么年？(2) 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？(3)“戍戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？答案:(l)己已年(2) 2044年(3) 1898年解析:(1)注意到2049–1919=10×13，所以2049年和1919年的天干相同，都为“己”，又因为2049-1917=12×11，所以2049年和1917年的地支相同，都为“巳”．综上所述，得2049年为“己已”年．(2) 60年为一个大周期，因为它是10和12的公倍数，所以相隔60年的整数倍数的年份，天干和地支的名称都不变，只要知道20世纪的甲子年，就很容易求出21世纪的甲子年了．因为1924年是甲子年，所以21世纪的甲子年的公元纪年年份和1924之差是60的倍数．由1924+60=1984<2000, 1924+60×2=2044可知，21世纪的甲子年是204/年．又因为2044+60=2104，已经到了22世纪，所以21世纪只有一个甲子年．(3)由1918年是戊年可知，1898、1888、1878、1868、1858年都是戊年．由1922年是戌年可知，1898、1886年都是戌年．所以“戊戌变法”发生在1898年，10．如图10 - 13，将1～400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：(1) 246在第几行第几列？(2)第14行第13列的数是多少？(3)所有阴影方格中数的总和是多少？答案:(1)第13行，第6列(2) 273 (3) 8020解析:数表是从1开始，依次写下去．每行20个数，一共400个数．(1)因为第1个数是1，所以246就是第246个数．246÷20=12…6，于是246前面有12行，它是第13行的第6个数，也就是在第13行，第6列．(2)前13行有13×20=260个数，于是第14行的第13个数就是第260+13=273个数．因为第1个数是1，所以第273个数就是273.(3)把数表旋转180。
小学奥数讲义 第八讲-数表计算与代数公式应用强化篇
数表计算与代数公式应用一、数表数表的实质就是数列。
这一讲将在找规律的基础上从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。
通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。
数表就是形象化的数列。
数表问题主要是从数列的图形化表述中提炼出有用的信息，构造数列，然后再用处理数列的方法解决数表问题。
(一)会求数表中某位置的数是多少【例 1】下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字。
例1图【巩固】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：⑴这个三角形的排列有何规律？⑵根据找出的规律写出三角形的第6行、第7行。
⑶推断第20行的各数之和是多少？【例 2】方格表中的数是按照一定规律填入的，请观察方格表，并填出“？”处的数。
例2图【巩固】仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字。
巩固图(二)周期法在数表中的应用【例 3】把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列(如下表)，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，这样，数“2006”出现在第几行，第几列？例3图【巩固】按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应该数到第几列？1993呢？巩固图(三)数表中的最值【例 4】从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于1993，1143，1989。
若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由。
例4图【巩固】把从1开始的自然数排成数阵，试问：能否在数阵中放入一个3⨯3的方框，使得它围住的九个数之和等于：⑴1997；⑵2016；⑶2349。
如果可以，请写出方框中最大的数。
巩固图常用公式平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：(a±b)2=a2±2ab+b2。
小学数学奥数测试题数列与数表_人教版
34．如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．
35．如图，三角形 中， ， ，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形 的面积是多少？
8．如图所示，矩形 的面积为36平方厘米，四边形 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米．
9．如图，已知 ， ， 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占 面积的几分之几？
10．如图，在 中，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ， 是 的中点，若 的面积是 ，则 的面积是多少？
11．如图， , ,则 .
连接 ,设 份，则其他部分的面积如图所示，所以 份，所以四部分按从小到大各占 面积的
10．3.5
【解析】∵在 和 中， 与 互补，
又 ，所以 ．
同理可得 ， ．
所以
11．5：2
【解析】
根据燕尾定理有 , ,所以
12．
【解析】
连接BG,设 1份，根据燕尾定理 , ,得 (份)， (份),则 (份)，因此 ,同理连接AI、CH得 , ,
连接ad则acd与四边形abcd4060解析黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长高相加为长方形的宽所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50而绿色三角形面积占长方形面积的15所以黄色三角形面积占长方形面积的50153521cm所以长方形面积等于213560413解析由于abcd是长方形所以aodbocabcdabdabcd所以aodbocabdbocoabobd3cmobdbocoab4216解析根据差不变原理要求平行四边形phcf的面积与平行四边形pgae的面积差相当于求平行四边形bcfe的面积与平行四边形abhg的面积差
小学奥数-(数列求和)PPT
目录
01
教学课件概述
教学课件是根据教学大纲和教学目标，针对特定教学内容制作的多媒体教学资源。
定义
旨在辅助教师进行教学，提高教学效果，增强学生的学习兴趣和参与度。
目的
定义与目的
演示型课件
交互型课件
游戏型课件
仿真型课件
课件类型及特点
01
02
03
04
以幻灯片、动画等形式展示教学内容，适用于课堂演示和讲解。
数列求和
小学奥数全能解法及训练
解法精讲
精讲1
（1）1、2、3、4、5、6
（2）2、4、6、8、10、12
（3）5、10、15、20、25、30
数列
首项
末项
项数
a1
an
n
精讲2
（1）1、2、3、4、5、6
（2）2、4、6、8、10、12
（3）5、10、15、20、25、30
1
2
5
公差
等差数列
d
精讲3
数列:1、3、5、7、9、11……
首项+公差×（2-1）
第3项: 5=1+2 ×2
第4项: 7=1+2 ×3
第2项: 3=1+2
首项+公差×（3-1）
首项+公差×（4-1）
an=a1+(n-1)×d
精讲4
数列:6 、10 、14 、18 、22 、26 30 、34 、38
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六年级下册数学试题-奥数专练：数列与数表综合(下)(含答案)全国通用
数列与数表综合(下)许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。
大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法。
通过这一讲的学习，我们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。
⑴先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列。
譬如：2、5、8、11、14、17、20、……从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列100、95、90、85、80、……从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵首项：一个数列的第一项，通常用a1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n表示，它也可表示数列的第n项。
每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d来表示；和：一个数列的某些项的和，常用S n来表示。
⑶三个重要的公式：①通项公式：末项＝首项＋(项数－1)×公差a n＝a1＋(n－1)×d同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：an－am＝(n－m)×d，(n＞m)②项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1(其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫)由通项公式可以得到：n＝(a n－a1)÷d＋1(若a n＞a1)；n＝(a1－a n)÷d＋1(若a1＞a n)。
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48)，注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48－4＋1＝45项，每组3个数，所以共45÷3＝15组，原数列有15组。
六年级奥数第4-6讲(等差数列,等比数列,找规律填数)
等差数列知识导航：把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的差（常数）记为d ，则有d a a +=12；d a d a a 2123+=+=；d a d a d a a 321234+=+=+=；……d n a a n )1(1-+=2)1(2)(11321÷-⨯+⨯=÷+⨯=+⋅⋅⋅+++=d n n a n a a n a a a a s n n n1、在⋅⋅⋅、、、、、145114835221这一列数中的第8个数是2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、 、 。
3、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。
4、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？5、梯子的最高一级宽32cm ，最低一级宽110cm ，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算当中一级的宽。
等比数列知识导航：把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的比记为q ，则有q a a 12=；2123q a q a a ==；3134q a q a a ==；……11-=n n q a aqq a q a q a a a a a s n n n n --=-⨯-=+⋅⋅⋅+++=1)1(111321 1、根据规律填空：3、5、9、17、 、65。
2、观察算式，填入括号内19=1×9+（1+9）；29=2×9+（2+9）；39=3×9+（3+9）；那么1289==N ×9+（N+9）3、在一列数2，2，4，8，2，…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。
按这个规律，这列数中的第2004个数是 。
4、根据下列数字排列规律写出第6个数：2，3，29，427，…。
找规律填数知识导航：1、利用等差数列求数。
2、利用等比数列求数。
第18讲 数列与数表问题第04讲 数列与数表综合
第18讲数列与数表问题第04讲数列与数表综合 (72)1．有7根竹竿排成一行。
第一根竹竿长1米，其余每根长都是前一根的一半。
问：这7根竹竿的总长是几米？1+1/2+1/4+1/8+……+1/64=2-1/64=63 1 642．甲，乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。
已知一月份甲，乙两厂生产玩具的总数是98件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份？乙一月份做了106-98=8件，甲每一个月都做98-8=90件。
当在五月份的时候，8*2*2*2*2>903．在两位数10，11…，98，99中，把每个被7除余2的数，如16，23…等，改成1.6，2.3而其余的数不变。
问：经过这样的改变之后，所有数的和是多少？10+11+12+……+99-（16+23+……+93）*9/10=4316.44．在100以内于77互质的所有奇数之和是多少？1+3+5+7+……+99=2500 77=7*11 7+21+……+91=343 11+33+55+77+99=2752500-343-275+77=19595．华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届在1991年举行，以后每二年举行一届。
第一届华杯赛所在年份的各位数字和是A1=1+9+8+6=24前二届所在年份的各位数字和是A2=1+9+8+6+1+9+8+8=50。
问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和A50等于多少？解：从第三届开始，将每五个年份分为一组，共分成9组，最后还剩下3个年份。
在每组中，年份的数字和刚好组成等差数列。
每一组的所有数字和则正好是中间的那个年份数字和的五倍。
那么中间的那个年份依次为1995，2005，2015，2025，2035，2045，2055，2065，2075，其数字和依次为24，7，8，9，10，11，12，13，14，因此所有组的数字总和为（24+7+……+14）*5=540 。
六年级奥数-数列与数表(教师版)
第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
小学数学奥数测试题数列与数表_人教版
2021年小学奥数计算专题——数列与数表1．下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项：(1)1，5，11，19，29，___，55；(2)1，2，6，16，44，___，328．2．有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……．问第99个数组内三个数的和是多少?3．0，1，2，3，6，7，14，15，30，___，___，___．上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次先写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，依此类推．那么这列数的最后3项的和应是多少?4．仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．5．图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a和b．6．将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和．假设第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少?7．1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？8．假设把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：…996997998999．那么在这个多位数里，从左到右的第2021个数字是多少?9．标有A，B，C，D，E，F，G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯各安装着一个开关．如今A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯是灭的．小方先拉一下A的开关，然后拉B，C，……，直到G的开关各一次，接下去再按从A到G的顺序拉动开关，并依此循环下去．他这样拉动了1990次后，亮着的灯是哪几盏?10．在l，2两数之间，第一次写上3；笫二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到l 4 3 5 2以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和．这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少?11．有一列数：l，1989，l988，l，l987，…．从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是多少?12．在l，9，8，9后面顺次写出一串数字，使得每个数字部等于它前面两个数字之和的个位数字，即得到l，9，8，9，7，6，3，9，2，l，3，4，…．那么这个数串的前398个数字的和是多少?13．有一列数：2，3，6，8，8，…．从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数中的第80个数是多少?14．2021名学生从前往后排成一列，按下面的规那么报数：假设某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；假设某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．如今让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少?15．将从l至60的60个自然数排成一行，成为1l1位自然数，即…5960．第 1 页在这111个数字中划去100个数字，余下数字的排列顺序不变，那么剩下的11位数最小可能是多少?16．填在图的三个正方形内的数具有一样的规律．请你根据这个规律，确定出A，B，C．17．图是一个由整数组成的三角形．试研究它的组成规律，从而确定出x的数值．18．如下列图的数阵中的数字是按一定规律排列的．那么这个数阵中第100行左起笫5个数字是多少?19．如下列图，把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列，假设各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数1986出如今第几列? 20．在图所示的数表中，第100行左边第一个数是多少?21．在图所示的数表中第n行有一个数A，它的下面一行，即第n+1行有一个数B，并且A和B在同一竖列．假设A+B＝391，那么n等于多少？22．如图，自然数按某种方式排列起来，其中数3排在第二行第一列，13排在第三行第三列．问：1993排在第几行第几列?23．图按照一定规律组成的三角形数阵，其中第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…，最后一排有10个数．假设把这55个数相加，问：所得到的和的十位数字是几?24．如图，将自然数1，2，3，4，…，按箭头所指方向顺序排列，拐弯位置处的数依次是2，3，5，7，10，…．(1)假设认为2位于第一次拐弯处，那么第45次拐弯处的数是多少?(2)从1978到2021的自然数中，恰在拐弯处的数是多少?25．有一张写着自然数l至100的数表，可以在表中相邻两行内各取连续的3个数，然后用长方框围起来．例如，图17-10中所示长方框内的6个数之和是108．假设某个按上述方式形成的长方框所围出的6个数之和是480，那么其中最大的数应该是多少? 26．有一列数，第一个是105，第二个是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数．那么，第19个数的整数部分是多少?27．自然数的平方按从小到大的顺序。
小学奥数讲义 第八讲-数表计算与代数公式应用强化篇
数表计算与代数公式应用一、数表数表的实质就是数列。
这一讲将在找规律的基础上从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。
通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。
数表就是形象化的数列。
数表问题主要是从数列的图形化表述中提炼出有用的信息，构造数列，然后再用处理数列的方法解决数表问题。
(一)会求数表中某位置的数是多少【例 1】下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字。
例1图【巩固】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：⑴这个三角形的排列有何规律？⑵根据找出的规律写出三角形的第6行、第7行。
⑶推断第20行的各数之和是多少？【例 2】方格表中的数是按照一定规律填入的，请观察方格表，并填出“？”处的数。
例2图【巩固】仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字。
巩固图(二)周期法在数表中的应用【例 3】把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列(如下表)，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，这样，数“2006”出现在第几行，第几列？例3图【巩固】按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应该数到第几列？1993呢？巩固图(三)数表中的最值【例 4】从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于1993，1143，1989。
若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由。
例4图【巩固】把从1开始的自然数排成数阵，试问：能否在数阵中放入一个3⨯3的方框，使得它围住的九个数之和等于：⑴1997；⑵2016；⑶2349。
如果可以，请写出方框中最大的数。
巩固图常用公式平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：(a±b)2=a2±2ab+b2。
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第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
分析：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。
解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)分析：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。
解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。
例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
分析：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。
解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？分析：根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。
例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
分析：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。
答：这堆钢管一共有52根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？分析：假设45位同学排成一队，第1位同学一次与其他同学握手，一共握了44次，第2位同学因与第1位同学已握手，只需要与另外43位同学握手，一共握了43次，这样第3位同学只需与另外的42位同学握手，…，依次类推。
握手的次数分别为：44,43,42，…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。
解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和即 44+43+42+…+3+2+1=（44+1）×44÷2=990（次）答：同学们共握了990次手。
A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
答案：这个数列共有27项2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
答案：这个等差数列的第30项是117。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
答案：1+2+3+4+…+53+54+55=(l+55)×55÷2=1540。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)答案：10025.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
答案：第12个数是91B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：它的末项是49。
7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
答案：48.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？答案：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。
首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。
所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个) 答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？答案：（25+63）×20÷2=880（个）10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?答案：59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？答案：2485根。
12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?答案：如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。
不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。
求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。
即: 3+6+9+…+30=(3+30) × 10÷ 2=33× 5=165(根)答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。
13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?答案：一共有8把锁的钥匙搞乱了。
14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？答案：15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？答案：根据题意，一共有48+5=53（人）参加了这次晚会。
所以，一共握手的次数为： 52+51+50+…+3+2+1=（52+1）×52÷2=1378（次）答：一共握了1378次手。
1.有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?答案：这个数列共有19项2.求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
答案：这个等差数列的第100项是299。
3.计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。
答案：首项=5,末项=200,公差=5,项数=(200-5)÷5+1=40,5+10+15+20+…+190+195+200=(5+200)×40÷2=4100。
4.有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
答案：785是第88个数5.计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99)答案：501.在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?答案：这个等差数列共有29项。