专题复习球与球体

点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数
个大圆，故选 B
例 3 分析： 利用球的概念性质和球面距离的知识求解．
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设球的半径为 R ，小圆的半径为 r ，则 2 r 4 ，∴ r 2 ．
如图所示，设三点 A 、 B 、 C ， O 为球心，
2 AOB BOC COA
．又∵ OA OB ，∴ AOB 是等边三角形，
3 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49 cm2 和 400 cm2 ．求球的表面积．
【高考真题】
1.（2010 四川理数）（11）半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ， 垂足为 B ， BCD 是平面 内边长为 R的正三角形， 线段 AC 、 AD 分别
与球面交于点 M，N，那么 M、N 两点间的球面距离是
解： 以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 M ABC 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是 球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
MA 2 MB 2 MC 2 =( 2R) 2 4R 2 ． 说明：此题突出构造法的使用， 以及渗透利用分割补形的方法解 决立体几何中体积计算． 例 6．分析： 首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关 系，再转化为其面积的大小关系． 解： 设球的半径为 r ，正方体的棱长为 a ，它们的体积均为 V ，
方法来解决的．
解： 如图，正四面体 ABCD 的中心为 O ， BCD 的中心为 O1 ，则第
一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半
径为正四面体中心到顶点的距离．设 OO1 r ,OA R ，正四面
体的一个面的面积为 S ．依题意得 VA BCD 1 S(R r ) ，
3
VA BCD
4VO BCD
.
9.（浙江卷理 14 文 15）如图，已知球 O 点面上四点 A、
D
B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC，DA=AB=BC=3 ，则
A
球 O 点体积等于 ___________。
C
B
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2016 年高考专题复习 ----球与球体
例 1 分析：求球的表面积的关键是求球的半径， 本题的条件涉及球的
3)
3
R(
3)2
32
2
2
当 R 3 3 时，V 有最小值． 当 R r 3 3 时，体积之和有最小值．
4
4
作业 解： 如图，球 O 是正三棱锥 P ABC 的内切球， O 到正三
棱锥四个面的距离都是球的半径 R ． PH 是正三棱锥的高，即
涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角
AOB 有关，
而球心角 AOB又直接与 AB 长度发生联系， 这是使用或者求球面距离
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的一条基本线索． 例 5．分析： 此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形 内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关 系，便于将球的条件与之相联．
器内注入水，并放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和 球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多 少？
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例 8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的 外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
例 9．把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外 切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个 球的最高点与桌面的距离．
4 1r S R r 3
4r 即 R 3r ．
所以 内切球的表面积
外接球的表面积
4 r2 4 R2
1 ． 内切球的体积
9 外接球的体积
4 r3 3 4 R3 3
又 1．
27
说明： 正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球
和外接球的两个球心是重合的， 为正四面体高的四等分点， 即定有内 切球的半径 r 1 h ( h 为正四面体的高 )，且外接球的半径 R 3r ．
2
2
∴ AB 2R ．当 AB 成为圆的直径时， r 取最小值， 此时 r 1 AB 2 R ，
2
2
d 取最大值， d
R2 r 2
2 R，
2
即球心与过 A 、B 的截面圆距离
最大值为 2 R ．
2
说明： 利用关系式 r 2 R2 d 2 不仅可以知二求一， 而且可以借此分
析截面的半径 r 与球心到截面的距离 d 之间的变化规律．此外本题还
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于 OA的平面截球面得到圆 M ，若圆 M 的面积为 3 ，则球 O的表面积
等于 ________________Leabharlann Baidu_.
4.（ 2009 陕西卷文） 如图球 O 的半径为 2，圆 O1 是一小圆，
O1O
2 ， A、B 是圆 O1上两点，若 AO1B = ，则 A,B
2
A
两点间的球面距离为
则由 4
3
r
3
V,r
3V ， r
3V
3
，由 a 3
V,得 a
3V ．
3
4
4
S球
4 r2
4 (3 3V )2
． 3 4 V 2
S正方体
4
6a 2 6(3 V ) 2 63 V 2
3 216V 2 ．
4 216 3 4 V 2 3 216V 2 ，即 S球 ． S正方体
例 7 分析： 先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利
AO1 3r , CO 2 3R ．
r R 3( r R) 3 ，
Rr
3 3 3．
图2
31 2
（1）设两球体积之和为 V ，
则 V 4 ( R3 r 3 ) 4 (r R)( R2 Rr r 2 )
3
3
=4
33 (R
r)2
3rR
32
4
3
3
3 (
3) 2
33 3R(
R)
32 2
2
= 4 3 3 3R2 3(3
3
3
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积为 V水 1 EH 2 PH 1 ( PH tan 30 ) 2 PH
3
3
又 V水 V圆锥 V球 ，则 1 x3 3 r 3 4 r 3 ，
9
3
1 x3．
9
解得 x 3 15r ．
例 8 分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面
体的关系， 第二个关键是两个球的半径之间的关系， 依靠体积分割的
用铁球取出后， 锥内下降部分 (圆台 )的体积等于球的体积， 列式求解．
解： 如图作轴截面，设球未取出时水面高 PC h，球取出后，水
面高 PH x ∵ AC 3r ， PC 3r ，则以 AB 为底面直径的圆锥容积为
V圆锥 1 AC2 PC 1 ( 3r ) 2 3r 3 r 3 ，球取出后水面下降到 EF ，水体
2016 年高考专题复习 --球与球体 01.25
典型例题 1——球的截面 例 1 球面上有三点 A、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角
形三个顶点，其中 AB 18， BC 24 、 AC 30，球心到这个截面的距 离为球半径的一半，求球的表面积．
【练习】过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、AC 、 AD ， 且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度．
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典型例题 3——其它问题 例 5．自半径为 R 的球面上一点 M ，引球的三条两两垂直的弦
MA, MB , MC ，求 MA 2 MB 2 MC 2 的值．
例 6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
典型例题 4——球与几何体的切、接问题 例 7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容
63
同样， BOC 、 COA 都是等边三角形，得 ABC 为等边三角形，边长
等于球半径 R ． r 为 ABC 的外接圆半径， r 3 AB 3 R ，
3
3
R
3 r
2 3．
3
说明： 本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除
了考查常规的与多面体综合外， 还考查了球面距离， 几乎涵盖了球这
部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．
例 4 分析： A 、 B 是球面上两点，球面距离为 R ，转化为球心角
2
AOB ，从而 AB 2R ，由关系式 r 2 R2 d 2 ，r 越小， d 越大， r 是
2
过 A 、 B 的球的截面圆的半径，所以 AB 为圆的直径， r 最小．
解： ∵球面上 A 、 B 两点的球面的距离为 R． ∴ AOB ，
.
O1
B O
5. （ 安徽卷理 16 文 16） 已知 A, B, C, D在同一个球面
上 , AB 平面 BCD , BC CD , 若 AB 6, AC 2 13, AD 8 ,则 B,C 两点间的
球面距离是
6.（江西卷文 15）连结球面上两点的线段称为球的弦． 半径为 4 的球 的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 、4 3 ，每条弦的两端都在球面
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典型例题 2——球面距离
例 2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（
）．
A．有且只有一个
B．一个或无穷多个
C．无数个
D．以上均不正确
例 3 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周 长的 1 ，经过 3 个点的小圆的周长为 4 ，求这个球的半径．
6
例 4 A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点，它们的球面距离为 R，求过 A 、 B 的平面中，与球心的最大距离是多少？
又球心到截面的距离为 d 1 R ，∴ R2 ( 1 R)2 152 ，得 R 10 3 ．
2
2
∴球的表面积为 S 4 R2 4 (10 3) 2 1200
说明： 涉及到球的截面的问题，总是使用关系式 r R2 d 2 解题， 我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关
系，求三个量．
例 10．如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且 又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（ 2）球的半径为多少时， 两球体积之和最小．
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作业 1. 正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 ，正三棱锥内有一个球 与其四个面相切．求球的表面积与体积．
2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
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高点与桌面的距离为 2 2 6 ．
3
例 10．分析： 此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学
生一般知道作对角面， 而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线
上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图 2 的截面图，在图 2 中，观
察 R 与 r 和棱长间的关系即可．
解： 如图 2，球心 O1 和 O2 在 AC 上，过 O1 ， O2 分别作 AD, BC 的 垂 线 交 于 E, F ． 则 由 AB 1, AC 3 得
截面， ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半
径，球心到截面的距离为球半径的一半， 从而可由关系式 r 2 R2 d 2 求
出球半径 R ．
解： ∵ AB 18 ， BC 24， AC 30，
∴ AB 2 BC 2 AC 2 ， ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形．
∴ ABC 的外接圆的半径为 15，即截面圆的半径 r 15，
（ A） Rarccos17
25
（B） Rarccos18
25
w_w_w（C）
1 3
R
（
D）
4 15
R
2.（2010 湖北文数） 14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入
三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最
上面的球，则球的半径是
cm.
3.（2009 全国卷Ⅰ文） 已知 OA为球 O 的半径，过 OA的中点 M 且垂直
4
例 9．分析： 关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四
个球半径相等， 故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的 棱长为两球半径之和 2．
解：四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点， 则正四面体的
高 h 22 (2 3 ) 2 2 6 .而第四个球的最高点到第四个球的球心距
3
3
离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最
【练习】 由条件可抓住 A BCD 是正四面体， A 、 B 、 C 、 D 为球
上四点，则球心在正四面体中心，设 AB a ，则截面 BCD 与球心的距
离 d 6a R ，过点 B 、 C 、 D 的 截面 圆半 径 r 3a ，所 以
3
3
32 ( a)
2
R
(
6 a
2
R)
得
a
2 6 R．
3
3
3
例 2 分析： 对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三
上运动，则两弦中点之间距离的最大值为
．
7.（辽宁卷理 14 文 14）在体积为 4 3 的球的表面上有 A，B，C三点，
AB=1，BC= 2 ，A，C 两点的球面距离为 3 ，则球心到平面 ABC的
3
距离为 _________．
8.（天津卷理 12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上， 若该球
的体积为 4 3 ，则该正方体的表面积为