高中数学奥林匹克竞赛训练题(2)

高中数学奥林匹克竞赛训练题（02）

第一试

一、选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．(训练题07)十个元素组成的集合．的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘积记为.则（C）．

（A）0 （B）1 (C) -1 (D)以上都不对

2．(训练题07)△ABC的三个内角依次成等差数列，三条边上的高也依次成等差数列．则为（B）

（A）等腰但不等边三角形（B）等边三角形（C）直角三角形（D）钝角非等腰三角形

3．(训练题07)对一切实数，不等式恒成立．则的取值范围是（A）

（A）(B) (C) (D)

4．(训练题07)若空间四点满足，则这样的三棱锥共有（A）个．

（A）0 （B）1 （C）2 （D）多于2

5．(训练题07)已知不等式时恒成立，则的取值范围是（B）

（A）(B) (C) (D)

6．(训练题07)方程在复数集内根的个数为.则（C）

（A）最大是2 （B）最大是4 （C）最大是6 （D）最大是8

二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．(训练题07)函数的值域是________

2．(训练题07)已知椭圆，焦点为，，为椭圆上任意一点（但点不在x轴上），的内心为，过作平行于轴的直线交于.则________.

3．(训练题07)为的三个内角，

且.则_____.

4．(训练题07)实数满足.则的最小值是____.

5．(训练题07)在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有队参赛，则=__6____.

6．(训练题07)若是一个完全平方数，则自然数14 ．

三、(训练题07)（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)

四、(训练题07)（本题满分20分）一个点在轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线．

五、(训练题07)（本题满分20分）已知为虚数，且是方程的实根．求实数的取值范围．()

第二试

一、(训练题07)（本题满分20分）在中，为边上的任一点，于，于，交于．

求证：．

二、(训练题07)（本题满分35分）用个数（允许重复）组成一个长为的数列，且.证明：可

在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数．

三、(训练题07)（本题满分35分）空间中有100个点，其中每四点都不在同一平面上，每三点都不在同一条直线上，每一点都与其它33点连红线，与另33点连黄线，与最后的33点连蓝线．证明：一定会出现一个三边均不同色的三角形．