2014 暑假 四年级 精英班 第2讲 数列与数表 教师版

第二讲 数列与数表

知识要点：

数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。

一、基础应用：

【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以

后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张；

撕了六次后一共得到15526+⨯=张纸片。

【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都

相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。

【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+

()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+

()()121216360576312192021336932

+⨯=+++

++=++

+++⨯=⨯=

【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数

乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将

接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、

8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。

二、拓展训练：

【例5】 由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1,2,3)，(2,3,5)，(3,4,7)，(4,5,9)，……，那么其中第几个数组中的各数之和为1234？ 【解析】 此题如果由数组中单一一个数去考虑，题目会变得比较复杂，因为问题是

问第几个数组的和是1234，所以我们可由数组的和入手，便很容易发现数组的规律；题中每个数组的和分别为6、10、14、18、……，很容易看出数组的和是一个公差为4的等差数列，1234是这个等差数列中的第

(12346)41308-÷+=项，所以第308个数组的各数之和为1234。

【例6】 下图是按一定的规律排列的数表，那么，这个数表第10行中所有数的和是多

少？

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

15

16

…… …… ……

【解析】 此数表具有一个比较明显的特征，即每一行的最右边一个数字为211=、

242=、293=、2164=、……，可以看出每个数均为所在行中行数的平方，所以第10行中最右边一个数为210100=，最左边一个数为29182+=，此行中所有数的和为828384+100=1729+++……。

【例7】 1~500中，去掉所有的平方数，剩下的整数之和是多少？ 【解析】 1~500中所有的平方数和是

()()222122222221222163795++

+=⨯+⨯⨯+÷=；则剩下的整数之和是

125003795121455+++-=。

【例8】 将自然数按规律排成了下图的三角形，2013是第几行左起第几个数？

【解析】 这个三角形的数表是由从1开始的连续自然数组成的，第一行有1个数，第

二行有2个数，第三行有3个数，……，第n 行有n 个数，

1234+62=1953<2013<1234+63=2016++++++++…………，即2013应该在

……………………

15

14

131211

1098765

43

21

第63行；所有的奇数行都是从左至右依次减小的，所以第63行最左边的一个数为2016，则2013排在第63行左起第4个数。

【例9】小明在黑板上写下从1开始的若干个连续的奇数：1、3、5、7、9、11、13、……，他试着擦去其中的两个连续奇数以后，结果剩下的所有奇数之和为

1973.那么，他擦去的两个奇数是多少？

【解析】如果两个奇数不擦除，则所得的和必定比1973要大，我们知道两个奇数的和必为偶数，所以只要找连续奇数的和为奇数的即可，……（），与题意矛盾；

++++⨯÷<

1357+85=1+85432=18491973

……（），此时可知擦去的两个连续奇++++⨯÷

1357+89=1+89452=2025>1973

-=，则两个奇数为25和27。

数的和为2025197352

……，共1000个数字，第【例10】0123456789012345678901234567890123456789

一轮去掉在奇数位置（从左数起）上的数字，剩下500个数字；第二轮再去掉

这500个数字中奇数位置上的数字，剩下250个；第三轮，……；直到只剩下

一个数字．最后剩下的数字是多少？这时已经操作了多少轮？

【解析】第一轮后，留下的是第2、4、6、8、10、12、14、16、……位上的数字，即1

=的倍数数位上的数字；

22

第二轮后，留下的是第4、8、12、16、……位上的数字，即2

=的倍数数

42位上的数字；

第三轮后，留下的是第8、16、……位上的数字，即3

82

=的倍数数位上的数字；

第四轮后，留下的是第16、……位上的数字，即4

=的倍数数位上的数字；

162

………………………………………………………………

第n轮后，留下的是第2n的倍数数位上的数字。

因为910

=的倍数数位上的数字，即第<<，所以最后留下的应为92512

210002

512个数字，这列数为一个周期数列，且周期为0123456789，十个数字为一÷=……，所以最后留下的数字为数字1，这时已经操作了9个周期，51210512

轮。

三、难题解析：