四年级计算幻方与数表教师版
四年级上册数学奥数试题第三讲《排排数数表与幻方》 人教新课标含答案
一、幻方这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”。
“洛书”就是幻和为15的三阶幻方。
如下图：我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久。
三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们。
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3⨯3的数阵称作三阶幻方，4⨯4的数阵称作四阶幻方，5⨯5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样。
四年级奥数必考知识点：第三讲：排排数——数表与幻方【例 1】3 3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等(请给出至少一种填法)。
三阶幻方的主要性质：1．能组成三阶幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。
2．幻方的中心数为数列中的中间数。
3．幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍。
中心数还等于所有所填数的平均数。
4．数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方的四角，即只能出现在中间位置，依次可得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角上。
【例 2】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
例2图【例 3】在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21。
例3图【例 4】用1～16编制一个四阶幻方。
二、数表与周期性问题【例 5】如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数。
已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x。
四年级奥数幻方与数表
知识要点幻方与数表二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
五、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）一、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nna a a a 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b ca b c⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。
数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表（本讲）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
四年级第十讲简单的幻方及其他数阵图
第十讲简单的幻方及其他数阵图基础班1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.提示：首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60. 提示：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.提示：与三阶幻方类似.4.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.提示：5.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.提高班1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.提示：首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.提示：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.提示：与三阶幻方类似.4.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.提示：5.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.精英班1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.提示：首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.提示：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.提示：与三阶幻方类似.4.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.提示：5.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.。
小学数学 幻方问题 PPT课件带答案带作业
A为34-4-5-11=14
其他空根据幻和可依次填出
总结：重数分析法
练习5: 在下面方格表中的字母处分别填入不同的自然数，使其每行、每
列以及每条对角线上的四个数之和都等于264，并求A＋B－C＋ D＋E－F＋G－H。
幻和：264 A:264-68-89-96=11 F:264-96-88-19=61 E:264-68-91-19=86 C:264-11-86-98=69 D:264-99-86-61=18 B:264-91-69-88=16 H:264-89-91-18=66 G:264-66-9819=81 A＋B－C＋D＋E－F＋G－H=11+1669+18+86-61+81-66=16
16
18 81 66
11 69
86 61
例题6: 在下面的方格表中填入适当的数，使每行、每列和每条对角线上
的三个数的乘积都相等。
幻积为：32×32×32＝215 上层中间数为：215÷32÷512＝2 右上角数为：215÷256÷2＝64 左下角数为：215÷64÷32＝16 左侧中间数为：215÷256÷16＝8 右侧中间数为：215÷8÷32＝128 右下角数为：215÷16÷512＝4
X=（11+15）÷2=13
作业3:
在下面3×3的方格表中，每行、每列和每条对角线上的数之和都相等，那么
A+B与C+D相等吗？ E+D+H A+B=C+D E+C+M=M+F+B E+C=F+B
M H
作业4:
在下面3×3的方格表中，每行、每列和每条对角线上的数之和都相等, 那么字母 X是多少？
四年级计算幻方与数表教师版
一、引言（100字）在四年级数学教学中，计算幻方和数表是重要的内容之一，它们对于学生的数学思维能力和计算能力的培养有着积极的影响。
本文将从教师的角度出发，详细介绍如何教授计算幻方和数表，并提供相应的教学案例。
二、计算幻方的教学（400字）计算幻方是指将自然数按照一定规律填充到一个格子中，使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
教学计算幻方可以培养学生的观察力、逻辑思考能力和计算能力。
1.引入概念：通过举例子，让学生感受到满足条件的幻方的特点，引发学生对计算幻方的兴趣。
2.规律总结：让学生思考填入格子的规律，从而总结出计算幻方的方法。
强调每行、每列和对角线上的数字之和都是多少，然后通过一步步推导，逐渐解决问题。
3.练习与巩固：通过大量的练习，让学生熟练掌握计算幻方的解题方法。
可设计不同难度的题目，逐步提高学生的解题能力。
4.拓展应用：引导学生用计算幻方的方法去解决实际问题，让学生意识到计算幻方的重要性和实际应用价值。
三、数表的教学（400字）数表在四年级的数学教学中是一个必须掌握的基本概念，可以培养学生的数值运算能力、观察力和逻辑思维能力。
1.引入概念：通过举例子，让学生感受到数表的特点和用处，引发学生对数表的兴趣。
2.规律总结：让学生思考数表的排列规律，从而总结出数表的整体关系。
通过观察和思考，引导学生找出数表的规律和特点。
3.练习与巩固：设计不同难度的题目，让学生通过填充数表的空缺，练习数值运算和逻辑思考能力。
可以采用小组竞赛的形式，增加学生的参与度和学习兴趣。
4.拓展应用：引导学生将数表的思维运用到实际问题中，解决实际生活中的数值运算问题。
通过实践，让学生意识到数表在数学中的重要性和应用价值。
四、教学案例（300字）1.计算幻方教学案例：教师可以从一个简单的3×3幻方开始教学。
首先，教师通过填写示例幻方来让学生感受每行、每列和对角线上数字之和相等的特点，然后与学生一起总结规律。
最新第二讲四年级奥数幻方教程文件
幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。
幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列，称为n阶幻方，每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。
法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法” (也叫“萝卜”法)。
三阶幻方解法“萝卜”法一居上行正中央依次填在右上角上出框时下边填右出框时左边放斜出框时下边放(出角重复一个样)排重便在下格填9阶(了解)47 58 69 80 1 12 23 34 4557 68 79 9 11 22 33 44 4667 78 8 10 21 32 43 54 5677 7 18 20 31 42 53 55 666 17 19 30 41 52 63 65 7616 27 29 40 51 62 64 75 526 28 39 50 61 72 74 4 1536 38 49 60 71 73 3 14 2537 48 59 70 81 2 13 24 35幻方的其它概念: 中心数和黄金三角的规律只适用于3阶幻方1.中心数: 中心数为对称两边数的和除以2 （比如（8+2）/2=5）8 1 63 5 74 9 22.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2（比如（7+9）/2=8）练习1.在如图所示的方格内填上合适的数，使每行、每列及对角线上的三数之和等于33.14 9 107 11 1512 13 82.中间值是“12”，请在其他8格填上适当的数据，使9个方格内的数据是9个连续的自然数的幻方15 8 1310 12 1411 16 9标准的幻方是每行每列以及对角线上的和为15, 现在要求为33, 如果在标准幻方的基础上每个数都扩大6,就可以满足要求: 15+6x3=33简单：只要在标准的幻方的基础上+7 就OK3.每一行、列、对角线上的数的和要为30，请补充填写空白处的数151354.求？，要求3列3行还有斜线和一致！？8921在图（1），（2）的空格中填入不大于15且互不相同的数（其中已填好一个数），使每一横行、每一竖列和对角线上的3个数之和都等于30．解析30被分为3行，那么10为中间的数，所以两个方格的正中间均为10，那么第一个正方形一条对角线上的数为8，10，12，接着一行可填15，10，5；需注意15和8相邻，那么剩下的只要相加为30即可．同理，第二个正方形一条对角线上的数为14，10，6，接着一行可填15，10，5；需注意15和6相邻，那么剩下的只要相加为30即可．解答解：如图：八下古诗文及翻译桃花源记作者：陶渊明晋太元中，武陵人捕鱼为业。
四年级数学专题讲义第五讲 数表与幻方
第五讲 数表与幻方幻方问题千变万化，幻方的填法虽然单一，但组合起来却也是千变万化。
数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容，但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力。
(一)幻方同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思。
一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了。
这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”。
“洛书”就是幻和为15的三阶幻方。
如下图：987653421幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，一般地说，在n×n(n 行n 列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上2n 个连续的自然数(一般从1开始，也可不从1开始)每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n 个自然数的和都相等，这样的数表叫做n 阶幻方。
这个和叫做幻和，n 叫做阶。
三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一。
98765432114115106213169711548312解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键。
〖经典例题〗例1、请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
小学四年级奥数下册简单的幻方及其他数阵图教案
小学四年级奥数下册简单的幻方及其他数阵图教案简单的幻方及其他数阵图教案有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. 杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.九子排列上、下对易左右相更四维挺出怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示.解答这个题目，可以分三步解决：①先求出每行、每列三个数的和是多少？②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？③最后试填其他方格里的数.∵A+B+C+D+E+F+G+H+I=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F）=15X4.45+3E=603E=15E=5.这样，正中央格中的数一定是5.由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）.下面我们就来介绍一些简单的幻方.例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.网络搜集整理，仅供参考。
人教版四年级下册数学奥数——魔力幻方(课件)
实践与应用
【练习1】 P98 用1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个奇数构成一个三阶幻方。
【例2】把3，4，5，6，7，8，9，10，11九个数填入图中的方格内，使每一行、 每一列和每条对角线上的数的和都相等。
填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题， 也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这
些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和
【分析与解答】 三阶幻方九个数中存在4个未知数，看似无从下手，那么能否从题干中找到 突破口呢？从第一行和第三列可以轻松推断出A的值，从而可以依次求出B， C，D的值。 我来解答：从第一行和第三列可知A+12+D=D+20+11， 那么A+12=20+11，4=19。对角线上三个数的和为19+15+11=45。 那么B=45-19-16=10，C=45-12-15=18，D=45-19-12=14。
小结与提示 解答三阶幻方问题，要充分抓往题干中隐藏的已知条件，作为解题的突破口。
实践与应用
【练习4】 P102 在下图中的A、B、C、D处填上活当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【例5】将1，2，3，5，6，7这六个数填入下图中，使每行中三个数的和相等，同时使每列中两个数
四年级奥数 教师版 第六讲幻方与数阵图
第六讲 幻方与数阵图知识导航三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。
例1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。
如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。
于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。
接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。
同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。
没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。
看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。
下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E 的四条直线：因为A +E +I =15, B +E +H =15, C +E +G =15, D +E +F =15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I ）+3×E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I 不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是第1题不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。
解：根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：7 数表与幻方 提高篇(解析版)全国通用
第七讲 数表与幻方幻方问题千变万化，幻方的填法虽然单一，但包含的数学知识非常丰富.教师在讲授本讲时应该做到：1.使学生掌握三阶、四阶幻方基本图样与奇数阶幻方的填法；2.使学生掌握补填幻方的方法技巧；3.让学生了解和运用幻方的主要性质；数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容，但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力.教师应当注意对学生这方面的培养.分析：563987421563987421幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.专题精讲教学目标想 挑 战 吗？将1到9这9个数字填入3×3的正方形表格中，使表格中横、竖、对角线上三个数的和相等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻，你知道怎么填吗？ 98765432114115106213169711548312（一）幻方[小故事]（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：987653421【例1】3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法分析：（方法一）第一步：求幻和：1+2+3+…+9=45第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即15×4=60，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（60-45）÷3=5第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图为其中两解，其余请学生自己解决：（方法二）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格（2）如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行（4）如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1213213421563421563742156387421563987421（方法三）对易法：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了.563987421563987421563987421[说明]南宋数学家杨辉曾概括幻方为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.”这就是我们现在所学的对易法.[巩固]请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.分析：第一步：求幻和：2+3+4+…+9+10=54第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18×4=72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72-54）÷3=6第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图：[小知识] 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆.”【例2】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.[亮点设计]（1）提问：三阶幻方的我们可以通过算的方法填出，五阶的呢？算算看，累死.七阶呢？更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢？看老师的：（2）示范：边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数幻方是最简单易行的.（3）练习：写个七阶的看看（大家一起来练）注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.（4）亮化：大家现在感到是不是很好玩？美国的有个小孩子写出了105阶的幻方，被记在一本数学课本上.我们现在知道，这里的方法其实不算难吧？其实我们也不妨跟美国小朋友PK一下，来构造一个比较大的幻方，也可以是或者就是做一份数学作品，跟书法作品一样装裱得非常漂亮地挂在你家客厅的墙上，客人到你家作客时，一看是一头雾水，你就简单地问一问他，横行的所有数之和是多少？所有横行的每个和怎么样呢？都相等吧？竖列所有数之和是多少？跟横行的和相等吧！还有，看看两条对角线上，每条对角线上所有数之和呢？轻轻而清晰地告诉他，这就是57阶幻方或者**阶幻方！厉害吧，这就是奥数研究生的作品.（研究奥数的学生简称奥数研究生嘛）当然，别忘了，十几阶的奇数幻方奖一个章，二十几阶的奖励三个章，三十几阶的奖励五个章，四十几阶的奖励七个章，如果六十几阶应该奖励几个章呢？【例3】用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见下图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方.[巩固]请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.分析：（1）根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24÷3=8.（2）既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16（3）按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.【例4】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k，3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格的数=k÷3注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用. [拓展]如图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?110 8*分析：首先确定左下角的数为17，这样才能保证第一行和第一列的和相等，如此可以得出，这个三阶幻方中围绕中心的相对位置上的两个数和为17+10=27，接着确定底边和右边上的数，通过设左上角标有*的方格中所填的数未知数为X，列式为（18+x）÷3+27=18+x，最后求出标有*的方格中所填的数为22.5.【例5】在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析：由中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验，可得右图所示的三阶质数幻方.【例6】在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.分析：为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知：A+B+5＝27 （1）5+C+E＝27 （2）5+D+G＝27 （3）6+C+D=27 （4）A+6+E＝27 （5）A+C+G＝27 （6）B+C+F＝27 （7）E+F+G＝27 （8）由（2）+（4）+（6）-（3）-（5）得知：3C＝27 C=9.将C＝9代入（4），D＝12代入（2），则E=13.将D=12代入（3），则G=10.将E=13代入（5），则A＝8.将A=8代入（1），则B=14.将B=14、C=9代入（7），则F=4.由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法.见右上图.[拓展]如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．x1995100951918124171291761051009519分析：（1）设中间的数为Y，则各行各列的和为3Y，求出各个方格中每个数的代数式，左上角为Y-X+95,右上角为2Y-95,右下角为：Y+X-95,最下面一行中间的数为：2Y-X，根据每行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,解得X=171.（由此引出三阶幻方性质：角上的数等于不相邻边上数的平均数）（2）根据（1）所得的每个方格中的代数式可得右上图.【例7】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析：这一例题较复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应包含全部奇数（1、3、5、7、9）和偶数8，由于DEF=2×ABC，GHI=3×ABC，所以GHI=ABC+DEF,因此又可把3×3方格中的数看作一个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B＝9，H=7.最后，由于A＜D＜G必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，I=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于314×2≠658，354×2≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G＜（1+1）×3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论.由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.[拓展]将自然数1至9分别填在如下图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．分析：中间的数只能为5，这样才能保证有4组数对分别填写于方格四周，相对位置两数和相等并且比中心所填的数大5.987643215【例8】已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?分析：对角线上的和为34，由此可以确定第四行第三列的数为2，右下角的数为13，于是便可以确定标有*的方格中所填的数为6.（二）数表【例9】 如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l ，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x ．那么x 所代表的数是多少?分析：先分析竖直方向的数字出现规律，都是以3为周期循环出现相同数字，求得交叉点上数字为10，同理可求得x=5.[前铺]如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?分析：由“它的每3个相邻数字之和都是20”，可知这个数的各个数位上的数字以3为周期循环出现，11=2+3×3，所以第二个数等于第十一个数7，第三个数为：20-9-7=4，所以这个数为97497497497，标有*的那个数位上的数字应是7.7*9[拓展]如下图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖行相邻三个数的和都为20，那么“*”所代表的数是多少？分析：设左上角方格中的数为x ，那么左上角的数为14-x ，左下角方格中的83x 53811165*49712*268数为12-x，由此还能求到右下角的数为6+x，“*”所代表的数为20-（14-x）-（6+x）=0.【例10】请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．11121132113211321133232132113211分析：首先考虑一个横排，要使横排任意四个数包含3、2、1、1，那么每个横排上的数都应该以4为一个周期，将这样的一个横排向左错位一格作为它的下一排，向左错位两格作为它的下边第二排，……，那么在竖直方向，数表也将符合题目条件的性质.[拓展]请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．11121132113211321133232132113211分析：这个图形如图打上斜线，那么这四个格子都在不同的斜线上，将4×8的方格网也打上斜线，填数的时候，只要保证同一条斜线上的数相同，并且从最上边的斜线向下，线上对应的数以4为周期依次出现两个1，一个2，一个3.【例11】如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第一列第二列第三列第四列……第一行 1 2 5 10 17第二行 4 3 6 11第三行9 8 7 12第四行16 15 14 13……分析：按照填写顺序，所有的完全平方数都出现在数表的第一列，所有小于等于2n 的正整数数都能够组成一个边长为n 的正方形，442＜2007＜452，所以2007处在边长为45的正方形的边缘，边长为四十五的正方形边缘第一个数是442+1=1937，位于第一行、第四十五列，最后一个数是452=2025，位于第四十五行，第一列，所以第四十五行，第四十五列的数是（2025+1937）÷2=1981，2007＞1981，所以2007在第四十五行上，2025-2007=18，所以2007在第十九列上.[前铺]如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？分析：各个自然数的列号以8为循环，行号每4个数加一行，2007=8×250+7，所以2007在第3列，第502行，它下边的数比2007大4，所以2007下边是2011.【例12】 将1～8填入右图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内.分析：因为中间两个○分别只与一个○不相邻，只能填1和8，其余数的填法见右上图.[巩固]教师可以向同学们补充此题，本质和上题是一样的，教师可以用些脑筋借助此题增添自身魅力： 将1～8填入右图的八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数.答案：第一列第二列 第三列 第四列 第五行 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 ……[拓展]在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S. 9S=4×45 S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20. 所以：b2=5. 从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾.④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数..这样，就比较容易找到此解专题展望幻方、数表类题目虽然变化不多，但这一类题目与数学很多分支包括：组合数学、数论等都有结合，今后同学们接触到更多的数学知识后会对幻方有更深入的了解.1.（例1）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.分析：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.2.（例3）用1，3，5，7，9，11，13，15，17编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填9；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即3，7，11，15，而且对角两数的和相等，即3＋15=7＋11；余下各数就不难填写了（见下图）.17151311539713.（例6）在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少?分析：设中间的数为X，可以此确定上边、右上角、右下角、左下角、左边、右边所填数的代数式，由于3X=19.95，X=6.65，最后得到，标有*的格内所填的数是11.12.*8.804.334.（例10）在如左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.练习七分析：12=1+1+2+2+3+3，将1、2、3如图排列后能保证符合条件2113332222111113333332222211113332215. （例12）将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.分析： 1+2+…+9+10=55，5个角上的数都被加了两遍，设5个角上数的和为k ，所以和为：（55+5k ）÷5=11+k ，要想和最大k 取最大值，为6+7+8+9+10，则五个角上的数可定，如右上图.许多名人喜欢用数学比喻，往往出语幽默、诙谐，好比深山闻钟，使人记忆久远.古希腊哲学家芝诺号称"悖论之父"，他有四个数学悖论一直传到今天.他曾讲过一句名言："大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习".人民教育家陶行知先生曾经说，他有八位好朋友做帮手，使他少犯错误，甚至可以不犯错误.他编了一首歌，读起来非常动听：我有八位好朋友，肯把万事指嘉摇?你若想问真姓名，名字不同都姓何. 何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟弟与哥哥.还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何.若向八贤常请教，虽是笨人少错误. 美国作家杰克·伦敦成名后，曾收到过一位女士的求爱信；"你有一个出众的名声，我有一个高贵的地位.这两者加起来，再乘上万能的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的美满家庭."杰克·伦敦连忙回信，他答得很妙："根据你列出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这个平方根却是负数".古希腊哲学家芝诺对他的学生说：“如果用 小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的 知识，那么大圆的面积大一点；但两圆之外的空 白，都是我们的无知面，圆越大其圆周接触的无 知面就越多.”毛泽东曾经批评个人主义严重的人说：“有 的人总是数学知识以‘我'为‘圆心'、‘个人主义'为‘半径'，在这个圆圈里转来转去，总是不能跳出这个圆圈.”。
数学四年级 第20讲 幻方与数阵图扩展(教师版+学生版,含详细解析)
第20讲幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.典型问题兴趣篇1.把1，2，…，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．答案：2. (1)如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．答案：3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“。
”的方格内所填的数是多少?答案：1.2+4+5+e=3+a+b+6=7+c+d+f,所以a+b=2+e,c+d+f=4+e,所以方格所有数和为33+3e，此数同时是3、4的陪数，则e=5,由各列和为12，得出答案为1.4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．答案：5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么? 答案：▽=5，△=5，○=46．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?答案：2种7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7．答案：8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．答案：中间小圆圈为5，和为109．请在图20-10中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．答案：10．将0至9填入图20-11的10块区域中(阴影区域除外)，使得每个圆内的三个数之和都是相等的．请问：这个和最小是多少?最大是多少?答案：最小是11，最大是16。
四年级数学之幻方和数阵
第六讲幻方和数阵知识要点与学法指导：传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。
有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”。
书上有一幅奇特的这幅图用现在的数字表示，即为1～9这九个数字,填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。
我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方—“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这个数字方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236数阵图就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称之为数阵图。
由于它既有数字之间的运算，又要结合图形，因此对开发学生综合思考和形象思维很有益处。
数阵图的种类很多，这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。
幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。
例1 把1、2、3、4、5、6填在图中，使每条边上的三个数之和都等于9。
【分析与解】同学们，首先用你敏锐的眼光观察一下，三角形三个顶点的数在求和时各使用了几次呢？如图（2）所示，很容易看出，位于三角形顶点的三个数a，b，c各被使用了两次。
因此三条边上的总和表示为：1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c＝27又因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，与总和相差27－21＝6，也就是说a＋b＋c＝6，所以三个顶点应选作1，2，3，其他数字也就可以依次填入空位了［如图（3）所示］。
通过例1我们不难发现，填数的过程是有规律的。
我们首先需要找到关键数（即在数阵中重复使用的数字），然后通过总和找到关键数的和，并以此确定关键数。
关键数找到了，就可以根据每边的数字和将其他数字填写完整。
聪明的同学们，这个方法你掌握了吗？试一试1把1，2，3，4，5，6这6个数，分别填在图中三角形三条边的六个圆圈中。
小学数学《幻方问题》
小学数学《幻方问题》幻方问题[含义]把nxn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。
最简单的幻方是三级幻方。
【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个"和"叫做"幻和”。
三级幻方的幻和=45÷3=15五级幻方的幻和=325÷5=65【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和)，其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例：把2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解：只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和:最大数是10: 18=10+6+2=10+5+3最大数是9:18=9+7+2=9+6+3=9+5+4最大数是8:18=8+7+3=8+6+4最大数是7:18=7+6+5刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。
第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。
观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。
然后确定四个角的数。
四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。
但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。
最后确定其它方格中的数。
如图练习题1.把1，2,3，4,5,6,7，8,9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。
2.请在5×5方格阵的每个格子红不重复地填上1~25这25个数字，使得每行每列每条对角线的和都相等。
3.请在一个3x3的方格阵的每个格子中不重复地填上1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数，使得每行、每列、每条对角线的和都相等.4.在图中的空格内填上适当的数，使之成为一个三阶幻方5.将九个连续自然数填入九宫格中，使每一行每一列的三个数之和都等于60.6.把1,2,4,8,16,32,64,128,256这九个数不重复地填在九宫格里，使每行每列每条对角线的乘积都相等。
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知识要点幻方与数表一、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
答案如图所示。
（方法二）与1~9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1~9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。
答案如图所示。
五、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nn a a a a KM OM K 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b c a b c⨯+⨯+⨯+⨯+KM O M K 也是n 阶幻方。
数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表 （本讲）【例2】 请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。
（只要构造出一种）【分析】 因为3阶幻方的幻和为2010；所以，中心数为20103670÷=。
与1~9的3阶幻方的中心数5相比，中心数增加了6705665-=或者放大了6705134÷= 或者先增加62再放大10或者先放大150再减小80。
根据1~9的3阶幻方的图，将每个方格上的数“665+”或者“134⨯”或者“先62+再10⨯”或者“先150⨯再80-” 可以求出原题的答案。
答案如图所示，答案不惟一。
可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻方。
_6407106607006306806906706508351672944927615385201270220970820706703701120673668670666671672667674669835167294每个方格上的数x 134每个方格上的数+66549276153840267093880413410725361206268【例3】 一个3阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为2009，最小的数不小于1970，请试说明，这样的幻方中9个方格中的数全都不相同的有4种，并构造出这4种幻方。
【分析】 因为每个方格里的数均为自然数；所以，这9个数组成从小到大排列的等差数列的公差为自然数。
所以，最大的数2009减去最小的数的差为8的倍数。
因为2009197039-=；所以，最大的数减去最小的数的差为8或16或24或32； 所以，符合题意的幻方共有4种。
公差为1的9个数：2001、2002、2003、2004、2005、2006、2007、2008、2009； 公差为2的9个数：1993、1995、1997、1999、2001、2003、2005、2007、2009； 公差为3的9个数：1985、1988、1991、1994、1997、2000、2003、2006、2009； 公差为4的9个数：1977、1981、1985、1989、1993、1997、2001、2005、2009。
构造成符合题意的3阶幻方如图所示。
199720011981200919931977200519851989200020031988200919971985200619911994200320051995200920011993200719971999200920082007200620052004200320022001【例4】 （1997年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在33⨯的方格表中每个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。
IHG F E D C B A【分析】 如图所示，假设9个空格里能分别填上自然数A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 。
1997D E F ++=∵、1997B E H ++=、1997A E I ++=、1997C E G ++=()()()()()3D E F B E H A E I C E G A B C D E F G H I E +++++++++++=+++++++++∴199747988=⨯=199735991A B C D E F G H I ++++++++=⨯=∵3798859911997E =-=∴；19973E =与E 是自然数相矛盾。
∴原假设不成立，不能填入满足题意的9个自然数在方格表中。
内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。
现在29和76两个数已给出，那么x =（ ）。
2976x52.52976【分析】 中心数297610552.522x +===【例6】 （第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛）图中有9个方格，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
问图中左上角的数是多少？1319?【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）设中心数22R C x =，则幻和3x =，所以，33R C =幻和11223?2?R C R C x x x --=--=- 31R C =幻和3233313(2?)?13R C R C x x x --=---=+- 13R C =幻和2333319(2?)?19R C R C x x x --=---=+-幻和132231(?13)(?19)32?323R C R C R C x x x x x =++=+-+++-=+-= 所以，?32216=÷=161913x +?-19132x -?19x ?2x -??1319x x 19?13x +?-13填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。
要求写出关键的解题推理过程。
？86547711109437658658？865【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）。
中心数11332268722R C R C R C ++===， 111213132231R C R C R C R C R C R C ++=++∵；31111222?6574R C R C R C R C ==+-=+-=∴【例8】 （2008年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上合适的数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方格中所填的数是________。
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）111213132333R C R C R C R C R C R C ++=++∵ 331112232081810R C R C R C R C =+-=+-=∴ ∴中心数11332220101522R C R C R C ++=== 即图中涂上阴影的方格所填的数为15【例9】 （2008年4月第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）在图中的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，则______N =。
N 12166814818410616212188410616212248N 106161210N 121668【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）幻和112131861630R C R C R C =++=++=；所以22R C =幻和11333081210R C R C --=--= 或中心数2230103R C ===或中心数1133228121022R C R C R C ++====； 13R C =幻和22313010164R C R C --=--=，32R C =幻和31333016122R C R C --=--=； 12R C N ==幻和1113308418R C R C --=--=或12R C N ==幻和22323010218R C R C --=--=。
【例10】 在下面33⨯的表格中，填入7个不同自然数，使得对于表格中每行、每列、两条对角线上的3个数之和等于21。